精品解析：江苏无锡市洛社高级中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试卷

2025—2026学年春学期期中考试 高二数学试卷 命题人：袁海峰 复核人：韩健 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在上的平均变化率为（ ） A. 1 B. 1.1 C. 2 D. 2.1 【答案】D 【解析】 【详解】函数在上的平均变化率为. 2. 计算的值是（ ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可. 【详解】. 故选：B. 3. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得切线斜率，即可得倾斜角. 【详解】因为，则， 当，则，即切线斜率， 设切线的倾斜角为，则，可得， 所以曲线在点处的切线的倾斜角为. 4. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即得. 【详解】由函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图像自左至右是先减后增，可知函数y＝f (x)图像的切线的斜率自左至右先减小后增大，且，在处的切线的斜率为0，故BCD错误，A正确. 故选：A. 5. 有编号分别为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得一张，且4张电影票全部分完，则不同分配方法的种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】利用不平均分组分配问题的解法即可得解. 【详解】依题意，4张电影票分成三组，有种分法， 再分配给甲、乙、丙3个人，有种分法， 所以不同分配方法的种数为. 故选：B. 6. 若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式中二项式系数的性质求解． 【详解】由题意，二项式的展开式的系数与二项式系数相同，即，解得， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项． 故选：B. 7. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果. 【详解】因为，由对立事件概率计算公式可得：， 则， 故选：D. 8. 已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为在上有解，然后分离参数即可求解. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以在上有解，且， 所以，， 令，则， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 且，所以当时，由最大值， 即. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列函数的导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数公式表计算可得A正确，由于为常数，所以其导数为0，即B错误，根据乘法运算法则求导可知C错误，再由复合函数求导计算可得D正确. 【详解】易知，可得A正确； 又，即B错误； 易知，C错误； 显然，D正确． 故选：AD 10. 一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球､两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件为“第次取到的球是红球”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用互斥事件的定义即可判断；对于B，利用古典概型的概率公式即可判断；对于C，利用条件概率的计算公式即可判断；对于D，利用独立事件的概率公式即可判断. 【详解】对于A，与可以同时发生，即两次取到的都是红球，则与不互斥，故A错误； 对于B，箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，则，故B正确； 对于C，，， 则，故C正确； 对于D，，，， 则有与相互独立，故D正确. 故选：BCD. 11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（ ） A. 第10行所有数字的和为1024 B. C. 第9行所有数字的平方和等于 D. 若第行第个数记为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合二项式系数和计算判断A；根据组合数的性质计算判断B；结合的展开式的系数的关系判断C；根据第行的第个数为，结合逆用二项式定理化简求解判断D. 【详解】对于A，在杨辉三角中，第10行的所有的数字之和为，正确； 对于B：由公式得： ，错误； 对于C，在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字， 即， 因为 对应相乘可得的系数为， 而二项式展开式的通项公式，， 当时，，则的系数为， 所以， 所以第9行所有数字的平方和等于，正确； 对于D，第行的第个数为， 所以 即，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由，所以. 令得：. 所以， 所以. 13. 在的展开式中，含的项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据乘法公式展开即可求出各项，进而确定系数和. 【详解】的结果中含的项， 一定是三个括号用x另一个括号用具体数字进行相乘， 因此含的项为. 因此含的项的系数为-1+(-2)+(-3)+(-4)=-10. 故答案为：-10. 14. 函数是定义在R上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据导函数判断其单调性，进而结合奇偶性得出的正负性即可求解不等式. 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 因为，所以， 故当时，，； 当时，，； 因为函数是定义在R上的奇函数， 故当、时；当、时；， 等价于或，得或， 故不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且当时，有极值－5． （1）求的值； （2）求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再根据极值点列方程求解即可； （2）求出导函数，根据导函数正负得出单调性写出极值和最值即可得出值域. 【小问1详解】 由，得， 又当时，有极值－5，所以，解得 所以，当时，单调递减；当时，单调递增． 所以当时，有极小值． 所以． 【小问2详解】 由（1）知． 令，得， 的值随的变化情况如下表： －4 －1 3 4 + 0 － 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值－5 单调递增 由表可知在上的最大值为，最小值为， 即在上的值域为． 16. 从名男生和名女生中选出人去参加一项创新大赛． （1）如果人中男生女生各选人，那么有多少种选法？（用数字作答） （2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？（用数字作答） （3）如果人中必须既有男生又有女生，且男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？（用数字作答） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目要求直接选取即可； （2）先算出总选法数，减去甲乙都不在的选法数即可； （3）先算出既有男生又有女生的选法数，然后减去既有男生又有女生但甲乙都不在的选法数即可； 【小问1详解】 对于男生，从个男生中选人，选法数为种，对于女生，从个女生中选人，选法数为种， 根据乘法原理，总选法数为种， 因此，如果男生女生各选人，共种选法. 【小问2详解】 根据题意，从人中选取人，总选法数为种， 若男生中的甲和女生中的乙都不在，则从剩下的人中选取人，选法数为种， 因此，男生中的甲和女生中的乙至少有人在内的选法数为种 【小问3详解】 由（2）得，从人中选取人，总选法数为种， 从人中选取人，全部为男生的选法数为种，全部为女生的选法数为种， 因此，从人中选取人，既有男生又有女生的选法数为种， 若男生中的甲和女生中的乙都不在，则从剩下的人中选取人，选法数为种， 此时还剩下了个男生和个女生，在这种条件下 选取的人全部为男生的选法数为种，选取的人全部为女生的选法数为种， 因此，从人中选取人，男生中的甲和女生中的乙都不在且既有男生又有女生的选法数为种， 综上所述，从人中选取人，男生中的甲和女生中的乙至少有人在内且既有男生又有女生的选法数为种， 17. 在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于. （1）求的值； （2）若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据展开式中前三项的二项式系数和为，可得出关于的方程，结合可求得的值； （2）求出的通项为根据展开式中的常数项为解得，再列不等式组求解即可. 【小问1详解】 解：由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为， 整理可得，因为，解得. 【小问2详解】 解：的展开式通项为， 令，可得， 所以，展开式中的常数项为，解得， 由不等式组，解得. 因为，所以，， 因此，展开式中系数最大的项为. 18. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调区间和极值； （2）令，，根据可知为函数的极小值点，根据极值点性质可得，并代入检验即可. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得；令，解得； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 令，，则， 原题意等价于在上恒成立， 因为，可知为函数的极小值点， 则，解得， 若，则，，， 令，解得；令，解得； 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 则，符合题意， 综上所述：，所以实数a的取值范围为. 19. 已知函数． （1）当，求在处的切线方程； （2）当，判断在区间是否存在极小值点，并说明理由； （3）已知，设函数．若在区间上存在零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）存在极小值点，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）当时，则，求导后得，令，再利用导数从而可求解. （3）由题可得，令，即转化为有解，构造函数，由导数可得有唯一零点，从而将问题转化为在有解，再构造函数，利用导数求出函数的值域，从而可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， ， ，， 所以在处的切线方程：， 即 【小问2详解】 当时，则， 所以，设，则， 由单调递增，且， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 又， 所以存在极小值点. 【小问3详解】 令，则， 又， 所以.  令， 故有解， 设， 则，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以有唯一的零点， 若在区间上存在零点， 即在上有解，  整理可得， 令，则，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，所以，解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年春学期期中考试 高二数学试卷 命题人：袁海峰 复核人：韩健 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在上的平均变化率为（ ） A. 1 B. 1.1 C. 2 D. 2.1 2. 计算的值是（ ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 3. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是 （ ） A. B. C. D. 5. 有编号分别为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得一张，且4张电影票全部分完，则不同分配方法的种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 72 6. 若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 7. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列函数的导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球､两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件为“第次取到的球是红球”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（ ） A. 第10行所有数字的和为1024 B. C. 第9行所有数字的平方和等于 D. 若第行第个数记为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，则________． 13. 在的展开式中，含的项的系数是______． 14. 函数是定义在R上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且当时，有极值－5． （1）求的值； （2）求在上的值域． 16. 从名男生和名女生中选出人去参加一项创新大赛． （1）如果人中男生女生各选人，那么有多少种选法？（用数字作答） （2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？（用数字作答） （3）如果人中必须既有男生又有女生，且男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？（用数字作答） 17. 在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于. （1）求的值； （2）若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项. 18. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 19. 已知函数． （1）当，求在处的切线方程； （2）当，判断在区间是否存在极小值点，并说明理由； （3）已知，设函数．若在区间上存在零点，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $