第四章 三角形（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材北师大版七年级下册

第四章 三角形·培优卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·河南安阳·月考）下列说法正确的是（    ） A．三条线段组成的图形叫三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线 D．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常在窗框上斜钉一根木条，这样做的道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 3．（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）两根木棒的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取（　　 ） A．的木棒 B．的木棒 C．的木棒 D．的木棒 4．（25-26八年级上·四川德阳·月考）如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广西南宁·月考）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（    ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 6．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，是的中线，是上一点，连接并延长，与交于点，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 8．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，分别为的中点，若的面积为6，则的面积等于（   ） A．24 B．36 C．48 D．54 9．（25-26八年级上·山东德州·期末）在中，，，将按如图所示的方式依次折叠； 有下面四个结论； ①平分；②；③；④的周长等于的长．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，运动速度为（   ）厘米/秒 A． B．3或 C．2或 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，是的中线，于点，于点，，则是的________倍． 12．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°．      13．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，，增加一个条件______，使．(不添加辅助线且仅用图中已有字母表示) 14．（25-26八年级上·河北承德·期末）已知，线段，作，使得，，，如果只能作出唯一的三角形，则线段的长度为______． 15．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 16．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河北邢台·月考）已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 18．（6分）（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，点、分别在边、上，，．．若平分和． (1)求证：， (2)求的周长． 19．（8分）（25-26八年级上·河南商丘·期末）商丘的风筝活动丰富多彩，既包括市民在公园休闲放飞，也涵盖学校美育实践和文旅节庆中的非遗展示，体现了风筝文化在日常生活和教育传承中的活力，图1是市民在“商丘好人”主题公园放风筝的图片，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由， 20．（8分）（25-26八年级上·河南南阳·期末）在学习了全等三角形的判定后，聪明的小宛猜想了一个命题：如果两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．她根据命题的意义画出了图形（如图），并写出了部分已知条件，请你把已知条件补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，和分别是和的中线，______，，． 求证：． 21．（10分）如图，等边三角形的边长为8，点E是边上一动点（不与点B，C重合），以为边在的下方作等边三角形，连接，． (1)在运动的过程中，与有何数量关系？请说明理由． (2)当时，求的度数． 22．（10分）（25-26八年级上·山东德州·期末）已知如图1，在等边中，点E是上一点，延长到点D，使，． (1)若E是的中点，试判断的形状及的长； 拓展应用：当点E是上的任意一点时（不与A，B重合）（如图2）． (2)证明； (3)猜想、、三边关系，并说明理由． 23．（12分）（25-26八年级上·广东广州·期中）已知中，，，点是上的一点，过点作于点． (1)如图1，______．（用含的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 24．（12分）（25-26九年级上·山东烟台·期末）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目： （1）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连结．试说明：．聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法，请你帮小亮把说理过程补充完整． 解：因为和均为等边三角形， 所以，，（等边三角形的性质） 所以① ；（等式的性质） 所以绕点C按逆时针方向旋转② ，能够与③ 重合． 所以．（旋转变换的性质） 所以（全等三角形对应边相等） 【拓展应用】 （2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求的度数，聪明的同学们你能解决吗？请写出你的求解过程（此问不用写推理依据）． 【尝试解决】 （3）如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点，，在同一直线上，连结，与交于点，点恰好为中点． ①直接写出的度数为 ； ②若，求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形·培优卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·河南安阳·月考）下列说法正确的是（    ） A．三条线段组成的图形叫三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线 D．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 【答案】C 【分析】本题主要考查对三角形定义，三角形的角平分线、中线、高等知识点的理解和掌握，能熟练地运用定义进行说理是解此题的关键．根据三角形定义，三角形的角平分线、中线、高的定义判断即可． 【详解】解：A、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接作出的图形叫三角形，故A错误； B、三角形的角平分线是线段，故B错误； C、任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故C正确； D、三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故D错误； 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常在窗框上斜钉一根木条，这样做的道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．用木条固定矩形窗框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故选：D． 3．（25-26七年级上·宁夏中卫·期中）两根木棒的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取（　　 ） A．的木棒 B．的木棒 C．的木棒 D．的木棒 【答案】B 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再找出符合条件的选项即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 因为三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， 所以， 所以， 即要钉成一个三角形木架，则应选取的木棒． 4．（25-26八年级上·四川德阳·月考）如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：因为， 所以，， 所以，， 所以， 所以． 5．（25-26八年级上·广西南宁·月考）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（    ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ①②只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，根据全等三角形判定“角边角”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃，所以应该带去③． 6．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，是的中线，是上一点，连接并延长，与交于点，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长，使，连接， 因为是的中线， 所以, 因为， 所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 7．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以，， 因为， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 所以． 故选：A． 8．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，分别为的中点，若的面积为6，则的面积等于（   ） A．24 B．36 C．48 D．54 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用中点关系逐步逆推，从 的面积求出 的面积，进而求出 的面积，最后求出的面积． 【详解】解：因为F为 的中点， 所以， 因为E为 的中点， 所以， 因为D为 的中点， 所以． 9．（25-26八年级上·山东德州·期末）在中，，，将按如图所示的方式依次折叠； 有下面四个结论； ①平分；②；③；④的周长等于的长．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质及角平分线的定义． 根据折叠的性质得到，得到平分，可判断①；根据折叠的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，由折叠的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，从而得到，进而可判断②；由，，得到，根据三角形的外角的性质得到，可判断③；根据等腰直角三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，从而得到，于是得到，可判断④． 【详解】解：因为沿着直线折叠得到， 所以， 所以平分，故①正确； 因为沿着直线折叠得到， 所以，， 因为，， 所以， 所以， 因为沿着折叠得到， 所以， 又因为， 所以， 所以，故②正确； 因为，， 所以， 所以，故③正确； 因为是等腰直角三角形，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，故④正确， 综上，正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D． 10．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，运动速度为（   ）厘米/秒 A． B．3或 C．2或 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及动点问题的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合动点的运动路程与速度、时间的关系求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为点为的中点， 所以， 设运动时间为秒，则，，， ①若≌， 则，， 即 解得； ②若≌， 则，， 即 解得 故或． 故选：C ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，是的中线，于点，于点，，则是的________倍． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形中线的定义、三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．根据三角形中线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：因为是的中线， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 整理得：， 所以是的2倍． 故答案为：2． 12．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°．      【答案】135 【分析】先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示， 在和中， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以． 故答案为：135． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键． 13．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，，增加一个条件______，使．(不添加辅助线且仅用图中已有字母表示) 【答案】(或或) 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，已知一组角相等和一组边相等，需补充一个条件使，可依据、、这三种全等判定定理来选取合适条件： （1）若补充边相等的条件，结合已知的一组角和一组边，可通过判定全等； （2）若补充角相等的条件，结合已知的两组角和一组边，可通过判定全等； （3）若补充角相等的条件，结合已知的一组边和两组角，可通过判定全等． 【详解】解：若添加，在和中，， ； 若添加，在和中，， ； 若添加，在和中，， ． 故答案为：(或或)． 14．（25-26八年级上·河北承德·期末）已知，线段，作，使得，，，如果只能作出唯一的三角形，则线段的长度为______． 【答案】或 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，关键是画出图形，结合点的位置分类讨论． 【详解】解：在中，，，． 如图，过作的垂线，垂足为，点关于点的对称点为，则，． ①点与点重合时，即，为直角三角形，只有一个； ②当点在线段(不与端点重合)上时，即时，有两个； ③当点在射线(不与端点重合)上时，即时，只有一个． 综上，若只能作出唯一的三角形，则线段的长度为或； 故答案为：或． 15．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【答案】 【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 16．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算及等腰直角三角形的性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．作于，由得，，再证明得即可解决问题． 【详解】解：如图作于， ，， ， ， 又， 所以， ， 和都是等腰三角形， ，，， 在和中， ， ， 所以，， 在和中， ， ． 所以， 所以； 故答案为6． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·河北邢台·月考）已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 【答案】(1)4；1 (2) 【分析】（1）几个非负数的和为0，则这几个非负数的值都为0，据此可得答案； （2）根据三角形的三边的关系求出b的取值范围，结合b为整数求出b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 所以， 所以； （2）解：由（1）得， 因为， 所以，即， 又因为为整数， 所以， 所以的周长． 18．（6分）（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，点、分别在边、上，，．．若平分和． (1)求证：， (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． （1）先根据角平分线定义，得，结合公共边即可证得三角形全等； （2）根据全等三角形的性质，先求出，再求，最后求的周长． 【详解】（1）证明：BD平分和， ． 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， 答：的周长为． 19．（8分）（25-26八年级上·河南商丘·期末）商丘的风筝活动丰富多彩，既包括市民在公园休闲放飞，也涵盖学校美育实践和文旅节庆中的非遗展示，体现了风筝文化在日常生活和教育传承中的活力，图1是市民在“商丘好人”主题公园放风筝的图片，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由， 【答案】(1)见解析 (2)正确；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，然后根据角平分线定义即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， 所以； （2）解：正确，理由： 由（1）得， 所以， 即平分， 所以小华的发现是正确的． 20．（8分）（25-26八年级上·河南南阳·期末）在学习了全等三角形的判定后，聪明的小宛猜想了一个命题：如果两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．她根据命题的意义画出了图形（如图），并写出了部分已知条件，请你把已知条件补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，和分别是和的中线，______，，． 求证：． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质． 根据“其中一边上的中线分别相等”可知应补充的条件为；根据和分别是和的中线可知，，即，证明，得到，即可证明． 【详解】补充：． 证明：和分别是和的中线， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ． 故答案为：． 21．（10分）如图，等边三角形的边长为8，点E是边上一动点（不与点B，C重合），以为边在的下方作等边三角形，连接，． (1)在运动的过程中，与有何数量关系？请说明理由． (2)当时，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】（1）通过已知条件，证明，即可得到； （2）当时，易证，再由（1）可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为和是等边三角形， 所以，，； 所以， 所以； （2）因为，， 所以E为的中点， 又因为是等边三角形， 所以， 由（1）知，， 所以． 22．（10分）（25-26八年级上·山东德州·期末）已知如图1，在等边中，点E是上一点，延长到点D，使，． (1)若E是的中点，试判断的形状及的长； 拓展应用：当点E是上的任意一点时（不与A，B重合）（如图2）． (2)证明； (3)猜想、、三边关系，并说明理由． 【答案】(1)等腰三角形，12 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先推导出，得到，则，推导出是等腰三角形，进而得到，则，即可解答； （2）过点E作交AC于点F，得到，，推导出，，进而证明，则，即可解答； （3）先推导出是等边三角形，得到，进而证明，则，即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，E是的中点， 平分，， ， ， ． 是的外角， ， ， 是等腰三角形 在等边三角形中，，E是的中点， ，， ． （2）证明：过点E作交AC于点F，如图 ，． 在等边三角形中，， ， 所以在中，， ． ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：猜想：，理由如下： 由（1）知，， 是等边三角形， ． 又， ， ． 23．（12分）（25-26八年级上·广东广州·期中）已知中，，，点是上的一点，过点作于点． (1)如图1，______．（用含的式子表示） (2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点． ①求证：； ②连接，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再根据直角三角形的性质即可求解； （2）①根据三角形内角和定理推出，利用角的和差得到，根据角平分线的定义得到，得到，推出是等腰直角三角形，即可证明； ②在上截取，连接，先证明，得到，，进而证出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为， 所以， 所以； 故答案为：； （2）①证明：因为是边上的高， 所以， 所以， 因为， 所以， 由（1）得，，， 所以， 所以， 因为为的角平分线， 所以， 所以， 所以是等腰直角三角形， 所以； ②解：如图，在上截取，连接， 在和中， ， 所以， 所以，， 所以， 即， 所以是等腰直角三角形， 所以． 24．（12分）（25-26九年级上·山东烟台·期末）我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目： （1）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连结．试说明：．聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法，请你帮小亮把说理过程补充完整． 解：因为和均为等边三角形， 所以，，（等边三角形的性质） 所以① ；（等式的性质） 所以绕点C按逆时针方向旋转② ，能够与③ 重合． 所以．（旋转变换的性质） 所以（全等三角形对应边相等） 【拓展应用】 （2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求的度数，聪明的同学们你能解决吗？请写出你的求解过程（此问不用写推理依据）． 【尝试解决】 （3）如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点，，在同一直线上，连结，与交于点，点恰好为中点． ①直接写出的度数为 ； ②若，求的面积． 【答案】（1）①；②；③；（2），过程见解析；（3）①，②18 【分析】（1）利用旋转变换的性质解决问题即可； （2）利用全等三角形的性质解决问题即可． （3）①利用等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定和性质即可得到答案；②过点作，垂足为点，利用全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识即可求出答案． 【详解】解：（1）因为和均为等边三角形， 所以，，（等边三角形的性质） 所以；（等式的性质） 所以绕点C按逆时针方向旋转，能够与重合． 所以．（旋转变换的性质） 所以（全等三角形对应边相等）； （2）为等边三角形， ， ， 由（1）可知：， ， ， （3）①解：因为和均为等腰直角三角形，， ， ， 因为由（1）得：， ， ； ②过点作，垂足为点， ， ，， ， ， ， 为中点， ， 由①得：， 又， ， 所以，， 所以． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $