精品解析：吉林长春市长春高新技术产业开发区慧仁学校2025-2026学年下学期九年级数学第五次大练习

东北师范大学慧仁实验学校 2025-2026学年上学期九年级第五次大练习数学学科 日期：4月14日 一、选择题（共8小题) 1. 两千多年前，中国人就开始使用负数．某班期末考试数学的平均成绩是80分，小明得了79分，记作分，小亮的成绩记作分，则小亮的成绩是（ ） A. 75分 B. 80分 C. 84分 D. 85分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，正负数的意义，根据有理数的加法法则计算即可得解，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：（分）， 故小亮的成绩是分， 故选：D． 2. 用一个平面去截下列几何体，截面形状不可能是三角形的是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 正方体 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的截面形状．判断各选项中几何体被一个平面截出的形状，即可求解．掌握常见几何体的截面形状是解题关键． 【详解】解：A．圆锥的截面可能为三角形（如平面通过顶点切割底面），不合题意； B．圆柱的截面只能为圆、椭圆或矩形，无法形成三角形，符合题意； C．三棱锥的截面可能为三角形（如切割一个顶点），不合题意； D．正方体的截面可能为三角形（如切割一个角落），不合题意； 故选：B． 3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数轴的特征，及正负数在数轴上的表示求解并判断，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，， A.∵，故选项错误,符合题意； B.∵，则，故选项正确，不符合题意； C.∵，，∴，，故选项正确，不符合题意； D.∵，，∴，故选项正确，不符合题意； 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，同底数幂的乘法及除法，积的乘方，利用完全平方公式，同底数幂乘法及除法，积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，则A不符合题意； B、，则B符合题意； C、，则C不符合题意； D、，则D不符合题意． 5. 从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若平分，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先结合两直线平行，同位角相等得，结合平分，故，因为则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 故选：B 6. 伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意得到，，米，根据正切的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，在中，，，米， ∴ 故选：C 7. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点．分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交内部于点，连结，连结并延长交于点，添加下列条件，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键．根据全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质进行逐项判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴是等腰三角形， 由题意可知，是的角平分线， ∴垂直平分， ∴，故选项不符题意； B. 由题意可知，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故选项不符题意； C. ∵， ∴， 无法证明，故选项符合题意； D. 由题意可知，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴垂直平分， ∴，故选项不符题意． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，点在上，，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连结点，若的面积为4.5，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数和矩形的性质，连接，根据题意得点在一条直线上，则，那么，，根据线段的比例可得，设点，则，结合三角形面积即可求得答案． 【详解】解：矩形的对称中心是， 连接，则点在一条直线上， 则， ∵的面积为4.5， ∴， ∴ ∵， ， ， 设点，则， ∴， ． 故选：B． 二、填空题（共6小题) 9. 分解因式： _________． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式，分解因式即可． 本题考查了因式分解，正确选择分解方法是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 10. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】#### 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 11. 如图，小莉用灯泡O照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】证明得到，则矩形的面积：矩形的面积为，根据纸片的面积即可求出的面积．此题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积：矩形的面积为， ∵矩形的面积为， ∴矩形的面积为． 故答案为：． 12. 中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？解：设甲原来有元，则所列方程为：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键．设甲有钱x枚，根据甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等可得乙有钱枚，由“乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍”列出方程即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，则乙有钱枚， 由题意得：，即． 故答案为：． 13. 如图，等边在正五边形的内部，连接，则的大小是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，正多边形的内角和问题，由是等边三角形，则，，又正五边形，则，，所以，然后通过三角形内角和定理和等边对等角即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图所示，正方形的边长为6，E是边上一点，且，连接，作的垂直平分线交于点F，交的延长线于点P，连接交于点M，连接．给出下面5个结论：①；②平分；③；④的周长为10；⑤的面积为15．上述结论中，结论正确的序号有________． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可判断①，由，得到，由正方形的性质得到，，进而得到，可判断②，过点作于点，证明，得到，，，证明，得到，设，则，根据勾股定理得到，得到，，即可判断④，证明，得到，，即可判断⑤，连接，在中，根据勾股定理求出，然后根据正切的定义求解，即可判断③． 【详解】解：如图，设与交于点， 由题可知，是的垂直平分线， ∴，故①正确； ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； 如图，过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴的周长，故④错误； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，故⑤正确； 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴，故③正确， 故答案为∶①②③⑤． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正切的定义等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 三、解答題（共10小题） 15. 先化简，后求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握同分母分式减法是关键．利用同分母分式减法计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶． （1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是_______； （2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接计算即可； （2）画出树状图，得出所有可能的情况数和符合要求的情况数，再利用概率公式计算． 【详解】解：（1）∵两个品牌共有5个种类的奶制品，每个品牌都有一种纯牛奶， ∴选购到纯牛奶的概率=， 故答案为：； （2）画树状图如下： 可知共有6种等可能的结果，其中两人选购到同一种类奶制品的情况有2种， ∴两人选购到同一种类奶制品的概率为=． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17. 长春市中考体育现场考试成绩标准规定：男子米耐力跑用时不超过为单项满分．小轩在一次模拟测试时，先以米秒的平均速度跑了部分路程，随后开始加速，以米秒的平均速度跑完剩余路程．问小轩最多跑多少米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分？ 【答案】小轩最多跑米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小轩跑米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分，根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：秒， 设小轩跑米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分，根据题意得， 解得： 答：小轩最多跑米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，、均是格点，外接圆的圆心记为点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． （1）在图①中，标出点； （2）在图②中，过点作的切线，点为格点； （3）在图②中，过点作的另一条切线，点为切点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1）根据的圆周角所对的弦是直径即可解答； （2）根据切线的判定即可作图； （3）根据切线的判定即可作图． 【小问1详解】 解：如图，点O即为所求， 【小问2详解】 如图，即为所求， 或 【小问3详解】 如图，即为所求， 19. 如图，在中，，分别是边的中点，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定，由三角形中位线定理得出，，，，从而得出四边形是平行四边形，结合得出，即可得证． 【详解】证明：点分别是边的中点， ，且， 同理，，且． ∴四边形是平行四边形 又， ， ∴平行四边形是菱形． 20. 在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分． （1）条形统计图中被墨汁污染的人数为________人．“9本”所在扇形的圆心角度数为________； （2）求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数； （3）随后又补查了m名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，则m的最大值为________． 【答案】（1）； （2）平均数为8.7本，中位数为9本 （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、中位数及众数，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想解答． （1）由扇形统计图和条形统计图可知读9本课外读物的人数8且占，可以求出总人数，然后用乘以9本占总人数的百分比即可； （2）根据平均数的算法及中位数的算法即可作答； （3）先确定原来阅读量的众数为9本，再根据阅读量的众数没改变，列不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：（人）， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解： 读10本课外读物的人数为（人）， 由统计图可得平均数为本， 被调查同学阅读量的平均数为8.7本， 该部分学生阅读量从小到大排序后第10个和第11个均为9本， 阅读量的中位数为（本）． 【小问3详解】 解：原来阅读量的众数为9本 ，解得， 为正整数， 的最大值为3． 故答案为∶3． 21. 图①是王老师常用的一教单肩包，其肩带由单层部分、双层部分和调节扣构成.通过调节扣（调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短双层部分的长度，使肩带的长度（单层部分与双层部分长度的和）加长或缩短.小红为研究王老师这款单肩包单层部分的长度（厘米）与双层部分的长度（厘米）之间的关系，进行了次测量，下表是测量得到的数据． （1）根据表中与的对应值，在图②给定的平面直角坐标系中描出相应的点； （2）观察（）中描出各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由； （3）按照王老师的身高和习惯，肩带的长度调为厘米为最佳肩带长，此时单层部分的长度为_____厘米． 【答案】（1） 如图，描点如下： （2）在同一条直线上， （3） 【解析】 【分析】（）根据表格对应值描出各点即可； （）由（）图可判定各点在同一条直线上，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （）由求出的值，进而求出值即可求解； 本题考查了画一次函数图象，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）可知，这些点在同一条直线上， 设这条直线对应的函数表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴这条直线对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意得，， 即， 解得， ∴， ∴此时单层部分的长度为厘米， 故答案为：． 22. 【特例感知】（1）如图①，在中，，，点、分别是边、的中点，连结、，点、、分别为、、的中点，连结、、，线段与的数量关系是_________，线段与的位置关系是__________． 【探究问题】（2）如图②，将图①中的绕点逆时针方向旋转到图②的位置，连结、，其它条件不变，判断中与的关系，并说明理由． 【解决问题】小明思考后，得出如下结论：，．并给出如下不完整的证明过程： 延长图②中的交于点． 由旋转，得． 在图①中，点、分别是边、的中点， ∴是的中位线． ∴． ∴． 在中，，． ∴． 同理． ∴． ∴，． ∵， ∴，即． ∴． ∵、是、中点， ∴是是中位线． ∴，且． 证明过程缺失 ∴，． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】（3）如图③，将图①中的绕点逆时针方向旋转到图③的位置，使点在边上，其它条件不变．若，则的周长为_______． 【拓展延伸】（4）将图①中的绕点在平面内自由旋转，连结、，其它条件不变．若，直接写出面积的最大值． 【答案】（1），； （2）延长图②中的交于点． 由旋转，得． 在图①中，点、分别是边、的中点， ∴是的中位线． ∴． ∴． 在中，，． ∴． 同理． ∴． ∴，． ∵， ∴，即． ∴． ∵、是、中点， ∴是是中位线． ∴，且． ∵点，是，的中点， ∴，． ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，； （3）；（4） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，再利用平行线的性质求解； （2）先判断出，得出，同（1）的方法来求解； （3）同理，根据三角形中位线定理求解即可； （4）先判断出最大时，的面积最大，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴，， ∵点、分别是边、的中点， ∴，，， ∵点，是，的中点， ∴，． ∵点，是，的中点， ∴，． ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； （2）略 （3）∵， ∴，， 由题意得，，， ∵点是的中点，也是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点、、分别为、、的中点， 同理可得，，，， ∴的周长为， 故答案为：； （4）解：由（2）知，，， ∴最大时，面积最大， ∴点在的延长线上， ∴， ∴，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23. 如图，矩形中，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动，过点E、F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G． （1）当四边形是矩形时，线段的长为________； （2）连结交于点O，求证：； （3）当这是等腰三角形时，求的长； （4）直接写出在整个运动过程中的最大值． 【答案】（1）4 （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，全等三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，得到，，进而得到的长即为的长即可； （2）根据矩形的性质，结合，证明即可； （3）分两种情况进行讨论，点在矩形内和矩形外分别进行计算即可； （4）勾股定理求出的长，进而求出的长，圆周角定理得到点在以为直径的圆上，进而得到当为直径时，最大，即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴，， ∵动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动， ∴， 当四边形是矩形时，则：，， ∴， ∴， ∵， ∴两点重合， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当点在矩形内时，如图 ∵， ∴， ∴当为等腰三角形时，， ∴， 过点作，延长交于点，则：，， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点在矩形外时，如下图，作于点，于点， ∵，， ∴四边形都为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴当为等腰三角形时，， ∴，， ∴， ∵动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在直角等腰三角形中，， 故：的长为：或 【小问4详解】 ∵，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上， ∴当为直径时， 最大，为：． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，其横坐标是．当点不在轴上时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接． （1）求该抛物线对应的函数表达式： （2）试说明线段的长度为4； （3）当直线与抛物线（是常数）有两个公共点时，设这两个点分别为、（点在点左侧）． ①当时，求的值； ②当点、在线段上时，连结，过点作的平行线交轴于点．若，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①或；② 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线解析式中，求出待定系数，再写出解析式； （2）先利用对称性利用表示出点与点的坐标，再利用两点距离计算公式求出的长即可得到结论； （3）①先根据直线与抛物线（是常数）有两个公共点，得到关于的一元二次方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系，结合根据，列出关于的方程求解；②当时，此时，当点向上运动时，；当点向下运动时，．连接交于点，解方程可得点的坐标为，点的坐标为；根据P、Q都在线段上，得到，可得；再由抛物线与直线有两个不同的交点，可知点A的纵坐标大于顶点纵坐标，据此可求出，可证明点是的中点，同理可得点为的中点，点为的中点，则，据此建立方程求出此时m的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线（是常数）经过点， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 证明：∵点在抛物线上，其横坐标是， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵作点关于点的对称点，作点关于点的对称点， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， 即线段的长度为4； 【小问3详解】 解：①∵抛物线， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点A和点B的纵坐标相同， ∴轴， ∵直线与抛物线（是常数）有两个公共点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴关于的方程有两个不同的实数根， ∴， ∴， ∴； 设是关于的方程的两个根， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴，解得：或； ②当时，此时， 当点向上运动时，； 当点向下运动时，． 连接交于点， 解方程得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵要保证P、Q都在线段上， ∴， 解得， 又∵点M不在坐标轴上， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， ∵抛物线与直线有两个不同的交点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点是的中点，轴， ∴， ∴， ∴点是的中点， 同理可得点为的中点，点为的中点， ∴， ∴，解得或（舍去） ∴当时，有； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，求关于某点对称的点的坐标，二次函数与一元二次方程的综合应用等知识，解题的关键是能利用系数法求二次函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学慧仁实验学校 2025-2026学年上学期九年级第五次大练习数学学科 日期：4月14日 一、选择题（共8小题) 1. 两千多年前，中国人就开始使用负数．某班期末考试数学的平均成绩是80分，小明得了79分，记作分，小亮的成绩记作分，则小亮的成绩是（ ） A. 75分 B. 80分 C. 84分 D. 85分 2. 用一个平面去截下列几何体，截面形状不可能是三角形的是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 正方体 3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 从电动伸缩门可以抽象出如图所示几何图形，若平分，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点．分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交内部于点，连结，连结并延长交于点，添加下列条件，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，点在上，，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连结点，若的面积为4.5，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（共6小题) 9. 分解因式： _________． 10. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 11. 如图，小莉用灯泡O照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为 ____． 12. 中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？解：设甲原来有元，则所列方程为：________． 13. 如图，等边在正五边形的内部，连接，则的大小是______度． 14. 如图所示，正方形的边长为6，E是边上一点，且，连接，作的垂直平分线交于点F，交的延长线于点P，连接交于点M，连接．给出下面5个结论：①；②平分；③；④的周长为10；⑤的面积为15．上述结论中，结论正确的序号有________． 三、解答題（共10小题） 15. 先化简，后求值：，其中 16. 甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶． （1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是_______； （2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率． 17. 长春市中考体育现场考试成绩标准规定：男子米耐力跑用时不超过为单项满分．小轩在一次模拟测试时，先以米秒的平均速度跑了部分路程，随后开始加速，以米秒的平均速度跑完剩余路程．问小轩最多跑多少米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分？ 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，、均是格点，外接圆的圆心记为点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． （1）在图①中，标出点； （2）在图②中，过点作的切线，点为格点； （3）在图②中，过点作的另一条切线，点为切点． 19. 如图，在中，，分别是边的中点，求证：四边形是菱形． 20. 在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分． （1）条形统计图中被墨汁污染的人数为________人．“9本”所在扇形的圆心角度数为________； （2）求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数； （3）随后又补查了m名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，则m的最大值为________． 21. 图①是王老师常用的一教单肩包，其肩带由单层部分、双层部分和调节扣构成.通过调节扣（调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短双层部分的长度，使肩带的长度（单层部分与双层部分长度的和）加长或缩短.小红为研究王老师这款单肩包单层部分的长度（厘米）与双层部分的长度（厘米）之间的关系，进行了次测量，下表是测量得到的数据． （1）根据表中与的对应值，在图②给定的平面直角坐标系中描出相应的点； （2）观察（）中描出各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由； （3）按照王老师的身高和习惯，肩带的长度调为厘米为最佳肩带长，此时单层部分的长度为_____厘米． 22. 【特例感知】（1）如图①，在中，，，点、分别是边、的中点，连结、，点、、分别为、、的中点，连结、、，线段与的数量关系是_________，线段与的位置关系是__________． 【探究问题】（2）如图②，将图①中的绕点逆时针方向旋转到图②的位置，连结、，其它条件不变，判断中与的关系，并说明理由． 【解决问题】小明思考后，得出如下结论：，．并给出如下不完整的证明过程： 延长图②中的交于点． 由旋转，得． 在图①中，点、分别是边、的中点， ∴是的中位线． ∴． ∴． 在中，，． ∴． 同理． ∴． ∴，． ∵， ∴，即． ∴． ∵、是、中点， ∴是是中位线． ∴，且． 证明过程缺失 ∴，． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】（3）如图③，将图①中的绕点逆时针方向旋转到图③的位置，使点在边上，其它条件不变．若，则的周长为_______． 【拓展延伸】（4）将图①中的绕点在平面内自由旋转，连结、，其它条件不变．若，直接写出面积的最大值． 23. 如图，矩形中，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动，过点E、F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G． （1）当四边形是矩形时，线段的长为________； （2）连结交于点O，求证：； （3）当这是等腰三角形时，求的长； （4）直接写出在整个运动过程中的最大值． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，其横坐标是．当点不在轴上时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接． （1）求该抛物线对应的函数表达式： （2）试说明线段的长度为4； （3）当直线与抛物线（是常数）有两个公共点时，设这两个点分别为、（点在点左侧）． ①当时，求的值； ②当点、在线段上时，连结，过点作的平行线交轴于点．若，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $