专题07 中点模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版八年级下册

专题07 中点模型 中点相关模型是初中几何体系中承上启下的核心内容，在三角形、四边形、折叠与旋转综合题中应用极为广泛，也是学生必须熟练掌握的一块内容。本专题就中点相关核心模型进行系统梳理及对应试题分析，方便同学们精准掌握、灵活运用。 在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展。所以在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 3 模型1.倍长中线模型 3 1.模型特征 3 2.辅助线作法 3 3.核心结论 3 4.典型应用 3 模型二：三角形中位线模型（高频必考） 3 1.模型特征 3 2.核心结论（中位线定理） 4 3.定理证明 4 4.典型应用 4 模型三：直角三角形斜边中线模型 6 1.模型特征 6 2.核心结论 6 3.拓展结论 6 4.典型应用 6 模型四：等腰三角形三线合一模型（中点+等腰） 7 1.模型特征 7 2.核心结论 7 3.逆用 7 模型五：中点四边形模型（四边形各边中点） 8 1.模型特征 8 2.核心结论 8 【易错点总结】 9 【模型小结】 9 9 模型1.倍长中线模型 1.模型特征 在△ABC中，AD为BC边上的中线（BD=DC），出现“三角形+中线”条件，直接用中线无思路时，构造倍长中线。 2.辅助线作法 延长中线AD至点E，使DE=AD，连接BE（或CE）。 3.核心结论 ①△ADC≌△EDB（SAS）； ②AC=BE，AC∥BE； ③实现边角转移，将分散的线段AC、AB、2AD集中到同一个三角形中。 4.典型应用 已知三角形两边及中线长，求中线取值范围；证明线段和差、倍分关系。 模型二：三角形中位线模型（高频必考） 1.模型特征 在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，线段DE为中位线。 2.核心结论（中位线定理） ①DE∥BC；②DE=BC；③中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 3.定理证明 延长DE至F，使EF=DE，连接CF， 证△ADE≌△CFE→AD=CF，AD∥CF→BD=CF，BD∥CF→四边形BCFD为平行四边形→DE∥BC，DE=BC 4.典型应用 求线段长度、证明平行关系、多中点连续构造中位线。 例1（2026•新城区校级四模）如图，在△中，，分别是，的中点，，是上一点，连接，，．若，则的长度为（　　） A．12 B．13 C．14 D．16 例2（2025秋•阳城县期末）如图，已知四边形中，、分别为、上的点，、分别为、的中点．当点在上从点向点移动，同时点在上从点向点移动，点和点同时到达终点，那么下列结论成立的是（　　） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点的位置有关 例3（2026•江南区校级模拟）如图，是△的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为（　　） A．20 B．17 C．16 D．14 例4（2025春•桐城市校级月考）如图，是正方形的对角线，已知点，，，分别是，，，的中点，连接，若，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 例5（2026•蒙城县一模）如图，△中，，，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接，若，则 模型三：直角三角形斜边中线模型 1.模型特征 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点。 2.核心结论 ①CD=AB；②斜边中线等于斜边的一半； ③推论：若三角形一边中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形。 3.拓展结论 AD=BD=CD，△ACD、△BCD均为等腰三角形。 4.典型应用 直角三角形中求斜边长、求中线长；判定直角三角形；结合等腰三角形角度计算。 例1（2025秋•永年区期末）如图，在△中，，是边上一点，是的中点．若的垂直平分线经过点，，则为 ． 例2（2025秋•姜堰区期末）如图，中，是高，、分别是、的中点．若，，则四边形的周长为　 　． 例3（2026春•青羊区校级月考）如图，已知，点、分别为、的中点，连接、，，．则的长为 ． 模型四：等腰三角形三线合一模型（中点+等腰） 1.模型特征 在等腰△ABC中，AB=AC，D为底边BC的中点。 2.核心结论 AD既是底边中线，也是顶角平分线、底边上的高，即： ①BD=DC；②AD⊥BC；③∠BAD=∠CAD。 3.逆用 若三角形一边上的高、中线、角平分线任意两条重合，则该三角形为等腰三角形。 模型五：中点四边形模型（四边形各边中点） 1.模型特征 依次连接四边形ABCD各边中点E、F、G、H，得到四边形EFGH（中点四边形）。 2.核心结论 ①任意四边形的中点四边形一定是平行四边形； ②对角线相等的四边形→中点四边形为菱形； ③对角线垂直的四边形→中点四边形为矩形； ④对角线相等且垂直→中点四边形为正方形。 例1（2025秋•南郑区期末）任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个 （填“菱形”或“矩形”或“正方形” ． 例2（2024春•同步）顺次连接一个特殊四边形四边的中点，得到一个菱形．那么这个特殊四边形是 ． 例3（2025春•庄浪县期中）如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形．下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形． 其中正确的结论是 （只填代号） 例4（2025春•徐州校级月考）如图，点、、、分别是、、、的中点． （1）判断四边形的形状，并证明你的结论． （2）当、满足 条件时，四边形是正方形．（选出合适的序号） ①；②；③ 1.混淆中位线与中线，误用“一半”关系； 2.斜边中线模型只适用于直角三角形，普通三角形不可用； 3.倍长中线后不会证全等、不会进行线段转移； 4.中点四边形只与原四边形对角线有关，与原四边形形状无直接关系； 5.三线合一仅适用于等腰三角形，普通三角形中线不垂直底边。 1.见中点，想模型： 普通三角形中线→倍长中线；多中点→中位线；直角三角形斜边中点→斜边中线； 等腰三角形底边中点→三线合一；四边形各边中点→中点四边形。 2.核心工具：中位线定理、斜边中线定理、倍长中线构造全等。 3.解题关键：挖掘隐藏中点，构造辅助线，实现边角转化。 4.学习核心：理解模型推导过程＞死记结论，灵活转化＞机械套用。 1．（2026•临县模拟）如图，在△中，，，垂足为，是的中点，连接并延长至点，使得，连接，．若，则四边形的面积是（　　） A．24 B．30 C．48 D．60 2．（2026•鹿邑县校级一模）如图，在△中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2026•建邺区一模）如图，为△的中位线，点在上，且．若，，则的长为（　　） A． B． C．4 D．2 4．（2026•献县校级模拟）如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，，，两边中点的距离，则，两点间的距离是（　　） A． B． C． D． 5．（2026春•鼓楼区校级月考）如图，在△中，，分别是边，的中点，是延长线上一点，且，若，，则（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•丹东月考）下列说法不正确的是（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 7．（2025•石家庄二模）八年级下学期数学课本有这样一道题“如图，的对角线，相交于点，且，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形．”以下是嘉嘉和淇淇两人不同的做法，下列判断正确的是（　　） 嘉嘉 证明：四边形是平行四边形， ，． ，，、分别是，，，的中点， ，，，． ，． 四边形是平行四边形． 淇淇 证明：四边形是平行四边形， ，． ，，，分别是，，，的中点， ，，，． ，． 四边形是平行四边形． A．都正确 B．都不正确 C．只有嘉嘉的正确 D．只有淇淇的正确 8．（2026•玄武区一模）如图，在△中，，，分别为，的中点，若，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（2026•南海区校级一模）△的周长是，一条中位线，另一条中位线，则第三条中位线的长是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（2026•任丘市一模）如图，中，，，对角线、相交于点，点、、、分别是、、、的中点，则下列说法正确的是（　　） A． B．若，其他条件不变，则四边形为菱形 C．四边形是菱形 D． 11．（2026春•锡山区校级月考）在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，对角线，则四边形是什么图形（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 12．（2026•泸州模拟）菱形的面积为10，点，，，分别为，，，的中点，则四边形的面积为（　　） A． B．4 C．5 D．6 13．（2026•碑林区校级四模）如图，在△中，的平分线交于点，，垂足为点，过点作交于点，，则的长为（　　） A． B．1 C． D．2 14．（2026•雁塔区校级二模）如图，在△中，，于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（2026•宁国市一模）如图，，，，，，连接，，分别取，的中点，，连接，则线段的长为（　　） A．2 B．2.5 C． D． 16．（2026春•顺河区校级月考）如图，四边形中，，，，点，，分别是，，的中点，连接，则的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 17．（2026•包头一模）点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，，则线段的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 18．（2026春•滨江区月考）如图，在△中，，为边上的中线，且，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 19．（2025秋•坊子区期末）分别连接等边三角形、平行四边形、矩形、正方形各边中点得到下列图形，其中对称轴条数最多的是（　　） A． B． C． D． 20．（2025春•阿城区期末）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第个矩形的面积为（　　） A． B． C． D． 21．（2026•让胡路区校级模拟）如图，点在轴上运动，点在轴正半轴上运动，且保持，为的中点，点在轴的正半轴上运动，为的中点，，在线段上，且满足，，当△的面积等于时，长为（　　） A．9 B． C．10 D． 22．（2025秋•漳浦县期末）如图，正方形的面积为8，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为 ． 23．（2024春•同步）正方形的周长为，顺次连接正方形各边的中点，得到四边形，则四边形的面积等于 ． 24．（2025秋•金牛区校级月考）如图，在△中，，通过尺规作图得到的直线分别交，于，，连接．若，则 ． 25．（2025秋•南山区校级期末）如图，在△中，，，，点为斜边的中点，连接，过点作交直角边于点，则线段的长为 ． 26．（2025秋•昆山市校级月考）如图，已知在△中，于，于，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）若，，求△的面积． 27．（2025春•花溪区校级月考）如图，△中，是的中点，且，已知，，求的长． 28．（2025春•云岩区校级月考）如图，在△中，是边上的高，是边上的中线，，，为垂足．求证：是中点． 29．（2025秋•拱墅区期末）在△中，，为上的中线，，连结． （1）求证：△是等腰三角形． （2）若，，求的长度． 30．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在四边形中，，，，连接、，，，取和的中点、，连接，求的长度． 31．（2025秋•上海校级月考）如图，△中，是边上的高，是边上的中线，与交于点．，垂足为．已知：． （1）求证：； （2）如果，，求证：． 32．（2026•建邺区一模）已知，如图，，，分别是，的中点．求证： ①； ②． 33．（2025秋•丹阳市期末）如图，，，分别是，的中点． （1）证明：； （2）若，，求的长． 34．（2025春•青龙县期末）课本再现 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，琪琪同学画出了图形（图，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：，分别是△的边，的中点． 求证：，且． 知识应用 （2）如图2，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形． 35．（2024秋•让胡路区期末）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． （1）这个中点四边形的形状是 ； （2）如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，、、、分别为、、、的中点，试判断四边形的形状并证明． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07中点模型 中点相关模型是初中几何体系中承上启下的核心内容，在三角形、四边形、折叠与旋转综合题中应用 极为广泛，也是学生必须熟练掌握的一块内容。本专题就中点相关核心模型进行系统梳理及对应试题分析， 方便同学们精准掌握、灵活运用。 在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。 要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能 做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思 路的适当延伸、拓展。所以在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别 几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题 目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中 突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型， 做到活学活用！ 目录导航 例题讲模型 .4 模型1.倍长中线模型 L.模型特征 2.辅助线作法… 4 3.核心结论 4 4典型应月… 模型二：三角形中位线模型（高频必考） 1模型特征 2.核心结论（中位线定理） 5 3.定理证明… 5 4.典型应用 .5 模型三：直角三角形斜边中线模型…9 1.模型特征… 9 2.核心结论… 9 1/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07中点模型 中点相关模型是初中几何体系中承上启下的核心内容，在三角形、四边形、折叠与旋转综合题中应用 极为广泛，也是学生必须熟练掌握的一块内容。本专题就中点相关核心模型进行系统梳理及对应试题分析， 方便同学们精准掌握、灵活运用。 在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。 要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能 做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思 路的适当延伸、拓展。所以在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别 几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题 目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中 突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型， 做到活学活用！ 目录导航 例题讲模型 .4 模型1.倍长中线模型 L.模型特征 2.辅助线作法… 4 3.核心结论 4 4典型应月… 模型二：三角形中位线模型（高频必考） 1模型特征 2.核心结论（中位线定理） 5 3.定理证明… 5 4.典型应用 .5 模型三：直角三角形斜边中线模型…9 1.模型特征… 9 2.核心结论… 9 1/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.拓展结论 10 4.典型应用 10 模型四：等腰三角形三线合一模型（中点+等腰） 12 L.模型特征… 12 2.核心结论 12 3.逆用… .12 模型五：中点四边形模型（四边形各边中点） .12 1.模型特征 412 2.核心结论… 13 【易错点总结】 .16 【模型小结】 17 习题练模型 …17 2/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.拓展结论 10 4.典型应用 10 模型四：等腰三角形三线合一模型（中点+等腰） 12 L.模型特征… 12 2.核心结论 12 3.逆用… .12 模型五：中点四边形模型（四边形各边中点） .12 1.模型特征 412 2.核心结论… 13 【易错点总结】 .16 【模型小结】 17 习题练模型 …17 2/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例题讲模型 模型1.倍长中线模型 模型解读 1.模型特征 在△ABC中，AD为BC边上的中线(BD=DC),出现“三角形+中线”条件，直接用中线无思路时，构造 倍长中线。 D 2.辅助线作法 延长中线AD至点E,使DE=AD,连接BE(或CE)。 3.核心结论 ①△ADC≌△EDB(SAS): ②AC=BE,AC∥BE: ③实现边角转移，将分散的线段AC、AB、2AD集中到同一个三角形中。 4.典型应用 已知三角形两边及中线长，求中线取值范围；证明线段和差、倍分关系。 模型二：三角形中位线模型（高频必考） 模型解读 1.模型特征 在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，线段DE为中位线。 3/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例题讲模型 模型1.倍长中线模型 模型解读 1.模型特征 在△ABC中，AD为BC边上的中线(BD=DC),出现“三角形+中线”条件，直接用中线无思路时，构造 倍长中线。 D 2.辅助线作法 延长中线AD至点E,使DE=AD,连接BE(或CE)。 3.核心结论 ①△ADC≌△EDB(SAS): ②AC=BE,AC∥BE: ③实现边角转移，将分散的线段AC、AB、2AD集中到同一个三角形中。 4.典型应用 已知三角形两边及中线长，求中线取值范围；证明线段和差、倍分关系。 模型二：三角形中位线模型（高频必考） 模型解读 1.模型特征 在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，线段DE为中位线。 3/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 2.核心结论（中位线定理） ①DE∥BC;②DE=BC;③中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 3.定理证明 延长DE至F,使EF=DE,连接CF, 证△ADE≌△CFE一AD=CP,AD∥CF一BD=CF,BD∥CF一四边形BCFD为平行四边形一DE∥BC,DE=专BC D 4.典型应用 求线段长度、证明平行关系、多中点连续构造中位线。 模型运用 例1(2026新城区校级四模)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，AC=12,F是DE上 一点，连接AF,CF,DF=1.若∠AFC=90°，则BC的长度为() D ⊙ A.12 B.13 C.14 D.16 【答案】C 【分析】如图，首先证明EF=6,继而得到DE=7;证明DE为△ABC的中位线，即可解决问题， 【解答】解：如图，：∠AFC=90°，AE=CE, EF=24C=6,DE=1+6=7: :D,E分别是AB,AC的中点， 4/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 2.核心结论（中位线定理） ①DE∥BC;②DE=BC;③中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 3.定理证明 延长DE至F,使EF=DE,连接CF, 证△ADE≌△CFE一AD=CP,AD∥CF一BD=CF,BD∥CF一四边形BCFD为平行四边形一DE∥BC,DE=专BC D 4.典型应用 求线段长度、证明平行关系、多中点连续构造中位线。 模型运用 例1(2026新城区校级四模)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，AC=12,F是DE上 一点，连接AF,CF,DF=1.若∠AFC=90°，则BC的长度为() D ⊙ A.12 B.13 C.14 D.16 【答案】C 【分析】如图，首先证明EF=6,继而得到DE=7;证明DE为△ABC的中位线，即可解决问题， 【解答】解：如图，：∠AFC=90°，AE=CE, EF=24C=6,DE=1+6=7: :D,E分别是AB,AC的中点， 4/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DE为△ABC的中位线， BC=2DE=14, 故选：C· D B C 例2(2025秋阳城县期末)如图，己知四边形ABCD中，R、P分别为BC、CD上的点，E、F分别为 AP、RP的中点.当点P在CD上从点C向点D移动，同时点R在BC上从点B向点C移动，点P和点R同 时到达终点，那么下列结论成立的是() A B R A.线段EF的长先变大再变小 B.线段EF的长先变小再变大 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关 【答案】B 【分析】连接AR,根据三角形的中位线定理可得EF=】AR,根据AR的变化情况即可判断。 【解答】解：连接AR, :E,F分别是AP,RP的中点， ,当点P在CD上从点C向点D移动，同时点R在BC上从点B向点C移动，AR的长度先变小再变大， 5/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DE为△ABC的中位线， BC=2DE=14, 故选：C· D B C 例2(2025秋阳城县期末)如图，己知四边形ABCD中，R、P分别为BC、CD上的点，E、F分别为 AP、RP的中点.当点P在CD上从点C向点D移动，同时点R在BC上从点B向点C移动，点P和点R同 时到达终点，那么下列结论成立的是() A B R A.线段EF的长先变大再变小 B.线段EF的长先变小再变大 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关 【答案】B 【分析】连接AR,根据三角形的中位线定理可得EF=】AR,根据AR的变化情况即可判断。 【解答】解：连接AR, :E,F分别是AP,RP的中点， ,当点P在CD上从点C向点D移动，同时点R在BC上从点B向点C移动，AR的长度先变小再变大， 5/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线段EF的长先变小再变大 故选：B。 例3(2026·江南区校级模拟)如图，DE是△ABC的中位线，LACB的角平分线CF交DE于点F,若 EC=5,DF=3,则BC的长为() A D B C A.20 B.17 C.16 D.14 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理得到DE18C,DE=8C,根据平行线的性质、角平分线的定义得到 LEFC=LECF,根据等腰三角形的判定得到EF=EC=5,计算即可. 【解答】解：：DE是△ABC的中位线， DEIIBC DE-3BC,EC-5, 2 :ZEFC ZBCF :CF是LACB的角平分线， :ZECF ZBCF, :ZEFC ZECF, :EF =EC=5, :DE=DF+EF=3+5=8, BC=2DE=16, 故选：C。 例4(2025春·桐城市校级月考)如图，AC是正方形ABCD的对角线，己知点O,E,F,G分别是AC ,CD,BE,AF的中点，连接OG,若BC=8,则OG的长为() 6/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线段EF的长先变小再变大 故选：B。 例3(2026·江南区校级模拟)如图，DE是△ABC的中位线，LACB的角平分线CF交DE于点F,若 EC=5,DF=3,则BC的长为() A D B C A.20 B.17 C.16 D.14 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理得到DE18C,DE=8C,根据平行线的性质、角平分线的定义得到 LEFC=LECF,根据等腰三角形的判定得到EF=EC=5,计算即可. 【解答】解：：DE是△ABC的中位线， DEIIBC DE-3BC,EC-5, 2 :ZEFC ZBCF :CF是LACB的角平分线， :ZECF ZBCF, :ZEFC ZECF, :EF =EC=5, :DE=DF+EF=3+5=8, BC=2DE=16, 故选：C。 例4(2025春·桐城市校级月考)如图，AC是正方形ABCD的对角线，己知点O,E,F,G分别是AC ,CD,BE,AF的中点，连接OG,若BC=8,则OG的长为() 6/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.2 C.√3 D. 3 2 【答案】A 【分析】连接CF,根据勾股定理求出BE,根据直角三角形斜边上的中线的性质求出CF,再根据三角形 中位线定理计算即可. 【解答】解：如图，连接CF, 四边形ABCD为正方形， CD=BC=8,∠BCD=90°， E是CD的中点， CE-CD=4, 由闪股定理得：BE=VBC2+CE2=√⑧2+42=4√5， 在Rt△BCE中，F是BE的中点， 则cF8E=25, :0、G分别为AC、AF的中点， :OG是△ACF的中位线， .0G=1CF=V5, 2 故选：A. D G 0 E B 例5(2026蒙城县一模)如图，R1△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，点D是AB的中点，过点A作 AE⊥AB交DC的延长线于点E,连接BE,若AC=2,则BE= B 【答案】27. 7/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.2 C.√3 D. 3 2 【答案】A 【分析】连接CF,根据勾股定理求出BE,根据直角三角形斜边上的中线的性质求出CF,再根据三角形 中位线定理计算即可. 【解答】解：如图，连接CF, 四边形ABCD为正方形， CD=BC=8,∠BCD=90°， E是CD的中点， CE-CD=4, 由闪股定理得：BE=VBC2+CE2=√⑧2+42=4√5， 在Rt△BCE中，F是BE的中点， 则cF8E=25, :0、G分别为AC、AF的中点， :OG是△ACF的中位线， .0G=1CF=V5, 2 故选：A. D G 0 E B 例5(2026蒙城县一模)如图，R1△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，点D是AB的中点，过点A作 AE⊥AB交DC的延长线于点E,连接BE,若AC=2,则BE= B 【答案】27. 7/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】先根据点D是直角三角形斜边的中点，可得AD=BD=CD,由此可得△ADC为等边三角形，即 可得∠ADC=60°，再由AE⊥AB,可得LAED=30°，再求解AE的长度，结合勾股定理求解即可. 【解答】解：，点D是Rt△ABC斜边的中点， :AD BD CD 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∠DAC=60°， ∴△ADC为等边三角形， :LADC=60°，AD=AC, AC=2, AD=2, :AB=2AD=4, :AE⊥AB,即∠DAE=90°， ∠AED=30°， AE=、AD 2 =23 在R1△AED中， tan30°√3 3 .在Rt△AEB中，BE=√AB2+AE2=42+(2V3)2=27. 故答案为：2万 模型三：直角三角形斜边中线模型 模型解读 1.模型特征 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点。 2.核心结论 ①CD=号AB;②斜边中线等于斜边的一半： 8/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】先根据点D是直角三角形斜边的中点，可得AD=BD=CD,由此可得△ADC为等边三角形，即 可得∠ADC=60°，再由AE⊥AB,可得LAED=30°，再求解AE的长度，结合勾股定理求解即可. 【解答】解：，点D是Rt△ABC斜边的中点， :AD BD CD 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∠DAC=60°， ∴△ADC为等边三角形， :LADC=60°，AD=AC, AC=2, AD=2, :AB=2AD=4, :AE⊥AB,即∠DAE=90°， ∠AED=30°， AE=、AD 2 =23 在R1△AED中， tan30°√3 3 .在Rt△AEB中，BE=√AB2+AE2=42+(2V3)2=27. 故答案为：2万 模型三：直角三角形斜边中线模型 模型解读 1.模型特征 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点。 2.核心结论 ①CD=号AB;②斜边中线等于斜边的一半： 8/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③推论：若三角形一边中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形。 3.拓展结论 AD=BD=CD,△ACD、△BCD均为等腰三角形。 4.典型应用 直角三角形中求斜边长、求中线长；判定直角三角形；结合等腰三角形角度计算。 模型运用 例1(2025秋·永年区期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边BC上一点，P是AD的中点.若 AC的垂直平分线经过点D,DC=8cm,则BP为4cm· B 【答案】4cm. 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得DA=DC=8cm，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答 【解答】解：：AC的垂直平分线经过点D,DC=8cm, :DA DC=8cm :∠ABC=90°，P是AD的中点， :BP=IDA=4cm. 故答案为：4cm, 例2(2025秋·姜堰区期末)如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点.若AB=10, AC=8,则四边形AEDF的周长为18_， E 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等丁斜边的一半可得ED=EB=号4B,DF=FC=方4C,再 由AB=10,AC=8可得答案. 9/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③推论：若三角形一边中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形。 3.拓展结论 AD=BD=CD,△ACD、△BCD均为等腰三角形。 4.典型应用 直角三角形中求斜边长、求中线长；判定直角三角形；结合等腰三角形角度计算。 模型运用 例1(2025秋·永年区期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边BC上一点，P是AD的中点.若 AC的垂直平分线经过点D,DC=8cm,则BP为4cm· B 【答案】4cm. 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得DA=DC=8cm，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答 【解答】解：：AC的垂直平分线经过点D,DC=8cm, :DA DC=8cm :∠ABC=90°，P是AD的中点， :BP=IDA=4cm. 故答案为：4cm, 例2(2025秋·姜堰区期末)如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点.若AB=10, AC=8,则四边形AEDF的周长为18_， E 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等丁斜边的一半可得ED=EB=号4B,DF=FC=方4C,再 由AB=10,AC=8可得答案. 9/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解答】解：：AD是高， ∠ADB=∠ADC=90°， :E、F分别是AB、AC的中点， :.ED=EB=1AB,DF=FC=LAC, 2 2 :AB=10,AC=8, :AE ED=10,AF +DF=8, .四边形AEDF的周长为10+8=18， 故答案为：18 例3(2026春·青羊区校级月考)如图，已知LABC=LADC=90°，点E、F分别为AC、BD的中点，连 接BE、DE,AC=26,BD=24.则EF的长为· E B C 【答案】5. 【分析】由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得BE=DE=)4AC=13,进面由等腰三角形的性 质可符EF18D,BF一D=2，再利用购股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键能， 【解答】解：如图， B C :∠ABC=90°，点E是AC的中点，AC=26, BE=4C=13, 2 同理可得DE=二AC=13, :BE DE, 10/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解答】解：：AD是高， ∠ADB=∠ADC=90°， :E、F分别是AB、AC的中点， :.ED=EB=1AB,DF=FC=LAC, 2 2 :AB=10,AC=8, :AE ED=10,AF +DF=8, .四边形AEDF的周长为10+8=18， 故答案为：18 例3(2026春·青羊区校级月考)如图，已知LABC=LADC=90°，点E、F分别为AC、BD的中点，连 接BE、DE,AC=26,BD=24.则EF的长为· E B C 【答案】5. 【分析】由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得BE=DE=)4AC=13,进面由等腰三角形的性 质可符EF18D,BF一D=2，再利用购股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键能， 【解答】解：如图， B C :∠ABC=90°，点E是AC的中点，AC=26, BE=4C=13, 2 同理可得DE=二AC=13, :BE DE, 10/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点F是BD中点， .EF⊥BD, BF=1BD=12, 2 .EF=VBE2-BF2=V132-122=5· 故答案为：5. 模型四：等腰三角形三线合一模型（中点+等腰） 模型解读 1.模型特征 在等腰△ABC中，AB=AC,D为底边BC的中点。 2.核心结论 AD既是底边中线，也是顶角平分线、底边上的高，即： ①BD=DC;②AD⊥BC;③∠BAD=∠CAD。 3.逆用 若三角形一边上的高、中线、角平分线任意两条重合，则该三角形为等腰三角形。 模型五：中点四边形模型（四边形各边中点） 模型解读 1.模型特征 依次连接四边形ABCD各边中点E、F、G、H,得到四边形EFGH(中点四边形)。 E 11/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点F是BD中点， .EF⊥BD, BF=1BD=12, 2 .EF=VBE2-BF2=V132-122=5· 故答案为：5. 模型四：等腰三角形三线合一模型（中点+等腰） 模型解读 1.模型特征 在等腰△ABC中，AB=AC,D为底边BC的中点。 2.核心结论 AD既是底边中线，也是顶角平分线、底边上的高，即： ①BD=DC;②AD⊥BC;③∠BAD=∠CAD。 3.逆用 若三角形一边上的高、中线、角平分线任意两条重合，则该三角形为等腰三角形。 模型五：中点四边形模型（四边形各边中点） 模型解读 1.模型特征 依次连接四边形ABCD各边中点E、F、G、H,得到四边形EFGH(中点四边形)。 E 11/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.核心结论 ①任意四边形的中点四边形一定是平行四边形： ②对角线相等的四边形→中点四边形为菱形： ③对角线垂直的四边形→中点四边形为矩形： ④对角线相等且垂直→中点四边形为正方形。 模型运用 例1(2025秋·南郑区期末)任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个 (填“菱形” 或“矩形”或“正方形”). 【答案】矩形 【分析】连接AC、BD,根据菱形的对角线互相垂直得到AC⊥BD,由三角形的中位线定理得到 EF/IBD,FG/1AC,则EF⊥FG,同理可得FG⊥HG,GH⊥EH,HE⊥EF,据此可得答案. 【解答】解：如图，点E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AD,AB,BC,CD的中点，连接AC、 BD, B D :AC⊥BD,EF是△ABD的中位线，FG是△ABC的中位线， :EF//BD,FG//AC, EF⊥FG, 同理FG⊥HG,GH⊥EH,HE⊥EF, ∴.四边形EFGH是矩形 .任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个矩形， 故答案为：矩形 例2(2024春·同步)顺次连接一个特殊四边形四边的中点，得到一个菱形.那么这个特殊四边形 是 12/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.核心结论 ①任意四边形的中点四边形一定是平行四边形： ②对角线相等的四边形→中点四边形为菱形： ③对角线垂直的四边形→中点四边形为矩形： ④对角线相等且垂直→中点四边形为正方形。 模型运用 例1(2025秋·南郑区期末)任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个 (填“菱形” 或“矩形”或“正方形”). 【答案】矩形 【分析】连接AC、BD,根据菱形的对角线互相垂直得到AC⊥BD,由三角形的中位线定理得到 EF/IBD,FG/1AC,则EF⊥FG,同理可得FG⊥HG,GH⊥EH,HE⊥EF,据此可得答案. 【解答】解：如图，点E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AD,AB,BC,CD的中点，连接AC、 BD, B D :AC⊥BD,EF是△ABD的中位线，FG是△ABC的中位线， :EF//BD,FG//AC, EF⊥FG, 同理FG⊥HG,GH⊥EH,HE⊥EF, ∴.四边形EFGH是矩形 .任意画一个菱形，以四边的中点为顶点可以组成一个矩形， 故答案为：矩形 例2(2024春·同步)顺次连接一个特殊四边形四边的中点，得到一个菱形.那么这个特殊四边形 是 12/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据三角形的中位线定理得到EH1FG,EF=FG,EF=BD, 要是四边形为菱形，得出 EF=EH,即可得到答案 【解答】解：：E,F,G,H分别是边AD,DC,CB,AB的中点， ·EF= AC,EH IIAC,FG=TAC,FG IIAC EF=IBD, 2 2 :EH //FG,EF FG, ∴.四边形EFGH是平行四边形， ·一组邻边相等的四边形是菱形， ∴.若AC=BD,则四边形是菱形. 故答案为：对角线相等的四边形. D 例3(2025春·庄浪县期中)如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边 形.下列四个叙述： ①中点四边形EFGH一定是平行四边形； ②当四边形ABCD是矩形，中点四边形EFGH也是矩形； ③当四边形ABCD是菱形，中点四边形EFGH也是菱形； ④当四边形ABCD是正方形，中点四边形EFGH也是正方形. 其中正确的结论是 (只填代号) H D 【分析】此题应用三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，根据平行四边形的判定，菱形 的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可. 【解答】解：连接AC,BD, :E,F,G,H分别是四边形各边的中点， :EF //AC HG/AC,EH //BD,GF//BD, EF//GH EH /FG, 13/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据三角形的中位线定理得到EH1FG,EF=FG,EF=BD, 要是四边形为菱形，得出 EF=EH,即可得到答案 【解答】解：：E,F,G,H分别是边AD,DC,CB,AB的中点， ·EF= AC,EH IIAC,FG=TAC,FG IIAC EF=IBD, 2 2 :EH //FG,EF FG, ∴.四边形EFGH是平行四边形， ·一组邻边相等的四边形是菱形， ∴.若AC=BD,则四边形是菱形. 故答案为：对角线相等的四边形. D 例3(2025春·庄浪县期中)如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边 形.下列四个叙述： ①中点四边形EFGH一定是平行四边形； ②当四边形ABCD是矩形，中点四边形EFGH也是矩形； ③当四边形ABCD是菱形，中点四边形EFGH也是菱形； ④当四边形ABCD是正方形，中点四边形EFGH也是正方形. 其中正确的结论是 (只填代号) H D 【分析】此题应用三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，根据平行四边形的判定，菱形 的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可. 【解答】解：连接AC,BD, :E,F,G,H分别是四边形各边的中点， :EF //AC HG/AC,EH //BD,GF//BD, EF//GH EH /FG, 13/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形EFGH是平行四边形；（①正确） 四边形ABCD是矩形， :AC=BD, EF=1AC,EH=IBD, 2 :EF =EH, ∴.四边形EFGH是菱形；（②错误） 四边形ABCD是菱形， AC⊥BD, 四边形EFGH可能是筝形，四边形EFGH不一定是菱形；（③错误） 四边形ABCD是正方形， AC=BD,AC⊥BD, ∴.四边形EFGH是正方形.（④正确） ·.正确的是①④ 故答案为：①④ A H E G 例4(2025春·徐州校级月考)如图，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. (1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论. (2)当BD、AC满足 条件时，四边形EFGH是正方形.（选出合适的序号） DBD-AC:RDAC:BD-AC H E F 【答案】(1)四边形EFGH是平行四边形，证明如下： 点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， :EF、HG、FG、EH分别是△ABC、△ADC、△BCD、△BAD的中位线， 14/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形EFGH是平行四边形；（①正确） 四边形ABCD是矩形， :AC=BD, EF=1AC,EH=IBD, 2 :EF =EH, ∴.四边形EFGH是菱形；（②错误） 四边形ABCD是菱形， AC⊥BD, 四边形EFGH可能是筝形，四边形EFGH不一定是菱形；（③错误） 四边形ABCD是正方形， AC=BD,AC⊥BD, ∴.四边形EFGH是正方形.（④正确） ·.正确的是①④ 故答案为：①④ A H E G 例4(2025春·徐州校级月考)如图，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. (1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论. (2)当BD、AC满足 条件时，四边形EFGH是正方形.（选出合适的序号） DBD-AC:RDAC:BD-AC H E F 【答案】(1)四边形EFGH是平行四边形，证明如下： 点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， :EF、HG、FG、EH分别是△ABC、△ADC、△BCD、△BAD的中位线， 14/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EF //AC HG//AC FG//BD,EH //BD :EF //HG,FG//EH ∴.四边形EFGH是平行四边形； (2)①②. 【分析】(1)利用三角形中位线定理证明即可； (2)利用三角形中位线定理结合正方形的判定方法证明即可. 【解答】解：(1)四边形EFGH是平行四边形，证明如下： ·点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， EF、HG、FG、EH分别是△ABC、△ADC、△BCD、△BAD的中位线， :EF //AC,HG//AC,FG//BD,EH /IBD, :EF//HG,FG/EH .四边形EFGH是平行四边形； (2)当BD、AC满足①BD=AC和②BD⊥AC条件时，四边形EFGH是正方形 :EF、FG分别是△ABC、△BCD的中位线， :EF I/AC,FG I/BD,EF=AC,FG=-BD, BD=AC, :EF =FG, ·.平行四边形EFGH是菱形， BD⊥AC, EF⊥FG, ∠EFG=90°， .菱形EFGH是正方形， 故答案为：①②. 易错点总结 1.混淆中位线与中线，误用“一半”关系； 2.斜边中线模型只适用于直角三角形，普通三角形不可用； 3.倍长中线后不会证全等、不会进行线段转移： 4中点四边形只与原四边形对角线有关，与原四边形形状无直接关系： 15/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EF //AC HG//AC FG//BD,EH //BD :EF //HG,FG//EH ∴.四边形EFGH是平行四边形； (2)①②. 【分析】(1)利用三角形中位线定理证明即可； (2)利用三角形中位线定理结合正方形的判定方法证明即可. 【解答】解：(1)四边形EFGH是平行四边形，证明如下： ·点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， EF、HG、FG、EH分别是△ABC、△ADC、△BCD、△BAD的中位线， :EF //AC,HG//AC,FG//BD,EH /IBD, :EF//HG,FG/EH .四边形EFGH是平行四边形； (2)当BD、AC满足①BD=AC和②BD⊥AC条件时，四边形EFGH是正方形 :EF、FG分别是△ABC、△BCD的中位线， :EF I/AC,FG I/BD,EF=AC,FG=-BD, BD=AC, :EF =FG, ·.平行四边形EFGH是菱形， BD⊥AC, EF⊥FG, ∠EFG=90°， .菱形EFGH是正方形， 故答案为：①②. 易错点总结 1.混淆中位线与中线，误用“一半”关系； 2.斜边中线模型只适用于直角三角形，普通三角形不可用； 3.倍长中线后不会证全等、不会进行线段转移： 4中点四边形只与原四边形对角线有关，与原四边形形状无直接关系： 15/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5三线合一仅适用于等腰三角形，普通三角形中线不垂直底边。 模型小结 1.见中点，想模型： 普通三角形中线→倍长中线；多中点→中位线；直角三角形斜边中点→斜边中线； 等腰三角形底边中点→三线合一；四边形各边中点→中点四边形。 2.核心工具：中位线定理、斜边中线定理、倍长中线构造全等。 3.解题关键：挖掘隐藏中点，构造辅助线，实现边角转化。 4.学习核心：理解模型推导过程>死记结论，灵活转化>机械套用。 习题练模型 1.(2026临县模拟)如图，在△ABC中，AB=AC=10,AD⊥BC,垂足为D,F是AC的中点，连接 DF并延长至点E,使得EF=DF,连接AE,CE,若BC=I2,则四边形ADCE的面积是() A.24 B.30 C.48 D.60 【答案】C 【分析】先根据等股=角形的性质得到BD=CD=8C=6,∠4DC=90,再证明EF:DF:F-CF符 到四边形ADCE是矩形，最后根据四边形ADCE的面积是AD·CD=8×6=48求解即可. 【解答】解：：AB=AC,AD⊥BC,BC=12, ∠ADC=90°，BD=CD=。BC=6, 2 :AC=10, AD=VAC2-CD2=V102-62=8, :F是AC的中点， 16/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5三线合一仅适用于等腰三角形，普通三角形中线不垂直底边。 模型小结 1.见中点，想模型： 普通三角形中线→倍长中线；多中点→中位线；直角三角形斜边中点→斜边中线； 等腰三角形底边中点→三线合一；四边形各边中点→中点四边形。 2.核心工具：中位线定理、斜边中线定理、倍长中线构造全等。 3.解题关键：挖掘隐藏中点，构造辅助线，实现边角转化。 4.学习核心：理解模型推导过程>死记结论，灵活转化>机械套用。 习题练模型 1.(2026临县模拟)如图，在△ABC中，AB=AC=10,AD⊥BC,垂足为D,F是AC的中点，连接 DF并延长至点E,使得EF=DF,连接AE,CE,若BC=I2,则四边形ADCE的面积是() A.24 B.30 C.48 D.60 【答案】C 【分析】先根据等股=角形的性质得到BD=CD=8C=6,∠4DC=90,再证明EF:DF:F-CF符 到四边形ADCE是矩形，最后根据四边形ADCE的面积是AD·CD=8×6=48求解即可. 【解答】解：：AB=AC,AD⊥BC,BC=12, ∠ADC=90°，BD=CD=。BC=6, 2 :AC=10, AD=VAC2-CD2=V102-62=8, :F是AC的中点， 16/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .AF-CF=DF-4C. EF DF, EF DF=AF CF, 四边形ADCE是矩形， 四边形ADCE的面积=AD·CD=8×6=48, 故选：C· 2.(2026·鹿邑县校级一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，连接CD,若 AC=8,BC=6,则线段CD的长度为() A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】B 【分析】由勾股定理可求AB=10，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可. 【解答】解：在Rt△ABC中，LACB=90°，AC=8,BC=6, AB2 AC2+BC2, .AB=√AC2+BC2=10, :D是斜边AB的中点， 1 ∴.CD=5AB=。×10=5. 2 故选：B。 3.(2026·建邺区一模)如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=7, BC=11,则EF的长为() 11 A. C.4 D.2 2 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF,根据三角形中位线定理求出DE,计算即可。 17/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .AF-CF=DF-4C. EF DF, EF DF=AF CF, 四边形ADCE是矩形， 四边形ADCE的面积=AD·CD=8×6=48, 故选：C· 2.(2026·鹿邑县校级一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，连接CD,若 AC=8,BC=6,则线段CD的长度为() A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】B 【分析】由勾股定理可求AB=10，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可. 【解答】解：在Rt△ABC中，LACB=90°，AC=8,BC=6, AB2 AC2+BC2, .AB=√AC2+BC2=10, :D是斜边AB的中点， 1 ∴.CD=5AB=。×10=5. 2 故选：B。 3.(2026·建邺区一模)如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=7, BC=11,则EF的长为() 11 A. C.4 D.2 2 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF,根据三角形中位线定理求出DE,计算即可。 17/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解答】解：在Rt△AFB中，D为AB的中点，AB=7, DF=54B=3.5. :DE为△ABC的中位线，BC=11, DE=BC=5.5, 2 :EF DE -DF=2, 故选：D 4.(2026·献县校级模拟)如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A,B两点间的距离，同 学们在AB外选择一点C,测得AC=10m,BC=8m,AC,BC两边中点的距离DE=6m,则A,B两点 间的距离是( ) D E A A.10m B.8m C.20m D.12m 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理即可求解. 【解答】解：点D,E是AC,BC的中点， :DE是△ABC的中位线， :AB =2DE, DE =6m, :AB=12m, 故选：D 5.(2026春·鼓楼区校级月考)如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，F是DE延长线上 一点，且∠AFC=90°，若BC=m,DF=n(n>m),则AC=() D 18/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解答】解：在Rt△AFB中，D为AB的中点，AB=7, DF=54B=3.5. :DE为△ABC的中位线，BC=11, DE=BC=5.5, 2 :EF DE -DF=2, 故选：D 4.(2026·献县校级模拟)如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A,B两点间的距离，同 学们在AB外选择一点C,测得AC=10m,BC=8m,AC,BC两边中点的距离DE=6m,则A,B两点 间的距离是( ) D E A A.10m B.8m C.20m D.12m 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理即可求解. 【解答】解：点D,E是AC,BC的中点， :DE是△ABC的中位线， :AB =2DE, DE =6m, :AB=12m, 故选：D 5.(2026春·鼓楼区校级月考)如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，F是DE延长线上 一点，且∠AFC=90°，若BC=m,DF=n(n>m),则AC=() D 18/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. n-m B.n-m C.2m-n D.2n-m 2 【答案】C 【分析】先根据直角三角形的性质求出EF的长，再由三角形中位线定理即可解答， 【解答】解：：D,E分别是边AB,AC的中点， 1 ∴.DE=。BC=5m, ∴，EF=DF-DE=n- m, :∠AFC=90°， :AC 2EF 2n-m, 故选：C. 6.(2025秋·丹东月考)下列说法不正确的是() A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D.顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断即可， 【解答】解：：A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确： :B：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形)，故错误； :C：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确； :D：顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，正确： 不正确的是B. 故选：B。 7.(2025·石家庄二模)八年级下学期数学课本有这样一道题“如图，。ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,且E,F,G,H分别是A0,B0,C0,DO的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.”以下 是嘉嘉和淇淇两人不同的做法，下列判断正确的是() 嘉嘉 证明：四边形ABCD是平行四边形， 0A=0C,0B=0D. :E,F,G、H分别是A0,B0,C0,D0的中点， 19/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. n-m B.n-m C.2m-n D.2n-m 2 【答案】C 【分析】先根据直角三角形的性质求出EF的长，再由三角形中位线定理即可解答， 【解答】解：：D,E分别是边AB,AC的中点， 1 ∴.DE=。BC=5m, ∴，EF=DF-DE=n- m, :∠AFC=90°， :AC 2EF 2n-m, 故选：C. 6.(2025秋·丹东月考)下列说法不正确的是() A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D.顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断即可， 【解答】解：：A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确： :B：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形)，故错误； :C：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确； :D：顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，正确： 不正确的是B. 故选：B。 7.(2025·石家庄二模)八年级下学期数学课本有这样一道题“如图，。ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,且E,F,G,H分别是A0,B0,C0,DO的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.”以下 是嘉嘉和淇淇两人不同的做法，下列判断正确的是() 嘉嘉 证明：四边形ABCD是平行四边形， 0A=0C,0B=0D. :E,F,G、H分别是A0,B0,C0,D0的中点， 19/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.OE=10A,OG=TOC.OF=10B,OH=LOD 2 2 2 0E=0G,0F=0H. .四边形EFGH是平行四边形. 淇淇 证明：·四边形ABCD是平行四边形， :AB //CD,AB=CD :E,F,G,H分别是A0,B0,C0,D0的中点， .EFIIAB,EF-4B,GHIICD,GH-TCD. 2 :EF //GH,EF =GH .四边形EFGH是平行四边形. D E H F B Q A. 都正确 B.都不正确 C.只有嘉嘉的正确 D.只有淇淇的正确 【答案】A 【分析】嘉嘉的做法：根据平行四边形的性质、判定证明； 淇淇的做法：根据三角形中位线定理、平行四边形的判定证明. 【解答】解：嘉嘉和淇淇两人的做法都正确， 故选：A。 8.(2026·玄武区一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M,N分别为AB,BC的中点，若AB=10, MN=3,则BC的长为() A M N B A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【分析】由已知得MN为△ABC的中位线，得AC=2MN=6,在Rt△ABC中，根据勾股定理得 BC=VAB2-AC2求解 20/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.OE=10A,OG=TOC.OF=10B,OH=LOD 2 2 2 0E=0G,0F=0H. .四边形EFGH是平行四边形. 淇淇 证明：·四边形ABCD是平行四边形， :AB //CD,AB=CD :E,F,G,H分别是A0,B0,C0,D0的中点， .EFIIAB,EF-4B,GHIICD,GH-TCD. 2 :EF //GH,EF =GH .四边形EFGH是平行四边形. D E H F B Q A. 都正确 B.都不正确 C.只有嘉嘉的正确 D.只有淇淇的正确 【答案】A 【分析】嘉嘉的做法：根据平行四边形的性质、判定证明； 淇淇的做法：根据三角形中位线定理、平行四边形的判定证明. 【解答】解：嘉嘉和淇淇两人的做法都正确， 故选：A。 8.(2026·玄武区一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M,N分别为AB,BC的中点，若AB=10, MN=3,则BC的长为() A M N B A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【分析】由已知得MN为△ABC的中位线，得AC=2MN=6,在Rt△ABC中，根据勾股定理得 BC=VAB2-AC2求解 20/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解答】解：：M,N分别为AB,BC的中点， AC=2MN=6· 在R1△ABC中，AB=10,AC=6,BC=V102-62=8 故选：D 9.(2026·南海区校级一模)△ABC的周长是50cm,一条中位线DE=8cm,另一条中位线EF=8cm,则 第三条中位线DF的长是() A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】C 【分析】根据中位线的性质计算三角形两边长，从而得到第三条边长，进而根据中位线性质即可得到答案， 【解答】解：由三角形中位线定理得出，对应的边长分别为16cm和16cm, :△ABC的周长是50cm, .第三条边长为50-16-16=18(cm), ∴.第三条中位线DF的长是18÷2=9(cm), 故选：C 10.(2026任丘市一模)如图，口ABCD中，AB=a,AD=b,对角线AC、BD相交于点O,点E、F、 G、H分别是A0、B0、C0、D0的中点，则下列说法正确的是() B A.EH=HG B,若a=b,其他条件不变，则四边形EFGH为菱形 C.四边形EFGH是菱形 D.AC⊥BD 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定及三角形中位线可直接进行排除选项： 【解答】解：四边形ABCD是平行四边形， :AD =BC,AD //BC,AB CD,AB //CD, 点E、F、G、H分别是A0、B0、C0、DO的中点， 21/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解答】解：：M,N分别为AB,BC的中点， AC=2MN=6· 在R1△ABC中，AB=10,AC=6,BC=V102-62=8 故选：D 9.(2026·南海区校级一模)△ABC的周长是50cm,一条中位线DE=8cm,另一条中位线EF=8cm,则 第三条中位线DF的长是() A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】C 【分析】根据中位线的性质计算三角形两边长，从而得到第三条边长，进而根据中位线性质即可得到答案， 【解答】解：由三角形中位线定理得出，对应的边长分别为16cm和16cm, :△ABC的周长是50cm, .第三条边长为50-16-16=18(cm), ∴.第三条中位线DF的长是18÷2=9(cm), 故选：C 10.(2026任丘市一模)如图，口ABCD中，AB=a,AD=b,对角线AC、BD相交于点O,点E、F、 G、H分别是A0、B0、C0、D0的中点，则下列说法正确的是() B A.EH=HG B,若a=b,其他条件不变，则四边形EFGH为菱形 C.四边形EFGH是菱形 D.AC⊥BD 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定及三角形中位线可直接进行排除选项： 【解答】解：四边形ABCD是平行四边形， :AD =BC,AD //BC,AB CD,AB //CD, 点E、F、G、H分别是A0、B0、C0、DO的中点， 21/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .GH-CD.FG-BC.EF-AB.EH-AD, .EH-FG-TAD,EF-HG-AB, ∴.四边形EFGH是平行四边形， 当a=b时，AB=AD, EH=HG, ∴.四边形EFGH为菱形，故B正确； 当a≠b时，AB≠AD, :EH≠HG,故A错误； 四边形EFGH不是菱形，故C错误； ,四边形ABCD是平行四边形， :AC与BD不一定垂直，故D错误. 故选：B. 11.(2026春·锡山区校级月考)在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中 点，对角线AC⊥BD,则四边形EFGH是什么图形() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边 形是矩形证明即可。 【解答】解：令AC与BD交于点O,BD与EF交于点M, 点E、F为AB、BC的中点， EF是△ABC的中位线， 1 :EF //AC EF=AC, 同理，HGI1AC,GH=三AC,EHI/BD, 2 :EF //HG,EF=HG, .四边形EFGH是平行四边形， :AC⊥BD, ∠B0C=90°， :EF //AC,EH I/BD, 22/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .GH-CD.FG-BC.EF-AB.EH-AD, .EH-FG-TAD,EF-HG-AB, ∴.四边形EFGH是平行四边形， 当a=b时，AB=AD, EH=HG, ∴.四边形EFGH为菱形，故B正确； 当a≠b时，AB≠AD, :EH≠HG,故A错误； 四边形EFGH不是菱形，故C错误； ,四边形ABCD是平行四边形， :AC与BD不一定垂直，故D错误. 故选：B. 11.(2026春·锡山区校级月考)在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中 点，对角线AC⊥BD,则四边形EFGH是什么图形() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边 形是矩形证明即可。 【解答】解：令AC与BD交于点O,BD与EF交于点M, 点E、F为AB、BC的中点， EF是△ABC的中位线， 1 :EF //AC EF=AC, 同理，HGI1AC,GH=三AC,EHI/BD, 2 :EF //HG,EF=HG, .四边形EFGH是平行四边形， :AC⊥BD, ∠B0C=90°， :EF //AC,EH I/BD, 22/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 LBMF=∠BOC=LFEH=90°， 四边形EFGH是矩形 故选：B D H B F 12.(2026·泸州模拟)菱形ABCD的面积为10，点E,F,G,H分别为AB,BC，,CD,DA的中点， 则四边形EFGH的面积为() A. B.4 C.5 D.6 【答案】C 【分析】连接菱形的对角线，利用菱形对角线垂直的性质，结合三角形中位线定理证明中点四边形EFGH是 矩形，再根据菱形的面积公式推出EF·EH的值即可得到答案. 【解答】解：连接AC、BD交于点O, H A D B 四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD, 点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点， :EH //BD,FG//BD,EF //AC,HG//AC, :EH I/FG,EF//HG .四边形EFGH是平行四边形， :AC⊥BD, EF⊥EH, ∴.四边形EFGH是矩形， 23/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 LBMF=∠BOC=LFEH=90°， 四边形EFGH是矩形 故选：B D H B F 12.(2026·泸州模拟)菱形ABCD的面积为10，点E,F,G,H分别为AB,BC，,CD,DA的中点， 则四边形EFGH的面积为() A. B.4 C.5 D.6 【答案】C 【分析】连接菱形的对角线，利用菱形对角线垂直的性质，结合三角形中位线定理证明中点四边形EFGH是 矩形，再根据菱形的面积公式推出EF·EH的值即可得到答案. 【解答】解：连接AC、BD交于点O, H A D B 四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD, 点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点， :EH //BD,FG//BD,EF //AC,HG//AC, :EH I/FG,EF//HG .四边形EFGH是平行四边形， :AC⊥BD, EF⊥EH, ∴.四边形EFGH是矩形， 23/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 S影am=2ACBD 2×2EF:2EH=2EF,EH=10, .EF EH =5, S四达形EfGH=5。 故选：C. 13.(2026·碑林区校级四模)如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D,AD⊥BC,垂足为 点D，,过点D作DE IIAC交AB于点E,AE=1,则AC的长为() B A. B.1 c. D.2 【答案】D 【分析】证明△ADC兰△ADB(ASA),可得BD=CD,证明BE=AE,DE=AE=1,可得DE是△ABC的 中位线，进一步求解即可. 【解答】解：：LBAC的平分线AD交BC于点D,AD⊥BC,垂足为点D, :∠CAD=∠BAD,LADC=∠ADB=90°， 在△ADC和△ADB中， ∠CAD=∠BAD AD=AD ∠ADC=∠ADB .△ADC兰△ADB(ASA), :BD =CD :DE //AC, BD BE CD AE =1,ZCAD ZADE, :BE AE,DE=AE=1, :DE是△ABC的中位线， :AC =2DE=2, 故选：D 24/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 S影am=2ACBD 2×2EF:2EH=2EF,EH=10, .EF EH =5, S四达形EfGH=5。 故选：C. 13.(2026·碑林区校级四模)如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D,AD⊥BC,垂足为 点D，,过点D作DE IIAC交AB于点E,AE=1,则AC的长为() B A. B.1 c. D.2 【答案】D 【分析】证明△ADC兰△ADB(ASA),可得BD=CD,证明BE=AE,DE=AE=1,可得DE是△ABC的 中位线，进一步求解即可. 【解答】解：：LBAC的平分线AD交BC于点D,AD⊥BC,垂足为点D, :∠CAD=∠BAD,LADC=∠ADB=90°， 在△ADC和△ADB中， ∠CAD=∠BAD AD=AD ∠ADC=∠ADB .△ADC兰△ADB(ASA), :BD =CD :DE //AC, BD BE CD AE =1,ZCAD ZADE, :BE AE,DE=AE=1, :DE是△ABC的中位线， :AC =2DE=2, 故选：D 24/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(2026·雁塔区校级二模)如图，在△ABC中，AB=BC=12,BD1AC于点D,点F在BC上，且 BF=4,连接AF,E为AF的中点，连接DE,则DE的长为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得到AD=DC，根据三角形中位线定理计算得到答案. 【解答】解：：BC=12,BF=4, :FC=BC-BF=12-4=8, :AB=BC,BD平分LABC, :AD=DC, AE=EF, :DE是△AFC的中位线， :.DE=IFC=1x8-4. 2 2 故选：B 15.(2026宁国市一模)如图，CA1AB,DB⊥AB,AB=4,AC=3,DB=2,连接PC,PD,分别 取PC,PD的中点M,N,连接MN,则线段MN的长为() D B A.2 B.2.5 C.25 D. V41 3 【答案】D 【分析】连接CD,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于E,可得四边形ABEC为矩形，即得 BE=AC=3,CE=AB=4,得到DE=DB+BE=5,进而由勾股定理得CD=√DE?+CE2=√4I,再根据 三角形中位线的性质得到MN=CD= 41即可 2 2 25/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(2026·雁塔区校级二模)如图，在△ABC中，AB=BC=12,BD1AC于点D,点F在BC上，且 BF=4,连接AF,E为AF的中点，连接DE,则DE的长为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”得到AD=DC，根据三角形中位线定理计算得到答案. 【解答】解：：BC=12,BF=4, :FC=BC-BF=12-4=8, :AB=BC,BD平分LABC, :AD=DC, AE=EF, :DE是△AFC的中位线， :.DE=IFC=1x8-4. 2 2 故选：B 15.(2026宁国市一模)如图，CA1AB,DB⊥AB,AB=4,AC=3,DB=2,连接PC,PD,分别 取PC,PD的中点M,N,连接MN,则线段MN的长为() D B A.2 B.2.5 C.25 D. V41 3 【答案】D 【分析】连接CD,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于E,可得四边形ABEC为矩形，即得 BE=AC=3,CE=AB=4,得到DE=DB+BE=5,进而由勾股定理得CD=√DE?+CE2=√4I,再根据 三角形中位线的性质得到MN=CD= 41即可 2 2 25/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解答】解：连接CD,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于E, D :CA⊥AB, ÷∠CAB=90°， DB 1 AB :LABE=90°， :LCAB=LABE=∠E=90°， .四边形ABEC为矩形， :BE AC=3,CE =AB=4, :DE=DB+BE=2+3=5, 由勾股定理可得，CD=√DE2+CE2=V52+42=√41， 点M、N分别为PC、PD的中点， MN为△PCD的中位线， MW=cD=④ 故选：D 16.(2026春·顺河区校级月考)如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,点E,F,G分 别是AD,BD,DC的中点，连接EG,则EG的长为() A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】A 【分析】连接AC,勾股定理求出AC的长，再根据三角形的中位线定理，即可得出结果. 【解答】解：连接AC, 26/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解答】解：连接CD,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于E, D :CA⊥AB, ÷∠CAB=90°， DB 1 AB :LABE=90°， :LCAB=LABE=∠E=90°， .四边形ABEC为矩形， :BE AC=3,CE =AB=4, :DE=DB+BE=2+3=5, 由勾股定理可得，CD=√DE2+CE2=V52+42=√41， 点M、N分别为PC、PD的中点， MN为△PCD的中位线， MW=cD=④ 故选：D 16.(2026春·顺河区校级月考)如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,点E,F,G分 别是AD,BD,DC的中点，连接EG,则EG的长为() A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】A 【分析】连接AC,勾股定理求出AC的长，再根据三角形的中位线定理，即可得出结果. 【解答】解：连接AC, 26/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E G B (● :AB=6,BC=8,∠ABC=90°， AC=10, 点E,G分别是AD,DC的中点， :EG=4C=5, 故选：A。 17.(2026·包头一模)点0是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是BC边的中点，AD=8,0E=3,则 线段0D的长为() D A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】A 【分析】根据题意，利用三角形中位线定理可以得到AB的长，然后根据勾股定理可以得到AC的长，再根 据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到0D的长，本题得以解决 【解答】解：~在矩形ABCD中，AD=8,OE=3,O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是BC边的 中点， :BC=AD=8,AB=20E=6,∠B=90°， AC=VAB2+BC2=V62+82=10, 点O为AC的中点，∠ADC=90°， ∴.OD=5AC=5, 故选：A, 18.(2026春·滨江区月考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，且CD<BC,以点 C为圆心，CD长为半径画弧交边BC于点E,连接DE.若∠A=x,则∠BED的度数为() 27/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E G B (● :AB=6,BC=8,∠ABC=90°， AC=10, 点E,G分别是AD,DC的中点， :EG=4C=5, 故选：A。 17.(2026·包头一模)点0是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是BC边的中点，AD=8,0E=3,则 线段0D的长为() D A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】A 【分析】根据题意，利用三角形中位线定理可以得到AB的长，然后根据勾股定理可以得到AC的长，再根 据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到0D的长，本题得以解决 【解答】解：~在矩形ABCD中，AD=8,OE=3,O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是BC边的 中点， :BC=AD=8,AB=20E=6,∠B=90°， AC=VAB2+BC2=V62+82=10, 点O为AC的中点，∠ADC=90°， ∴.OD=5AC=5, 故选：A, 18.(2026春·滨江区月考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，且CD<BC,以点 C为圆心，CD长为半径画弧交边BC于点E,连接DE.若∠A=x,则∠BED的度数为() 27/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A A.90°+2 C.90°+x D.135°- 【答案】D 【分析】如图，在R1△ABC中，CD为斜边AB的中线，故CD=AD=BD,从而LDCA=∠A=x,以C为 圆心、CD为半径画弧可得CD=CE,故△CDE为等腰三角形.在△CDE中，利用内角和定理求出 ∠CED=45°+2，最后通过邻补角关系求得∠BED=180°-∠CED=135°-2X, 【解答】解：：∠ACB=90°，CD为AB边上的中线， :CD BD AD :LDCA=LDAC(等边对等角)， :∠A=x, ∠DCA=∠DAC=x, ∠ECD=90°-x, 以点C为圆心，CD长为半径画弧交边BC于点E, :CD CE, ∠CDE=∠CED=180°-(90°-x9=45°+5x7 2 ∠BED=180°-∠CED=180°-(45+)=135°- 3r, 1 则∠BED的度数为135°- 2 故选：D 19.(2025秋·坊子区期末)分别连接等边三角形、平行四边形、矩形、正方形各边中点得到下列图形，其 中对称轴条数最多的是() B D 28/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A A.90°+2 C.90°+x D.135°- 【答案】D 【分析】如图，在R1△ABC中，CD为斜边AB的中线，故CD=AD=BD,从而LDCA=∠A=x,以C为 圆心、CD为半径画弧可得CD=CE,故△CDE为等腰三角形.在△CDE中，利用内角和定理求出 ∠CED=45°+2，最后通过邻补角关系求得∠BED=180°-∠CED=135°-2X, 【解答】解：：∠ACB=90°，CD为AB边上的中线， :CD BD AD :LDCA=LDAC(等边对等角)， :∠A=x, ∠DCA=∠DAC=x, ∠ECD=90°-x, 以点C为圆心，CD长为半径画弧交边BC于点E, :CD CE, ∠CDE=∠CED=180°-(90°-x9=45°+5x7 2 ∠BED=180°-∠CED=180°-(45+)=135°- 3r, 1 则∠BED的度数为135°- 2 故选：D 19.(2025秋·坊子区期末)分别连接等边三角形、平行四边形、矩形、正方形各边中点得到下列图形，其 中对称轴条数最多的是() B D 28/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的意义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图 形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各图形的对称轴条数即可求解 【解答】解：A、等边三角形各边中点得到的图形，它有3条对称轴：B、平行四边形各边中点得到的图 形，不是轴对称图形，没有对称轴；C、矩形各边中点得到的图形，有2条对称轴；D、正方形各边中点 得到的图形，有4条对称轴： 故对称轴条数最多的图形是正方形各边中点得到的图形 故选：D 20.(2025春·阿城区期末)如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的 中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第个矩形的面积为() A. B.() C. D. 【答案】D 【分析】易得第二个矩形的面积为（兮}，第三个矩形的面积为分），以此类推，第”个矩形的面积为 【解答】解：己知第一个矩形的面积为1： 第二个矩形的面积为原来的（月）2-2=】 第三个矩形的面积是(3-2=1 169 故第n个矩形的面积为： ()2m-2 故选：D 21.（2026让胡路区校级模拟)如图，点P在x轴上运动，点Q在y轴正半轴上运动，且保持PQ=8,M 为PQ的中点，点N在x轴的正半轴上运动，C为MN的中点，A,B在线段ON上，且满足∠ACB=90°， 0A=BN,当△ABC的面积等于2√3时，OQ长为() 29/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的意义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图 形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各图形的对称轴条数即可求解 【解答】解：A、等边三角形各边中点得到的图形，它有3条对称轴：B、平行四边形各边中点得到的图 形，不是轴对称图形，没有对称轴；C、矩形各边中点得到的图形，有2条对称轴；D、正方形各边中点 得到的图形，有4条对称轴： 故对称轴条数最多的图形是正方形各边中点得到的图形 故选：D 20.(2025春·阿城区期末)如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的 中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第个矩形的面积为() A. B.() C. D. 【答案】D 【分析】易得第二个矩形的面积为（兮}，第三个矩形的面积为分），以此类推，第”个矩形的面积为 【解答】解：己知第一个矩形的面积为1： 第二个矩形的面积为原来的（月）2-2=】 第三个矩形的面积是(3-2=1 169 故第n个矩形的面积为： ()2m-2 故选：D 21.（2026让胡路区校级模拟)如图，点P在x轴上运动，点Q在y轴正半轴上运动，且保持PQ=8,M 为PQ的中点，点N在x轴的正半轴上运动，C为MN的中点，A,B在线段ON上，且满足∠ACB=90°， 0A=BN,当△ABC的面积等于2√3时，OQ长为() 29/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M P B A.9 B.45 C.10 D.55 【答案】B 【分析】过M作MF⊥OP于F,过C作CE⊥AB于E,取AB的中点D,连接CD,OM,由直角三角形 斜边中线的性质推出OM=PQ=4,AB=2CD,判定CD是△0MN的中位线，得到0M=2CD，得到 AB=OM=4,由三角形的面积公式求出CE=√5，判定CE是△MFN的中位线，MF是△PO9的中位线， 得到MF=2CE,O0=2MF,因此O0=4CE=4V5. 【解答】解：过M作MF⊥OP于F,过C作CE⊥AB于E,取AB的中点D,连接CD,OM, :∠ACB=∠PO0=90°， ow=P0-8=4,48=2c0, :0A=BN,AD=BD, :.OA AD BN BD :OD DN :C是MN的中点， :.CD是△OMN的中位线， :OM =2CD AB=0M=4, △ABC的面积=AB.CE=2√5， CE=5, :CE⊥x轴，MF⊥x轴， :CE/IM F :MC =NC, :EF =EN, CE是△MFN的中位线， 30/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M P B A.9 B.45 C.10 D.55 【答案】B 【分析】过M作MF⊥OP于F,过C作CE⊥AB于E,取AB的中点D,连接CD,OM,由直角三角形 斜边中线的性质推出OM=PQ=4,AB=2CD,判定CD是△0MN的中位线，得到0M=2CD，得到 AB=OM=4,由三角形的面积公式求出CE=√5，判定CE是△MFN的中位线，MF是△PO9的中位线， 得到MF=2CE,O0=2MF,因此O0=4CE=4V5. 【解答】解：过M作MF⊥OP于F,过C作CE⊥AB于E,取AB的中点D,连接CD,OM, :∠ACB=∠PO0=90°， ow=P0-8=4,48=2c0, :0A=BN,AD=BD, :.OA AD BN BD :OD DN :C是MN的中点， :.CD是△OMN的中位线， :OM =2CD AB=0M=4, △ABC的面积=AB.CE=2√5， CE=5, :CE⊥x轴，MF⊥x轴， :CE/IM F :MC =NC, :EF =EN, CE是△MFN的中位线， 30/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理MF是△POQ的中位线， MF=2CE,0Q=2MF, :00=4CE=4V5. 故选：B M 22.(2025秋·漳浦县期末)如图，正方形ABCD的面积为8，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD ,AD的中点，则四边形EFGH的面积为· H E 【答案】4. 【分析】根据正方形性颜和线段中点的定义得到HD-4D=CD=DG,进面得到S,同理可符 S.AE=S.FB=S.cGF,最后根据四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-4个小三角形面积求解即可. 【解答】解：~四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=AD,∠D=90°， 点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点， HD4D号cD=DG, 2 .S.mcm-DH.DGxADCD-1AD, 2 22 1 同理可得SE=S=ScGr=AD2, 8 .四边形EFGH的面积=SE方形4BcD-SDGH-SE-S,EFB-Sc6r AD:-14D:-14D:-1AD:-1AD 8 8 8 AD2 31/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理MF是△POQ的中位线， MF=2CE,0Q=2MF, :00=4CE=4V5. 故选：B M 22.(2025秋·漳浦县期末)如图，正方形ABCD的面积为8，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD ,AD的中点，则四边形EFGH的面积为· H E 【答案】4. 【分析】根据正方形性颜和线段中点的定义得到HD-4D=CD=DG,进面得到S,同理可符 S.AE=S.FB=S.cGF,最后根据四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-4个小三角形面积求解即可. 【解答】解：~四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=AD,∠D=90°， 点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点， HD4D号cD=DG, 2 .S.mcm-DH.DGxADCD-1AD, 2 22 1 同理可得SE=S=ScGr=AD2, 8 .四边形EFGH的面积=SE方形4BcD-SDGH-SE-S,EFB-Sc6r AD:-14D:-14D:-1AD:-1AD 8 8 8 AD2 31/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正方形ABCD的面积为8，即AD2=8, ∴四边形EFGH的面积=2×8=4， 故答案为：4. 23.(2024春·同步)正方形ABCD的周长为8cm,顺次连接正方形各边的中点，得到四边形EFGH,则四 边形EFGH的面积等于 cm2. 【答案】2. 【分析】由条件可求得正方形ABCD的边长，在RAEH中可求得EH,则可求得答案. 【解答】解：四边形ABCD为正方形， AB=BC=CD=DA,∠A=90°， 正方形ABCD的周长为8cm, :AB AD =2cm 又：E、H为AB、AD的中点， 1 .AE=EH -2AB=Icm 在RtAAEH中，由勾股定理可求得EH=√2cm, .正方形EFGH的面积为EH2=(√2)2=2cm2. 故答案为：2. H 24.(2025秋·金牛区校级月考)如图，在R1△ABC中，∠ACB=90°，通过尺规作图得到的直线MN分别 交AB,AC于D,E,连接CD.若CE=4E=2,则CD= 32/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正方形ABCD的面积为8，即AD2=8, ∴四边形EFGH的面积=2×8=4， 故答案为：4. 23.(2024春·同步)正方形ABCD的周长为8cm,顺次连接正方形各边的中点，得到四边形EFGH,则四 边形EFGH的面积等于 cm2. 【答案】2. 【分析】由条件可求得正方形ABCD的边长，在RAEH中可求得EH,则可求得答案. 【解答】解：四边形ABCD为正方形， AB=BC=CD=DA,∠A=90°， 正方形ABCD的周长为8cm, :AB AD =2cm 又：E、H为AB、AD的中点， 1 .AE=EH -2AB=Icm 在RtAAEH中，由勾股定理可求得EH=√2cm, .正方形EFGH的面积为EH2=(√2)2=2cm2. 故答案为：2. H 24.(2025秋·金牛区校级月考)如图，在R1△ABC中，∠ACB=90°，通过尺规作图得到的直线MN分别 交AB,AC于D,E,连接CD.若CE=4E=2,则CD= 32/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D N 【答案】√6. 【分析】如图，连接BE,根据作图可知MN为AB的垂直平分线，从而得到AE=BE=3,然后利用勾股 定理求出BC,AB,最后利用斜边上的中线的性质即可求解. 【解答】解：如图，连接BE, CE= 34E=2, .AE=6,AC=8, 而根据作图可知MN为AB的垂直平分线， AE BE =6, 在R1△ECB中，BC=VBE2-CE2=4V2, .AB=√AC2+BC2=4V6, :CD为直角三角形ABC斜边上的中线， .CD=AB=26. 2 故答案为：2√6. 25.(2025秋·南山区校级期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=4,点D为斜边AB 的中点，连接DC,过点D作DE⊥DC交直角边AC于点E,则线段AE的长为一· 33/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D N 【答案】√6. 【分析】如图，连接BE,根据作图可知MN为AB的垂直平分线，从而得到AE=BE=3,然后利用勾股 定理求出BC,AB,最后利用斜边上的中线的性质即可求解. 【解答】解：如图，连接BE, CE= 34E=2, .AE=6,AC=8, 而根据作图可知MN为AB的垂直平分线， AE BE =6, 在R1△ECB中，BC=VBE2-CE2=4V2, .AB=√AC2+BC2=4V6, :CD为直角三角形ABC斜边上的中线， .CD=AB=26. 2 故答案为：2√6. 25.(2025秋·南山区校级期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=4,点D为斜边AB 的中点，连接DC,过点D作DE⊥DC交直角边AC于点E,则线段AE的长为一· 33/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B D 【答案】3 【分析】过点D作DF⊥AC于点F,根据直角三角形斜边中线定理以及勾股定理得出CD=AD=2√5， CF=AF=4,假设EF=x,利用勾股定理表示出相关线段的长度，然后列出方程求解即可. 【解答】解：如图所示，过点D作DF⊥AC于点F, B D 在Rt△ABC中，点D为斜边AB的中点， .CD=AD=AB, 2 :AC=8,BC=4, .由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=4V5, CD=AD=AB=215, 2 CF=4F=24C=4, 设EF=x, 由勾股定理得DF2=CD2-CF2=20-16=4, DE2=DF2+EF2=4+x2, CE2=CD2+DE2, 即(x+4)2=20+4+x2, 解得：x=1, :AE AF-EF =4-1=3, 故答案为：3. 26.(2025秋·昆山市校级月考)如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,M,N分别是 BC,DE的中点. (1)求证：MN⊥DE; 34/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B D 【答案】3 【分析】过点D作DF⊥AC于点F,根据直角三角形斜边中线定理以及勾股定理得出CD=AD=2√5， CF=AF=4,假设EF=x,利用勾股定理表示出相关线段的长度，然后列出方程求解即可. 【解答】解：如图所示，过点D作DF⊥AC于点F, B D 在Rt△ABC中，点D为斜边AB的中点， .CD=AD=AB, 2 :AC=8,BC=4, .由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=4V5, CD=AD=AB=215, 2 CF=4F=24C=4, 设EF=x, 由勾股定理得DF2=CD2-CF2=20-16=4, DE2=DF2+EF2=4+x2, CE2=CD2+DE2, 即(x+4)2=20+4+x2, 解得：x=1, :AE AF-EF =4-1=3, 故答案为：3. 26.(2025秋·昆山市校级月考)如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,M,N分别是 BC,DE的中点. (1)求证：MN⊥DE; 34/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若BC=12,DE=6,求△MDE的面积. y E B M 【答案】(1)证明：如图，连接ME、MD, B M BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,M,N分别是BC,DE的中点， ∴，△BACD是直角三角形，且∠BDC=90°， :DM=1BC 同理可得EM= :EM =DM, 点N为DE中点， :MN⊥DE; (2)△MDE的面积为95， 【分析】(1)连接ME、MD,由直角三角形的性质可求得DM=EN，则由等腰三角形的性质可证明 MN⊥DE; (2)由条件可求得MD、ND,在Rt△MND中可求得MN,则可求得△MDE的面积. 【解答】(1)证明：如图，连接ME、MD, 0 35/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若BC=12,DE=6,求△MDE的面积. y E B M 【答案】(1)证明：如图，连接ME、MD, B M BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,M,N分别是BC,DE的中点， ∴，△BACD是直角三角形，且∠BDC=90°， :DM=1BC 同理可得EM= :EM =DM, 点N为DE中点， :MN⊥DE; (2)△MDE的面积为95， 【分析】(1)连接ME、MD,由直角三角形的性质可求得DM=EN，则由等腰三角形的性质可证明 MN⊥DE; (2)由条件可求得MD、ND,在Rt△MND中可求得MN,则可求得△MDE的面积. 【解答】(1)证明：如图，连接ME、MD, 0 35/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,M,N分别是BC,DE的中点， .△BACD是直角三角形，且∠BDC=90°， 同理可符EM=BC, :EM =DM 点N为DE中点， :MN⊥DE: (2):BC=12, :EM =DM =6, 点N为DE中点，DE=6, :DN=IDE=3, 2 由(1)得，MN⊥DE, .MN=√DM2-DN2=3√5， ∴S.MDe=号×DE×MN=5×6×3V5=9V3, 2 .△MDE的面积为9√5. 27.(2025春·花溪区校级月考)如图，△ABC中，D是AC的中点，且BD=AC,已知AB=3, ∠CBD=30°，求AC的长. B 久2 【答案】AC的长是6. 【分析】由AD=CD4C,BD=4C,推导出AD=8D=CD,则∠C=4CBD=30,所以 LADB=∠C+∠CBD=60°，可证明△ABD是等边三角形，则AD=AB=3,所以AC=2AD=6. 【解答】解：：D是AC的中点， .AD=CD=AC, 1 BD=AC, 2 36/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,M,N分别是BC,DE的中点， .△BACD是直角三角形，且∠BDC=90°， 同理可符EM=BC, :EM =DM 点N为DE中点， :MN⊥DE: (2):BC=12, :EM =DM =6, 点N为DE中点，DE=6, :DN=IDE=3, 2 由(1)得，MN⊥DE, .MN=√DM2-DN2=3√5， ∴S.MDe=号×DE×MN=5×6×3V5=9V3, 2 .△MDE的面积为9√5. 27.(2025春·花溪区校级月考)如图，△ABC中，D是AC的中点，且BD=AC,已知AB=3, ∠CBD=30°，求AC的长. B 久2 【答案】AC的长是6. 【分析】由AD=CD4C,BD=4C,推导出AD=8D=CD,则∠C=4CBD=30,所以 LADB=∠C+∠CBD=60°，可证明△ABD是等边三角形，则AD=AB=3,所以AC=2AD=6. 【解答】解：：D是AC的中点， .AD=CD=AC, 1 BD=AC, 2 36/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD BD CD ∠C=∠CBD=30°， ∠ADB=∠C+LCBD=60°， ·.△ABD是等边三角形， :AD AB=3, :AC=2AD=6, AC的长是6. 28.(2025春·云岩区校级月考)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线， DC=BE,DF⊥CE,F为垂足.求证：F是CE中点. B D 【答案】证明见解析。 【分析】连接DE,根据直角三角形斜边上的中线的性质得到DE=BE,得到DC=DE,再根据等腰三角 形的三线合一证明。 【解答】证明：如图，连接DE, AD⊥BC, ∴.∠ADB=90°， 在R1△ADB中，DE为AB边上中线， :DE=-AB=BE, 2 DC=BE :DC=DE :DF⊥CE, F是CE的中点. 29.(2025秋·拱墅区期末)在△ABC中，AB=AC,AE为BC上的中线，CD⊥AB,连结DE. (1)求证：△CDE是等腰三角形 (2)若AC=6,DE=1,求BD的长度 37/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD BD CD ∠C=∠CBD=30°， ∠ADB=∠C+LCBD=60°， ·.△ABD是等边三角形， :AD AB=3, :AC=2AD=6, AC的长是6. 28.(2025春·云岩区校级月考)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线， DC=BE,DF⊥CE,F为垂足.求证：F是CE中点. B D 【答案】证明见解析。 【分析】连接DE,根据直角三角形斜边上的中线的性质得到DE=BE,得到DC=DE,再根据等腰三角 形的三线合一证明。 【解答】证明：如图，连接DE, AD⊥BC, ∴.∠ADB=90°， 在R1△ADB中，DE为AB边上中线， :DE=-AB=BE, 2 DC=BE :DC=DE :DF⊥CE, F是CE的中点. 29.(2025秋·拱墅区期末)在△ABC中，AB=AC,AE为BC上的中线，CD⊥AB,连结DE. (1)求证：△CDE是等腰三角形 (2)若AC=6,DE=1,求BD的长度 37/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 【答案】(1)证明：：AE为BC边上的中线， ∴点E为BC的中点， 又：CD⊥AB, ∠CDB=90°， :DE为Rt△CDB的斜边BC上的中线， .DE=CE=BE=。BC, △CDE是等腰三角形； 【分析】(1)根据AE为BC上的中线，CD⊥AB,可知DE为R1△CDB的斜边BC上的中线，进而推出 DE=CE,即可证得结论； (2)根据(1)的结论和AB=AC,设BD=x,则AD=5-x,BC=4,然后利用勾股定理可推出 AC2-AD2=BC2-BD2,代入数值解方程即可. 【解答】(1)证明：：AE为BC边上的中线， .点E为BC的中点， 又：CD⊥AB, ∠CDB=90°， :DE为R1△CDB的斜边BC上的中线， .DE CE BE=BC, △CDE是等腰三角形； 2)解：：AB=AC,CE=CE=BE=BC,AC=6,DE=1, BC=2DE=2×1=2, 设BD=x,则AD=AB-BD=6-x, 在R1△CDB中，根据勾股定理得，CD2=BC2-BD2, 在Rt△CDA中，根据勾股定理得，CD2=AC2-AD2, 38/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 【答案】(1)证明：：AE为BC边上的中线， ∴点E为BC的中点， 又：CD⊥AB, ∠CDB=90°， :DE为Rt△CDB的斜边BC上的中线， .DE=CE=BE=。BC, △CDE是等腰三角形； 【分析】(1)根据AE为BC上的中线，CD⊥AB,可知DE为R1△CDB的斜边BC上的中线，进而推出 DE=CE,即可证得结论； (2)根据(1)的结论和AB=AC,设BD=x,则AD=5-x,BC=4,然后利用勾股定理可推出 AC2-AD2=BC2-BD2,代入数值解方程即可. 【解答】(1)证明：：AE为BC边上的中线， .点E为BC的中点， 又：CD⊥AB, ∠CDB=90°， :DE为R1△CDB的斜边BC上的中线， .DE CE BE=BC, △CDE是等腰三角形； 2)解：：AB=AC,CE=CE=BE=BC,AC=6,DE=1, BC=2DE=2×1=2, 设BD=x,则AD=AB-BD=6-x, 在R1△CDB中，根据勾股定理得，CD2=BC2-BD2, 在Rt△CDA中，根据勾股定理得，CD2=AC2-AD2, 38/48 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC2-AD2=BC2-BD2,即62-(6-x)2=22-x2, 整理得12x=4, 解得x=3’ 1 :BD的长度为3 30.(2025秋·浦东新区校级期末)如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，BC=10,AB=24,连接AC 、BD,AC=26,BD=24,取AC和BD的中点E、F,连接EF,求EF的长度. A E B D F 【答案】EF的长度是5， 【分析】连接BE、DE,由BC=10,AB=24,AC=26,得BC2+AB2=AC2=676,则LABC=90°， 而LADC=90°，点E是AC的中点，所以BE=DE=AC=13,因为点F是BD的中点，且BD=24,所 以EF⊥BD,且BF=DF=I2,求得EF=√BE2-BF2=5· 【解答】解：连接BE、DE, BC=10,AB=24,AC=26, BC2+AB2=102+242=676,AC2=262=676, .BC2+AB2=AC2, ∴.△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°， :∠ADC=90°，点E是AC的中点， BE=D6=54C=1B, 点F是BD的中点，且BD=24, EF⊥BD,且8F=DF-号8D=12, :∠BFE=90°， 39/48 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC2-AD2=BC2-BD2,即62-(6-x)2=22-x2, 整理得12x=4, 解得x=3’ 1 :BD的长度为3 30.(2025秋·浦东新区校级期末)如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，BC=10,AB=24,连接AC 、BD,AC=26,BD=24,取AC和BD的中点E、F,连接EF,求EF的长度. A E B D F 【答案】EF的长度是5， 【分析】连接BE、DE,由BC=10,AB=24,AC=26,得BC2+AB2=AC2=676,则LABC=90°， 而LADC=90°，点E是AC的中点，所以BE=DE=AC=13,因为点F是BD的中点，且BD=24,所 以EF⊥BD,且BF=DF=I2,求得EF=√BE2-BF2=5· 【解答】解：连接BE、DE, BC=10,AB=24,AC=26, BC2+AB2=102+242=676,AC2=262=676, .BC2+AB2=AC2, ∴.△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°， :∠ADC=90°，点E是AC的中点， BE=D6=54C=1B, 点F是BD的中点，且BD=24, EF⊥BD,且8F=DF-号8D=12, :∠BFE=90°， 39/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EF=√BE2-BF2=V132-122=5, EF的长度是5. A B C 31.(2025秋·上海校级月考)如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，AD与CE交 于点M.DG⊥CE,垂足为G.己知：LB=2LBCE. (1)求证：DC=BE; (2)如果AC=BC，∠B=60°，求证：S4Mc=2S.DMc· E M B 【答案】(1)：AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， .在Rt△ABD中，DE=AE=BE, .LB=∠BDE, :ZB =2ZBCE ZBDE ZBDE Z DEC +BCE :2ZBCE ZDEC Z BCE Z BCE Z DEC :DE=DC, :DE=AE=BE DC, :DC=BE (2):AC=BC,∠B=60°， ∴，△ABC是等边三角形， :AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， .∠BAD=LBCE=30°，∠ADC=90°， 40/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EF=√BE2-BF2=V132-122=5, EF的长度是5. A B C 31.(2025秋·上海校级月考)如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，AD与CE交 于点M.DG⊥CE,垂足为G.己知：LB=2LBCE. (1)求证：DC=BE; (2)如果AC=BC，∠B=60°，求证：S4Mc=2S.DMc· E M B 【答案】(1)：AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， .在Rt△ABD中，DE=AE=BE, .LB=∠BDE, :ZB =2ZBCE ZBDE ZBDE Z DEC +BCE :2ZBCE ZDEC Z BCE Z BCE Z DEC :DE=DC, :DE=AE=BE DC, :DC=BE (2):AC=BC,∠B=60°， ∴，△ABC是等边三角形， :AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， .∠BAD=LBCE=30°，∠ADC=90°， 40/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△AME和△DMC中， ∠AME=∠DMC ∠BAD=∠BCE, AE=DC ∴.△AME=△DMC(AAS), :AM MC, :∠ADC=90°，∠BCE=30°， .DM=MC, AM=2DM,即片AM=DM, 根据三角形面积公式Sh(这里0为底，本为高)， .MCD S.we-DMCD-ACD AM.CD=2x(AMCD), .S.Awc=2S.DMc· 【分析】(1)根据CE是边AB上的中线，AD是边BC上的高，得到DE=AE=BE,然后根据等量变换和 等角对等边即可求解； (2)根据等边三角形知识得到LB4D=∠BCE=30°，然后证得△AME兰△DMC(AAS),再根据含30°角 的直角三角形知识和等量变换，得到)AM=DM,然后根据三角形面积公式分别表示出S.wc=2MCD 1 mDM CD--4M-CD,然后即可求解 【解答】证明：(1)：AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， 在R1△ABD中，DE=AE=BE, :ZB ZBDE, :ZB =2ZBCE ZBDE ZBDE Z DEC +ZBCE .2∠BCE=∠DEC+∠BCE, :ZBCE ZDEC :DE =DC, :DE=AE=BE DC, :.DC BE 41/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△AME和△DMC中， ∠AME=∠DMC ∠BAD=∠BCE, AE=DC ∴.△AME=△DMC(AAS), :AM MC, :∠ADC=90°，∠BCE=30°， .DM=MC, AM=2DM,即片AM=DM, 根据三角形面积公式Sh(这里0为底，本为高)， .MCD S.we-DMCD-ACD AM.CD=2x(AMCD), .S.Awc=2S.DMc· 【分析】(1)根据CE是边AB上的中线，AD是边BC上的高，得到DE=AE=BE,然后根据等量变换和 等角对等边即可求解； (2)根据等边三角形知识得到LB4D=∠BCE=30°，然后证得△AME兰△DMC(AAS),再根据含30°角 的直角三角形知识和等量变换，得到)AM=DM,然后根据三角形面积公式分别表示出S.wc=2MCD 1 mDM CD--4M-CD,然后即可求解 【解答】证明：(1)：AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， 在R1△ABD中，DE=AE=BE, :ZB ZBDE, :ZB =2ZBCE ZBDE ZBDE Z DEC +ZBCE .2∠BCE=∠DEC+∠BCE, :ZBCE ZDEC :DE =DC, :DE=AE=BE DC, :.DC BE 41/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2):AC=BC,∠B=60, △ABC是等边三角形， :AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， ∠BAD=LBCE=30°，∠ADC=90°， 在△AME和△DMC中， ∠AME=∠DMC ∠BAD=∠BCE, AE=DC .△AME兰△DMC(AAS), :AM =MC, ∠ADC=90°，∠BCE=30°， .DM=MC, 2 AM=2DM,即5AM=DM, 根据三角形面积公式S山（这里a为底，卡为商， S-CD,S.me-DM-CD-MCD 1 AMCD-2x(AM-CD), .SHMc=2S.DMc· 32.(2026·建邺区一模)已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，M,N分别是AC,BD的中点.求证： ①BM=DM; ②MN⊥BD. M D 【分析】(1)连接BM、DM,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM= (2)根据等腰三角形三线合一的性质证明即可. 【解答】(1)证明：如图，连接BM、DM, 42/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2):AC=BC,∠B=60, △ABC是等边三角形， :AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， ∠BAD=LBCE=30°，∠ADC=90°， 在△AME和△DMC中， ∠AME=∠DMC ∠BAD=∠BCE, AE=DC .△AME兰△DMC(AAS), :AM =MC, ∠ADC=90°，∠BCE=30°， .DM=MC, 2 AM=2DM,即5AM=DM, 根据三角形面积公式S山（这里a为底，卡为商， S-CD,S.me-DM-CD-MCD 1 AMCD-2x(AM-CD), .SHMc=2S.DMc· 32.(2026·建邺区一模)已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，M,N分别是AC,BD的中点.求证： ①BM=DM; ②MN⊥BD. M D 【分析】(1)连接BM、DM,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM= (2)根据等腰三角形三线合一的性质证明即可. 【解答】(1)证明：如图，连接BM、DM, 42/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点， BM DM AC :BM =DM (2)点N是BD的中点，BM=DM, MN⊥BD. 33.(2025秋·丹阳市期末)如图，∠ABC=∠ADC=90°，M,N分别是AC,BD的中点. (1)证明：MN⊥BD; (2)若∠BAD=60°，AC=4,求MN的长. A M N B 【答案】(1)证明：如图，连接BM,DM, M D B 由条件可知BM=DM=AC, .△BMD为等腰三角形， 又点N是BD的中点， :MN⊥BD; 43/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点， BM DM AC :BM =DM (2)点N是BD的中点，BM=DM, MN⊥BD. 33.(2025秋·丹阳市期末)如图，∠ABC=∠ADC=90°，M,N分别是AC,BD的中点. (1)证明：MN⊥BD; (2)若∠BAD=60°，AC=4,求MN的长. A M N B 【答案】(1)证明：如图，连接BM,DM, M D B 由条件可知BM=DM=AC, .△BMD为等腰三角形， 又点N是BD的中点， :MN⊥BD; 43/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)1. 【分析】(1)利用直角三角形斜边中线定理得出BM=DM=)4C,得出△BMD为等腰三角形，根据三线 合一即可得出结论； (2)利用等边对等角得出∠MAB=∠MBA,∠MAD=∠MDA,利用三角形的外角定理得出LBMD=120°， 利用三角形的内角和定理及等边对等角得出LMBD=∠MDB=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质 求解即可。 【解答】(1)证明：如图，连接BM,DM, M B 由条件可知BM=DM= 1 C, .△BMD为等腰三角形， 又点N是BD的中点， :MN⊥BD; (2)解：：∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点， BM AM DM=24C=2. ,∠MAB=∠MBA,∠MAD=∠MDA, :∠BAD=60°=∠MAB+∠MAD, :∠BMD=∠BMC+LDMC=LMAB+LMBA+∠MAD+∠MDA=120°， ∴.∠MBD=∠MDB=二×(I80°-∠BMD)=30°， :MN⊥BD,即∠MNB=90°， :MN=IBM=1. 34.(2025春·青龙县期末)课本再现 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 定理证明： (1)为了证明该定理，琪琪同学画出了图形（图），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程， 44/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)1. 【分析】(1)利用直角三角形斜边中线定理得出BM=DM=)4C,得出△BMD为等腰三角形，根据三线 合一即可得出结论； (2)利用等边对等角得出∠MAB=∠MBA,∠MAD=∠MDA,利用三角形的外角定理得出LBMD=120°， 利用三角形的内角和定理及等边对等角得出LMBD=∠MDB=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质 求解即可。 【解答】(1)证明：如图，连接BM,DM, M B 由条件可知BM=DM= 1 C, .△BMD为等腰三角形， 又点N是BD的中点， :MN⊥BD; (2)解：：∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点， BM AM DM=24C=2. ,∠MAB=∠MBA,∠MAD=∠MDA, :∠BAD=60°=∠MAB+∠MAD, :∠BMD=∠BMC+LDMC=LMAB+LMBA+∠MAD+∠MDA=120°， ∴.∠MBD=∠MDB=二×(I80°-∠BMD)=30°， :MN⊥BD,即∠MNB=90°， :MN=IBM=1. 34.(2025春·青龙县期末)课本再现 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 定理证明： (1)为了证明该定理，琪琪同学画出了图形（图），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程， 44/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 己知：D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点. 求证：DE1/BC,且DE=BC. 2 知识应用 (2)如图2，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点，求证：四边形 EFGH是平行四边形， B 图1 图2 【答案】延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF, AE=EC,DE=EF, ∴.四边形ADCF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， :CF/1DA,且CF=DA(平行四边形的对边平行且相等)， CF//BD,且CF=BD, ∴四边形DBCF是平行四边形， .DFIIBC,且DF=BC. DE=IDF, 2 .DE/BC,且DE= -BC; (2)连接AC. B :E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点， .EF是△ABC的中位线，HG是△ACD的中位线， 45/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 己知：D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点. 求证：DE1/BC,且DE=BC. 2 知识应用 (2)如图2，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点，求证：四边形 EFGH是平行四边形， B 图1 图2 【答案】延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF, AE=EC,DE=EF, ∴.四边形ADCF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， :CF/1DA,且CF=DA(平行四边形的对边平行且相等)， CF//BD,且CF=BD, ∴四边形DBCF是平行四边形， .DFIIBC,且DF=BC. DE=IDF, 2 .DE/BC,且DE= -BC; (2)连接AC. B :E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点， .EF是△ABC的中位线，HG是△ACD的中位线， 45/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .EF IIAC,EF-ZAC,HG IIAC,HG-ZAC :EF //HG,EF=HG, ·四边形EFGH是平行四边形 【分析】(1)延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF.证明.四边形ADCF是平行四边形， 可得CFI/DA,且CF=DA,再证明四边形DBCF是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得结论； (2)连接AC,利用三角形中位线的性质分别得到EF11AC，,EF=。AC,HG11AC,HG=。AC,即 可得到EF/HG，EF=HG,进而由平行四边形的判定定理即可求证. 【解答】证明：(1)延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF. B :AE EC,DE=EF ∴.四边形ADCF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， :CF/1DA,且CF=DA(平行四边形的对边平行且相等)， CF//BD,且CF=BD, ∴.四边形DBCF是平行四边形， :DF//BC,且DF=BC. DE=IDF, :DEI1BC,且DE=5BC; (2)连接AC. B :E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点， EF是△ABC的中位线，HG是△ACD的中位线， .EFIIAC EF-AC RGIAC HG- AC, :EF//HG,EF =HG, 46/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .EF IIAC,EF-ZAC,HG IIAC,HG-ZAC :EF //HG,EF=HG, ·四边形EFGH是平行四边形 【分析】(1)延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF.证明.四边形ADCF是平行四边形， 可得CFI/DA,且CF=DA,再证明四边形DBCF是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得结论； (2)连接AC,利用三角形中位线的性质分别得到EF11AC，,EF=。AC,HG11AC,HG=。AC,即 可得到EF/HG，EF=HG,进而由平行四边形的判定定理即可求证. 【解答】证明：(1)延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF. B :AE EC,DE=EF ∴.四边形ADCF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， :CF/1DA,且CF=DA(平行四边形的对边平行且相等)， CF//BD,且CF=BD, ∴.四边形DBCF是平行四边形， :DF//BC,且DF=BC. DE=IDF, :DEI1BC,且DE=5BC; (2)连接AC. B :E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点， EF是△ABC的中位线，HG是△ACD的中位线， .EFIIAC EF-AC RGIAC HG- AC, :EF//HG,EF =HG, 46/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形EFGH是平行四边形 35.(2024秋·让胡路区期末)阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点 四边形，如图1，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，依次连 接各边中点得到中点四边形EFGH, (1)这个中点四边形EFGH的形状是 (2)如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分 别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明. G H E M 图1 图2 【分析】(1)连接AC,由三角形中位线定理得出EF11AC,EF=。AC,GH11AC,GH=号AC,得出 EFIIGH,EF=GH,即可得出结论； (2)连接AC、DB,由等边三角形的性质得出AM=DM,LAMD=LCMB=60°，CM=BM,证出 ∠AMC=∠DMB,由SAS证明△AMC≡△DMB,得出AC=DB,由三角形中位线定理得出EF/IAC, EF-4C,GH14C,GH=4C,HE-DB,得出F/GH,EF=GH,证出四边形EFGH是平 行四边形；再得出EF=HE，即可得出结论. 【解答】解：(1)中点四边形EFGH是平行四边形； 理由如下：连接AC,如图1所示： :E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点， :.EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线， EFAC EFACGC GH-AC .EF//GH EF =GH ∴四边形EFGH是平行四边形； 故答案为：平行四边形： (2)四边形EFGH为菱形.理由如下： 连接AC与BD,如图2所示： 47/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .四边形EFGH是平行四边形 35.(2024秋·让胡路区期末)阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点 四边形，如图1，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，依次连 接各边中点得到中点四边形EFGH, (1)这个中点四边形EFGH的形状是 (2)如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分 别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明. G H E M 图1 图2 【分析】(1)连接AC,由三角形中位线定理得出EF11AC,EF=。AC,GH11AC,GH=号AC,得出 EFIIGH,EF=GH,即可得出结论； (2)连接AC、DB,由等边三角形的性质得出AM=DM,LAMD=LCMB=60°，CM=BM,证出 ∠AMC=∠DMB,由SAS证明△AMC≡△DMB,得出AC=DB,由三角形中位线定理得出EF/IAC, EF-4C,GH14C,GH=4C,HE-DB,得出F/GH,EF=GH,证出四边形EFGH是平 行四边形；再得出EF=HE，即可得出结论. 【解答】解：(1)中点四边形EFGH是平行四边形； 理由如下：连接AC,如图1所示： :E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点， :.EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线， EFAC EFACGC GH-AC .EF//GH EF =GH ∴四边形EFGH是平行四边形； 故答案为：平行四边形： (2)四边形EFGH为菱形.理由如下： 连接AC与BD,如图2所示： 47/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△AMD和△MCB为等边三角形， .AM=DM,∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM, :∠AMC=∠DMB, 在△AMC和△DMB中， AM=DM ∠AMC=∠DMB, CM=BM .△AMC兰△DMB(SAS), :AC DB, :E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点， .EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线， :.EF IIAC EF=TAC,GH IIAC,GH=TAC,HE=-DB, 21 2 :EF //GH EF=GH ∴.四边形EFGH是平行四边形； :AC=DB, EF=HE, ∴.四边形EFGH为菱形 D G E M 图2 G 5 R 图1 48/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△AMD和△MCB为等边三角形， .AM=DM,∠AMD=∠CMB=60°，CM=BM, :∠AMC=∠DMB, 在△AMC和△DMB中， AM=DM ∠AMC=∠DMB, CM=BM .△AMC兰△DMB(SAS), :AC DB, :E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点， .EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线， :.EF IIAC EF=TAC,GH IIAC,GH=TAC,HE=-DB, 21 2 :EF //GH EF=GH ∴.四边形EFGH是平行四边形； :AC=DB, EF=HE, ∴.四边形EFGH为菱形 D G E M 图2 G 5 R 图1 48/48