山东省滕州市北辛中学2025-2026学年八年级下册（北师大版）期中 数学 模拟检测

北师大新版八年级（下）期中数学模拟试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．等腰三角形的一个角为，则它的底角为（   ） A． B． C．或 D．或 2．已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运动属于平移的是（   ） A．抽屉的拉开 B．荡秋千的人的运动 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的运动 D．乒乓球被运动员高抛发出后球的运动 4．剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，甘肃定西的剪纸艺术是民间剪纸艺术的代表之一，它源远流长，古朴自然，寓意深刻，具有重要的民俗价值．在下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，等边的周长为，则它的高为（    ） A． B． C． D． 6．如图是青岛市某日的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将直角三角形沿方向向上平移得到三角形，已知．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，分别以顶点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，分别交，于点，，连接，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．若不等式组有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．如图，点O为平面直角坐标系的原点，是等边三角形，点A在y轴上，点B和点C在x轴上，其中点B的坐标为，若以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，每次旋转，则旋转2025次后，点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11．不等式组的最小整数解是　 　． 12．如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为 ． 13．已知方程组的解x、y都是负数，则a的取值范围是 ． 14．某酒店准备给每层楼的过道铺设地毯，已知地毯的批发价是每平方米60元，过道的位置和尺寸如图所示，则购买地毯至少需要 元． 15．将点先向上平移5个单位，再向左平移3个单位，得到点Q，则点Q的坐标为 ． 16．如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则旋转角的度数是 三、解答题 17．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组： 18．如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． (1)求证：； (2)若，，为中点，求的长． 19．科技兴国，创新为本，某校在神舟一号发射成功20周年纪念日当天举办了第一届“科技节”展示活动，本届“科技节”以“筑梦航天”为主题，一一展示我国在航天事业上的成就，并对在本届“科技节”展示活动中表现优异的同学进行嘉奖．学校计划选购甲、乙两种图书作为本届“科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元购买甲种图书的数量和用400元购买乙种图书的数量相同． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 20．把三角形放置在如图所示的平面直角坐标系中，点为三角形内一点，平移点到的位置． (1)根据点的平移规律，将三角形平移画出平移后的三角形，并分别写出点A，，的对应点，，的坐标； (2)填空：与的位置关系是 ；与的数量关系是 ； (3)计算三角形的面积． 21．如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 22．已知关于x，y的二元一次方程组，其中为非负数，为正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 23．如图，在中，，点E在上，，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设，则______，______；（用含的式子表示） (2)时，求的长； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 24．（如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 答案解析 北师大新版八年级（下）期中数学模拟试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．等腰三角形的一个角为，则它的底角为（   ） A． B． C．或 D．或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：①等腰三角形的顶角为， 它的一个底角度数为； ②等腰三角形的底角为， 综上所述：底角为或， 故选：C． 2．已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，，则，故该选项不符合题意； B、∵，，则，故该选项不符合题意； C、∵，，则，故该选项不符合题意； D、∵，则，故该选项符合题意； 故选：D 3．下列运动属于平移的是（   ） A．抽屉的拉开 B．荡秋千的人的运动 C．篮球被运动员投出并进入篮筐的运动 D．乒乓球被运动员高抛发出后球的运动 【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的大小，根据平移的定义，逐一判断，排除错误答案 【详解】解：A、抽屉的拉开，是平移，故选项A符合题意； B、荡秋千的人的运动路线是曲线，不是平移； C和D中篮球和乒乓球运动路线是曲线，不是平移， 故选：A． 4．剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，甘肃定西的剪纸艺术是民间剪纸艺术的代表之一，它源远流长，古朴自然，寓意深刻，具有重要的民俗价值．在下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 5．如图，等边的周长为，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【分析】由等边三角形的性质可得，由三线合一可得，由垂线的性质可得，由等边的周长为可得，于是可得，在中，根据勾股定理可得，于是得解． 【详解】解：是等边三角形， ， 又， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，垂线的性质，线段的和与差，等式的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 6．如图是青岛市某日的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了不等式的定义．根据气温为，可得的范围是． 【详解】解：图中温度为：，则， 故选：D． 7．如图，将直角三角形沿方向向上平移得到三角形，已知．若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了平移的基本性质和梯形的面积公式．根据平移的性质可得，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵将直角三角形沿方向向上平移得到三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 8．如图，在中，分别以顶点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，分别交，于点，，连接，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了作图-基本作图：先利用基本作图得到垂直平分，，从而可求出． 【详解】解：由基本作图得到垂直平分， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 9．若不等式组有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了不等式组有解情况．熟练掌握不等式组的解集的确定的四种情况：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题的关键． 求出第一个不等式的解集，再根据不等式组有解，得出m的范围即可． 【详解】解：解不等式得，， ∵不等式组有解，， ∴． ∴． 故选：B． 10．如图，点O为平面直角坐标系的原点，是等边三角形，点A在y轴上，点B和点C在x轴上，其中点B的坐标为，若以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，每次旋转，则旋转2025次后，点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转及点的坐标变化规律，等边三角形的性质，能根据所给旋转方式发现每旋转六次，点的位置重复出现是解题的关键． 根据所给旋转方式发现每旋转六次，点的位置重复出现，再结合是等边三角形及旋转的性质即可解决问题． 【详解】解：因为， 所以每旋转六次，点的位置重复出现． 又因为余3， 所以旋转2025次后点的位置与旋转3次后点的位置相同． 此时相当于点绕点旋转了，到点， 则旋转2025次后点的坐标为． 故选：C． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11．不等式组的最小整数解是　3　． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式的解集，求出整数解即可． 【解答】解：， 由①得：x≥1， 由②得：x＞2， ∴不等式组的解集为x＞2， 则不等式组的最小整数解是3． 故答案为：3 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为 ． 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及勾股定理；根据角平分线的性质可得，根据勾股定理求得，设，进而根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵为的角平分线， ∴ 在中，，， ∴， ∵ 设， ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 13．已知方程组的解x、y都是负数，则a的取值范围是 ． 【分析】将不等式组中的x，y用含有a的式子表示出来，根据题意解得的x、y都是负数，可知，解出参数即可． 【详解】解：解方程组得； ∵方程组的解x、y都是负数， 即， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法和求一元一次不等式组的解集，解题的关键是根据运算可将x、y化为关于a的式子，然后计算出a的取值． 14．某酒店准备给每层楼的过道铺设地毯，已知地毯的批发价是每平方米60元，过道的位置和尺寸如图所示，则购买地毯至少需要 元． 【答案】3045．6 【分析】本题考查了生活中的平移，熟记平移的性质并理解地毯长度的求法是解题的关键．根据平移求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解． 【详解】解：如图，将过道平移到一边，可得过道的总面积为（平方米）， ∴购买地毯至少需要（元）． 故答案为：3045．6． 15．将点先向上平移5个单位，再向左平移3个单位，得到点Q，则点Q的坐标为 ． 【分析】本题考查了平移与坐标与图形的变化．根据向下平移，纵坐标减；向左平移，横坐标减进行求解即可． 【详解】解：根据题意，点Q的坐标是， 即． 故答案为：． 16．如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则旋转角的度数是 【分析】本题考查正三角形的判定和性质，旋转的性质，识别图形，理解题意是解决问题的关键．根据可知是正三角形，则，由绕点逆时针旋转得到，所以，进而可得，即可得结论． 【详解】解：， 是正三角形， ， 绕点逆时针旋转得到，与是对应边， ， 即旋转角为， 故答案为：． 三、解答题 17．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （2）解不等式组： 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出不等式①②的解集，再将不等式①②的解集分别表示在数轴上即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 将不等式①和②的解集分别表示在数轴上： 由数轴可知，不等式组的解集为， ∴不等式组的解集为：． 18．如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． (1)求证：； (2)若，，为中点，求的长． 【分析】（）根据垂直定义可得，利用直角三角形的两个锐角互余可得∴，，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答； （）过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质得，再根据中点定义得，再证明，根据全等三角形的性质得出，最后由勾股定理即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用，添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点作，垂足为， ∴， ∵，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 19．科技兴国，创新为本，某校在神舟一号发射成功20周年纪念日当天举办了第一届“科技节”展示活动，本届“科技节”以“筑梦航天”为主题，一一展示我国在航天事业上的成就，并对在本届“科技节”展示活动中表现优异的同学进行嘉奖．学校计划选购甲、乙两种图书作为本届“科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元购买甲种图书的数量和用400元购买乙种图书的数量相同． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【分析】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，根据两种图书数量之间的关系列方程； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据“投入的经费不超过1050元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题． 【详解】（1）设乙种图书每本为 x 元，则甲种图书每本为元， 根据题意得： 解得：， 经检验， 是分式方程的根，且符合题意， ∴（元）， 答：甲种图书每本为 30 元，乙种图书每本为 20 元； （2）设购买甲种图书 a 本，由题意可得： 解得：， ∵a 为整数， ∴a 可取 20，21，22，23，24，25， ∴共有 6 种购买方案． 20．把三角形放置在如图所示的平面直角坐标系中，点为三角形内一点，平移点到的位置． (1)根据点的平移规律，将三角形平移画出平移后的三角形，并分别写出点A，，的对应点，，的坐标； (2)填空：与的位置关系是 ；与的数量关系是 ； (3)计算三角形的面积． 【分析】此题主要考查了平移变换的性质以及三角形面积求法，平行线的定义，熟练掌握平移的规律是解题的关键． （1）由，，可知点的平移规律为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，由此即可作图，得，，的坐标； （2）根据平移的性质即可作答； （3）利用所在的长方形的面积减去它周围的三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，，，，， 则点的平移规律为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， 由此平移规律可作平移后的三角形，如图所示： 可得：，，； （2）由平移的性质连接各组对应点的线段平行且相等可知：，， 故答案为：，； （3）． 21．如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 【分析】（）由角所对直角边是斜边的一半得，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，则，最后等边三角形的判定即可求证； （）由是等边三角形，则，从而得出，，由角所对直角边是斜边的一半得，然后根据等腰三角形的判定得，则，再由是等腰直角三角形，且，则，求出即可； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 22．已知关于x，y的二元一次方程组，其中为非负数，为正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、化简绝对值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组得出的值，再结合方程组的解是为非负数，为正数，得出不等式组，解不等式组即可得出答案； （2）由（1）可得，结合绝对值的性质化简即可得出答案． 【详解】（1）解： ①②，得，即， 把代入②，得， 由题意得， 解得． （2）解：， ，． ． 23．如图，在中，，点E在上，，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，得为等腰直角三角形，得出，再由三角形外角的定义及性质得出，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵为等腰直角三角形， ∴， ∴ 23．如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设，则______，______；（用含的式子表示） (2)时，求的长； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【分析】（1）根据题意得，然后得到，； （2）在中利用角直角三角形的性质列方程求解即可； （3）过点P作的平行线交AB于点M，首先证明出是等边三角形，然后得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∴，； 故答案为：，； （2）解：在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，， 理由如下： 如图：过点P作的平行线交AB于点M，    ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 24．（如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解； （2）由平移的性质可得点C（0，2），点D（4，2），OA＝1，OB＝2，OC＝2，CD＝4，由面积关系可求解； （3）分点N在线段OB上，点N在BO的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，解得， ∴点A和点的坐标分别为（-1 ，0）和（3 ，0）； （2）解：存在． 过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，如图所示： 由题意得点C和点D的坐标分别为（0 ，2）和（4 ，2）， ∴CD=4 ，DH=2 ，OB=3 ， 设M点坐标为（0，t），连接MD、OD， ∴OM=t， ∵S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=9， ∴，即，解得t=3， 存在这样的，使得四边形的面积等于9； （3）解：不变． 理由如下： 当点N在线段OB上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=3-2t， 过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H ，连接MD，OD， ∵=S四边形OMDN，S四边形OMDN= S△OND+S△OMD ， ∴= S△OND+S△OMD = = =3-2t+2t =3， 当点N运动到线段BO的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=2t-3，连接OD， ∴为定值，故其值不会变化． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，非负式性质求解，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $