期末测试卷(4)-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册期末测试卷

数学 期末测试卷（四） (满分：150分时间：120分钟) 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目 要求。 1.已知向量a和b满足a=2,b=3,则(2a一b)·(2a+b)等于 A.10 B.7 C.4 D.1 2.已知i为虚数单位，则 等于 A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 3.有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自 故 己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的 A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差 4.若P(AB)=日，P(A)=号，P(B)=号，则事件A与B的关系是 如 部 A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 城 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又相互独立 期 地 5.2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高， 长 获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目.某体育院校随机调查了100名学生 冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按[0,10]，(10,20]， (20,30],(30,40],(40,50]分组，分别得到频率分布直方图如图.估计该体育院校学生观看雪 上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是x1和x2,方差分别是s子和s号，则 丝 A.x1>x2,s>s号 B.1>x2,s<s C.x<x2,s>s D.x1<x2,s<s 频率 频率 组距 组距 0.030 0.030 0.025 0.025 0.020 0.020 0.015 0.015 0.010 0.010 0 10203040 50观看时间/小时 0 1020304050观看时间/小时 雪上项目 冰上项目 第5题图 6.已知在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=a(a十c),则 bcos A-一acos B的取值范围是 asin A () A.0,2 B.o. D29 7.已知向量a,b满足|a=l,|b=√3，若对于任意单位向量e,都有a·e十b·e≤7，则a·b 的最大值为 A受 B C.√3 D.3 8.下面是关于三棱锥的四个命题，其中真命题的编号是 ( ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 ④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 A.①② B.①④ C.②③ D.①③ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.2021年3月，教育部发布了2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育（含普 通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构)近六年的在校生规模与毛入学率情况图及2020 年高中阶段教育在校生结构饼图如下，根据图中信息，下列说法正确的有 ( ) (注：高中阶段教育毛入学率=在校生规模÷适龄青少年总人数×100%) 其他适龄教育机构 万人 ■高中阶段在校生数 鲁毛入学率 4128% 0.13% 4200 40383970397139353995 192 4000 90 3800 88.3 88.8 88 中等职业学 3600 87 86 校39.44% 普通高中 3400 84 60.43% 3200 82 3000 80 2015年2016年2017年2018年2019年2020年 全国高中阶段教育在校生规模及毛入学率 2020年高中阶段教育在校生结构 第9题图 13 A.近六年，高中阶段教育在校生规模与毛入学率均持续增长 B.近六年，高中阶段教育在校生规模的平均值超过4000万人 C.2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万人 D.2020年，普通高中的在校生超过2470万人 10.设0<0<π，非零向量a=(sin20,cos0),b=(cos0,1),则 ( A.若tan0=,则a/b B若0=平，则a1b C.存在0，使2a=b D.若a/b,则1an0=号 11.从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a,b,且a,b是异面直线，则a,b所成角的余弦 值的可能取值有 () A.0 C 3 D② 2 12.设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则下列说法正确的有 ( A.若ab>c2,则C< B.若tanA≤tanB,则sinA≤sinB C.若sinA<cosB,则△ABC为钝角三角形 D.若tan Atan B.>l,则tan Atan Btan C)>2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定 个平面 14.将一枚骰子先后抛两次，则向上的点数之积为12的概率为 ·(结果用最简分数表示) 15.一个容量为9的样本，它的平均数为号，方差为号 ,把这个样本中一个为4的数据去掉，变成 一个容量为8的新样本，则新样本的方差为 16.在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是 ①|之2=|z2|；②若1一2>0，则x1>2③若(x1-2)2+(x2一3)2=0，则之1=2=3； ④1一2=√(1十2)2一4必12；⑤=号，则1·1=2·之2；⑥212≤十号； ⑦两个共轭复数的差是纯虚数；⑧若之十=之一i,则之必为实数. 14 无敌原创·期末测试卷数学·必修第二册 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分)如图，已知△ABO中，延长BA到C,使AC=BA,OD=2D,DC和OA交于点E,设 OA=a,OB=b (1)用a,b表示向量OC,DC； (2)若O=入OA,求实数入的值. 0 D E C A 第17题图 18.(12分)某单位为了了解退休职工的生活情况，对50名退休职工做了一次问卷调查（满分100 分)，并从中随机抽取了10名退休职工的问卷，得分情况统计如下表所示.试回答以下问题 分数 77 79 81 84 88 92 93 牛 人数 1 1 3 2 鸣 (1)求抽取的10名退休职工问卷得分的均值x和方差s2, (2)10名退休职工问卷得分在x一s与x+s之间有多少人？这些人占10名退休职工的百分 比为多少？ (3)若用样本估计总体，则50名退休职工中问卷得分在(80,90)之间的人数大约为多少？ 19.(12分)如图，在正四棱柱ABCD-A1B,CD,中，AB=2,直线AC与平面ABCD所成角为元 (1)求异面直线A1B与D1D所成角的正切值； (2)求C1到平面A1BC的距离. D B B 第19题图 都 器 20.(12分)某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全 市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分 布直方图如图 (1)求直方图中x的值，并估计复赛选手年龄的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作 代表，结果保留一位小数)； (2)根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第75百分位数； (3)决赛由8名专业评审、10名媒体评审和12名大众评审分别打分，打分均采用10分制.已 知某选手专业得分的平均数和方差分别为x1=8.4,s=0.015,媒体得分的平均数和方差 分别为x2=8.8,s号=0.054，大众得分的平均数和方差分别为x3=9.4,s号=0.064，将这 30名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差（结果保留三位小 数).[附：方差=21(x,-)2=1x-.] 频率 组距 0.040 0.035 0.030 0.020 0.015 0.010 202530354045505560年龄/岁 第20题图 15 21.(12分)如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，∠AOP=120°，圆O的直径AB=4,圆柱 的高001=3. (1)求点A到平面A1PO的距离； (2)求二面角A1PB-O的余弦值大小. A 0 B 0 A2 B P 第21题图 16无敌原创·期末测试卷数学·必修第二册 22.(12分)如图，AD=BC=6,AB=20,O为AB的中点，曲线CMD上任一点到O的距离相等， M为曲线CMD的中点，∠DAB=∠ABC=120°，P,Q关于OM对称 (1)若点P与点C重合，求∠POB的正弦值； (2)求五边形MQABP面积S的最大值， 公 A 0 B 第22题图22.解：(1)如图，延长AO交BC于点D,因为O为正三角形 ABC的中心，所以D为BC的中点，所以A市=号（店+ A心.因为A0=号市.所以0=号A市+号心 (2)设AN=m,因为AC=1,所以AC=AN.因为AM 子，AB=1,所以AB=号AM,由1)可知A0=子A峦+ 号C,所以0-号×号不+.因为M,0,N三点 共线，所以号十动=1，解得m=号.即AN的值为号 (3)因为正三角形ABC的边长为1，O为正三角形ABC的 中心，所以A0=原∠M0=∠NA0=吾设∠MOA=a, 则冬<a<三在△M0A中，由正弦定理可得n2A0 OM 3 OA 6 所以OM= sim-(+吾] sin(a+晋】 1 6 一.在△NOA中，同理可得ON= 3sina+√3cos sm(。-晋） 1 ，所以Of+ON2= 3sina-√3cosa (3sin acos 1 6sin2a十2cos2& (3ina-3osa)-3'W3sina十cos)6/3sina一cosa厅 2 漂照日号·品◆=2m。叶 2,2sim2a+1 则ma号所以o+oN号.只 导。号品国为导停 <sina<1,<sim2a<1,所以号<2sim2a+1<3,即 号<<3.令y=4+号，则y=4+9在[号3]上单调递 9 增，所以4X3+号≥≥4×号+哥，即15≥≥8，即15≥ 4+号>0所以3≥红+是-12≥号，所以名≥ t 923所以38≥3· 4t+9-12 ≥号，所以号<OM+ON≤ 46 无敌原创·期末测试卷数学·必修第二册 是，即OF+ON的最大值为品，最小值为号 0 D 第22题图 期未测试卷（四） 一、1.B【解析：(2a-b)·(2a十b)=4a2-=4×22-32=7.】 1-i(1-i)(1-i) 2.C【解析：1+1+iD1-D =-i,且，(-i)+(-i)2十 (-1)3+(-i)=0,故.(-i)m+1+(-i)a+2+(-i)+3+ (-)=0,故罗(》广-置(-i议=(-D+(-= -i-1.】 3.C【解析：把13名同学成绩按由高到低排列，取成绩靠前的 6个进人决赛，即最中间一个数之前的6个进入决赛，13个 成绩按由高到低排列时，最中间一个数即是中位数.】 4C【解析：P(A)=1-P(A)=1-号=子P(AB)= P(AP(B)=号≠0，事件A与B相互独立，事件A与B 不互斥，故不对立.】 5.A【解析：由题意进行数据分析，可得0.020×(10一0)+ 0.010×(20-10)+0.030×(30-20)+0.015×(x1-30) 0.75,解得x1=40,0.010×(10-0)+0.020×(20一10)十 0.030×(30-20)+0.025×(x2-30)=0.75,解得x2=36, 所以x1>x2.比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目 的数据更分散，冰上项目的数据更集中，由方差的意义可以 得到>说.】 6.C【解析：由b=a(a十c)及余弦定理，可得c-a=2a· cosB,正弦定理边化角，得sinC-sinA=2 sin AcosB. A+B+C=,.'sin (B+A)-sin A=2sin AcosB, .sin(B一A)=sinA.,ABC是锐角三角形，.B一A=A, 即B=2A:0<B<受，受<A+B<,晋<A<年，则 6 co Aaco B sin (BA)=sinA∈（分，号）】 asin A sin2A 7.B【解析：由题意得|a·e+b·e=|(a+b)·e≤a·e|十 |b·e≤√万，即|a十b≤√7，当且仅当a十b与e共线时取等 5 号，故a2+2a·b+b≤7.由于|a=1,lbl=√3，则a·b≤ ,则如0=9，即am0=08 5 cos62√5 ，故D 5 名，即a·b的最大值为受】 正确.】 8.B【解析：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角 1山，ACD【解析：利用异面直线的夹角范围为(0，受]，故其余 都相等的三棱锥是正三棱锥，可推出底面中心是棱锥顶点在 弦值范围为[0,1)，可以分为以下几类：两条棱所在直线异 底面的射影，所以是正确的.②显然不对，比如三条侧棱中仅 有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三 面时，所成角的度数是受，其余弦值为0：面对角线与棱所 棱锥不是正三棱锥，③底面是等边三角形，侧面的面积都相 等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，根据射影长的 在直线异面时，所成角的度数是子或受，其余弦值为号或 关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直 0:两条面对角线异面时，所成角的度数是号或受，其余弦 线的距离也相等，由于在底面所在的平面内，到底面三边所 在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心 值为2或0：体对角线与棱所在直线异面时，所成角的余弦 3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥.④侧棱与底面所成 值为号：体对角线与面对角线异面时，所成角的度数是受， 的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥，可 其余弦值为0.】 得底面中心是棱锥顶点在底面的射影，是正确的.】 二，9.BD【解析：对于A项，近六年，高中阶段教育在校生规 12.ACD【解析：A.若ab>c,所以cosC-a+-c> 2ab 模不是持续增长的，故A错误；对于B项，近六年的在校 20b=合则0<C<受，放A正确：B当A=105,B 2ab 生总数为24037万人，平均值约为4006万人，故B正 45°时，tanA≤tanB,但是sinA>sinB,故B错误； 确：对于C项最器×1-9.5%)≈6的，所以未接受 C.若sinA<cosB,则sinA<sin(受-B),A<受-B,故 高中阶段教育的适龄青少年约有469万人，故C错误；对 于D项，4128×60.43%≈2495，所以2020年普通高中 A<受-B,所以A+B<受，所以号<C<,则△ABC为 的在校生超过2470万人，故D正确.】 钝角三角形，故C正确；D.若tan A tan B>1,则A∈ 10ABD【解折：对于A项，m0-合→架昌-号一0 (0,受)，B∈(0，受)，所以sin Asin B>cos Acos B, 0而cos0叶s㎡0=1，因为0<0<x,所以得s如0 cos(A+B)<0,所以cosC>0,所以C∈(0，交)，故tanC> 血9=-（合去），m0=29,所以a=(告，2)6 0,面mC=-an(A十)-巴A品所以mA: (25,1),所以a25a/b,故A正确：对于B项，当0= tan B tan C=tan A tan B +tanC2 tan A tan B+ 5 tanC>2,故D正确.】 要时a=(-1,-号)b=(-号，1小所以a…b=号 三、13.6【解析：当4条直线中任意三条直线都不共面时，每 两条确定一个平面，平面最多，如正方体的四条侧棱，所 号-0>ab,放B正确：对于C项，若2a=b,则2sn20= 以最多可确定6个面.】 c0s0,且cos0=2,因此4sin0cos0=c0s0→sin0=子，显 14.号 【解析：由题意，将一枚骰子先后抛两次，所有可能的情 然co0什sin0=品≠1，故C不正确：对于D项，若a∥b, 5 况有6×6=36种，其中向上的点数之积为12的情况有2× 6,3×4,4×3,6×2共4种情况，故向上的点数之积为12的 (sin 20=Acos 0, 则a=b,则 解得cos0=0(舍)或cos0= c0s0=λ， 概率为=日】 l5.2【解析：根据题意，设其他的8个数据依次为a,a2,a3,, a,若原来容量为9的样本，它的平均数为号，方差为，则有 云=分a+at十…十十0-告则有a十+a++ a=40,故号[ai+ai+di+…+ai+-9x(号)门 8,则有ai+a+a+…十ai=216,把这个样本中一个为 152 4的数据去掉，变成一个容量为8的新样本，则新样本的平 均数为7=号(au十a:十a,十…十a,)-碧=5，方差 g(aj+aj+aj+.+aj-8X5*)-2.1 16.①⑤⑧【解析：①设x=a十bi,则之=a-bi,|212= (√a2+(-b))2=a2+b,lz2|=|(a2-b)+2abil √(a2-b)2+4a6=√(a2+6)=a2十b,所以①正确； ②设名=3十i,2=1十i,一2>0，但与2不能比较大 小，所以②不正确；③设1=1十i,2=1,3=0,则(1 x2)2十(x2一23)2=0，所以③不正确；④设1=1十2i,x2 1+i,则|-2|=|il=1,√(1十z2)2-4212 √（名1一2）了=√一I=i,所以④不正确：⑤设=a1十bi, x2=a2十bi,则好=(a1十b1i)2=(af-b所)+2a1bi,号= （a-房=a-房， (a2+b2i)2=(a号-b)+2a2b2i,好=→ 2ab=2a2b2 (a-b)2+4ab所=(a-b)2+4ab号→(a+b)2=(a十 候)2→a1十房=a号十房→1·21=1·22，⑤正确；⑥当21= 1十i,2=1一i时，2x12=4,号十号=0,212>7十经，所 以⑥不正确；⑦如果两个复数是实数，差值也是实数，所以 ⑦不正确；⑧设2=a十bi(a,b∈R),则z+i=a+(b+1)i, z-i=a+(b-1)i,|之+i=|z-il→w√a2+(b+1)F= √a+(b-1)7→b=0,所以⑧正确.】 四、17解：(1)由题意知：A是BC的中点，且O市=二Oi,Oi+ O心=2Oi,所以O心=Oi+AC=OA+BA=2Oi 0i=2a-b,D心-0d-0d=0心-号0i=2a-号b. (2)因为d=O心-Oi=2a-b-a=(2-)a-b,且E武∥ D心所以2号2=日=号，解得=告 18.解：1z=7+79+81+3×84+2X8+92+93=85,= 10 六[(71-85)+(79-85)P+(81-85)+3×(84-85)2+ 2×(88-85)2+(92-85)2+(93-85)2]=25. (2)由(1)知，s=5,从而x一s=80,x十s=90,于是10名职 工问卷得分在x一s与x十s之间有6人，所占百分比 为60%. (3)由(2)可知，50名退休职工中问卷调查得分在(80,90)之 间的大约有50×0.6=30（人）. 19.解：(1)如图，连接AC,由题意易知∠ACA为直线A,C与 平面ABCD所成的角，则∠ACA=平，所以AA=AC= 2√2.因为D1D∥B1,B,所以∠A1BB1为异面直线A1B与 D,D所度的角，因为m∠AB服-0-后一号所 以异面直线AB与D,D所成角的正切值为号，. (2)如图，连接AC,BC,因为Vc-Ax=VA-Ce,所以 吉×号×CXA.BXh-=号×号×ncxC.cXAB.,即 1 3X2X2X8+4×h3X2×2×22×2,所以9 2,所以C到平面ABC的距离为 C A B D C B 第19题图 20.解：(1)由频率分布直方图知，(0.010+0.015+0.020+2x十 0.030+0.035十0.040)×5=1，解得x=0.025,因此复赛 选手年龄的平均值x=(22.5×0.010+27.5×0.025+ 32.5×0.035+37.5×0.040+42.5×0.030+47.5×0.025+ 52.5×0.020+57.5×0.015)×5≈39.6（岁）. (2)因为(0.010+0.025+0.035+0.040+0.030)×5= 0.7<0.75,所以第75百分位数落在[45,50)区间内，设为t, 则(0.010+0.025+0.035+0.040+0.030)×5+(t-45)× 0.025=0.75,解得t=47,即第75百分位数为47分 (3)由子=】1(x,一工)2，设该名选手最终的平均分为 n y,最终方差为产，则5=8+10+亚(8.4×8+8,8×10十 BC OC 因为sin ZPO死=sn2OBn,所以sn∠P0B- 9.4X12≈893（分），2=08[f+(,-5)]+10[+ BC·sin∠OBP6X3 14 =3 OC 141 (z-y)门+12[号+(-)P]》=08[0.015+(8.4- (2)如图2，连接QA,PB,OQ,OP,因为曲线CMD上任一点到 8.933)2]+10[0.054+(8.8-8.933)2]+12[0.064+(9.4 O距离相等，所以OP=OQ=OM=OC=14.因为P,Q关于OM 8.933)2]}≈0.216.估计该选手最终得分为8.933分，其得 对称，所以S△aM=S△mM,S△O=S△P,设∠QOM=∠POM= 分方差为0.216. a,则∠AOQ=∠BOP=交一a,则Si边形oABr=2(SAo十 21.解：(1)因为AA=00,=3,A0=合AB=2,所以A0= √AA+AO=√32+22=√/13.在△AOP中，由余弦定 5aw)=2[200A·sm(受-a)+20Q:OMsin] 理可得AP=√AO+OP2-2AO·OP·cos120°= 196sina+140cosa=28√74sin(a十p),其中tanp=号，当 √2：+22-2×2x2×(-2)=25,所以A1P= sin(a十p)=1时，则S五边形MQABP取得最大值28√74，所以五 √AA+AP-=√32+(2√3)2=√2I,OP=2.在△A1OP 边形MQABP面积S的最大值为28√74. 中，由余弦定理可得cos∠A,P0=AP+OP一A0_ 2A1P·OP +3-,所以m∠APO=sZA0- (P) 2×/21×2 29,所以5m=号×V厅×2×29=2.设点A到 0 图1 平面APO的距离为d,由VA-ar=V-Ae,得号· M 0 S0e·AA=号·Sm,p·d,即号×号×2×25×2× 3=号×25×d,解得d=号，所以点A到平面A,P0的 距离为名 图2 第22题图 (2)二面角ArPB-O即二面角ArPB-A,因为AB是圆O的 直径，点P在圆柱OO1的底面圆O上，所以PB⊥AP,因为 AA1⊥平面ABP,PBC平面ABP,可得PB⊥AA1.因为 期未测试卷（五） AP∩AA1=A,所以PB⊥平面AA1P,因为A1PC平面 AA1P,APC平面AA1P,所以PB⊥AP,PB⊥A1P,所以 一、1.C【解析：因为复数a2一4十(a-2)i是纯虚数，所以a2一 ∠APA即为二面角ArPB-O的平面角.在Rt△A:PA中， 4=0且a≠2，所以a=-2.】 AP=V2,AP=23,所以cos∠APA=A5=元月 2.B【解析：MN∥平面PAD,MNC平面PAC,平面PAD∩ 平面PAC=PA,∴.MN∥PA.】 29,所以二面角A:PB0的余弦值为2识. 3.B【解析：由表可知，甲购买A种医用口罩的概率为1一 22.解：(1)如图1，若点P与点C重合，连接OC,OB=10,BC= 0.1-0.4=0.5,乙购买B种医用口罩的概率为1一0.3一 BP=6,∠ABC=120°，在△OBP中，OC2=OB2+BP2 0.2=0.5,.甲、乙购买同一种医用外科口罩的概率为P= 2OB·BPcos∠OBP=100+36+60=196,所以OC=14, 0.5×0.3+0.1×0.5+0.4×0.2=0.28.】 47