期末测试卷(10)-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册期末测试卷

数学 期未测试卷（十） (满分：150分时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目 要求。 1.已知复数之在复平面内的对应点为(2,1)，则十10等于 A.6+3i B.6+i C.6-3i D.6-i 2.如图，已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，AM=mAB,AN=nAd(m·n≠0)，若 MN∥B克，则”等于 172 鞍 绝 第2题图 洲 A.1 B.2 c D.-2 ▣ 3.由国家信息中心“一带一路”大数据中心等编写的《“一带一路”贸易合作大数据报告(2017)》指 烛 出，自2011年到2016年这六年中，中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额图如图所示， 长 下列说法中正确的是 () 中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额（亿美元） 2016年 5874.8 13661.1 2015年 6145.8 3883.4 6370.4 2014年 4833.6 册 15690.9 2013年 4714.1 5013.5 2012年 4584.9 2011年 4542.0 ■出口额 4399.1 口进口额 第3题图 A.中国与沿线国家贸易进口额的极差为1072.5亿美元 B.中国与沿线国家贸易出口额的中位数不超过5782亿美元 C.中国与沿线国家贸易顺差额逐年递增（贸易顺差额=贸易出口额一贸易进口额） D.中国与沿线国家前四年的贸易进口额比贸易出口额更稳定 4.在“2,3,5,7,11,13”这6个素数中，任取2个不同的数，这两数之和仍为素数的概率是() A司 c号 5.在△ABC中，A=答，则“sinB<号”是“△ABC是钝角三角形”的 () A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知正方体ABCD-A1B1C,D1的棱长为3，点M满足CC=3CM.若在正方形ABC1D,内有 一动点P满足BP∥平面AMD1,则动点P的轨迹长为 () A.3 B.√10 C.√13 D.3√2 7.已知锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2=b2+bc,若cos(C-B)+Acos A存 在最大值，则实数入的取值范围是 () A.(0,√2) B.(1,w3) C.(0,2) D.(2,4) 8.如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且CB=2√2，AB= AC=√6，二面角P-AC-B的大小为120°，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为 () B 第8题图 A B.10π C.9π D.(4+23)π 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知复数=1十i,则下列选项正确的有 ( A.之的虚部为1 B.|z|=2 C.之2为纯虚数 D.乏在复平面内对应的点位于第一象限 10.如图，M是△ABC所在平面内任意一点，O是△ABC的重心，则 ( ) E A.AD+B克=C方 Q B.MA+Mi+MC=3Mò C.MA+Mi+M心=Mi+Mi+Mi D.BC·Ab+CA·B克+A官.C=0 第10题图 37 11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段A1C1上有两个动点E,F, 且EF=1,则下列说法中正确的有 ( A.存在点E,F,使得AE∥BF E F B.异面直线EF与CD1所成的角为60° B 1 C三楼锥BAEF的体积为号 D上-----、 D.点C到平面BEF的距离为 B 12.已知O为坐标原点，点P1(cosa,sina),P2(cosB,-sinB), 第11题图 P3(cos(a+3),sin(a+B)),A(1,0),则 A.OP=OP, B.AP=AP C.OA·OP3=OP·OP2 D.OA·OP=OP2·OP3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.我国智慧港口的建设飞速发展，作为智能化搬运设备的AGV自动化引导车作用越发凸显. AGV自重20一30吨，再加上集装箱的重量，全车最重可达70吨，但其停启位置十分精确，停 车误差不超过2厘米.码头地面埋设了几万个磁钉，AGV车辆的位置由它们记录下来，传给 后台，再由软件精确计算行驶路径，防止碰撞和刮擦.经统计，某港口某次运输中，有27台 AGV的停车误差为2厘米，有45台AGV的停车误差为1厘米，有11台AGV没有停车误 差，则该港口本次运输中所有AGV的平均停车误差约为 14.已知a,b均为非零向量，且|a=|b|=|a一bl,则向量a与a十b的夹角为 15.《中国居民膳食指南(2022)》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了 解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单 位：千克)，根据测量数据，按[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60)，[60,65)，[65,70]分成六 组，得到的频率分布直方图如图.根据调查的数据，估计该地中学生体重的中位数 是 频率/组距 0.08------ 0.04------ 0.03 0.02---- 0.01-- o 40455055606570体重/千克 第15题图 6.已知三棱锥P-ABC的体积为3，各顶点均在以PC为直径的球面上，AC=2B,AB BC=2,则该球的体积为 38 无敌原创·期末测试卷数学·必修第二册 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分)2022年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中 教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数学 老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组[65,70)，第二组 [70,75),第三组[75,80)，第四组[80,85)，第五组[85,90]，得到如图的频率分布直方图. (1)求a的值以及这100人中测试成绩在[80,85)的人数； (2)估计全市老师测试成绩的平均数和中位数（保留两位小数）； (3)若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，并在这6 人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率. 频率 组距 0.07 0.06 0.02 0.01 0657075808590成绩/分 第17题图 安 ® 18.(12分)在△ABC中，AB=2AC,D是边BC上一点，∠CAD=2∠BAD. (I若∠BAC=要，求8器的值： (2)若AC=1,求AD的取值范围. N国 19.(12分)某市为了解居民对当地城市环境卫生情况的满意度，从本市居民中随机抽取若干人 进行满意度测评（测评分满分为100分）.根据测评的数据制成频率分布直方图如图.根据频 率分布直方图，回答下列问题 (1)估计本次测评分数的中位数（精确到0.01）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点 值作代表)； (2)估计本次测评分数的第85百分位数（精确到0.01）； (3)若该市居民约为300万人，估计全市居民对当地城市环境卫生情况满意度测评分数在85 分以上的人数. 频率组距 0.030 0.024 0.020 0.006 0.00 0 40 50 60 70 80 90 100 成绩分 器 第19题图 器 20.(12分)在△ABC中，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(a十b)b=c2. (1)求证：C=2B; (2)求0给的最小值. 39 21.(12分)如图，△ADM是等腰直角三角形，AD⊥DM,四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC, MC⊥BC,且AB=2BC=2CM=2,平面ADM⊥平面ABCM. (1)求证：AD⊥BD; (2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥MADE的体积为 2 D E C A B 第21题图 40无敌原创·期末测试卷数学·必修第二册 22.(12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上， BDsin∠ABC=asin C. (1)证明：BD=b; (2)若AD=2DC,求cos∠ABC.三、13.0.01522.5【解析：质量指标均在区间[0,50]内 .(2x+0.030×2+0.010)×10=1,解得x=0.015, ∴.该频率分布直方图中x的值为0.015.各组的频率分 别为0.15,0.3,0.3,0.15,0.1，各组区间中点值分别为 5,15,25,35,45,.平均值为5×0.15+15×0.3+25× 0.3+35×0.15十45×0.1=22.5，∴.估计该品牌速冻水 饺的该项质量指标的平均值为22.5.】 14.(4,3)(答案不唯一)【解析：a+2b=(-3,4),且(a+2b)⊥ c,则(a+2b)·c=-3m十4n=0,即m=号n,当n=3时， m=4,则c=(4,3).】 15,号【解析：设事件A表示“此人于3月：日到达该市： 1,2,13).根据题意，P(A)=任意两个事件相互独 立.设事件B为“此人到达当日空气重度污染”，则B=A十 A,所以PB)=PAUA)=PA,)+PA)=是】 16.3【解析：由已知得PA=6,PB=3,PC=2.设点A到平面 PBC的距离为A,则V三装-C=V三装-微=子S△E· h=号X号xPBX PCXsin∠BPCXh-≤合PB·PC·h≤ 合PB·PC:PA=6.又V-版=6，所以PAPB,PC 两两垂直.取BC的中点M,连接PM并延长至点D,使 MD=PM,连接AD,则AD的中点即为球心O.因为点O 到平面ABC的距离等于点D到平面ABC的距离的，而 点D到平面ABC的距离等于点P到平面ABC的距离，所 以VE0-c=合V三袋-版=3】 四、17.解：(1)依题意，该班60名同学中共有6名同学参加摄 影社，所以在该班随机选取1名同学，该同学参加摄影 社的概率为品-。 1 (2)设A,B,C,D表示参加摄影社的男同学，a,b表示参 加摄影社的女同学，则从6名同学中选出的2名同学代 表共有15种等可能的结果：AB,AC,AD,Aa,Ab,BC, BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,其中恰有1名女同学 的结果有8种：Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,根据古典 概率计算公式，从6名同学中选出的2名同学代表恰有 1名女同学的概率为P-号 56 无敌原创·期末测试卷数学·必修第二册 (3)这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初 中学校的概率1一言岩 18.证明：(1)取AB的中点H,则AH⊥B1D.由CH⊥平面 A1B1BA,B1DC平面A1B1BA,故CH⊥B1D.又AH∩CH= H,故BD⊥平面ACH.而ACC平面ACH,故 AC⊥BD. (2)解：设AB=>0,表面积S=5(+3》,体积V=5· 2 4 复等故基水不等式背一骨 √3t √3 「8后=京，等号成立当且仅当=3， 19.解：(1)该地区60岁以上人口占比为(0.01+0.003+0.0025+ 0.0005)×10×100%=16%>10%,所以该地区人口已经 老龄化 (2)由频率分布直方图及折线图可知，该地区年龄在71~80岁 且已签约家庭医生的居民约有0.03×0.7×1000=21（万人）. (3)由图1,2可估计该地区年龄在18~30岁的人口在 180~230万之间，签约率为30.3%；年龄在31一50岁的居 民有(0.02+0.016)×10×1000=360（万人），签约率为 37.1%;年龄在51~60岁的居民有0.015×10×1000= 150(万人)，签约率为55.7%；年龄在61~70岁的居民有 0.01×10×1000=100(万人)，签约率为61.7%；年龄在 71~80岁的居民有0.003×10×1000=30（万人），签约率 为70%；年龄在81岁及以上的居民有(0.0025+0.0005)× 10×1000=30(万人)，签约率为75.8%.由以上数据可知， 这个地区年龄在31~50岁的人口为360万，人口基数较其 他年龄段大，且签约率仅为37.1%，比较低，所以应着重提 高此年龄段的签约率。 20.解：I)选条件O:因为si血Acos Atan A=-子，所以sin AcosA: 职A子，即smA=子又因为△ABC为锐角三角形， 所以AE(0,受)，则snA-9,所以A=吾选条件②：因 为DAA-=合，所以2(5sinA-osA)- √3sinA+cosA √3sinA+cosA,所以√3sinA=3cosA.又因为A∈ (0,乏)，所以cosA≠0，则tanA=√3，所以A=号.选条 件③：由正弦定理可得2 sin Acos A一sin Bcos C= 件B,C,D互斥，又因为甲乙两人答题相互独立，P(A)= sin Ccos B,2sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B= P(BUCUD)=P(B)+P(C)+P(D=(号)'X2×X sin(B+C)=sinA,又因为sinA≠0，所以cosA=号，因为 合+2x号×日×（合）广+（号）广×（合）》-号，所以该 A∈(0，受），所以A=子 ②：62+78时血0宣(a8时a(华-)） 组获“优秀小组“的概率号 (2)由(1)知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为P= P·2P2(1-P2)+2P1(1-P1)P3+PP=PP2· 2=4(smB+9osB+之s如B)+2=5(号snB叶 [2P1(1-P2)+2(1-P1)P2+P1P2]=P1P2[2(P1+P2) 9osB)+2=4sin(B+晋)+2.C=5-B∈ 3PP],又P+B=号则PP≤(B)广=音，当且 (0,受，B∈(0，，·B∈（，受)，B+百∈ 仅当P=P=子时，等号成立，而0≤B≤1,0≤P,≤1，于 (5,),则sin(B+若)∈(5,1]，即a+6+c∈ 是有<P<1,因此PP=P(号-P)[号，号]，令 (2+2√3,6]，则△ABC周长的取值范围为(2+2√3,6]. =pP∈[片号]，则P=-3x+号=-3(-合)'+ 21.证明：(1)因为PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,所以 PA⊥BC.因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC.又因为 <号，当且仅当1台时等号成立，所以该组在每轮克赛 PA∩AB=A,PAC平面PAB,ABC平面PAB,所以BC⊥ 平面PAB.因为AEC平面PAB,所以AE⊥BC.因为PA= 中获得“优秀小组”的概率的最大值为号。 AB,E为线段PB的中点，所以AE⊥PB.又因为PB∩BC B,PBC平面PBC,BCC平面PBC,所以AE⊥平面PBC. 期未测试卷（十） 又因为AEC平面AEF,所以平面AEF⊥平面PBC. (2)解：由(1)可知，∠BAF是直线AF与平面PAB所成的 角质以AAF一提学丽3兰，解得BF一 一1D【解析：由题意，得=2+i所以+9=2+i计兴 10(2-i) 2+i计2+2”D=2+i计2(2-iD=6-i.】 合AB=号BC,故F是BC的中点，所以AF=√AB+BF- 2.B【解析：依题意设M亦=AB克，则M衣=MA+A衣= 5,AE=号PB=E,EF-VAP-AE=.△AEF的 -m店+nA市=A(DC+C市=A(d-号AB),即-mA访+ 面积为Sg=之AE·EF=号，因为PA=AB=2, m=- n市=-名A访+以市，所以 2 故”=2.】 △PAE的面积为SAE=号SAm=PA·PB=1,设点 n=入， P到平面AEF的距离为k,则有，-m=子S8g·A= 3.D【解析：对于A项，中国与沿线国家贸易进口额的极差为 4833.6-3661.1=1172.5,所以A错误；对于B项，由图中的 4=V-E=子SaE·BF=，解得A=写，所以点 数据可得出口额的中位数为5690.9,5874.8=5782.85，故 2 P到平面AEF的距离为5， 3 B错误；对于C项，2011年至2016年的贸易顺差额依次为 22.解：(1)记他们获得“优秀小组”的事件为事件A,则事件A 142.9,428.6,976.8,1536.8,2262.4,2213.7,2016年开始下 包含三种情况：甲答对两题，乙答对一题的事件B;甲答对 降，故C错误：由图可知中国与沿线国家前四年的贸易出品 一题，乙答对两题的事件C,甲、乙都答对两题的事件D,事 额比贸易进口额波动性更大，故D正确.】 4.A【解析：由题意得，6个数中任取2个数，共有15种可能， 两数之和仍为素数，则可能为(2和3)，(2和5)，(2和11)共 有3种可能，所求概率P-号-号·】 5.A【解析：在△ABC中，由sinB<号得0<B<吾或< B<,而A=子，则0<B<牙，因此得0<B<否，于是得 C=x一A一B>受，△ABC是钝角三角形，当△ABC是钝角 三角形时，取纯角B=受sinB=sin登-s血受>in吾 >?,即△ABC是纯角三角形不能推出smB<合，所以 “sinB<号”是“△ABC是钝角三角形”的充分而不必要 条件.】 6C【解析：在AD和AA上分别取点E,F,使得AE= 子A1D,AF=号AA,连接EF,BC,BF,CE,则EF∥ AD.又ADC平面AMD1,EF￠平面AMD1,所以EF∥平 面AMD1,同理可得BF∥平面AMD,,所以平面BCEF∥平 面AMD.又平面BCEF∩平面AB,CD1=CE,故动点P 的轨迹为线段C,E,其长度为√I3.】 7.C【解析：由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A=b2+bc, 则c一2 bcos A=b,由正弦定理可得sinB=sinC- 2sin Bcos A=sin (A+B)-2cos Asin B=sin Acos B+ cos Asin B-2cos Asin B=sin Acos B-cos Asin B= sim(A-B).因为△ABC为锐角三角形，则0<A<受，0< B<受，所以-交<A-B<受，又因为函数y=sinx在 （-乏，受)内单调递增，所以A-B=B,可得A=2B,由于 0<A<受， 0<2B<, △ABC为锐角三角形，则0<B<受，即0<B<受， 解 0<C<受，0<x-3B<5, 得答<B<平，cos(C-B)+AosA=cos(m-4B)+ λcos2B=λcos2B-cos4B=-2cos22B+Acos2B+1.因为 号<2B<5,则0<c0s2B<号，因为-2cos22B+Xc0s2B+ 1存在最大值，则0<÷<分，解得0<A<2.】 8.B【解析：根据题意，作出图形，如图1，因为△PAC是以AC 为斜边的等腰直角三角形，所以△PAC的外心是AC的中 点，设为O2,设△ABC的外心为O1,BC的中点为E,如图2， AO,=n.因为AB=AC=√6，所以O,必在AE的连线上，则 品-A是=3，即n=子因为两平面交线为AC,0 2n-sin CAE AC 为平面ABC所在圆面中心，所以OO2⊥AC,OO2=片一 (A0,)r-号又因为二面角PACB的大小为120，P0, AC,所以∠PO2O=120°，∠OO2O=30°，所以OO2=OO2X 二=1，锥体PABC外接球半径R2=A0=(AO)P+ (O0,)P=(停)'+1=三，则三棱锥PABC的外接球表面 积为S=4πR=10元.】 B E .0 0 01 C 02 302 A 图1 图2 第8题图 二9.AC【解析：=二1士-+-1十i,则之的虚部为1，A 正确；|z=√2，B错误；2=2i为纯虚数，C正确；=1一i 在复平面内对应的点位于第四象限，D错误，】 10.BCD【解析：对于A项，由题意可知，D,E,F分别为BC, AC,AB的中点，所以Ad=AB+号BC=AB+号(AC A)=之(A+A心，同理可得B酡=号(Bì+BC),C 2(Ci+C$),所以，A市+成=号(A花+AC)+之(Bi+ BO=之(AC+BC=-C本，A错：对于B项，由重心的性 质可知A市=号Ad,硫=多B0,C使=三C心，由A可知， A市+B迹+C本=多(A0+B动+C)=0,所以Mi+M迹+ M心=(Mò+oA)+(Md+oB)+(Mò+O心)=3Mò (A0+B0+C0)=3M心，B对；对于C项，由重心的性质可 知od=A0,0t=之B0.0亦=Cd,所以M市+M迹+ 0Xsin(a十)=cos(a十)，正确；D.由题意得Oi·OP M=(Mò+O市)+(Mò+OE)+(Mò+Oi)=3M心+ 1 Xcos a十0 X sin a=cosa,Od·Op=cos BX cos(a十B)+ (-sin3)×sin(a+)=cos(3+(a十3))=cos(a+23),故 合0+0+d)=3Mò，C对：对于D项，C.市- 一般来说O才·OP≠OP·OP,故错误.】 之（心-A)·C+)=子心-恋）.同理可得C耐· 三、13.1.19厘米【解析：由题意可知，该港口本次运输中所 成=号醉-恋)，砧.亦=号(C峦-C),因此武· 有AGV的平均停车误差为2=器≈ 27+45+11 AD+Ci·+AB·C市=0，D对.】 1.19厘米.】 11.BCD【解析：如图，连接CD,AE,AF,A1B,BC1.对于A 14. 【解析：设a与a十b的夹角为0，因为|a=|bl=|a一bl, 项，BFC平面ABC,AE∩平面ABC=E,E￠BF,所以 AE与BF是异面直线，所以A错误.对于B项，AB∥ 所以a2=b2=a2+-2a·b,所以a·b=号aP= CD,所以异面直线EF与CD1所成的角为∠C1A1B,由于 合b1,所以a+b1=√a+b=Va+8+2a·6- 三角形A1BC是等边三角形，所以∠C1A1B=60°，B正确. 对于C项，设AC∩BD=O,根据正方体的性质可知BD⊥ va+石-ga,所以m8-治 AC,BD⊥AA,由于AC∩AA,=A,AC,AA,C平面 lap ACCA,所以BD⊥平面ACCA,所以点B到平面ACCA1 √3|a2 -写因为00，，所以0=朵】 的距高为之BD-号.V-s=号×（合×1x1)×号 15.53.75【解析：因为(0.01+0.03)×5=0.2<0.5,0.2十 0.08×5=0.6>0.5,所以该地中学生的体重的中位数在 ,C正确，对于D项，设点C到平面BEF的距离为A, [50,55)内，设该中位数为m,则(m一50)×0.08+0.2= e-4g=V-45e,号×（分×2xE×n60）Xh= 0.5,解得m=53.75.】 号（宁×反X1)×号，解得h-侣，D正确】 16.20 3x【解析：由AC=25,AB=2,BC=2得∠ABC 号2r=AC=4,=2(,为△ABC外接圆半径).又 n号 Sa=7AB·BCsin∠ABC=E,V,-c=号Snwch= 子g6=2g 2号，A=2,即点P到平面ABC的距离为2， .外接球球心O(PC的中点)到平面ABC的距离为1，∴，外 第11题图 12.AC【解析：A.OP=(cosa,sina),OP=(cos,-sinB), 接球半径R=r+1=5,R=厅，V=专R= 所以1O|=√cosa+sin&=1,|OP1 点】 √(cosB)2+(-sinB=1,故1O正1=1OP1,正确；B.A= 四、17.解：(1)由题意得5×(0.01+0.02+a十0.06+0.07)= (cosa-1,sina),Ad=(cosg-1,sinB),所以|A|= 1,解得a=0.04,所以这100人中测试成绩在[80,85)的 √/(cos&-1)2+sin2a=√(cos2a-2cosa+1+sina= 人数为100×0.04×5=20（人）. √21-osa=√4sim受=21sim号1，同理1Ag1= (2)平均数为(67.5×0.01十72.5×0.07+77.5×0.06十 82.5×0.04+87.5×0.02)×5=77.25(分)，因为前2 √cosg-1)+sinF=2引sin号1，故A1,A矿1不 组的频率和为5×(0.01+0.07)=0.4<0.5，前3组的 定相等，错误；C.由题意得Oi·OP,=1×cos(a十)+ 频率为5×(0.01+0.07十0.06)=0.7>0.5，所以中位 57 数在[75,80)中，设中位数为m,则0.4+(m一75)× 0.06=0.5,解得m≈76.67，所以中位数约为76.67分. (3)第三组的频率为5×0.06=0.3，第四组的频率为5× 0.04=0.2,第五组的频率为5×0.02=0.1，所以从第 三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习 心得交流分享，三组人数分别为3人，2人和1人，设第 三组抽取的人为A,A2,A,第四组抽取的人为B,B, 第五组抽取的人为C,则从这6人中抽取2人的所有情 况如下：AA2,AA,AB,AB2,AC,A2A,A2B, A2B2,A2C,A3B1,AgB2,AC,BB2,BC,B2C,共15种 其中第四组至少有1名老师被抽到的有：AB,AB2, A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,B1C,B2C,共9种，所以 第四组至少有1名老师被抽到的概率为号-是 18.解：I)由∠BAC-,∠CAD=2∠BAD,得∠BAD=平， ∠CAD=受.在△ABD中，由正弦定理，得BD= AD·sin∠BAD,在△ACD中，由正弦定理，得CD= sin B AD:盟CD,在△ABC中，由正弦定理，得出吕- sin C 所以0严ZDm04H怨孕 sinCAD sin B sin穷A 2=√2. (2)由AC=1,得AB=2.设∠BAD=a,则∠CAD=2a ∠BAC=3a,所以SAc=合AB·ACsn∠BAC=sn3a, SAAB=2AB·ADsin∠BAD=ADsin,SaAD=号AC ADsinCAD=ADsin acos a,sin 3a=AD(sin a+sin acos a), 故AD= sin 3a sin acos 2a+cos asin 2a sin a+sin acos a sina十sin acos a 4cosa.设1十cosa=1,则AD=4红+三-8.因为0< 1+cos a ∠BAC<所以0a<受则号<1<2设f0=+是-8， 名<<2，则了0=4-是因为当受<2时f0>0, 所以函数f)在区间（号，2）上单调递增.因为f(号）=0， f(2)=是，所以0<f()<号，故AD的取值范围 为(0,2)： 58 无敌原创·期末测试卷数学·必修第二册 19.解：(1)在频率分布直方图中，由(0.004十0.006十0.020)× 10=0.3<0.5,(0.004+0.006+0.020+0.030)×10= 0.6>0.5,所以中位数位于(70,80)内，设中位数为x,则 (0.004+0.006+0.020)×10+0.030×(x-70)=0.5,解 得工=70+29≈76.67，即本次测评分数的中位数约为76.67 3 分.由颜率分布直方图可知m=。×[1-10×(0.04+ 0.006+0.020+0.030+0.024)]=0.016.本次测评分数的 平均数为(0.004×45+0.006×55+0.020×65+0.030× 75+0.024×85+0.016×95)×10=76.2,即本次测评分数 的平均数约为76.2分. (2)在频率分布直方图中，前5组频率之和为0.84，小于0.85， 故第85百分位数位于第6组，所以90十10×0.85一084- 1-0.84 90.625≈90.63，即第85百分位数约为90.63. (3)由颜率分布直方图知测评分在85分以上的颜率为°，24+ 2 0.16=0.28,所以估计该市居民测评分在85分以上的人数 约为300×0.28=84（万人）. 20.(1)证明：在△ABC中，由已知及余弦定理，得(a十b)b= c2=a2+b2一2 abcos C,即b=a-2 bcos C,由正弦定理，得 sinB=sinA-2 sin Bcos C,又A=r-(B+C),故sinB= sin (B+C)-2sin Bcos C=sin Bcos C+cos Bsin C- 2sin Bcos C=cos Bsin C-sin Bcos C=sin (C-B)..0< sinB=sin(C-B),.0<C-B<C<π，.B+(C-B)= C<π，.B=CB,故C=2B. (2)解：由(1)C=2B得B+C=3B∈(0，x),B(0,号) Bc(号1)，由a-1+2a0.C=2B得志治 5+2cos C5+2cos 2B5+2(2cos B-1)-4cos B+ cos B cos B cos B oB≥2√4osB·o5=45,当且仅当B=吾∈ 3 3 (0,受)时等号成立，所以当B=吾时，怡的最小值为 4√3」 21.(1)证明：：四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC,MC⊥ BC,AB=2BC=2MC=2,.BM=AM=√2，∴.BM+ AMP=AB,即AM⊥BM.平面ADM⊥平面ABCM,平 面ADM∩平面ABCM=AM,BMC平面ABCM,.BM⊥ 平面DAM.又DAC平面DAM,'.BM⊥AD,又AD⊥DM, DM,BMC平面BDM,DM∩BM=M,∴.AD⊥平面BDM. .BDC平面BDM,∴.AD⊥BD. (2)解：由(ID可知BML平面ADM,BM=区，设器-X,则 点E到平面ADM的距离d=√2X.:△ADM是等腰直角 三角形，AD⊥DM,AM=√2，∴AD=DM=1,.VM-ADE= Vm=言sm·d-号即片×合×1x1xwa-8。 X=合E为BD的中点 22.证明：(1)设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理，得 sin∠ABC=宗sinC=录·因为BDsin∠ABC=sinC. 所以BD·条-a·示录，即BD·6=ac,又因为-ac,所以 BD=b. (2)解：因为AD=2DC,如图，在△ABC中，cosC= 。2+-CO,在△BCD中，cosC= +(台)》广- 2ab -②.由 ①②得a2+B-2=3[a2+(分)）-6]，整理得2a2- 兰谷+d=0.又因为=ac,所以60-1ac+32=0,解得 a=台或a=登当a=专8==亏时a叶6=专+厚< c(会去).当a=号，F=ac=兰时，cos∠ABC= (竖)+e- 立-B所以cs∠ABC- 26 c b B a 第22题图