“四翼”检测评价（三十五）空间图形的表面积（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

“四翼”检测评价（三十五） 空间图形的表面积 (一)基础落实 1．圆锥的表面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为(　　) A．2　　　 B．3　　　　C．1　　　　D. 解析：选A　设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的表面积为12π，母线长为4，所以S表＝πr2＋πrl＝12π，即 r2＋4r－12＝0，解得r＝2或 r＝－6(舍去)． 2．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(　　) A．120° B．150° C．180° D．240° 解析：选C　设底面半径为r，母线长为l，则πrl＋πr2＝3πr2，∴l＝2r，∴θ＝＝π. 3．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小的底面半径为(　　) A．7 B．6 C．5 D．3 解析：选A　设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7. 4．(多选)将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积可能是(　　) A．32π2＋8π B．32π2＋32π C．32π2＋64π D．64π 解析：选AB　当4π作为底面圆周长时，圆柱的侧面积为4π×8π＝32π2，底面圆的半径为r＝2，两底面面积为2πr2＝8π，所以圆柱的表面积为32π2＋8π；当8π作为底面圆周长时，圆柱的侧面积为4π×8π＝32π2，底面圆的半径为r＝4，两底面面积为2πr2＝32π，所以圆柱的表面积为32π2＋32π. 5.如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为(　　) A. B. C. D. 解析：选D　塔顶是正四棱锥PABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面ABCD的面积为S1＝a2，AO＝a，∠PAO＝45°，所以PA＝×a＝a，△PAB是正三角形，面积为S2＝a2，所以＝. 6．某正方体的体对角线长为，则这个正方体的表面积为________． 解析：设正方体的棱长为a，由体对角线长为，得3a2＝6，解得a2＝2，所以正方体的表面积为S＝6a2＝12. 答案：12 7．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为________． 解析：如图所示，正四棱锥P­ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝2，高PO＝2，取CD的中点H，连接OH，则OH＝1，从而PH＝，S△PCD＝×2×＝，故正四棱锥的表面积为2×2＋4×＝4＋4. 答案：4＋4 8．已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为________． 解析：如图是圆锥与圆柱的轴截面，设内接圆柱的高为a，圆柱的底面半径为r(0＜r＜2)，则由＝，可得a＝4－2r，所以圆柱的侧面积S＝2πr·(4－2r)＝－4πr2＋8πr＝－4π(r－1)2＋4π(0<r<2)，所以当r＝1时，该圆柱的侧面积取得最大值，最大值为4π. 答案：4π 9．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积． 解：如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，故B1F＝＝2，所以S梯形BB1C1C＝×(8＋4)×2＝12，故四棱台的侧面积S侧＝4×12＝48，所以四棱台的表面积S表＝48＋4×4＋8×8＝80＋48. 10．设正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的侧面积和表面积． 解：如图所示，设正三棱锥SABC的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接SE，则SE＝h′.因为S侧＝2S底，所以3×ah′＝2×a2，整理得a＝h′.因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2，即32＋2＝h′2，解得h′＝2，则a＝h′＝6.所以S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.所以S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.故此正三棱锥的侧面积为18，表面积为27. (二)综合应用 1．已知正四棱锥P-ABCD的高为，且AB＝2，则正四棱锥PABCD的侧面积为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选D　正四棱锥的底面边长为2，高为，则斜高为h＝ ＝2，所以正四棱锥P­ABCD的侧面积为S＝4××2×2＝8. 2．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为(　　) A. B．2 C. D. 解析：选B　所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为的正四棱锥的侧面积之和，如图，正四棱锥的侧棱长