期末测试卷(7)-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册期末测试卷

数学 期末测试卷（七） (满分：150分时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目 要求。 1.已知复数之在复平面内对应的点为(1,1)，2是2的共轭复数，则等于 A-+2 B+2 D.-1-1 221 2.若a=(2,1),b=(-1,1),(2a+b)∥(a+mb),则m的值为 1 A.2 B.2 C.-2 D.-1 2 製 3.2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，出色的赛事组织工作赢得了国际社会的一致 称赞，经济效益方面，多项收入也创下历届冬奥会新高.某机构对本届冬奥会各项主要收入进 行了统计，得到的数据如图.已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多27 亿元，则估计2022年冬奥会这几项收入总和约为 特许商品销售 12.2% 赛事转播 政府补贴 35.4% 10.8% 赞助商 41.6% 第3题图 A.223亿元 B.218亿元 C.143亿元 D.118亿元 丝 4.定义：|ab|=|a|b|sin0,其中0为向量a与b的夹角.若|a=2,|b|=5,a·b=-6,则 aXb等于 A.6 B.-6 C.-8 D.8 5.从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数，分别记为m,n,则为整数的概率为 ( A号 B c D 6.在正方体ABCD-A1B1CD1中，点M在线段CC1上，点N为线段AA1的中点，记平面BDM∩ 平面B1D1M=I,则下列说法一定正确的是 ( A.I⊥平面BDN B.l⊥平面B1DN C.l⊥平面CDDC1 D.L⊥平面ACC1A 7.太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）.设地球表面某地正午太阳高 度角为0,6为此时太阳直射点纬度，9为当地纬度值，那么这三个量满足0=90°一|φ一6.通州 区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（φ取正值），选择春分当日(6=0°)测算正午 太阳高度角.他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长，分为甲、乙、丙、丁四个 小组在同一场地进行，测量结果如表，则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是() 组别 甲组 乙组 丙组 丁组 木杆影长度/米 0.82 0.80 0.83 0.85 A.甲组 B.乙组 C.丙组 D.丁组 8.如图，正四棱台ABCE-A1B1C1D1中，点E,F,G分别是棱C1D1,D1A1,A1B1的中点，则下列判 断中，不正确的是 () A.B,B1,D1,D共面 B.F∈平面ACE C.FG⊥平面ACE D.A1C1∥平面ACE G D 第8题图 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知复数之满足方程(2+9)(z2一2之十4)=0，则 ( A.之可能为纯虚数 B.该方程共有两个虚根 C.之可能为1-√3i D.该方程的各根之和为2 10.在△ABC中，D为BC的中点，且AQ=2ED,则 ( A.ct=号ci+c B.CE-CA+CB C.C龙∥(CA+C) D.C克⊥(CA-C) 25 11.如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD为正方形，SC=SD=CD=1,E为线段SD的中点，F为 AC与BD的交点，AD⊥SD,则下列结论正确的有 () A.BC⊥平面SCD B.EFP∥平面SAB C.平面SCD⊥平面ABCD D.线段BE长度等于线段SF长度 12.如图，已知圆锥顶点为P，,其轴截面△PAB是边长为6的正三角形，O为底面的圆心，EF 为圆O1的一条直径，球O内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），点Q是球O与圆锥侧 面的交线上一动点，则 ( A.圆锥的表面积是45π B.球O的体积是4√3π C.四棱锥Q-AEBF体积的最大值为9√3D.QE十QF的最大值为6√2 01 D 0 B E 第11题图 第12题图 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,bc,则能使0sA-白成立的一组A,B的值是 cos B a 14.某中学的高一、高二、高三这三个年级学生的平均身高分别为元，y,乏，若按年级采用分层抽 样的方法抽取了一个600人的样本，抽到高一、高二、高三的学生人数分别为100,200,300，则 估计该中学学生的平均身高为。 15.已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一的众数 是3，则这6个数的极差最大时，方差的值是 D 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,且底面各边 都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面 MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 第16题图 26 无敌原创·期末测试卷数学·必修第二册 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.10分)如图，已知矩形ABCD中，AB=2,AD=1,Di=号D心，BN=号BC,AC与MN相交 于点E (1)若MN=入AB+4A可，求λ和4的值； D M C (2)用向量AM,AN表示AE E B 第17题图 18.(12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A). (1)证明：2a2=b2+c2; (②)若a=5,osA-贾，求△ABC的周长 19.(12分)甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌 洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张 (1)写出甲、乙抽到牌的所有样本点； (2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？ (3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？ 为什么？ 鋼 都 器 20.(12分)如图，在长方体ABCD-A1BC1D1中，E,F分别是B1C1和C1D1的中点. (1)证明：E,F,D,B四点共面； (2)证明：BE,DF,CC1三线共点. D F E A B D B 第20题图 27 21.(12分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市 的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了 “创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份为样本，将样本的成绩（满分100 分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图的频 率分布直方图 (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求 两组成绩的总平均数乏和总方差s2. 个频率 组距 0.025 0.020 0.010 0.005 04 405060708090100分数 第21题图 28无敌原创·期末测试卷数学·必修第二册 22.(12分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知c2=√2ab. (1)求cosC的最小值； (2)证明：C-A≤否18.解：(1)f(x)=2cos2x+2√3 sin xcos=√3sin2x+cos2x+ 1=2sin(2x+石）+1，f(x)的最大值为3。 (2)x=A时，m=am,(2cosA,2√3sinA)=(acos A,acos A), (2cos A=acos A, a=2,mA=9,由于0<A<,所以 2√3sinA=acos A A=晋，由余弦定理得a2=+2-2bc0sA,4=:+12- 26×25×号：-60+8=0，解得6=2或6=4当6=2时。 58e=合esinA=子×2X25X之=5，当6=4时， Sm=2cnA=2×4X2gX号-2g. 19.解：(1)选①.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一 600+500110011 或高二学生的概率为00十50十。1100十a-1,解得a= 300,所以a的值为300.选②.依题意，从所有学生中随机抽 取1人，抽到高一或高三学生的概率为600十500十a 500+a 品号解得a=30,所以。的值为30选@.依题 意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高三学生的概率为 60+0干。是，解得a=30,所以的值为30， (2)第一步：求出抽取的6人中高一、高三学生的人数.由(1) 知，高一、高三学生人数比为2：1，所以抽取的6人中，高一 有4人，高三有2人.第二步：列出从抽取的6人中任取2人 的所有情况.高一的4人记为a,b,c,d,高三的2人记为A,B, 则从这6人中任取2人的所有情况为{a,b},(a,c},{a,d}, {a,A},{a,B},{b,c},{b,d},{b,A},b,B},{c,d},{c,A}, {c,B},{d,A},{d,B},{A,B},共15种.第三步：列出至少有1 人是高三学生的情况.抽取的2人中至少有1人是高三学生 的情况有{a,A},{a,B},{b,A},{b,B},{c,A},{c,B},{d,A}, {d,B》,{A,B},共9种.第四步：根据古典概型的概率公式得 解，至少有1人是高三学生的概率为品-号 20.解：(1)圆内接四边形ABCD中，B+D=π，cosD=一cosB= 青在△ACD中，由余弦定理得AC=AD十CD-2AD· CDc0sD=9+25-2×3X5×号=10，所以边AC的长 是√10. (2)依题意，sinB=V-coB=号，在△ABC中，a十B 一B,B为纯角，由正孩定理得品一品。即m。 BCsin B3X号9西，雨a为锐角，则s=页房 AC √10 50 50 以sin(2a+3)=sin(π-B+a)=sin(B-a)=sin Bcos a cos Bsin a= 3×13+4×9@-3@ 5 50 5 50 10 21.解：(1)由题可知a=0.004×10×100=4,b=100一(2十4+ 22十40+28十4)=40，所以100名居民竞赛成绩在[70,80)组 内频率/组距为品÷10=0.040，补全颜率分布直方图如图。 个频率/组距 0.040 0.028 0.022 0.004 0.002E 成绩/分 0V405060708090100 第21题图 (2)估计该社区居民竞赛成绩的平均数云=45×总十5× 高+65×器+75×品+85×器+95×高=5，估计该 2 社区居民竞赛成绩的方差子=(45一75户×0十(5-75尸× 0+(65-75)9×器+(75-75)2×品+(85-75× 4 28 4 00+(95-75)2×10=100. (3)由(1)可得s=√100=10，所以P(X≥x-s)=P(X≥ 65)=1-P(X<65)=1-(0.002×10+0.004×10+0.022× 5)=0.83.0.83∈(0.8,0.9]，所以该社区可获得“反诈先 进社区”称号。 22.解：(1)如图1，连接AC,BD,相交于点O,因为四边形 ABCD是正方形，所以O是正方形的中心，连接PO,因为四 棱锥P-ABCD是正四棱锥，则PO⊥底面ABCD,连接OE, 因为E为PB的中点，所以EO是△PBD的中位线，所以 EO∥PD,∠OEA(或补角)即为异面直线AE与PF所成角 的大小.因为正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2√2，所以 △PAB是等边三角形，所以AE=AB·sin号=6，由勾股 定理得AC=√8+8=4，所以AO=2,因为PO⊥BD,E为 PB的中点，所以OE=号PB=厄.在△AOE中，由余弦定理 、得cos∠OA三OA二AC-22=9·所以异 2OE·AE 面直线AE与PF所成角的余弦值为. (2)如图2，连接EF,与OP相交于点Q,则Q为OP,EF的 3.B【解析：设收入总和为x,则35.4%x一(12.2%十10.8%)x= 中点，因为E,F分别为PB,PD的中点，所以EF是三角形 27,解得x=218.】 PBD的中位线，所以EF∥BD,因为BDC平面ABCD, 4.D【解析：.a·b=|a||b|cos0=10cos0=-6,.cos0= EF在平面ABCD,所以EF∥平面ABCD,设平面AEGF与 -号又0e[0sim0=÷axb1=1a1b1sn0= 4 平面ABCD相交于直线I,故EF∥l∥DB,连接QA,则因 为AE=AF,所以AQ⊥EF.又因为OA⊥BD,故∠QAO即 10sn0=10x号-8.】 为平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角，其中OQ 号0P=-1,A0=2,所以an∠0AQ-8=合，即平面 5.B【解析：由题意得，从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2 个数，则共有下列情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3) ABGF与平面ABCD所成锐二面角的正切值为分 (2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1), (3)如图3，延长AQ,则由两平面相交的性质可得AQ一定 (3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),共有20种等可能 过点G,过点G作GM∥PO交AC于点M,因为PO⊥底面 情况，其中为整数的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(4,2) ABCD,所以GM⊥底面ABCD,设GM=CM=x,则AM= 4-,由2)知，m∠0AQ=名，所以微名，即名 ”4-x 5种情况，所以所求概率为品-子】 6.D【解析：由题意得，B1D1∥BD,BDC平面BDM,B1D1 合解得-青做瓷-部言-号，所以点G的位置 平面BDM,则BD∥平面BDM.又平面BDM∩平面 为线段PC靠近P的三等分点. B1D1M=,.B1D1∥L.因为B1D1⊥A1C1,B1D1⊥AA1, D P A1C1∩AA1=A1,AA1C平面AA1C1C,A1C1C平面 AAC1C,故B1D1⊥平面ACC1A1,因此I⊥平面ACC1A1.故 D正确.而B:D1∥BD,BDC平面BDN,B1D1￠平面 DA BDN,则BD∥平面BDN,故L∥平面BDN,A错误，同理 0 B错误；由于B1D1与C1D1相交不垂直，故B1D1与平面 B 图1 图2 B CDD1C1不垂直，因此I不垂直平面CDD1C1,故C错误.】 7.D【解析：如图，地球表面某地正午太阳高度角为0,6为此 时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足0= 90°-|p一dl,当8=0°且9为正值时，可得0=90°-9，即p= 90°-0，设木杆的影长为m,可得an0=六，因为甲，乙、丙、 丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为0.82,0.80， 图3 第22题图 0.83,0.85,所以当m=0.85时，0取得最小值，此时p取得 最大值，所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是 期未测试卷（七） 丁组.】 一、1.B【解析：复数x在复平面内对应的点为(1,1)，.x= 1+i=1-a岁名+】 杆长 2.A【解析：由题意，向量a=(2,1),b=(一1,1)，可得2a十b (3,3),a+mb=(2-m,1+m).因为(2a+b)∥(a+mb),可 影长m 得3×1+m)=3×(2-m),解得m=号.】 第7题图 51 8.C【解析：如图，延长正四棱台ABCD-A1B1CD1的侧棱相 交于点S,则三棱锥S-ABCD为正四棱锥，连接BD,B,B1, D,D都在平面SBD内，故A正确；因为E,F分别是棱 C1D1,DA1的中点，所以EF∥AC1,由正棱锥的性质可知 AC∥A1C1,所以EF∥AC,即F∈平面ACE,故B正确；连接 EG,因为点E,G分别是棱CD,AB的中点，所以EG∥ DB1,EG⊥AC1,设A1C∩BD1=O,则SO⊥平面 A,B1C1D1,EGC平面A1B1C1D1,∴.SO⊥EG,SO∩A1C1= O,SOC平面SAC,ACC平面SAC,∴EG⊥平面SAC,显 然平面SAC与平面ACE不平行，故C错误；因为AC∥ A1C:,ACC平面ACE,AC丈平面ACE,所以A,C1∥平面 ACE,故D正确.】 第8题图 二、9.ACD【解析：由(z2+9)(z2一2z+4)=0,得z2+9=0 或2-2x十4=0，即2=-9或(x-1)2=-3,解得之= 士3i或之=1士√3i,即方程的根分别为=3i,2=一3i, =1十√3i,4=1一3i,所以名十22十+4=3i+ (-3i)+(1+√3i)+(1-√3i)=2.】 10.BC【解析：因为A龙=2ED,则A,E,D三点共线，且正 |AE=2IEDL.又因为AD为中线，所以点E为△ABC的 重心.如图，连接CE并延长交AB于点F,则F为AB的中 点，所以迹-=号C迹=号×+=号+号， 所以CE∥(CA+C).】 E F 第10题图 52 无敌原创·期末测试卷数学·必修第二册 11.ABC【解析：因为ABCD是正方形，所以BC⊥CD.又ADI SD,所以BC⊥SD,CDC平面SCD,SDC平面SCD,CD∩ SD=D,所以BC⊥平面SCD,因此A正确；而BCC平面 ABCD,所以平面SCD⊥平面ABCD,因此C正确；如图，因 为F是BD的中点，而E为线段SD的中点，所以EF∥SB, SBC平面SAB,EF￠平面SAB,所以EF∥平面SAB,因 此B正确；对于D项，因为△CDS是边长为1的正三角形， ABCD是正方形，所以DS=1,BD=√2.又由BC⊥平面 SCD,得BC⊥SC,所以BS=√2.连接SF,在△BDS中， BS=BD=√2，DS=l,又BE,SF分别是等腰三角形 △BDS的底边DS和腰BD上的中线，所以线段BE与SF 的长度不相等（否则，△BDS是正三角形），因此D不 正确.】 第11题图 12.BCD【解析：依题意，动点Q的轨迹是圆，所在平面与圆锥 底面平行，令其圆心为O2,如图，连接PO,正△PAB内切 圆即为球O的截面大圆，球心O、截面圆圆心O2,都在线段 PO1上，连接OQ,O2Q,PO=3√3，则球O的半径OO1 V5,显然0Q1PQ,0.Q1P0,∠P0Q=60,00,=0Q= 号0，Q-00号，0.0-39对于A项，圆锥的表面 积是S=πO1A2十π·OA·PA=π×32十πX3X6=27π， A错误；对于B项，球0的体积是V=40O=4×(W3)= 3 3 4√3π，B正确；对于C项，因Q到平面AEBF的距离与截面 圆圆心0：到平面的距离相等，均为3，则当四边形 AEBF的面积最大时，四棱锥Q-AEBF的体积最大， SAEr=7AB·EFsin∠AOE<18,当且仅当∠AO,E= 90°，即EF⊥AB时取“=”，则四棱锥Q-AEBF体积的最大 值为号×18×3=95，C正确：对于D项，因Q0= 2 QO十O1O号=9，则有QO=EO1=FO=3,即QE⊥QF,因 D,所以PC⊥平面MBD.又因为PCC平面PCD,所以平面 此QE+QF=EF=36,由均值不等式得QEQE≤ MBD⊥平面PCD.】 2 四、17.解：(1)如图，以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD Q于QF=3√2，即QE+QF≤6V瓦，当且仅当QE- 2 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0,1), QF时取“=”，D正确.】 B(2,o,M(号，1)，N(2,号），所以M本=（等，-号） 范=(2,0)，A市=(0,1)，所以=（告，-子）= 4 2λ=31 λA+μA市=(2λ，)，所以 解得X=子以 3 品 0 (2)设A范=tAC,AC=mAM+nAN.因为AM= 第12题图 (号，1)AN=(2,号)，t=(2,1),所以At=(2,1)= 三、l3.A=B=石（答案不唯一）【解析：由正弦定理得a= (号m+2,m+号，解得m=号，n=号，即AC 2RmA6=Rn瓜：器含台小含-票 号A+号AN,所以A迹=AC=号AM+号A立.又因 sin Acos A=sin Bcos B,∴.sin2A=sin2B.:A∈ 为M,E,N三点共线，所以号+=1,1=子，所以 (0,x,B∈(0，x)A=B=吾（答案不唯-）.】 A正-子A+子A衣. 14名2计子+号：【解析：设某中学的总人数为m,由题意 知，高一高二、高三的学生总人数分别为答，号，受，所以 估计该中学学生的平均身商为会斗罗·十受的 m 合+号+】 1 B 第17题图 15.号【解析：因6个正整数极差最大，则最小数是1，而唯一 18.(1)证明：因为sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),所以 众数是3，则3只能出现两次，若超过两次，则中位数是3， sin Csin Acos B-sin Csin B cos A=sin Bsin Ccos A-sin B. 与中位数是4矛盾，因此前4个数为1,3,3,5.设另两个数 sin Acos C,所以ac.g+C-止-2c.+之-d=-ab 为b,c(b<c),显然b>5,因平均数是5，则b十c=18,要使极 2ac 2bc 差c一1最大，当且仅当c最大，此时，b=6,c=12,所以这6 。+-上，即+g-世-(6+-a)=-心+-C,所 2ab 2 2 个数的方差为号[1-5)+(3-5)2+(3-5)+(5-5)2+ 以2a2=b2+c2. (6-5+12-50]=号.】 (2)解：因为a=5,0sA=票由1得：+2=50，由余弦定 16.DMLPC(或BM⊥PC)【解析：可填DM⊥PC,由ABCD 理可得。=8十-2kosA,则50-号k=25,所以c= 为菱形，则AC⊥BD.:PA⊥底面ABCD,BDC平面 ,故(6+c)2=0+2+2c=50+31=81,所以6+c=9,所 31 ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC=A,∴.BD⊥平面PAC. 又PCC平面PAC,∴.BD⊥PC.又DM⊥PC,BD∩DM= 以△ABC的周长为a+b+c=14. 19.解：(1)分别用2,3,4,4表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则 甲、乙抽到牌的所有样本点为(2,3)，(2,4)，(2,4)，(3,2)， (3,4),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),(4',2),(4',3),(4,4), 共12个. (2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因 此乙抽到牌的数字比3大的概率是子， (3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)， (《,2),4,3)共5个样本点，因此甲胜的概率为，乙胜的 7 57 概率为2·因为立<2，所以此游戏不公平. 20.证明：(1)如图，连接EF,BD,B1D,,EF是△B1CD1,的中 位线，EF∥BD.,BB与DD平行且相等，.四边形 BDDB是平行四边形，∴.BD∥BD,.EF∥BD,.E,F, D,B四点共面. (2),EF∥BD,且EF≠BD,.直线BE和DF相交，如图 延长BE,DF,设它们相交于点P.,P∈直线BE,直线BEC 平面BBCC,∴.P∈平面BBCC,P∈直线DF,直线 DFC平面CDDC1,.P∈平面CDDC.'平面BBCC∩ 平面CDDC=CC,∴.P∈CC,∴.BE,DF,CC三线共点. B 第20题图 21.解：(1)每组小矩形的面积之和为1，.(0.005+0.010+ 0.020+a+0.025+0.010)×10=1,.a=0.030. (2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+ 0.030)×10=0.65,落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+ 0.020+0.030+0.025)×10=0.9,设第75百分位数为m, 由0.65+(m-80)×0.025=0.75,得m=84,故第75百分 位数为84. (3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10， 成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，故= 10×54+66×20=62.设成绩在[50,60)中10人的分数分 10+20 别为x1,x2,x3,…,x10,成绩在[60,70)中20人的分数分别 为为为，…购，则由题意可得，十+十金-54=7， 10 +呢十十远-662=4，即x十x号十…十x。=29230, 20 听+号+…+%=87200，=10十20（G+号+…+ +i+坊++%)-=0(29230+8720）)-62- 37,所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37. 22.(1)解：由余弦定理得，cosC=。+-C,2ab-C=1 2ab 2ab 竖，等号成立当且仅当a:6:c=1:1:万 (2)证明：当C≤A时，C-A<0<吾.当C>A时，设线段AC b 的中垂线交AB于点D,AD=20SA-6+-a,DB=C- AD-2号在△CDB中，由正弦定理得，m总品 sin B CD ADAD 2 DBDB'DB a2b-a) =2,故sin(C-A)≤ B<由osC≥1-号>故0<C-A<C<晋则 2 C-A<吾 期未测试卷（八） 一1.A【解析：乏=1+2i,之+a乏+b=1-2i+a(1+2i)+ b=(1+a+b)+(2a-2)i,由x+a+b=0,得 1+a+60即fa=1 】 2a-2=0, b=-2. 2.C【解析：不妨设2021年的高考人数为100，则2022年的高 考人数为150.2021年本科达线人数为50,2022年本科达线 人数为90，得2022年与2021年的本科达线人数比为9：5， 本科达线人数增加了80%，故A不正确，C正确：2021年专 科达线人数为35,2022年专科达线人数为45，所以2022年 与2021年的专科达线人数比为9：7，B错误：2021年不上线 人数为15,2022年不上线人数也是15，不上线的人数无变 化，D错误.】 3.C【解析：解：：la-2b2=|a-4a·b+4b12,又：|a= 1,|bl=√3，la-2b|=3,∴.9=1-4a·b+4×3=13-4a· b,.a·b=1.】 4.B【解析：从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值 面BCD,DCC平面BCD,'.AD⊥平面BCD.又，'BDC平面 为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)共4个样 BCD,,AD⊥BD,即∠ADB为直角.又：∠ACB为直角，如 本点.】 图，取AB的中点O,连接OC,OD,由直角三角形的斜边上的 5.A【解析：因为在平行四边形ABCD中，点E,F分别满足 中线性质OA=OB=OC=OD,可得O为三棱锥D-ABC外接 D=武，脉=}市，所以萨=亦-A迹=（迹+）- 球的球心.由三棱锥D-ABC外接球的表面积为4π，可得外 (A市+D成)，B脉=十B动=(A市-AB)=子(b-a),所以 接球的半径r=1,AB=2,BC=1,AC=5,CD-号， 康=[a+子b-a)]-(b+)=是a-6】 AD=号.：BC⊥平面ACD,∠ADB为直角，·三棱锥 6.B【解析：对于A项，如图1，因为D1E与DB异面，故A错 D-ABC的体积为号CX5m=吉×1x号×是×号-怎】 2 误；对于B项，如图2，连接AD,在正方体ABCD-A1BCD 中，A1D⊥AD,AE⊥平面ADD1A,ADC平面ADD1A,所 以AE⊥A1D.因为AE∩AD1=A,所以A1D⊥平面AED1, DEC平面AED1,所以DE⊥AD,故B正确；对于C项，如 图3，连接AC1,可得AC1⊥平面A1BD,因为AC1与D1E不 平行，所以DE不垂直平面ABD,故C错误；对于D项，如 B 图4，取CD1的中点F,连接BF,则DE∥BF.因为BF交 第8题图 平面BDC1于点B,BF不平行平面BDC1,即D1E不平行平 二9C【解析：对于A项，=2牛-2牛 -1+-(-1+i0(-1-D 面BDC1,故D错误.】 D 12-号-号A错误：对于B项，：=2+30… (-1十i)=-5-i,.1·z=-5十i;又21·22=(2 3i)(一1一i)=一5十i,.·z2=21·22,B正确；对于C 项，1十m=2+m十3i为纯虚数，∴.m十2=0，解得 m=一2，C正确；对于D项，由题意得Oi=(2,-3),O= 图1 图2 (-1,-1),∴.Ai=Oi-Oi=(-3,2),∴1A1=√9+4= A D /13,D错误.】 cosa+cosβ=0， 10.BD【解析：根据向量的加法可得 根据诱 sin a+sin B-1, E A A E 导公式及同角三角函数的关系，且α∈[0,2π)，∈[0,2π)，a> 图3 图4 解得。=吾g吾对于A项m=1,m=1,则有m十 第6题图 2故A销误：对于B项oas6一0=as经=一合放B正确： 7.B【解析：Rt△ADC中，∠DAC=30°，则AC=√3CD. Rt△BDC中，∠DBC=45°，则BC=CD,由AC-BC=AB 对于C项，m=(-罗）a=(号)则有m-n 得V5CD-CD=14>CD=14=75+1)≈19.124，即 3-1 (一√5,0)，故有m一=√3≠2，故C错误；对于D项， CD约为19米.】 sin(a十3)=sinπ=0，故D正确.】 8.C【解析：：平面ACD⊥平面ABC,平面ABC∩平面ACD= 1.ACD【解析：由题意，堑堵的体积V=兰，阳马的体积 AC,AC⊥BC,BCC平面ABC,∴.BC⊥平面ACD.又ADC 平面ACD,∴.AD⊥BC.又，'AD⊥DC,BC∩DC=C,BCC平 =背，路腊的体积V=台】 53