专题09 特殊平行四边形中的最值模型之胡不归模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版八年级下册

专题09 特殊平行四边形中的最值模型之胡不归模型 几何最值问题是初中数学几何模块的核心区分点，继将军饮马模型之后，胡不归模型是解决带系数线段和最值的关键工具。当胡不归模型与矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形结合时，可借助图形自带的特殊角（30°、45°、60°、90°）快速构造转化，题目隐蔽性强、技巧性高，是学生必须突破的重点内容。本专题就特殊平行四边形中的胡不归模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候，启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路延伸、拓展。所以学生在学习几何模型要能够做到的就是： ①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型； ②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法； ③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。 当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到在平时的学习中通过大题量训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.胡不归模型（最值模型） 2 【模型运用】 3 【易错点总结】 4 【模型小结】 4 4 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 【常用特殊角匹配】 · →构造角（）； · →构造角（）； · →构造角（）。 例1（2025春•新吴区校级月考）如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 例2（2023春•宿城区校级期末）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是　 　　． 例3（2024•郾城区一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 　 　． 例4（2024春•莱州市校级月考）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 　 　． 1.混淆胡不归与将军饮马：带系数用胡不归，不带系数用将军饮马； 2.系数k与三角函数匹配错误（如对应60°）； 3.忽略特殊平行四边形的内角特征，额外构造多余辅助线； 4.垂线段位置构造错误，未结合图形对称性； 5.勾股定理计算时边长对应错误，忘记特殊平行四边形的边长/角度性质。 1.识模型：确定动点在直线上运动，所求为PA+k·PB(0＜k＜1)，判定为胡不归； 2.配角度：根据系数k，匹配特殊角（30°/45°/60°），优先用特殊平行四边形自带内角； 3.作转化：过定点作垂线，将k·PB转化为垂线段PH； 4.求最值：依据垂线段最短，计算定点到直线的垂线段长度即为最小值。 1．（2023春•和平区校级期末）如图，中，，，为边上一点，则最小值为 　 　． 2．（2025秋•江北区校级月考）如图，在菱形中，两条对角线，，点是对角线上一点（不与端点重合），则的最小值为　　 ． 3．（2023•保定一模）如图，在矩形中，对角线，交于点，，点在线段上，且．点为线段上的一个动点． （1）　 　； （2）的最小值为 　　． 4．（2023•沈河区校级模拟）在矩形中，，，点从点运动到点，运动速度为5个单位长度每秒，同时点从出发向点运动，运动速度为3个单位长度每秒，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，则的最小值 　　． 5．（2023•大埔县校级开学）如图，垂直平分线段，相交于点，且，． （1）　　． （2）为边上的一个动点，，当最小时　　． 6．（2023春•句容市月考）如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则的最小值为　　． 7．（2025春•锦江区校级期中）如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点，使，连接，点，分别是线段，上的动点，连接，则的最小值为 　　． 8．（2024秋•义乌市期末）如图，在矩形中，，，点为边上一点，则的最小值等于 　　． 9．（2025秋•白银区校级月考）如图，在菱形中，，，是上的动点，求的最小值为 　　． 10．（2024•桐柏县一模）如图，矩形的对角线交于点，，，点是上的动点，则的最小值是 　　． 11．（2024•青羊区校级衔接）如图，在△中，，，，△为等边三角形，点为△围成的区域（包括各边）的一点，过点作，交直线于点，作交直线于点，则的最大值为　 　． 12．（2023春•自贡期末）如图，矩形两边与坐标轴正半轴重合，是边上的一个动点，是经过，两点的直线上的一个动点，则的最小值是 　 　． 13．（2026春•哈尔滨校级月考）如图，在长方形中，对角线，．将长方形沿对角线折叠，得△，点是线段上一点．则的最小值为______． 14．（2023•增城区二模）如图，在菱形中，，，点为对角线（不含点上任意一点，则的最小值为 　　． 15．（2025•西安校级自主招生）在矩形中，，，为边中点，连接，点为直线上的动点，为中点，则的最小值为________ ． 16．（2024春•单元）如图所示，正方形的边长为1，点为上任意一点（可与点或点重合），分别过，，，作射线的垂线，垂足分别是，，，求的最大值和最小值． 17．（2025春•花都区期中）已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，顶点的坐标为，且，满足：，点为边上的一个动点，将△沿翻折，得到△． （1）求出，的值； （2）如图1，若点为中点，延长交于点，求的长； （3）如图2，若，点为线段上的动点，求的最小值． 18．（2025•广安校级模拟）如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接、． （1）求证：； （2）求的最小值． 19．（2024春•天河区校级期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． （1）证明：． （2）当点在何处时，的值最小，并说明理由． （3）当的值最小值为时，则正方形的边长为 　 　． 20．（2022秋•碑林区校级期末）问题提出 （1）如图1，在等腰直角中，，，为高上的动点，过点作于，则的值为 　　； 问题探究 （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、．若点是直线上一个动点，过点作于，求的最小值． 问题解决 （3）如图3，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，在轴上，且．点在边上，且，点在边上，将沿翻折，使得点恰好落在边上的点处，那么在折痕上是否存在点使得最小，若存在，请求最小值，若不存在，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 特殊平行四边形中的最值模型之胡不归模型 几何最值问题是初中数学几何模块的核心区分点，继将军饮马模型之后，胡不归模型是解决带系数线段和最值的关键工具。当胡不归模型与矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形结合时，可借助图形自带的特殊角（30°、45°、60°、90°）快速构造转化，题目隐蔽性强、技巧性高，是学生必须突破的重点内容。本专题就特殊平行四边形中的胡不归模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候，启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路延伸、拓展。所以学生在学习几何模型要能够做到的就是： ①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型； ②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法； ③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。 当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到在平时的学习中通过大题量训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.胡不归模型（最值模型） 2 【模型运用】 3 【易错点总结】 7 【模型小结】 7 8 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 【常用特殊角匹配】 · →构造角（）； · →构造角（）； · →构造角（）。 例1（2025春•新吴区校级月考）如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】 【分析】先证明△△得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明△△，则，可得当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在△中，由勾股定理得，则的最小值为2.5． 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， △△， ， ， 点是的中点， ， 如图所示，在延长线上截取，连接， ，，， △△， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ，， ， ， 在△中， 由勾股定理得， 的最小值为2.5， 故选：． 例2（2023春•宿城区校级期末）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是　 　　． 【答案】． 【分析】过点作于，过点作于，如图，根据菱形的性质得到，平分，，再判断为等边三角形得到，则，所以，则，所以的最小值为的长，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出即可． 【解答】解：过点作于，过点作于，如图， 四边形为菱形， ，平分，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 当、、共线时，的值最小， 即的最小值为的长， ， ， 在中，， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 例3（2024•郾城区一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 　4　． 【答案】4． 【分析】过点作于点，过点作于点，首先根据题意将用表示，再将的最小值用表示，进而求出的长即可解决问题． 【解答】解：过点作于点，过点作于点，如图， 四边形是矩形，，， ，，， ， ， ， ， ， ， 的最小值为的长， ， ， ，， ， 的最小值为4， 故答案为：4． 例4（2024春•莱州市校级月考）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 　　． 【分析】过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为． 【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， 故答案为： 1.混淆胡不归与将军饮马：带系数用胡不归，不带系数用将军饮马； 2.系数k与三角函数匹配错误（如对应60°）； 3.忽略特殊平行四边形的内角特征，额外构造多余辅助线； 4.垂线段位置构造错误，未结合图形对称性； 5.勾股定理计算时边长对应错误，忘记特殊平行四边形的边长/角度性质。 1.识模型：确定动点在直线上运动，所求为PA+k·PB(0＜k＜1)，判定为胡不归； 2.配角度：根据系数k，匹配特殊角（30°/45°/60°），优先用特殊平行四边形自带内角； 3.作转化：过定点作垂线，将k·PB转化为垂线段PH； 4.求最值：依据垂线段最短，计算定点到直线的垂线段长度即为最小值。 1．（2023春•和平区校级期末）如图，中，，，为边上一点，则最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】由直角三角形的性质可得，，则当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时：，， ， ，， 则最小值为， 故答案为：． 2．（2025秋•江北区校级月考）如图，在菱形中，两条对角线，，点是对角线上一点（不与端点重合），则的最小值为　　 ． 【答案】． 【分析】过点作于点，过点作于点，设交于点，根据菱形的性质得，证明△为等边三角形，得，继而得到，，进一步得，则当点、、三点共线且垂直时，的值最小，即可得解． 【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，设交于点， 四边形是菱形，，， ，，，，， ， △为等边三角形， ， ， ，， ，， ， ， 当点、、三点共线且垂直时，的值最小，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 3．（2023•保定一模）如图，在矩形中，对角线，交于点，，点在线段上，且．点为线段上的一个动点． （1）　 　； （2）的最小值为 　　． 【答案】（1）30； （2）2． 【分析】（1）利用矩形性质，等边三角形的判定和性质就可解决问题； （2）过点作的垂线，将转化为一条等线段，再利用垂线段最短和勾股定理即可求得最小值． 【解答】解：（1）四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：30． （2）过点作于点，过点作于点， 在中， 由（1）知：， ， ， 在矩形中， ， ， ， 在中， ， ， 的最小值为2， 故答案为：2． 4．（2023•沈河区校级模拟）在矩形中，，，点从点运动到点，运动速度为5个单位长度每秒，同时点从出发向点运动，运动速度为3个单位长度每秒，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，则的最小值 　　． 【答案】． 【分析】以为一边构造相似比为的相似三角形，得到，再利用两点之间线段最短，勾股定理解决问题． 【解答】解：延长到，使，连接，， ， ， 设点，点运动时间为秒， 由题意，得，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 而， ， 故答案为：． 5．（2023•大埔县校级开学）如图，垂直平分线段，相交于点，且，． （1）　　． （2）为边上的一个动点，，当最小时　　． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质即可求得； （2）作关于的对称点，过作于，过点作于，将转化为，再根据，设与交于，即为当最小时的，求出即可． 【解答】解：（1）垂直平分线段， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）作关于的对称点，过作于，过点作于， ， ， ， ， 设与交于，即为当最小时的， ，， ， ，， 为等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 6．（2023春•句容市月考）如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则的最小值为　　． 【分析】根据“两点之间线段最短”，当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长． 【解答】解：如图，连接，由旋转性质得出， ， 是等边三角形， ， ． 即． 又， ， ， ，， 是等边三角形． ． ． 根据“两点之间线段最短”，得最短 当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长， 过点作交的延长线于， ， ， ，，在中， ， ． 故答案为： 7．（2025春•锦江区校级期中）如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点，使，连接，点，分别是线段，上的动点，连接，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】过点作于点，连接，过点作于点，推出，进一步得到的最小值为，再求出的长即可解决问题． 【解答】解：过点作于点，连接，过点作于点， 四边形是平行四边形，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 在中， ，， ， 由勾股定理，得， 的最小值为， 故答案为：． 8．（2024秋•义乌市期末）如图，在矩形中，，，点为边上一点，则的最小值等于 　　． 【答案】． 【分析】在矩形外作，过点作，则，过点作于点，交于点，推出的最小值为的长，在分别求出和即可求出答案． 【解答】解：在矩形外作，过点作，则，过点作于点，交于点， ， 的最小值为的长， ，， 在中， ， ， 在中， ， ， 故答案为：． 9．（2025秋•白银区校级月考）如图，在菱形中，，，是上的动点，求的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】过点作，则，可知，的最小值就是点到线段的垂线段长． 【解答】解：过点作，垂足为点， 是菱形，且， ， ， ， 是上的动点， 的最小值就是点到线段的垂线段长． 过点作，在中，，， ． 10．（2024•桐柏县一模）如图，矩形的对角线交于点，，，点是上的动点，则的最小值是 　　． 【答案】． 【分析】过点作于点，作点关于的对称点，交于点，连接，过点作于点，先求得，将的最小值表示成，再利用三角函数关系求出的长即可． 【解答】解：四边形是矩形，， ，， ， ， 过点作于点， 则， 作点关于的对称点，交于点，连接， 则， 过点作于点，如图， 则， 的最小值是， 在△中， ，， ， 即的最小值是， 故答案为：． 11．（2024•青羊区校级衔接）如图，在△中，，，，△为等边三角形，点为△围成的区域（包括各边）的一点，过点作，交直线于点，作交直线于点，则的最大值为　 　． 【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，即可得到结论． 【解答】解：过作交的延长线于点， ，， 四边形是平行四边形，， 设，， △中，， ， ， 当在点时，的值最大是：， 的最大值为7.5， 故答案为：7.5． 12．（2023春•自贡期末）如图，矩形两边与坐标轴正半轴重合，是边上的一个动点，是经过，两点的直线上的一个动点，则的最小值是 　 　． 【答案】8． 【分析】，再考虑胡不归． 【解答】解：过作，垂足为，过作，垂足为， 当时，， ， 令得， ， ， ， ， 故答案为：8． 13．（2026春•哈尔滨校级月考）如图，在长方形中，对角线，．将长方形沿对角线折叠，得△，点是线段上一点．则的最小值为______． 【答案】． 【分析】作于，由，得，即、、三点共线时，最小值为，然后通过含角的直角三角形的性质求出的长即可． 【解答】解：如图，作于， 四边形是矩形， ， ， ， ，，， ， 即、、三点共线时，最小值为， 将长方形沿对角线折叠，得△， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 14．（2023•增城区二模）如图，在菱形中，，，点为对角线（不含点上任意一点，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】如图，过点作于，过点作于．证明，求出，利用垂线段最短解决问题即可． 【解答】解：如图，过点作于，过点作于． 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 15．（2025•西安校级自主招生）在矩形中，，，为边中点，连接，点为直线上的动点，为中点，则的最小值为________ ． 【答案】． 【分析】由题可识别胡不归问题，所以将，构造直角三角形，转化，由点在直线运动，点随动而动可识别为瓜豆模型，进而可知点在线段上运动，过作直线交于，使，作于，则，所以，过作于，则，最后解△即可得解． 【解答】解：如图，取的中点，连，， 是中点， ，即， 为中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，，三点共线， 点在线段上运动， ，， ，即△为等腰直角三角形， 过作直线交于，使，作于，则， ，当且仅当、、三点共线时取等， 过作于，则， 在△中，，， ， 即， ， 故答案为：． 16．（2024春•单元）如图所示，正方形的边长为1，点为上任意一点（可与点或点重合），分别过，，，作射线的垂线，垂足分别是，，，求的最大值和最小值． 【分析】找到的等量关系，并且根据本等量关系计算得，根据的取值范围计算的最小值和最大值 【解答】解：连接和， ， ， ． 又，即， 故， 的最小值为， 最大值为2． 故最大值为2，最小值为． 17．（2025春•花都区期中）已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴和轴的正半轴上，顶点的坐标为，且，满足：，点为边上的一个动点，将△沿翻折，得到△． （1）求出，的值； （2）如图1，若点为中点，延长交于点，求的长； （3）如图2，若，点为线段上的动点，求的最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【分析】（1）由绝对值和二次根式的非负性即可得解； （2）先证，设参，在△中利用勾股定理求解即可； （3）根据结合胡不归可知，将转化为，进而利用，求出即可． 【解答】解：（1），，且， ，； （2）连接， 在正方形中，，， 根据折叠可得，，， ，， 在△和△中， ， △△， 设， 由（1）知正方形边长为4， ， 是中点， ， ， 在△中，， ， 解得， ； （3）过作于点， 由折叠可知，， 在△中，， ， 当且仅当、、依次共线时取等，即此时， 连接， ，， △是等边三角形， ， ， ， ， ， 即， 的最小值为． 18．（2025•广安校级模拟）如图，在菱形中，，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接、． （1）求证：； （2）求的最小值． 【答案】（1）见解答； （2）． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质和菱形的性质即可证明出结论； （2）过点作于点，连接，，过点作于点，证明出的最小值为，再求出即可解决问题． 【解答】解：（1）连接，如图， 四边形是菱形， 点，点关于直线轴对称， ， 的垂直平分线交于点，交于点， ， ； （2）过点作于点，连接，，过点作于点， 四边形是菱形，， ， ， 的垂直平分线交于点，交于点， ， ， 的最小值为， ，， ， 的最小值为． 19．（2024春•天河区校级期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． （1）证明：． （2）当点在何处时，的值最小，并说明理由． （3）当的值最小值为时，则正方形的边长为 　 　． 【分析】（1）由题意得，，所以，容易证出； （2）根据“两点之间线段最短”，当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长； （3）过点作交的延长线于，由题意求出，设正方形的边长为，在中，根据勾股定理求得正方形的边长为． 【解答】解：（1）是等边三角形， ，， ， ， 即 又， ； （2）如图，连接，当点位于与的交点处时，的值最小． 理由如下：连接， 由（1）知，， ， ，， 是等边三角形， ， ， 根据“两点之间线段最短”，得最短 当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长． （3）正方形的边长为． 如图，过点作交的延长线于， ， 设正方形的边长为，则，， 在中，， ， 解得，（舍去负值） 正方形的边长为． 故答案为：． 20．（2022秋•碑林区校级期末）问题提出 （1）如图1，在等腰直角中，，，为高上的动点，过点作于，则的值为 　　； 问题探究 （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、．若点是直线上一个动点，过点作于，求的最小值． 问题解决 （3）如图3，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，在轴上，且．点在边上，且，点在边上，将沿翻折，使得点恰好落在边上的点处，那么在折痕上是否存在点使得最小，若存在，请求最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）最小值为3； （3）在折痕上存在点，使得最小，的最小值为． 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，即得； （2）作关于直线的对称点，过作轴于，交于，作轴于，连接，由得，，，即得，，根据，关于直线对称，有，，，可知，，共线时，最小，最小值为的长，求出，即得答案； （3）以为顶点，为一边，在右侧作，过作于，过作于，交于，作于，由，，得是等腰直角三角形，，故当，，共线时，最小，即最小，此时与重合，与重合，的最小值为的长度，再根据已知求出即可． 【解答】解：（1），， ， 为高， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； 故答案为：； （2）作关于直线的对称点，过作轴于，交于，作轴于，连接，如图： 在中，令得，令得， ，， ， ， ，， ，关于直线对称， ，，， ，， ， ，，共线， 此时最小，最小值为的长， 在中，， ， ， 四边形是矩形， ， 最小值为3； （3）在折痕上存在点，使得最小，理由如下： 以为顶点，为一边，在右侧作，过作于，过作于，交于，作于，如图： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 当，，共线时，最小，即最小，此时与重合，与重合，的最小值为的长度， 四边形是长方形，， ， ， ， 将沿翻折，使得点恰好落在边上的点处， ， ， ，， ， ，， ，，， ，， △是等腰直角三角形， ， ， △是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $