解答题04 几何综合问题（6大考向）（专项训练）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

解答题04 几何综合问题（6大考向） 低起点、高落点：第 1 问基础证明，第 2 问综合计算，第 3 问探究 / 最值 / 存在性。 模型化、套路化：固定模型反复考，识别模型即破题。 几何 + 代数融合：用方程、函数、勾股求解。 注重逻辑推理：书写规范、步骤完整。 考向01 全等三角形（必考） 研考向·通技法 遇公共边、公共角、对顶角，优先当作天然相等条件； 直角三角形优先用HL，避开复杂角推导； 线段和差问题：截长补短，长截短、短补长，构造全等； 角相等推导：外角定理、等角的余角 / 补角相等，快速倒角。 1．（2026·安徽阜阳·一模）菱形中，，为边，上的点，，相交于点． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，若．试探究此时和满足什么关系？并证明你的结论； (3)如图，在（）的条件下，平移线段到，使为的中点，连接交于点，若，求的值． 2．（25-26九年级下·安徽安庆·月考）如图，在正方形中，E为上一点（不与端点重合），延长至点F使，连结，过点F作于点G，连结，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的长． (3)当点E在上任意运动时（不与端点重合），求的值． 3．（2026·安徽·三模）已知，点为等边的边延长线上一点，连接，点为线段上一点，，连接交于点，平分． (1)如图，，， ①求的度数； ②求的长． (2)如图，点是上一点，交于点，，求证：． 4．（2026·安徽宿州·一模）已知点E，点F是菱形内的两点，，，连接，． (1)如图1，求证：； (2)连接与交于点O，已知． （i）如图2，若，，求的度数； （ii）如图3，若，，当时，求的值． 考向02 相似三角形（必考） 研考向·通技法 倒角优先：有两个角相等直接证相似，最快最简； 固定模型秒识别： · 平行线→A 字型、8 字型相似； · 直角 + 共角→母子相似； · 同一直线三直角 / 三等角→K 型一线三等角； 计算口诀：相似先找角，比例列方程，边长直接算； 面积问题：面积比 = 相似比的平方，禁止直接用边长比。 1．（25-26九年级下·安徽六安·月考）如图，在矩形中，为对角线，过点D作的垂线，交于点E，垂足为点F，过点E作交于点G，连接交于点H，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 2．（25-26九年级下·安徽合肥·期中）如图，矩形中，E、F分别在上，将四边形沿对折至四边形，使G点落在上，与交于点P． (1)求证：； (2)如图1，若，，，求的长； (3)如图2，当G为中点，P为中点时，与有何数量关系？并说明理由． 3．（2026·安徽合肥·一模）如图，中，分别以，向外作和，其中，，，，分别是边，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)的度数为_____（用含的代数式表示）． 4．（2026·安徽淮南·一模）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，于点，于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求的值； (3)如图2，若，求的值． 5．（2026·安徽阜阳·一模）在中，，，点是外一点，于，交边于，于，交边于，连接． (1)如图1，若，求证：四边形为正方形； (2)如图2，若，，（），求的面积（用含，，的式子表示）； (3)如图3，若为定值，，求证：四边形的面积为定值． 6．（2026·安徽合肥·一模）在矩形ABCD中，，点M，N分别为直线AB，BC上的动点，且，连接CM，DN． (1)如图1，若点M，N分别在边AB，BC上，求证：，； (2)如图2，若点M，N分别在边AB，BC的延长线上，MC的延长线与DN交于点H． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若点G为MH上的点，且，试探究BG与CH的数量关系，并说明理由． 7．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，在中，，，点M为中点，连接，过点A作于点D，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，求线段的长． 考向03 几何变换（旋转 / 折叠） 研考向·通技法 1.折叠（对称）解题核心 1. 折叠必相等：对应边相等、对应角相等、折痕是对称轴； 2. 遇折叠求边长：一律设未知数，结合勾股定理列方程； 3. 折叠倒角：重合角相等、平角 180°、直角 90° 转化角度； 4. 折叠落点范围：动点轨迹固定，常用于最值求解。 2. 旋转解题核心 1. 识别信号：共顶点、两条线段相等，直接用旋转； 2. 等边三角形→旋转 60°，正方形 / 等腰直角→旋转 90°； 3. 旋转不变量：边长不变、夹角固定，证全等秒解； 4. 手拉手模型：共顶点等腰图形，必出全等 + 等角。 1．（2026·安徽安庆·一模）已知正方形的边长为8，将其对角线绕点顺时针旋转后，点落在点位置，此时与的交点为，连接并延长交的延长线于点，作平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点为中点，连接． ①求长； ②求的面积． 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）（）已知中，，是过点的一条直线，且点，在的同侧，交延长线于点，交于点． ①若，如图，证明：； ②若，如图，请写出线段之间的数量关系，并证明； （）若，直线绕点旋转到图位置时，其余条件不变，请直接写出之间的数量关系．（不需要说明理由） 3．（2026·安徽六安·一模）在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； (2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 4．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． (1)如图1，当时，猜想四边形的形状，并说明理由； (2)当时， ①如图2，若，求的长． （ⅱ）如图3，若，证明：． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和，，，． (1)如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求证：； (2)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时， ①求的长； ②延长交于点，求的值． 考向04 特殊四边形（正方形 / 菱形 / 矩形） 研考向·通技法 1. 通用技巧 1. 看到特殊四边形，先默写核心性质：边、角、对角线，按需取用； 2. 对角线是突破口： 1. 矩形：对角线相等； 2. 菱形：对角线垂直 + 平分内角； 3. 正方形：兼具所有特殊性质，90°、等线段、垂直平分。 2. 安徽高频：正方形压轴专属技巧 1. 正方形内互相垂直的线段→长度相等（十字架模型）； 2. 共顶点等线段→直接构造 90° 旋转； 3. 多直角环境，大量用同角余角相等快速倒角。 1．（2026·安徽淮南·一模）如图1，在正方形中，为边上一点，连接，点和关于对称，连接并延长，交于点，交于点，连接． (1)求证：． (2)若为的中点，连接． （i）如图2，求的值； （ii）如图3，连接，取的中点，连接，判断的形状，并说明理由． 2．（2026·安徽合肥·一模）如图1，正方形中， E、F分别为边上的点，且，连接、交，于G、H，已知G为的中点， (1)求证：； (2)若，求长； (3)如图2，连接， O为的中点，连接，判断的形状，并说明理由． 3．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，对角线，相交于点O，，点E在线段上，且．连接． (1)求证：； (2)若M，N分别是，的中点，且，连接，． ①求证：； ②当时，求的面积． 4．（2026·安徽安庆·模拟预测）综合与探究 某校数学兴趣小组同学学习“特殊平行四边形”的知识后，对特殊的平行四边形进行了如下探究： (1)【初步探究】如图1，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点，重合），点在上，满足，延长交于点．求的度数； (2)【深入探究】在上述条件下，连接，已知，如图2，若正方形的边长为6，求的长； (3)【变式探究】如图3，矩形中，，，点是边的中点，点在上，且，连接并延长交于点，求的值． 5．（2026·安徽·模拟预测）在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点． (1)如图，连接，当时，求证：； (2)过点作的垂线交射线于点，连接，． （）如图，求证：； （）如图，当时，求的值． 6．（2025·安徽·一模）在四边形中，，，点在边上，连接，，交于点． (1)若，如图1．求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接交于点，若点是的中点． ①求证：； ②若，，，求，的长． 7．（2026·安徽芜湖·一模）如图1，平行四边形中，，为边，上两点，经过中点且，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若， ，求周长； (3)如图2，当时，连接，交于点，求的值． 考向05 动态几何（动点 / 动线 / 动图） 研考向·通技法 化动为静：取起点、终点、中点、特殊角位置分析； 抓不变量：动态题核心不变：定角、定线段、定比例； 分类讨论三大必考： · 等腰三角形：三边两两相等分 3 类； · 直角三角形：三个角分别为直角分 3 类； · 平行四边形：边平行 / 对角线平分两种思路； 计算通用：设运动时间t，用含t代数式表示边长，建方程求解。 1．（2026·安徽芜湖·一模）在矩形中，是射线上的动点，连接，，是的中点，连接． (1)如图1，当为的中点时，求证：； (2)如图2，当点在延长线上时，设与相交于点，且． ①连接，当时，判断的形状，并说明理由； ②过点作交于点．当时，猜想与之间的数量关系，并证明． 2．（25-26九年级下·安徽合肥·月考）如图，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点． (1)如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域． (2)如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在矩形中，是上的一动点，将沿折叠，使点落在点的位置． (1)如图1，若点在边上，且，，求的长． (2)如图2，若，连接，交于点，延长，交于点，连接，交于点，是的中点，连接． ①求证：． ②若，求的值． 4．（2026·安徽阜阳·一模）数学问题：如图①，正方形中，点是对角线上任意一点，过点作，垂足为，交所在直线于点．探索与之间的数量关系，并说明理由． (1)特殊思考：如图②，当是对角线的中点时，与之间的数量关系是 ． (2)探究证明： ① 小明用“平移法”将沿方向平移得到，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究与之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程． ② 请你用与（）不同的方法解决“数学问题”． 5．（2026·安徽合肥·一模）如图1，等腰直角三角形中，为斜边中点，为上任一点，交于点F，交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，当为中点时，求证：； (3)当点在上移动时，猜想和的数量关系并证明． 考向06几何最值 研考向·通技法 线段最短：将军饮马→作对称，连线段； 线段最值（隐圆）：定点到圆心距离加减半径； 周长 / 面积最值：转化为二次函数，配方求顶点； 垂线段最短：点到直线，垂线最短。 1．（2025·安徽亳州·一模）综合与探究：数学兴趣小组学习了特殊四边形的判定与性质后，对多边形中的相似三角形进行了研究． 【初步感知】如图1，点是正方形的边上一动点，过点作交于点．求证：； 【类比探究】如图2，点是矩形的边上一动点，连接交对角线于点，若线段是线段和的比例中项，求证：； 【拓展提升】如图3，的对角线相交于点，过点作交边的延长线于点，若，求线段的最小值． 2．（2026·安徽·一模）综合与实践 【活动背景】数学活动课上，老师问了这样一个问题：同学们，某小区有三栋居民楼，如图1是小区的居民楼分布示意图，其中，，，为了方便小区居民购物，社区有关部门决定在小区内修建一个超市，你们觉得超市应该如何选址呢？ 【方案讨论】 （1）初始方案：有部分同学提出，设超市的选址为点，为了体现公平性，点到三个顶点的距离应该要相等．此时，点应选择在 ① 处（从“内心”，“外心”，“重心”中选择一个填空）． （2）方案改进：很快同学们发现，初始方案的选址方式看起来比较公平，但是总路程较长，于是，同学们想找到一个点，使它到三个顶点的距离之和最小，结合所学知识，同学们进行了以下的探究过程： 探究：如图2，把绕点顺时针旋转得到，连接，则， ∵ ② ， ∴为等边三角形． ∴． 又∵， ∴ ③ ． 点可看成是线段绕点顺时针旋转而得的定点，为定长． ∴当，，四点在同一直线上时，最小， 即的最小值就是线段的长度． 【问题解决】 (1)请将上述【方案讨论】中横线上所缺内容补充完整：①_________；②_________；③_________； (2)由以上探究过程可知，如图3，我们只要以为边向外作等边三角形，连接，此时点位于线段上，请在此基础上通过尺规作图找出点的位置．（保留作图痕迹） (3)在图3的基础上求出的最小值． 3．（2025·安徽·模拟预测）在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接， (1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由． (2)如图2，若，以为边在右侧作等边； ①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度． ②直接写出的最小值． 4．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在直角三角形中，E为斜边上异于B，C的一个动点，连接，作，连接，交于F点，若始终保持． (1)求证：； (2)若； （ⅰ）试说明E点在运动的过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由； （ⅱ）取中点M，连接，求的最小值． 刷模拟 1．（2026·安徽六安·二模）如图，在矩形中，的平分线交于点P，过点D作交的延长线于点E，与的延长线交于点F，且 (1)如图1，当时，与的数量关系为__________ (2)如图2，连接，，与相交于点G，求证：． (3)如图3，当时，其他条件不变，若，求的长． 2．（2026·安徽滁州·一模）如图，在四边形中，点在边上，且，，． (1)求证：； (2)如图1，若，，求的长； (3)如图2，延长交于点，过点作交于点，连接，求证：． 3．（2026·安徽六安·一模）在矩形中，的平分线交于点H，交于点E，交的延长线于点F，点G是的中点，连接，，与交于点I． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长度． 4．（2026·安徽阜阳·一模）在矩形中，点E在边上，，过E作，交于F． (1)如图1，连接，若平分． ①求证：； ②求证：； (2)如图2，若F为中点，平分，交于G，，，求的长． 5．（2026·安徽阜阳·一模）如图1，，是两个全等的等腰直角三角形，，，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点． ①求证：； ②若，，求的长． 6．（2026·安徽合肥·一模）矩形中，E为边上一点，F为矩形内一点，且，，延长与直线交于点Q，与直线交于点H，延长与直线交于G点． (1)如图1，当E为中点时， ①求证：； ②若，，求长； (2)如图2，若，当G恰好为中点时，求证：． 7．（2026·安徽合肥·一模）已知中，，、分别为边、上的点，且，连接、相交于点，连接． (1)当时，如图1， ①若，，则______°； ②若，，求的长． (2)若，如图2，试猜想与的数量关系，并给出证明． 8．（2026·安徽合肥·一模）在平行四边形中，分别为边上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），连接，如果，求证：； ②如图（2），如果，连接交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，连接，如果，，，．求的长． 9．（2026·安徽合肥·一模）在中，点C是的平分线上一点，过点C作，垂足为点D，过点D作，垂足为点E，直线交于点F，过点C作，垂足为点G． (1)观察猜想:如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系；______． (2)类比探究:如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用:当，且时，若，请直接写出的值． 10．（2026·安徽亳州·一模）按要求完成下列各题： (1)如图1，点E是正方形的边上一点，连接，过点D作于点G，交边于点F， ①求证：； ②如图2，连接EF，以为邻边构造平行四边形，连接．求的值； (2)如图3，矩形中，，点F是边的中点，连接，过点A作于点G，交边于点E，连接，以为邻边构造平行四边形，连接，求的长． 11．（2026·安徽合肥·一模）已知：如图1，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点F，E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，在上取点G使，连接，求证：． 12．（2026·安徽宣城·一模）如图，在正方形中，E，N分别是，的中点，与交于点G，连接并延长交于点F，与对角线交于点H． (1)求证：． (2)求的值． (3)探究线段，及的数量关系，并说明理由． 13．（2026·安徽合肥·一模）按问题背景、进行迁移、拓展应用完成下列问题： (1)【问题背景】如图，在中．点D，E分别在边，上，，点F为线段上一点，连接并延长交于点G，求证：． (2)【迁移应用】如图，在中，，，，点D，E分别在边，上，，点F为线段上一点，，延长交于点G，连接，，过点A作,垂足为H，求的长． (3)【拓展提高】 如图,在中，点D，E分别在边，上，，，点F为的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，过点C作，分别交，的延长线于点M，N若，，求的长． 14．（2026·安徽合肥·一模）如图1，在中，，于点，是线段上一点（不与点，重合），点是线段上一点，若． (1)求证：； (2)在直线上方有一点，，连接． （i）如图2，若点在边上，求证：； （ii）如图3，若，求的值． 15．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，在中，，为上一点，，为内一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，若点在线段上，求的值． 16．（2026·安徽·二模）如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，连接、相交于点，为延长线上一点，连接交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图2，若，求的长． 17．（2026·安徽合肥·一模）ISO A系列纸张尺寸是国际通用的标准尺寸，以A0为基础，通过等比例缩放的方式衍生出A1、A2、A3等规格．日常生活普遍使用的A4规格的打印纸，就是其中一种．A系列纸张形状为矩形，有如下特点：将其沿垂直于长边的线对折成两个全等的矩形后，得到的矩形与原矩形相似．如图1，矩形表示某A系列纸张． (1)求； (2)已知，点为边的中点． （ⅰ）如图2，将绕点旋转，使得点的对应点在线段的延长线上，点的对应点为点，求的面积； （ⅱ）如图3，与关于直线对称，求证：． 18．（2026·安徽阜阳·一模）如图1，在中，，，点是延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，延长交于点，连接，为中点，连接． （i）当，时，求的值； （ii）如图3，过点作交于点，与交于点，若与全等，求． 19．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知正方形的边长为4，是对角线，点E在线段上运动，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，证明：； (2)如图2，点G在线段上运动． （ⅰ）当点G为线段的中点时，求的最大值； （ⅱ）如图3，当时，求的最小值． 20．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，在四边形中，为中点，延长线交于点，为中点，连接， ． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，当，求． 21．（2026·安徽芜湖·一模）已知，如图1，正方形中，E为边中点，将沿折叠得到对应，交于点H． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点G，求的值； (3)如图3，连接，相交于Q点，连接，求证：． 22．（2026·安徽蚌埠·二模）综合与探究 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【模型初探】如图1，在等腰直角中，，过点C作直线，于点D，于点E，求证：； (2)【深入探究】如图2，在中，．分别以和为直角边作等腰和等腰，连接交延长线交于点E．求的值； (3)【拓展延伸】如图3，点D是内一点，连接，若，求的长． 23．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，、分别交于点M、N，连接、，且． (1)求证：，； (2)求证：平分； (3)求证：． 刷真题 1．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 2．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． (1)求证：； (2)连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 3．（2025·安徽·中考真题）已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，． (1)如图1，若的延长线经过点D，，求的长； (2)如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断的形状，并说明理由． 4．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． (1)如图1，若，求证：四边形BCDE是菱形； (2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （ⅰ）求∠CED的大小； （ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF． 5．（2023·安徽·中考真题）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接．    (1)如图1，求的大小； (2)已知点和边上的点满足． （ⅰ）如图2，连接，求证：； （ⅱ）如图3，连接，若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解答题04几何综合问题(6大考向) 趋势领航·探考向 ·命题预测 低起点、高落点：第1问基础证明，第2问综合计算，第3问探究/最值/存在性。 模型化、套路化：固定模型反复考，识别模型即破题。 几何+代数融合：用方程、函数、勾股求解。 注重逻辑推理：书写规范、步骤完整。 几何最值 全等三角形（必考） 动态几何（动点/动线/动图） 几何综合题 相似三角形（必考） 特殊四边形（正方形/菱形/矩形） 几何变换（旋转/折叠） 考法破译·知规律 。●▣.01…全等三角形必考).。 ,研考包：通技法 :遇公共边、公共角、对顶角，优先当作天然相等条件： 直角三角形优先用HL,避开复杂角推导： 「线段和差问题：截长补短，长截短、短补长，构造全等： 」角相等推导：外角定理、等角的余角/补角相等，快速倒角。 1.(2026安徽阜阳一模)菱形ABCD中，E,F为边AB,AD上的点，CF,DE相交于点G: R B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A=90°，DE⊥CF,求证：DE=CF; (2)如图2，若DE=CF.试探究此时∠EGF和∠A满足什么关系？并证明你的结论： (3)如图3，在(1)的条件下，平移线段DE到MN,使G为CF的中点，连接BD交MN于点H,若 1/127 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠FCD=15°，求的值， BH 【详解】(1)解：(1)：四边形ABCD是菱形，∠A=90°， ·菱形ABCD是正方形 AD=DC,∠A=∠CDF=90°， :DE⊥CF, .∠CGD=90°， ∠DCF+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°， :∠ADE=∠DCF, :Rt△ADE≌RtADCF(SAS, ..DE=CF; (2)解：∠EAF+∠EGF=180°； 证明如下： 过D作DR⊥AB交AB的延长线于R,过C作CS⊥AD于S,如图， D :S菱形HBCD=AB×DR=ADxCS，AB=AD, B :DR=CS, DE =CF, RtADRE≌RtACSF(HL), :∠CFS=LRED, :∠CFS+∠AFG=180°， .∠RED+∠AFG=180°， .∠EAF+LEGF=180°； (3)解：连接FM,过H作TK∥AB交AD于T,交BC于K,连接CH,如图， 2/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B K 由(1)知MN⊥CF, 又G为CF的中点， :MN是CF的垂直平分线， :MF=CM,CH=FH, ∠MFC=∠MCF=15°，∠HCF=∠HFC, :∠FMD=30°，∠HCM=∠HFM, ∠MFD=60°， :∠TKC=∠KTD=LBCD=90°， ·四边形KTDC是矩形， :TD =KC, :四边形ABCD是正方形，BD是对角线， .∠TDH=45°=∠THD, :.TD=TH =CK, ∴.RtATFH≌RtAKHC(ASA), HK=TF,LTHF=∠HCK, :∠TFH=180°-60°-∠HFM=120°-∠HFM,∠THF=∠HCK=90°-∠HFM, 120°-∠HFM+90°-∠HFM=90°， :∠HFM=60°， .∠TFH=60°， ∴.FH=2TF=2HK, ∠KBH=45°， .BH =2HK, FH 2HK =√2 BH2HK 2.(25-26九年级下·安徽安庆·月考)如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点（不与端点重合），延长 BC至点F使CF=BE,连结BD,过点F作FG⊥BD于点G,连结AE,EG,FD. 3/127 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B F E C (1)求证：四边形AEFD为平行四边形 (2)若BG=√5+1，GD=V5-1,求CF的长. 3)当点E在BC上任意运动时（不与端点重合），求EC的值. AE 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .ADI BC,AD=BC, :CF BE, .CF +CE=BE +CE, 即EF=BC, .AD‖EF,AD=EF, :.四边形AEFD为平行四边形. (2)解：：四边形ABCD是正方形， ∠GBF=45°， :FG⊥BD, .∠BGF=90°， △BGF是等腰直角三角形， :BG=V3+1, ∴BF=√2BG=√6+V2, :DG=3-1, BD=BG+DG=23, :BC=BD-25-6, √2√2 CF=BF-BC=V6+√2-V6=√2； (3)解：连接AG,CG,如图所示： 、G 4/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形ABCD是正方形，BD是对角线， AB=CB,∠ABG=∠CBG=45°， 在△ABG和△CBG中， AB=CB ∠ABG=∠CBG, BG=BG △ABG≌△CBG SAS, AG=CG,∠AGB=∠CGB, :FG⊥BD, ∴∠BGF=90°， 又：∠CBG=45°， ∴△GBF是等腰直角三角形， .GF=GB,∠F=∠CBG=45°， 在△GCF和aGEB中， GF=GB ∠F=∠CBG, CF=BE △GCF≌△GEB(SAS), CG=EB,∠CGF=∠EGB, .AG=EG, ∴△GAE是等腰三角形， LAGB=ZCGB,ZCGF ZEGB ∴∠AGE=∠AGB+∠EGB=∠CGB+∠CGF=∠BGF=90°， :△GAE是等腰直角三角形， 在RIAGAE中，由勾股定理得：AE=VGA2+EG2=√2EG, .EG AE 2 3.(2026·安徽三模)已知，点D为等边ABC的边CB延长线上一点，连接AD,点E为线段AD上一点， LAEB=I20°，连接EC交AB于点F,EC平分∠AEB. 5/127 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E F D 图1 图2 (1)如图1，AE=1,∠D=45°， ①求∠ACE的度数； ②求BC的长， (2)如图2，点G是AC上一点，BG交EC于点H,AB=BD+AG,求证：BH=GH. 【详解】(1)解：①：△ABC为等边三角形， AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°. :点D在CB延长线上， ∠ABD=180°-∠ABC=120°. 在△ABD中，∠BAD=180°-∠D-∠ABD=180°-45°-120°=15°， LEAC=∠BAD+∠BAC=15°+60°=75°. :EC平分∠AEB,∠AEB=I20°， LAEC-EB60 ∠ACE=180°-LEAC-∠AEC=180°-75°-60°=45°. ②如图，过点A作AM⊥CE于M,则LAME=∠AMC=90°. 4 D B 在Rt△AEM中，∠AEM=60°， ∠EAM=30°」 AE=1, .EM=1AE= ∴AM=VAE2-EM2= √5 2 在Rt△AMC中，∠ACE=45°， :△AMC为等腰直角三角形， 6/127 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .CM-AM= 2 AC-AN+CM 2 :△ABC为等边三角形， .BC=AC= 2 (2)解：如图，过点B作BN∥AC,交CE的延长线于点N, D B :EC平分∠AEB,∠AEB=I20°， ∠AEF=60° 又LABC=60°，即LCBF=60°， :ZAEF ZCBF. :∠AFE=∠CFB, .在△AFE与△CFB中，∠EAF=∠BCF,即LBAD=∠BCN. BN∥AC, ∠CBN+∠ACB=180°， ∠CBN=180°-60°=120°，即∠ABD=∠CBN=120°. 在△ABD和△CBN中， ∠ABD=∠CBN AB=BC ∠BAD=∠BCN aABD≌CBN(ASA, :BD =BN. AB=BD+AG,AB=AC=AG+GC, AG+GC=BD+AG. ..GC=BD :BN =GC. BN∥AC, :∠BNH=LGCH,LNBH=LCGH(两直线平行，内错角相等)， 7/127 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△NBH和△GCH中， ∠BNH=∠GCH BN=GC ∠NBH=∠CGH a△NBH≌△CGH(ASA, :BH =GH 4.(2026安徽宿州一模)己知点E,点F是菱形ABCD内的两点，AE CF,CE∥AF,连接BE,DF. B D B D B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：BE=DF; (2)连接AC与EF交于点O,已知AC=EF. (i)如图2，若∠AOE=90°，AE=BE,求∠ABC的度数； )如图3，若AC=4,BC=5,当EF∥BC时，求、E 【详解】(1)证明：如图1，连接AC. B E 图1 :AECF,CE∥AF, ∴∠CAE=∠ACF，四边形AECF是平行四边形. .AE =CF. :四边形ABCD是菱形， AB=CD,AB∥CD. .∠BAC=∠ACD. ∠BAC-LCAE=LACD-LACF,，即LBAE=LDCF. △ABE≌△CDF(SAS). :BE DF. (2)(i)解：由(1)可知四边形AECF是平行四边形，又AC=EF, 8/127 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .四边形AECF是矩形 又：∠A0E=90°， :四边形AECF是正方形， AE=CE,∠AEC=90°. :AE BE, ∠BAE=∠ABE,BE=CE. .∠CBE=∠BCE. ∠AEC=90°， ∠BAE+∠ABE+LCBE+∠BCE=∠AEO+LCEO=LAEC=90°， 2LABE+2∠CBE=90°. ∠ABE+∠CBE=45°，即∠ABC=45°. (i)解：如图2，连接BD,延长AE交BC于点G. B D 图2 :四边形ABCD为菱形， ·BD过AC中点O,且BD⊥AC. AC=4, 1 A0=C0=5AC=5×4=2. 2 在RtABOC中，BC=5, B0=VBC2-C02=V52-22=√21. :EF∥BC, S.ce=S.mo -BO.CO=x2Ix221 1 2 S.4c=28.soc=221. 由(1)知四边形AECF是矩形， E0=C0=A0. .∠AEC=90°，∠0EC=∠0CE. :EF∥BC, ∠OEC=LBCE. .ZOCE ZBCE. 91121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△AEC和△GEC中， I∠AEC=∠GEC=90° CE=CE ∠OCE=∠BCE △AEC≌△GEC(ASA), ∴.AC=GC=4,AE=GE, .BG=BC-GC=5-4=1. .nG-nc. 1 2√21 六SABG=5SABc= 5 5 AE=GE, 1 √21 S。ABE= 2 SABG= S.BCE= 21 =5 ·SABE 21 5 =者▣.02.相似角形.（必烤考.。 研考包：通技法 倒角优先：有两个角相等直接证相似，最快最简： 固定模型秒识别： 1平行线→A字型、8字型相似； ,直角+共角一母子相似； |同一直线三直角/三等角一→K型一线三等角： 计算口诀：相似先找角，比例列方程，边长直接算； 1面积问题：面积比=相似比的平方，禁止直接用边长比。 1.(25-26九年级下安徽六安·月考)如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，过点D作AC的垂线，交 BC于点E,垂足为点F,过点E作EG∥AC交AB于点G,连接GD交AC于点H,且∠GDE=45°. H B E (1)求证：EG=DE; 10/127 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：△DECAACD; (3)若BC=2,求CD的长. 【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∠B=∠ECD=90°， DE⊥AC,EG∥AC, DE⊥GE, ∠GED=90°， LGDE=45°， △DGE是等腰直角三角形， .EG=DE (2)证明：：DE1AC, ∴.∠CFE=90°， ∴.∠CED+∠ECF=90°， :四边形ABCD是矩形， ∠ADC=∠DCE=90°， .LDCA+LECF=90°， .∠CED=∠DCA, .△DEC∽△ACD; (3)解：：四边形ABCD是矩形， .AD =BC=2; 由(1)可知∠BEG+∠CED=90°=LEDC+LCED,EG=DE ∠BEG=∠EDC, 在△GBE和aECD中， ∠BEG=∠CDE ∠B=∠ECD GE=ED .AGBE≌△ECD(AAS), .BE =CD 设CD=BE=x,则CE=2-x, :△DEC∽△ACD, CD CE 4DCn，即2=2-x 2 x 解得x=-1+√5（已检验）或x=-1-√5（舍去）， 11/127 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .CD=-1+√5 2.(25-26九年级下.安微合肥期中)如图，矩形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，将四边形CDEF沿 EF对折至四边形GHEF,使G点落在AB上，GH与AD交于点P. D 图1 图2 (1)求证：△FBG∽△GAP: (2)如图1，若GA=4,GB=3,BC=9,求PH的长； (B)如图2，当G为AB中点，P为AD中点时，AB与AD有何数量关系？并说明理由. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， ∠A=∠B=∠C=90°， 由折叠的性质可得∠HGF=∠C=90°， ∴∠AGP+∠BGF=90°=∠AGP+∠APG, .∠APG=∠BGF, △FBG∽△GAP; (2)解：：GA=4,GB=3, .AB=GA+GB=7, :四边形ABCD是矩形， ∠A=∠B=90°，CD=AB=7, 由折叠的性质可得GH=CD=7,FG=FC, 设FG=FC=x,则BF=BC-FC=9-x, 在RtABGF中，由勾股定理得BF2+BG=FG, .(9-x)+32=x2, 解得x=5, .FG=5,BF=4: 由(1)可得△FBG∽△GAP, 器四 541 .PG=5, ∴PH=GH-PG=2; 12/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3)解：AD=5 AB,理由如下： :G为AB中点，P为AD中点， .AG=BG,AD =2AP, :四边形ABCD是矩形， ∠B=90°，BC=AD=2AP, 设AG=BG=xAP=y,则BC=2y,AB=2x, 由(1)可得△FBG∽△GAP, 50經 y BF= .CF=BC-BF=2y-y-x 由折叠的性质可得FG=CF=2y2-x y 在RtABGF中，由勾股定理得BF2+BG=FG2, G +4+r .x+x2y2=4y4-4x2y2+x4, 5x2y2=4y4, :x>0,y>0, 5x2=4y2, 5 y= 2 号D=5 AB 22 AD=5 3.(2026·安徽合肥.一模)如图，ABC中，分别以AB,AC向外作Rt△ADB和Rt△AEC,其中 LADB=LAEC=90°，LABD=LACE=a,F,G,H分别是边BC,AB,AC的中点，连接DF,DG EF,EH 13/127 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 刀 G B (1)求证：△ADGn△AEH; (2求证：DF=EF; (3)∠DFE的度数为（用含a的代数式表示）. 【详解】(1)证明：：∠ADB=∠AEC=90°，∠ABD=LACE=a, ∠ABD+∠BAD=∠ACE+∠CAE=90°，即∠ABD=∠CAE, 又：G,H分别是边AB,AC的中点， :GD-BG=AG-1AB,HE-CH-AH-TAC, 2 ∠ABD=∠BDG,∠ACE=∠HEC, ∴∠DGA=∠ABD+∠BDG=2∠ABD,LEHA=∠ACE+HEC=2LACE, .∠DGA=∠EHA, ∴△ADGn△AEH; (2)证明：如图，连接FG、FH, D B :F,G,H分别是边BC,AB,AC的中点， .GF=TAC,GFMIAC,HF=AB,HFAB, 2 :∠AGF+∠BAC=180°，∠AHF+∠BAC=180°， ·∠AGF=∠AHF 由(1)可知，GD=AB,HE=AC,∠DGA=∠EHA,且 2 2 ∠DGF=∠DGA+∠AGF,∠FHE=∠EHA+∠AHF :GF=HE,GD=HF,ZDGF=ZFHE, ∴.△DGF≌AFHE(SAS), 14/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·DF=EF; (3)解：由(2)可知，△DGF≌aFHE,HF‖AB, ∴∠GDF=∠HFE,∠HFC=∠GBF, ∠GDF+∠GFD+∠DGF=∠HFE+∠GFD+∠DGA+∠AGF=180°， ∠AGF=∠GBF+LGFB=LHFC+∠GFB, ∴.∠DGA=180°-∠AGF-∠GFD-∠HFE, 由(1)可知LDGA=2LABD=2C, .∠DFE=180°-LGFB+∠HFC)-∠GFD-LHFE =180°-∠AGF-∠GFD-∠HFE =∠DGA =2a. 4.(2026·安微淮南一模)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，DE⊥AF于点G ,FH⊥AC于点H,交AB的延长线于点M,连接BH, D D M E B 图1 图2 (1)求证：DE=AF; 2求别的值： DE 3)如图2，若BH∥DE,求0的值。 OC 【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°， .∠DAF+∠BAF=90°， :DE⊥AF, ∠DAF+∠ADE=90 ∠ADE=∠BAF, AD =BA, △ADE≌△BAF(ASA, :DE=AF. (2)连接CM,如图： 15/12/ 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D G 根据题意可得，∠CAB=∠ACB=45°，FH⊥AC, 故△CHF与△MFB均为等腰直角三角形， CF=CH2+HF2=2CH, 即CH=HF=5cF. :∠FHA=∠CHM=90°，AH=HM,CH=HF, .△AHF≌△MHC(SAS), :AF CM DE. :∠FBM=∠CHF=90°，∠CFH=∠MFB, .△CHF∽aMFB, 故B即MF HF CF BF MF 即2CF CF, 2 :BF、V2 MF 2 :HF=BF- ,∠HFB=∠CFM, CF MF 2 .△BFHn△MFC, BH CM 2 BH DE 2 (3):四边形ABCD是正方形， AE∥CD,CD=AB, .△A0E∽△C0D, AOAEAE OC CD AB 16/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BH∥DE, AO AE AH AB' AOAO OC AH' 故AH=OC. AH=A0+0H,OC=CH+0H, :AO=CH. :∠AHF=∠ABF=90°， “点A、H、F、B在以AF为直径的圆上， 又：BH∥DE,DE⊥AF, BH⊥AF, .AF垂直平分BH, .AH AB=0C. 在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√2AB, CH AC-AH AC-AB=2-1AB, 即CH=A0=V2-1AB, 故40(V2-1)AB OC AB =2-1 5.(2026安微阜阳一模)在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点P是ABC外一点，PD⊥AC于D, 交AB边于E,PF⊥BC于F,交AB边于G,连接CE,CG, 图1 图2 图3 (1)如图1，若CE=CG,求证：四边形PDCF为正方形： (2)如图2，若PD=a,PF=b,AC=c(b<a<c),求aCEG的面积（用含a,b,c的式子表示）； (3)如图3，若AC为定值，∠ECG=45°，求证：四边形PDCF的面积为定值 【详解】(1)证明：：△ABC为等腰直角三角形， LA=LB=45°， :PD⊥AC,PF⊥BC, 17/127 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :LPDC=LPFC=LACB=90°， :四边形PDCF为矩形，LAED=LBGF=45°， ∠DEG=LFGE=I35°， CE=CG, .∠CEG=LCGE, :ZCED=ZCGF :.△CDE≌ACFG(AAS, :CD=CF, :矩形PDCF为正方形： (2)解：：PD=a,PF=b,AC=C, :,△CEG的面积=△ABC的面积-△ACE的面积-△CBG的面积 eeree(e-a)de-csb-ea (3)证明：如图，作EM⊥BC于M,GN⊥AC于N, 则∠ANG=∠BME=90°， 由(1)知，∠A=∠B=45°， E D F B △AGN和△BEM均为等腰直角三角形， 设PD=x,PF=y,AC=m, :AG=2x,BE=2y. ZAGC ZB+ZBCG,ZBCE =ZBCG+ZECG, ∠ECG=45°， .LAGC=LBCE=∠BCG+45°， ∠A=∠B, .△ACG∽△BEC, AG BC AC BE ∴AGBE=AC2, √2x2y=m2, 18/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AC=m为定值， :四边形PDCF的面积为定值. 另解：证明： :∠ACB=90,AC=BC, LA=45°， 在△AGC与aCGE中， :∠A=LECG,LAGC=∠EGC, :△AGC∽△CGE. 同理，△BCE∽aCGE, △AGC∽△BCE, AGAC BC BE :AC2=AG.BE=(AB-BG)(AB-AE). 设AD=m,BF=n,则CD=AC-m,CF=BC-n, :.AC2=(2AC-v2n)(2AC-v2m)=2(BC-BF)(AC-AD), ∴.AC2=2CF.CD, ·四边形PDCF的面积为4C,即为定值， 6.(2026安微合肥.一模)在矩形ABCD中，BC=3CD,点M,N分别为直线AB,BC上的动点，且 BM=3CN,连接CM,DN AM B B M 】 HN 图1 图2 (1)如图1，若点M,N分别在边AB,BC上，求证：CM⊥DN,CM=3DN; (2)如图2，若点M,N分别在边AB,BC的延长线上，MC的延长线与DN交于点H. (i)求证：∠CHD=90°； (ⅱ)若点G为MH上的点，且GH=3DH,试探究BG与CH的数量关系，并说明理由. 【详解】(1)证明：设DN交CM于点K,如图1. 19/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AM B :四边形ABCD是矩形， K D 图1 ∠B=∠DCN=90°， :BC=3CD,BM =3CN, BC=3-BM CD CN' ∴△BCM∽△CDN, CM_BC=3,LBCM ZCDN. DN CD CM=3DN。 :∠BCM+∠DCM=90°， ·∠CDN+∠DCM=90°， ∠CKD=90°， .CM⊥DN. (2)(1)证明：：四边形ABCD是矩形， .∠CBM=∠DCN=90°， BC=3CD,BM =3CN, BC CD =3=BM CN' △BCM∽△CDN, .∠BCM=∠CDN. :∠BCM+∠DCH=180°-∠BCD=90°， :LCDN+∠DCH=90°， .∠CHD=90° (ii)解：BG=√10CH. 理由：连接DG,DB,如图2. 20/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B M GH=3DH,BC=3CD, D HN 图2 GH =3=BC DH CD' GH DH BC CD :∠CHD=∠BCD=90°， △GDH∽△BDC, DH DG LGDH=∠BDC, CD DB DH CD DG DB ,∠CDH=∠BDG, :△CDH∽△BDG, CH CD BG BD :BC =3CD, .BD=BC2+CD=(3CD)2+CD=0CD, CH CD BG √10cD10 .BG =10CH 7.(2026安徽阜阳模拟预测)如图，在ABC中，AC=AB,∠BAC=90°，点M为AC中点，连接BM, 过点A作AD⊥BM于点D,连接CD并延长交AB于点E, M (1)求证：AD2=MD·BD; )求D 的值： CD (3)若CD=6,求线段BE的长 21/127 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：由AD⊥BM, ∴.∠ADB=∠ADM=90°，∠ABM+∠BAD=90°， 又∠BAC=90°， .∠ABM+∠AMB=90°， ∠AMB=∠BAD, ∴.△AMD△BAD, AD MD BD AD ,即AD2=MD·BD； (2)解：如图，过点M作MN∥AB, △CMN∽aCAE, 又M点是AC中点， CM CN MN 1 CA CE AE 2,即CW=NE, :MN∥AB, ∴.△NMD∽△EBD, ND MD ED BD 由(1)知∠MBA=∠MAD, 又M点是AC中点，AC=AB, MA=;AC=号AB,则tan∠MBA=4D-M-, 2 BDAB=2 tan∠MAD=MD_I MDMD AD 1 BD AD BD 4 ND 1 ED 4 .ED=4ND,NE=ED+ND=5ND,CD=CN+ND=6ND ED 4ND 2 CD 6ND 3 E B (3)解：过点B作MB的垂线交CD的延长线于点G, 22/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又AD⊥BM, AD∥BG, :△ADE∽△BGE, AD AE BG BE 由(2)知MN=1MW-MD1 AE 2'BE BD 4' AE 1 8E2 AD AE 1 BG BE2' 又D1 BD-2' ADAD BD BG .BD=BG, ·△BDG是等腰直角三角形，LBDG=45°， 又AC=AB,∠BAC=90°， ∠ABC=LACB=45°， LBDE=∠CBE=45°， 又∠BED=LCEB, ∴，△EDB∽△EBC, BE ED EC BE 即BE2=EDEC, 又D2 CD3' :.ED-2CD-4EC-ED+CD=10, 3 解得BE=210, ●者的.03.几何变换（旅转1.折叠）. 研考的：通技法 11.折叠（对称）解题核心 :折叠必相等：对应边相等、对应角相等、折痕是对称轴： !遇折叠求边长：一律设未知数，结合勾股定理列方程： 折叠倒角：重合角相等、平角180°、直角90°转化角度； 23/127 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 折叠落点范围：动点轨迹固定，常用于最值求解。 |2.旋转解题核心 」识别信号：共顶点、两条线段相等，直接用旋转； 等边三角形→旋转60°，正方形/等腰直角→旋转90°； !旋转不变量：边长不变、夹角固定，证全等秒解； 1手拉手模型：共顶点等腰图形，必出全等+等角。 1.(2026安徽安庆一模)己知正方形BCD函通长为8，将其对角线AC绕点有顺时针蕨转一~一~一 θ(0°<0<45)后，点C落在点H位置，此时AH与BC的交点为G,连接CH并延长交AB的延长线于点E ,作AF平分∠CAH交BC于点F,连接FH. D 图1 图2 (1)如图1，求证：AF⊥CE; (2)如图2，当点H为CE中点，连接BH. ①求BE长； ②求△ACF的面积. 【详解】(1)证明：：由旋转可知AC=AH,AF平分LCAH AF⊥CE: (2)①解：过点H作HM⊥BE于点M,则HM∥CB, “点H为CE的中点，BC=8, .HM-BC-4. ”在正方形ABCD中，AB=BC=8, :AC=82=AH, :在Rte AMH中，AM=√AH2-HM2=4V万， :BM AM-AB=47-8. :在RtACBE中，点H为CE的中点， ∴.BH=与CE=EH即aHBE是等腰三角形， .BE=2BM=8V7-16: ②延长AF交CE于点N,则由(1)可知，FN垂直且平分CH, 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 FH-FC,CN-1CH-1CE 1 2 4 :∠CNF=∠CBE=90°，∠NCF=∠BCE, △CNF∽△CBE, CF CN ‘CE-CB1 CE CB 即CF.CB=CE2. 4 :在RtACBE中，CE2=BC2+BE2=768-256√7， Sucr=CF.AB 768-2567列x =96-32万. B M E 2.(25-26九年级上安微毫州期末)(1)已知ABC中，LBAC=90°，AE是过点A的一条直线，且点 B,C在AE的同侧，BD⊥AE交EA延长线于点D,CE⊥AE交AE于点E, ①若AB=AC,，如图1，证明：DE=BD+CE; ②若AB=2AC,如图2，请写出线段BD,DE,CE之间的数量关系，并证明： (2)若AB=2AC,直线AE绕点A旋转到图3位置时，其余条件不变，请直接写出BD,DE,CE之间的数量 关系.（不需要说明理由） D 图1 图2 图3 【详解】(1)①证明：：∠BAC=90°， ∴∠BAD+LEAC=90°， 又：BD⊥AE,CE⊥AE, 25/127 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∠ABD=∠EAC, 在AABD和△CAE中 AB=AC ∠ABD=∠CAE, ∠ADB=∠AEC :△ABD≌△CAE(AAS), ∴BD=AE,AD=CE, 又：ED=AD+AE, .DE=BD+CE ②DE=2CE+2BD 证明：：∠BAC=90°， ∠BAD+∠EAC=90°， 又：BD⊥AE,CE⊥AE, ∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°， LABD=∠EAC, △ABD∽△CAE, 又：AB=2AC, :4D-BD-48=2, CE AE CA :AD =2CE,AE =-BD, 2 又ED=AD+AE, 1 DE-2CE+BD. (2)DE=2CE-1BD, 2 理由：：∠BAC=90°， ∠BAD+∠EAC=90°， 又：BD⊥AE,CE⊥AE, ∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∠ABD=∠EAC, ∴△ABDn△CAE, 又：AB=2AC, 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ADBDAB CE AE CA =2, 4D=2cE,4E=8D, 又：ED=AD-AE, DE=2CE-BD 3.(2026·安微六安.一模)在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点F在BC上，点E在AD上，连接EF, 将矩形沿EF折叠，点A,B的对应点分别为点H,G. A------- 图1 图2 (1)如图1，当点G落在CD边上时，连接BG. ①除贯的恤 ②若BF=5,求AE的长； (2)如图2，若保持BF=5,点E在AD上移动（可与点A,D重合），试确定DG的长度范围 【详解】(1)①如图，过点A作AP∥EF,交BC于点P,交BG于点Q. H D B :四边形ABCD为矩形， AD∥BC· FAP∥EF, :四边形APFE为平行四边形. :AP=EF. :点B,G关于直线EF对称， .EF⊥BG, ∴AP⊥BG. ∠111∠1 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠BAP+∠ABQ=90°. :∠CBG+∠ABQ=90°. ∠BAP=∠CBG. 又：∠ABP=∠BCG=90°， ·△ABP∽△BCG. AP AB 6 3 B行一R云=又=a*pBG。 ②如图，连接BE,EG. H G B :点B,G关于直线EF对称， .BE=EG,BF=FG=5. :四边形ABCD为矩形， ∠C=90°，AB=CD=6,BC=8, .CF=BC-BF=8-5=3, CG=VFG2-CF2=V52-32=4. DG=CD-CG=6-4=2. 设AE=x,则DE=AD-AE=8-x, 由BE2=AB2+AE2=EG2=DE2+DG,得62+x2=(8-x)+22. 解得x=2. ·AE的长为2， (2)当点E在AD上移动时，点G在以点F为圆心，FG的长为半径的圆弧上. 如图，当点F,G,D在一条直线上时，DG最小. H D G ------ B DG=DF-FG=VCD2+CF2-5=V62+32-5=3√5-5 28/127 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图，当点E与点D重合时，DG最大。 A E(D) G :点B,G关于直线EF对称， .:BE =DG. DG=BE=VAB2+AD2=V62+82=10. :DG的长度范围是35-5≤DG≤10. 4.(2026·安徽合肥一模)如图，在ABC中，AB=AC,P为AC边上一点，连接PB,将△PBC沿PB翻 折，得到△PBD,PD交AB于点E. B 图1 图2 图3 (1)如图1，当PD∥BC时，猜想四边形BCPD的形状，并说明理由； 2当-写4C时 ①如图2，若∠A=60°，BC=6,求BE的长 (ii)如图3，若PD⊥AB,证明：BE=2AE+DE, 【详解】(1)解：结论：四边形BCPD是菱形， 证明：由折叠可知：BD=BC,PD=PC,∠DBP=∠CBP, :PD∥BC, .∠DPB=∠CBP, ∠DBP=∠DPB, .BD=PD=BC=PC, :四边形BCPD是菱形； 29/127 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：①：AB=AC,∠A=60°， :ABC是等边三角形， ∴∠C=∠A=∠D=60°，AB=AC=BD=BC=6, 1 AP=AC, 3 ·AP=2,DP=PC=2AP=4, :∠A=∠D,∠DEB=∠AEP, △DEB∽△AEP, DE BE_BD=6=3, AE PE AP 2 DE =3AE,BE =3EP, :AE=4 BE-AB-4E-2 49 ②证明：过点C作CF⊥AB于点F, ∠CFB=90°， E F :PD⊥AB,即∠BED=90°， LBED=∠CFB=90°， :△PBC沿PB翻折，得到△PBD, ·∠D=LACB,BD=BC, AB=AC, ∠ABC=LACB, ∠D=∠ABC, △DEB≌△BFC(AAS), .DE =BF,FC=BE, :∠BFC=90°，∠BED=90°， .EP∥FC, ∴△APE∽△ACF, 30/127 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AP=AEEP AC AF FC' 1 AP=AC, 3 AE=3AF,FC=3EP. :EF =2AE, BE =EF +BF .BE =2AE+DE. 5.(25-26九年级上·安徽安庆期末)综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定 一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.己知三角形纸片ABC和DEC, CB=CE=3,AB=DE=4,∠ABC=∠DEC=90°. B B G G D 图1 图2 备用图 (1)如图1，连接AD、BE,在纸片CDE绕点C旋转过程中，求证：△CBE∽△CAD; (2)如图2，在纸片CDE绕点C旋转过程中，当点E恰好落在ABC的中线BG的延长线上时， ①求AD的长； ②延长DE交AC于点F,求tan ZACE的值. 【详解】(1)解：：CB=CE=3,AB=DE=4,∠ABC=∠DEC=90°， AC=DC=VAB2+BC2=5,△ABC≌△DEC, .∠BCA=LECD, :∠BCE=∠ACD, 又：BC=CE3 AC DC5' .△CBE∽△CAD, (2)解：①：∠ABC=90°，BG是ABC的中线， 4G-BG-CG--AC-3 2 31/127 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :ZGBC ZBCA, CB=CE, ∠CEB=∠GBC,则LBCA=LCEB, 又∠GBC=LCBE, :△BCG∽△BEC, BG BC BC BE .BE BC218 BG 5 又由(1)知△CBE∽△CAD, BE BC 18 AD-C. 即53， .AD=6, B G E D ②如图，由①知∠CEB=∠GBC=∠BCA,又∠BCA=∠ECD, :ZCEB ZECD 则BECD, ∴aFGE∽△FCD, EF GE FDCD' 由①知BE= ∴.GE=BE-BG= 11 10 11 EF 10, EF+45 FE=44 39, 32/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 44 .tan∠ACE= FE_3944. CE 3117 B E D 者▣.Q4特四边形.（正方形1形1矩形）.· 研考的：通技法 !1.通用技巧 看到特殊四边形，先默写核心性质：边、角、对角线，按需取用； ,对角线是突破口： !矩形：对角线相等； 「菱形：对角线垂直+平分内角： |正方形：兼具所有特殊性质，90°、等线段、垂直平分。 |2.安徽高频：正方形压轴专属技巧 正方形内互相垂直的线段→长度相等（十字架模型）； 共顶点等线段一→直接构造90°旋转： !多直角环境，大量用同角余角相等快速倒角。 1.(2026安徽准南一模)如图1，在正方形ABCD中，E为边AD上一点，连接BE,点A和关于BE对 称，连接AA'并延长，交BE于点F,交CD于点G,连接AE. D G D G G E B B 图1 图2 图3 (1)求证：A'E=DG (2)若E为AD的中点，连接AD. 33/127 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ()如图2，求AD的值： AB (i)如图3，连接BD,取BD的中点O,连接OA',OF,判断△A'OF的形状，并说明理由. 【详解】(1)证明：：点A和A关于BE对称， :AE=A'E,BE⊥AA', :四边形ABCD为正方形， AB=AD,∠ADG=LBAE=90°， :BE⊥AA', ∠DAG+∠AEF=90°， 又：∠AEB+∠ABE=90°， ∠DAG=LABE, △ABE≌△DAG ASA), :AE=DG, :A'E=DG; (2)解：(i)由(1)得AE=A'E=DG, :E为AD的中点， :AE=A'E DE, .∠EAA'=∠EA'A,∠EDA'=∠EA'D, ∠EAA'+∠EA'A+∠EDA'+∠EA'D=180°， 2∠EAA+∠EA'D)=180°，即∠EA'A+∠EA'D=90°， ∠AA'D=90°， 如图1，过点E作EH⊥AD于点H, D G .H为A'D的中点， B 图1 ,EH⊥A'D, ∠DHE=∠EAB=90°， :∠AA'D=90°， .∠HDE+∠EAF=90, BE⊥AA', 34/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠EAF+LFEA=90°， ∴∠HDE=∠FEA, ∴.△DEH∽△EBA, DH DE AE BE 设DE=AE=1,则AB=2,BE=V22+1P=√5， DH DE 1 AE BE5' .DH=5 5 A'D =2DH= 25 J 4D-5 AB 5 ()如图2，连接0A,DF.由(i)知∠DA'A=90°， D G ∠A'DA+∠A'AD=90°。 图2 :四边形ABCD为正方形， :AD=AB,∠EAF+∠FAB=90°，∠FAB=∠A'DA, BE⊥AA', .∠BFA=90°， △AA'D≌△BFA(AAS), :A'D=AF=A'F, ∴△ADF是等腰直角三角形， ∠AFD=45,DF-DE-V2. A'D AF .∠ADF=45°-∠DAA', .OA=OD, AD=2 ∠OAD=45°， OA ·∠0AF=45°-∠DAA', 35/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠OAF=∠ADF, 又D-DE=2, OA AF △DAFn△AOF, OF OA2 AF AD 2' ∠AFO=∠DFA, :∠OFA'=∠A'FD, 4F-2,0F-0F2 DF 2 A'F AF 2 :△A'OF∽△DA'F, △AOF是等腰直角三角形 2.(2026·安徽合肥.一模)如图1，正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD上的点，且CE=CF,连接 AE、AF交BF,DE于G、H,己知G为BF的中点， D H G B E B E 图1 图2 (1)求证：BF=DE; (2)若AB=2,求BE长； (3)如图2，连接BD,O为BD的中点，连接0G、OH、GH,判断△OGH的形状，并说明理由. 【详解】(1)解：：正方形ABCD, .BC=CD, :LBCF=∠DCE,CE=CF, ∴.△BCF≌△OCE(SAS, BF DE (2)解：延长AE交DC的延长线于点M,如图， 36/127 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G M :正方形ABCD,AB=2, ·AB∥CD，AB=BC=CD=AD=2, :G为BF的中点， .BG=FG, :AB∥CD, .△ABG∽△MFG, AB_BG=1. FM FG .AB FM=2, 设CE=CF=x,则BE=CM=2-x, :AB∥CD, .△ABEn△MCE, 822 2-x x 解得x=3-5,x,=3+V5(舍去)： ÷BE=2-3-5)=V5-1: (3)解：△OGH为等腰直角三角形，理由如下： :AD=AB,∠ADF=∠ABE=90°，BC-CE=CD-CF,即BE=DF, △ADF≌△ABE(SAS, ∠DFA=∠BEA, 由(1)知△BCF≌aDCE(SAS),BF=DE, .∠HDF=LGBE, 在△BGE和△DHF中， ∠HDF=∠GBE DF=BE ∠DFH=∠BEG ”1L1 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,△DHF≌△BGE(ASA) BG DH, 又G为BF的中点，BF=DE, ·H为DE的中点 :O为BD的中点 ÷OH∥BE,OH=BE,OG∥DF,OG=DF, .∠DOH=∠DBE=45°，∠BOG=∠BDC=45°，0H=0G, ∴.∠H0G=180°-2×45°=90°， ∴△OGH为等腰直角三角形. 3.(2026安徽安庆.一模)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=2AB,点E在线段 OD上，且OE=DE,连接CE. B M D (1)求证：CE⊥BD; (2)若M,N分别是OA,BC的中点，且AB=20,连接EM,EN. ①求证：EM=EN; ②当EM⊥EN时，求ABCD的面积. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB//CD.AB=CD,AO=CO=AC. :AC=2AB, ∴C0=CD, ∴.△COD是等腰三角形. 又：OE=DE, CE⊥BD; (2)①证明：CE⊥D0, ∴.∠BEC=90°. :N为BC的中点， :.EN =BC. 38/127 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形ABCD是平行四边形， .AD =BC. :E,M分别是OD,OA的中点， ·EM是△AOD的中位线， .EM-TAD. .EN =EM. ②解：：EM是△AOD的中位线， :EM AD, :AD∥BC, .EM∥BC. :EM⊥EN, .EN⊥BC, :N是BC的中点， :BE CE. 设0E=DE=x,则B0=D0=2DE=2x,BD=OB+OD=4x· .BE CE =0E +0B =3x. 在RIACED中，CD=AB=20, DE2+CE2 CD2, 即x2+(3x)=202, 解得：x=2V10(负值已舍去)， BD=810,CE=6V10, 1 SBcn=2S,B0c=2×5x810×6V10=480. 2 4.(2026·安徽安庆模拟预测)综合与探究 某校数学兴趣小组同学学习“特殊平行四边形”的知识后，对特殊的平行四边形进行了如下探究： D E E B P B P P 图1 图2 图3 (1)【初步探究】如图1，已知正方形ABCD,点F是边CD上的一个动点（不与点C,D重合），点E在 39/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BF上，满足AE=AB,延长DE交BC于点P,求∠BED的度数： (2)【深入探究】在上述条件下，连接CE,己知CE⊥BF,如图2，若正方形ABCD的边长为6，求BP的长； (3)【变式探究】如图3，矩形ABCD中，AB=8,BC=I2,点F是边CD的中点，点E在BF上，且AE=AB ，连接DE并延长交BC于点P,求E的值. DE 【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形，AE=AB, AB=AD,∠BAD=90°， :AE AD, ,∠AEB=∠ABE,∠AED=∠ADE, :∠AEB+∠ABE+∠AED+∠ADE+∠BAD=360°， 2∠AEB+2∠AED+90°=360°， ∠AEB+∠AED=135°， ∠BED=∠AEB+∠AED=I35°： (2)解：如图，过点A作AG1BE交BE于点G,则GB=GE=BE, FCE⊥BF, G B :∠BEC=∠AGB=LABC=90°， LBAG+LABG=90°，∠CBE+∠ABG=90°， .∠BAG=∠CBE, BC=AB, △BEC≌△4GB(AAS), SEC=GB=,BE→ 过点P作PH⊥BE交BE于点H,则PH∥CE, 由(1)知∠BED=135°， ∠HEP=180°-∠BED=180°-135°=45°， :∠HPE=∠HEP=45°， .HE =HP, :PH∥CE, △BPH∽△BCE, 40/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PH CE1EH BH BE 2 BH CP EH 1 BP=BH=2' :BC=6, BP=BC=4 (3)解：如图，过点A作AM⊥BE交BE于点M, E AB=AE, PN 图3 BM =EM =BE :矩形ABCD, LABC=∠BCD=LAMB=90°， ∠BAM+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°， :ZBAM ZCBF, :△ABM∽△BFC, AB BM BF FC :点F是CD的中点， ∴.CF=5CD=4, BF=V42+122=40, 8 BM 4104 BM= 5 BE=80 5 过点E作EN⊥BC交BC于点N, EN∥CD, △BENm△BFC, 41/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EN_BE2 CF BF 5' EN 1 CD5' EN∥CD, △PEN∽aPDC, PEEN1 PD CD 5 PE 1 ED=4 5.(2026·安徽模拟预测)在边长为4的正方形ABCD中，M是AD边的中点，点E是AB边上的一个动点， 连接EM并延长交射线CD于点F. M M D B C G 图1 图2 图3 (1)如图1，连接CM,当AE=1时，求证：CM⊥EF; (2)过点M作EF的垂线交射线BC于点G,连接EG,FG. ()如图2，求证：MG=2ME; ()如图3，当BEGACGF时，求tan∠BGE的值. 【详解】(1)证：连接CE, M D 图1 :M是AD边的中点， :AM DM :四边形ABCD为正方形， ∠MAE=∠CDM=LMDF=∠ABC=90°，AB=BC=CD=AD=4, :在△AME和aDMF中， 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AME=∠DMF AM=DM ∠MAE=∠MDF ∴△AME≌△MF ASA, :AE DF=1,ME MF, .M为EF的中点，BE=AB-AE=4-1=3,CF=CD+DF=4+1=5, :RtABCE中，CE=VBE2+BC2=5, :CE =CF=5, ·点C一定在线段EF的垂直平分线上， 故CM⊥EF: (2)()证明：如图2，过点G作GN⊥AD，,交AD的延长线于点N, B 图2 :四边形ABCD为正方形，M是AD边的中点， :∠A=∠B=90°，AB=BC=CD=AD=4,AM=AD, 2 :∠A=∠B=∠N=90°， :四边形ABGN是矩形， :NG=AB=AD=4, :GM⊥EF, .∠NMG+∠AME=90°， 在RIAMAE中，∠AEM+∠AME=90°， ∴.∠AEM=∠NMG, :∠A=∠N=90°， △AMEn△NGM, ME AMAM 1 GM NG AD2' 即MG=2ME; ()解：由(1)可知△AME≌aDMF, 43/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AE=DF,ME=MF, 又GM⊥EF, :.GE=FG, :△BEG∽aCGF, BE BG GE CG CF FG :BE=CG,BG=CF, 设BE=CG=x,则DF=AE=AB-BE=4-x, CF=BG=BC+CG=4+x, CF=CD+DF=4+4-x=8-x, 则有4+x=8-x, 解得x=2, 即BE=CG=2, ∴tan∠BGE= BEBE 2 1 BG BC+CG4+23 6.(2025安徽.一模)在四边形ABCD中，AD∥BC,BC=CD,点E在边AD上，连接EB,EC,EC交 BD于点O. E D 图1 图2 (1)若EC⊥BD,如图1.求证：四边形BCDE是菱形； (2)如图2，连接AC交BE于点F,若点F是BE的中点. ①求证：AE=CD; ②若AB=6,BC=8,AD=10,求OE,OC的长. 【详解】(1)证明：：AD∥BC, .∠EDO=∠CBO, BC=CD, .∠CD0=∠CB0, .∠CD0=∠ED0, :EC⊥BD, .∠E0D=∠C0D=90°， :D0=D0, 44/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△EOD≌aCOD(ASA), DE=DC=BC, :BC∥DE, 四边形BCDE是平行四边形， EC⊥BD, 四边形BCDE是菱形. (2)解：①：AD∥BC, LAEF=∠CBF,∠EAF=∠BCF, :点F是BE的中点， :EF =BF, .△AEF≌ACBF(AAS), .AE =BC, BC=CD, .AE=CD ②由①得AE=BC, :AD∥BC, 四边形ABCE是平行四边形， .AE=BC=8,AB=CE=6, AD=10, DE=AD-AE=10-8=2, :AD∥BC, .△DE0n△BCO, OE=DE2 1 “0CBC84' OE 11 CE1+45' :0E=,CE=5' 6 0C=CE-0E=6-6=24 Γ55 7.(2026安徽芜湖.一模)如图1，平行四边形ABCD中，E,F为边AD,BC上两点，EF经过AC中点 O且EF⊥AC,EC平分LACD. 45/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)求证：四边形AFCE为菱形： (2)若DE=2,CD=V14,求aCDE周长 (3)如图2，当AB⊥BC时，连接DF,交AC于点G,求 EG 的值. CD 【详解】(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形， ·AE‖FC, .∠AEF=∠CFE. 又：A0=C0,∠A0E=∠C0F, △AOE≌△COF(AAS), .0E=0F, :四边形AFCE为平行四边形 又：EF⊥AC, :.四边形AFCE为菱形. (2)解：由(1)可知，四边形AFCE为菱形， :EA=EC, .∠EAC=LECA, ∠ECD=∠EAC, .△ECD∽△CAD, ED CD CD AD 2V14 14 AD AD=7, AE=5, EC=5, aCDE周长为7+V14, (3)解：如图，作GH⊥BC,垂足为H. 46/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B H 由题意可知，LBCA=∠ECA=∠ECD=30°， CD CE c0s30°= 2 又：CE=CF, :CD-3 CF 2 :GH‖CD, .GH FH 2 设GH=√3a,则FH=2a, :EG=FG=7a,HC=3GH =3a, .FC=5a, CD= -Cr=3 5v3a ×5a= 2 2 GE√7a2V21 :CD 53a 15. 2 ▣.05动态几何.动点1动线1动图).。 向：通技法 :化动为静：取起点、终点、中点、特殊角位置分析： ·抓不变量：动态题核心不变：定角、定线段、定比例： 分类讨论三大必考： 「等腰三角形：三边两两相等分3类； I直角三角形：三个角分别为直角分3类： |平行四边形：边平行/对角线平分两种思路： 计算通用：设运动时间t,用含t代数式表示边长，建方程求解。 1.(2026安徽芜湖：模)在矩形ABCD中，P是射线BC上的动点，连接P,DP,E是4P的中点，连 接DE. 47/127 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 (1)如图1，当P为BC的中点时，求证：△ABP≌△DCP; (2)如图2，当点P在BC延长线上时，设AP与CD相交于点N,且AD=DP· ①连接BE,当∠DPE=30°时，判断△ABE的形状，并说明理由； ②过点E作EFBP交B于点F.当5-号时，菊想DN与C之间的数量关系，并证明。 【详解】(1)证明：在矩形ABCD中，P为BC的中点， AB=CD,BP=CP,∠B=∠C=90°，， :△ABP≌△DCP(SAS): (2)解：①△ABE是等边三角形， 理由：：点P在BC延长线上，AD=DP,∠DPE=30°， :∠DAP=∠DPE=30°， :四边形ABCD是矩形， ·∠BAD=∠ABC=90°， .∠BAP=∠BAD-∠DAP=90°-30°=60°， :∠ABP=90°，E是AP的中点， BE=方4AP=AE, :△ABE是等边三角形； ②，证明：如图，过点E作EH⊥BC于点H,延长EH交AD于点G, G D B H C 设AD=6k, EF-2 AD3' :EF =4k, :EF∥BP,AD∥BC, 48/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AD∥BC∥EF, :EH⊥BC,AB⊥BC, :AB∥GH, ·四边形AFEG、BFEH是平行四边形， EH=BF,GE=AF,AG=EF=BH=4k, ·CH=BC-BH=6k-4k=2k, :E是AP的中点，EF∥BP, ·BP=2EF=8k,F是AB中点， :AF BF,PH BP-BH =8k-4k=4k, :EH =GE,PC=PH-CH=4k-2k=2k, :GH∥CD, ·△AGE∽△ADN,△PCNn△PHE, GE AG CNPC DN AD'EH PH ·即GE-4k,CW2k DN6k’EH4k' GE=DN,EH 2CN. EH =GE, 2DN=2CN, :DN =3CN. 2.(25-26九年级下.安徽合肥·月考)如图1，梯形ABCD中，AB∥CD,LABC=90°，AB=6,BC=8, tanD=2,点E是射线CD上一动点（不与点C重合），将△BCE沿着BE进行翻折，点C的对应点记为点 F. D D B 图1 图2 备用图 田如图1，当点E在线段CD上时，设CE=,令证=y,求)与之间的函数关系式，并写出定义域 SAEFC (2)如图2，连接AC,线段BF与射线CA交于点G,当△CBG是等腰三角形时，求CE的长. 【详解】(1)解：如图，过点A作AM⊥CD于点M,设BE交CF于H,EH=a,HB=b, 49/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B ∠AMD=90°=∠AMC,EB=EH+BH=a+b, :在梯形ABCD中，AB∥CD,∠ABC=90°，AB=6,BC=8,tanD=2, .∠BCM=180°-∠ABC=90°=∠ABC=∠AMC, .四边形ABCM是矩形， .MC=AB=6,AM=BC=8, DM =AM 8 =4, tan D 2 ∴.CD=CM+DM=6+4=10, :点E在线段CD上（不与点C重合），CE=x, .0<x≤10， :将△BCE沿着BE进行翻折，点C的对应点记为点F, :EF=EC,BF=BC, ·BE垂直平分线段CF, .∠CHE=90°=∠CHB, :LEHC=90°=LECB,∠CEH=LBEC, .△EHC∽△ECB, 器畏甲C-, .x2=aa+b)①， :∠BHC=90°=∠BCE,∠CBH=∠EBC, .△CHB∽△ECB, BC=BH,即BC2=BHBE, BE BC .64=ba+b②， ②÷①，得： b-64 ax2 2CF·BH .y= SABFC BH_b_64 SAEFC CF.EH EH-ax 2 50/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 64 ·y与x之间的函数关系式为y= 0<x≤10)； (2)解：①如图，当GC=GB时，延长BF交CD于H,设EC=x, H 在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=V62+82=10, .GC=GB, ∴∠GBC=∠GCB,即LHBC=∠ACB, :∠HCB=90°=∠ABC,CB=BC :△HCB≌△ABC(ASA), .CH=AB=6,BH=AC=10, :将△BCE沿着BE进行翻折，点C的对应点记为点F, EF=EC=x,BF=BC=8,LBFE=∠BCE=90°， .FH=BH-BF=10-8=2,EH=CH-EC=6-x, 在Rt△EFH中，HE2=HF2+EF2, (6-x)2=2+x2, 解得：x=3 8 ac-3 ②如图，当CG=CB时，延长BF交CD于H, 在 F A CG=CB=8,AC=10, AG=AC-CG=10-8=2, :CH∥AB, .∠GCH=∠GAB,∠GHC=∠GBA, ∴△GCH∽△GAB, Hc=cg,即C=； BA AG 62' JL1121 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得：HC=24, 在Rt△BCH中，BH=VBC2+CH?=V82+242=8V10, .BF=BC=8, HF=8V10-8, 设EF=CE=x,则HE=CH-EC=24-x, 在Rt△EFH中，HE2=HF2+EF2, (24-x)2=(810-8+x2, 解得：r=8v10-8 3 ·EC= 810-8 3 ③如图，当BG=BC时，点F与点G重合， (G)F :BE垂直平分CF, ∠CHB=90°， ∠HCB+∠CBH=90°，∠BEC+LCBH=90°， ∴∠HCB=∠BEC,即∠ACB=∠BEC, :∠ABC=90°=LBCE, △ABC∽△BCE, AB BC BC CE .EC= BC28232 AB 6 3 综上所述，当：CBG是等腰三角形时，CE的长为8或8而-8或 3 3 3.(2026安徽阜阳.一模)如图，在矩形ABCD中，E是AB上的一动点，将△BCE沿CE折叠，使点B落 在点B的位置. 52/127 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D M B 图1 图2 (1)如图1，若点B在边AD上，且AB=4,BC=6,求AB的长. (2)如图2，若AB=BC=6,连接BB',交CE于点M,延长BB',交AD于点F,连接AC,交BF于点N, 0是AC的中点，连接OM. ①求证：∠0MN=45°. ②若BE=2AE,求A 一的值 【详解】(1)解：由题意，得BC=B'C=6, :四边形ABCD是矩形， ∠D=90°，BC=AD=6, B'D=√B'C2-CD2=V62-42=2V5, :AB'=AD-B'D=6-25; (2)①证明：如图，连接OB. M :四边形ABCD是矩形，且AB=BC, :.四边形ABCD是正方形， :O是AC的中点， LB0C=90°，∠0BC=45°， 根据折叠的性质，可得BB'⊥CE,即∠B'MC=∠BMC=90°， :点M,O在以BC为直径的圆上， .∠0MC=∠0BC=45°， :∠0MN=∠BMC-LOMC=45°； ②解：：四边形ABCD是正方形， ·∠ABC=90°，AB=BC，AD∥BC，AC=√2AB=6V2, 53/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠BCE+∠BEC=90° :BB'⊥CE, ∠BEC+∠EBM=90°， :∠EBM=LBCE, tan∠EBM=AF AB =tan∠BCE=BE BC :BE AF. BE=2AE,AB=6, .AF BE=4, .BF=VAB2+AF2=2√3 :AD∥BC, △ANF∽△CNB, AF AN NF 2 BC CN NB-3' NF=413 AW=12V2 5 5 N0=0A-4N=!4C-AN=32 由①，可得∠OMN=∠FAN=45°，∠ONM=∠FNA, △ANF∽△MNO, 413 AF NF =5 2V26 M0-N03v2 3 5 4.(2026安徽阜阳.一模)数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作 EF⊥AC,垂足为E,交BC所在直线于点F,探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由. ① ② ③ 备用图 (1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是-· (2)探究证明： ①小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图 54/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系.请你按照他的思路，完成解题过程 ②请你用与(2)不同的方法解决“数学问题” 【详解】(1)解：AF=√2DE,理由如下： :四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点， .AC⊥BD,AE=BE=CE=DE, AB2=AE2+BE2, :.AB2=2DE2, :B点与F点重合， :.AF2=2DE2, :AF =2DE: (2)①解：如下图所示，作DG∥AF,交BC的延长线于点G,连接EG, D :四边形ABCD是正方形， B G :∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD,AD∥BC, :DG∥AF,AD∥BC, 四边形AFGD为平行四边形， AF=DG,AD=FG, .FG=CD, ∠ABC=90°，AB=BC, :∠ACB=45°， ∠ACD=45°， :EF⊥AC, :∠FEC=90°， ∠EFC=∠ECF=45°， :EF=EC, ∠EFC=∠ECD, △CDE≌△FGE(SAS, .ED=EG,∠FEG=∠CED, .∠DEG=∠FEC=90°， :△DEG是等腰直角三角形， 55/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ..DG2=DE2+EG2=2DE2, ∴.DG=V2DE, :AF =DE: ②解：如下图所示，作DG⊥DE,且DG=DE,连接AG、GE, 四边形ABCD是正方形， B :∠ADC=90°，CD=AD, ∠DAC=∠DCA=45°， 同理，∠ACB=45°， GD⊥DE, :∠GDE=90°， 又：DG=DE, ∴△DEG是等腰直角三角形， ..EG2=DE2+DG2=2DE2, ..EG=2DE, :∠ADC=∠GDE=90°， .∠GDA=∠EDC, AGDA≌△EDC(SAS, ∠GAD=∠ECD=45°，AG=EC, .∠GAE=90°， :EF⊥AC, ∠FEC=∠FEA=90°， ∠EFC=∠ECF=45°， EF=EC, :EF=AG, :∠GAE=∠FEA=90°， :AG∥EF, :四边形AGEF为平行四边形， :AF=EG, 56/127 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AF=√2DE. 5.(2026安微合肥.一模)如图1，等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC中点，E为AD上任一点，CE交 AB于点F,FG⊥BE交BC于点G,连接EG. E D GD 图1 图2 (1)求证：△AEF∽△BGF; (2)如图2，当F为AB中点时，求证：EG∥AB; (3)当点E在AD上移动时，猜想DE和BG的数量关系并证明. 【详解】(1)证明：如图，设FG与BE的交点为H, A E B G D :在等腰直角三角形ABC中，BC为斜边， AB=AC,LABC=LACB=45°， :D为BC中点， .AD⊥BC,BD=CD, .∠ADB=∠ADC=90°， ∠BAD=180°-∠ADB-∠ABC=45°=∠ABC, 在BDE和△CDE中， BD=CD ∠ADB=∠ADC, DE=DE :△BDE≌△CDE SAS), .ZEBC ZECB, :FG⊥BE, .∠BHG=90°， ∴∠EBC+∠BGF=90°， :∠ECB+∠CED=90°， ∴∠BGF=∠CED, 57/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠CED=∠AEF, .∠AEF=LBGF, 又：∠BAD=∠ABC, .△AEF∽△BGF; (2)证明：“F为AB中点， .BF AF, 由(1)可知，∠AEF=∠BGF,∠BAD=∠ABC=45°， 在△AEF和△BGF中， ∠BAD=∠ABC ∠AEF=∠BGF, AF=BF :△AEF≌△BGF(AAS, .AE BG, :∠BAD=∠ABC=45°， :AD BD, AD-AE=BD-BG,即DE=DG, :∠ADB=90°， ·∠DEG= 180°-∠ADB =45°， 2 ∴∠DEG=∠BAD, EG∥AB; (3)解：BG=2DE,证明如下： 如图，过点A作BC的平行线，交CF的延长线于点I, E B GD 由(1)可知，△AEFn△BGF, .AE AF BG BF :AI∥BC, .△AIF∽△BCF, :AL、AF BC=BF 58/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AI AE AE·BC BC=BG ,即AI= BG :A1∥BC, ∴△AIE∽△DCE, AI AE = CD DE ,即A1=AE·CD DE :AE·BC。AE·CD BG DE BC CD BG DE BC=2CD, 200-c0 BG DE 即BG=2DE. 者向.06几何最值 研包：通技法 「线段最短：将军饮马→作对称，连线段： |线段最值（隐圆）：定点到圆心距离加减半径： 周长/面积最值：转化为二次函数，配方求顶点： 垂线段最短：点到直线，垂线最短。 1,ˉ(2025安徽毫州：模)综合与探究：数学兴趣小组学习了特殊四迈形的判定与性质后，对多边形中的 相似三角形进行了研究， D 图1 图2 图3 【初步感知】如图1，点E是正方形ABCD的边BC上一动点，过点E作EF⊥AE交CD于点F,求证： △ABE∽△ECF; 【类比探究】如图2，点E是矩形ABCD的边BC上一动点，连接AE交对角线BD于点M,若线段AB是线 段BE和BC的比例中项，求证：AE⊥BD; 【拓展提升】如图3，口ABCD的对角线AC,BD相交于点M,过点C作CE⊥AC交边AD的延长线于点E ,若AC=6,CE=8,求线段BD的最小值. 【详解】解：初步感知：如图所示： 59/127 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E 图1 在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°， ∠BAE+∠BEA=90°， :EF⊥AE, :LCEF+LBEA=90°， .∠BAE=LCEF, ∴△ABEn△ECF; 类比探究：如图所示： M B E 图2 在矩形ABCD中，AB=CD,∠ABE=∠C=90°， :线段AB是线段BE和BC的比例中项， :AB2=BEBC, 则ABC、BC BE AB CD :∠ABE=LC=90°， AB BC BE CD △ABE∽△BCD, .∠BAE=∠CBD, 在Rt△ABE中，LABE=90°=LBAE+LBEA, :∠CBD+∠BEA=90°， 即在△BEM中，∠EBM+∠BEM=90°，则∠BME=90°， ·AE⊥BD: 拓展提升：如图所示： 60/127 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D CE⊥AC,AC=6,CE=8, 图3 :在Rt△ACE中，由勾股定理可得AE=√AC2+CE2=10, 在4ABCD中，对角线4C,BD相交于点M,则4M=CWAC=3,MD=ME-BD :点M是定点、点D是边AE上的一个动点，且BD=2DM,即求线段BD的最小值，就是求线段MD的最 小值， 由直线外一个定点与直线上一个动点之间的距离，垂线段最短可知，当MD⊥AE时，线段MD有最小值，如 图所示： M D :∠MAD=∠EAC,∠MDA=∠ECA=90°， C △ADM∽△ACE, 则M、AE MD CE 即、3-10 MD 8' 解得MD=12 ·线段BD的最小值为2MD=24 2.（(2026安徽一模)综合与实践 【活动背景】数学活动课上，老师问了这样一个问题：同学们，某小区有三栋居民楼A,B,C，如图1是小 区的居民楼分布示意图，其中AC=90m,BC=135m,∠ACB=60°，为了方便小区居民购物，社区有关部 门决定在小区内修建一个超市，你们觉得超市应该如何选址呢？ 【方案讨论】 (1)初始方案：有部分同学提出，设超市的选址为P点，为了体现公平性，点P到A,B,C三个顶点的距离 应该要相等.此时，点P应选择在ABC①处（从“内心”，“外心”，“重心”中选择一个填空)· (2)方案改进：很快同学们发现，初始方案的选址方式看起来比较公平，但是总路程较长，于是，同学们 想找到一个点，使它到ABC三个顶点的距离之和最小，结合所学知识，同学们进行了以下的探究过程： 61/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B B 图1 图2 图3 探究：如图2，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP,则LPCP'=60°， :②， .△CPP为等边三角形. :PC=PP'. 又：PA=P'A', PA+PB+PC=③ 点A!可看成是线段AC绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA'为定长， ·.当B,P,P,四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小， 即PA+PB+PC的最小值就是线段BA的长度. 【问题解决】 (1)请将上述【方案讨论】中横线上所缺内容补充完整：①；② :③ (2)由以上探究过程可知，如图3，我们只要以AC为边向外作等边三角形ACA',连接BA',此时点P位于线 段BA'上，请在此基础上通过尺规作图找出点P的位置.（保留作图痕迹） (3)在图3的基础上求出PA+PB+PC的最小值. 【详解】(1)解：：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ·要使点P到A,B,C三个顶点的距离相等， 此时，点P应选择在ABC的外心处： 探究：如图2，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP,则∠PCP'=60°， CP=CP', .△CPP为等边三角形 :PC=PP'. 又：PA=PA', .PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'. 点！可看成是线段AC绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA'为定长， ·当B,P,P,四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小， 即PA+PB+PC的最小值就是线段BA'的长度. (2)解：如图所示，点P即为所求： 62/127 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G B (3)解：过点A作A'N⊥BC交BC延长线于点N, D D B 由(1)得，PA+PB+PC的最小值就是线段BA的长度. :△ACA'是等边三角形，且AC=90m, ∠ACA'=60°，A'C=AC=90m, :∠ACB=60°， ∴∠BCA'=∠ACA'+∠ACB=60°+60°=120°， .∠A'CN=180°-∠BCA'=180°-120°=60°. A'N⊥BC, ∠A'NC=90°， ·∠CA'N=30°， 1 CW=24C=2x90=45m. 2 在Rt△A'CN中， 由勾股定理得，AN=VA'C2-CN2=V902-452=45√5. :BC=135m, BN=BC+CN=135+45=180m, 在RtaA'BN中， 由勾股定理得，A'B=VAN2+BN2=455+1802=459m, :PA+PB+PC的最小值为45V19m. 3.(2025·安徽模拟预测)在边长为6的菱形ABCD中，AB=AC,点E、F是边BC、AB上的点，连接 EF, 63/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 O D D B 图1 图2 图3 (1)如图1，将∠B沿EF翻折使B的对应点B落在AC中点上，此时四边形BEB'F是什么四边形？并说明理 由 (2)如图2，若BE=2,以EF为边在EF右侧作等边△EFG; ①连接CG,当aCEG是以CG为腰的等腰三角形时，求BF的长度. ②直接写出CG的最小值. 【详解】(1)解：四边形BEB'F是菱形， 理由如下：连接BB', D 图1 :四边形ABCD是菱形， .AB=BC, ∴∠BAC=∠BCA, :点B是AC的中点， AC⊥BB, :将∠B沿EF翻折使B的对应点B落在AC中点上， :EF L BB',BF B'F,BE B'E, ∴EF∥AC, ∠BFE=∠BAC,∠BEF=∠BCA, ∴∠BFE=∠BEF, .BE =BF, .BE=BF B'F B'E :四边形BEB'F是菱形； (2)解：①如图2，连接AC,在AB上截取BM=BE,连接ME,连接MG,并延长MG,交AC于点N, 过点C作CH⊥直线MN于H, 64/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图2 :四边形ABCD是菱形， .AB=BC, 又：AB=AC, .AB=AC=BC=6, :ABC是等边三角形， .LABC=∠ACB=∠BAC=60°， BE BM, .△BEM是等边三角形， BE=ME=BM=2,∠ABC=∠MEB=∠BME=60°， .∠AME=120°，AM=4=EC, :△EFG是等边三角形， .EF=EG,∠FEG=∠BEM=60°， .∠BEF=∠MEG, .△BEF≌aMEG(SAS), .BF=MG,∠ABC=LEMG=60°， .∠AMN=60°， △AMW是等边三角形， ∴AN=AM=MN=4,∠ANM=60°=∠CNH, .CN=2,∠HCN=30°， NH=1,CH=√3， 当CG=CE=4时，HG=VCG2-CH2=16-3=V3, .MG=MN+NH-GH=5-√13， ∴BF=MG=5-V13; 当CG=GE时，过点M作MQ⊥BC于Q,过点G作GP⊥BC于P, 65/127 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图3 :△BME是等边三角形，MQ⊥BE, .QE=BQ=1,∠MQE=90°， :GE=GC,GP⊥EC, :EP=PC=2, :LAMN=LABC=60°， MN∥BC, ∴∠MQE=∠QMN=90°， :.四边形MQPG是矩形， .MG=OP=3, .BF MG=3, 综上所述：BF的长为3或5-√3， ②由(2)①可知：点G在MN上运动，且MN∥BC,MN与BC的距离为CH=√5， :当点G与点H重合时，CG的最小值为V5. 4.(2026安徽蚌埠.一模)如图，在直角三角形ABC中，E为斜边BC上异于B,C的一个动点，连接AE, 作AD⊥AE,连接DE,交AC于F点，若始终保持∠BAE=LCED, M B E (1)求证：AB·AD=AC·AE; (2)若AC=2AB=4; 〔1)试说明E点在运动的过程中，B CD 是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由； (i)取DE中点M,连接CM,求CM的最小值. 【详解】(1)证明：由题意得，∠BAC=∠EAD=90°， :LAEC=LB+LBAE,∠AEC=∠AED+∠CED, 又：∠BAE=∠CED, 66/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠B=∠AED, ∴△ABC∽△AED, AB AC AE AD AB·AD=AC·AE. (2)解：(i)由(1)知△ABC∽△AED, AB AC AE AD :∠BAC=∠EAD=90°， ∠BAE+∠EAC=∠CAD+LEAC, LBAE=∠CAD, ∴△BAE∽△CAD, :AC=2AB=4, .AC=4,AB=2, BEAB21 CD AC 42' 为定值) CD (i)由(i)知△BAE∽△CAD, LB=∠ACD, :LACD+∠BCA=∠B+∠BCA=90°， :△DCE为直角三角形， “.点D的运动轨迹是BC的垂线DC, :点M是DE中点， .CA-ED 由(1)知△ABC∽△AED, AB BC AE ED ED=BC AE, AB :AB=2,AC=4, .BC=V22+42=2√5， .ED-BC.AE=2 AB 2 .AE-5AE 67/127 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .CM=5 E' :若CM有最小值，则AE最小， 当AE18C时，AE有最小值，此时)AE,BC=)ABAC,得4B=B:AC-45 2 BC 5 ∴cM=5x45 =2, 2 5 :CM的最小值为2. 命题预测 ·夺高分。 刷拟 1.(2026安微六安.二模)如图，在矩形ABCD中，∠DBC的平分线交CD于点P,过点D作DE⊥BP交 DC BP的延长线于点E,DE与BC的延长线交于点F,且 =m BC D D D E E C 图1 图2 图3 (1)如图1，当m=√5时，DF与BP的数量关系为 (2)如图2，连接CE,AE,AE与BD相交于点G,求证：△AGD∽△BGE· (3)如图3，当m=1时，其他条件不变，若BC=2,求CP的长， 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形， ·∠BCP=∠DCF=90°， DE⊥BP, ∠DEB=∠FEB=90°， :∠CPB=LDPE, ∠CBP=180°-∠BCP-LBPC=90°-LBPC, LEDP=180°-∠DEP-∠DPE=90°-∠DPE, .∠CBP=∠CDF, △BPCADFC, 68/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DF DC =m=V3, BP BC :DF =3BP. (2)证明：：BE是∠DBC的平分线， ∠DBE=∠FBE, :在△BED和△BEF中， ∠DBE=∠FBE BE=BE ∠BED=∠BEF :ABED≌ABEF (ASA), .DE=EF, :在RtDCF中，CE=)DF=DE, :ZEDC ZECD, :ZADC+ZEDC ZBCD ZECD, 即∠ADE=∠BCE, :四边形ABCD是矩形， :AD BC, 在ADE和△BCE中 AD=BC ∠ADE=∠BCE, DE=CE △ADE≌△BCE(SAS, :ZDAE =ZCBE .∠DAE=∠DBE, :∠AGD=∠BGE, ∴.△AGDn△BGE. (3)解：tan∠DBC=DC =m=1 C ∠DBC=45 :BC=2 ∴.BD=V2BC=2V2 ∠CPB=∠DPE,∠BCP=∠DEP=90° LCBP=∠CDF 69/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△BCP和△DCF中， [∠CBP=∠CDF BC=CD ∠BCP=∠DCF :aBCP≌△OCF(ASA, :CP=CF, ,△BED≌△BEF, ∴.BF=BD=2N2, ∴CP=CF=BF-BC=2V2-2. 2.(2026安微滁州·一模)如图，在四边形ABCD中，点E在AB边上，且CE∥AD,BE=AD,AB=CE G E A E D B B M 图1 图2 (1)求证：△ABD≌△ECB; (2)如图1，若BE=√0，tan∠ADB=3,BC=5,求EF的长： (3)如图2，延长BA,CD交于点G,过点D作DM∥AB交BC于点M,连接AM,ED,求证：S△GDE=S△ABM 【详解】(1)证明：CE∥AD ∠BEC=∠BAD. 在△ABD和△ECB中， AD=BE, ∠BEC=∠BAD, AB=CE, △ABD≌△ECB(SAS). (2)解：如图，过点E作EH⊥BC,垂足为点H, 70/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D H 由(1)知△ABD≌△ECB, ∠CBE=LADB, tan∠HBE=tan∠ADB=3=HE BH 设BH=x,则HE=3x, 在Rt△BHE中，BE=√IO, BH2+HE2=BE2, x2+3x刘2=(o, 解得：x=1(负值舍去) EH=3,BH=1. 又：BC=5, .CH=BC-BH=5-1=4, CE=VHE2+CH2=V32+42=5: :CE∥AD, .∠ADB=∠EFB, ∠CBE=∠ADB, ∠EFB=∠CBE, △BEF∽△CEB, BE EC EF BE ,即os EF=2. (3)证明：：AD∥EC, △GAD∽△GEC,△BEFn△BAD, AD GA EF BE EC EG'AD AB AD BE,EC AB, EG4B，即。GA GA BE BE GA+AE BE+AE 1/1∠1 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 GA+AE。BE+AE GA BE AE AE GA BE :AG=BE, :AB=EG. 又：DM∥BG, :点D,M到BG距离相等， SAGDE =SAABM 3.(2026安徽六安.一模)在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BD于点H,交BC于点E,交DC的延长 线于点F,点G是EF的中点，连接DG,BG,BC与DG交于点I. B (1)求证：BG=DG; (2)求证：AH2+GF2=HG; (3)若AD=4,AB=2,求EI的长度. 【详解】(1)证明：连接CG, 矩形ABCD, :AD=BC,∠BAD=∠ADF=∠BCD=90°， :AE是∠BAD的平分线， 2DF-BD-45, :△ADF是等腰直角三角形， ·DF=AD,∠F=45°， ·BC=DF,△ECF是等腰直角三角形， :点G是EF的中点， 2/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CG=EF=FG,∠BCG=∠BCF=45°， 在△BCG和△DFG中， BC=DF ∠BCG=∠F CG=FG ·△BCG≌△DFG(SAS), BG=DG; (2)证明：设AB=a,AD=b, :△ADF是等腰直角三角形， ·DF=AD=b,AF=√2AD=√2b,则FH=AF-AH=√2b-AH, :矩形ABCD, :CD=AB=a,AB∥DC, :△ABH∽△FDH, AH AB FH FD V26-46,解得AH= AH 2ab a+b ·FH=V2b-2abV2b2 a+b a+b :CF=DF-CD=b-a,△ECF是等腰直角三角形， :EF=√2CF=V2(b-a, :点G是EF的中点， GF-EG-1EF-(b-a). 2 G-FH-GP) a+b 2 2(a+b) 「v2(a2+b) AH2+GF2 a2+b2}2 2(a+b 2(a+b) 2(a+b, AH2+GF2=HG2 (3)解：：AD=4,AB=2, .AB=a=2,AD=b=4, 则4r=N26=42,GF=EG=5(b-a= 2 ×4-2=V2, 73/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AG=AF-GF=3√2， :矩形ABCD, :AD∥BC, ·△GEI∽△GAD, EI GE AD GA ,即5 4=3 4 4.(2026安徽阜阳.一模)在矩形ABCD中，点E在CD边上，DE<CE,过E作EF⊥AE,EF交BC于 F D E D E B G B 图1 图2 (1)如图1，连接BE,若BE平分∠ABC. ①求证：AE=EF: ②求证：AB+BF=2AD; 2l如图2，若F为8C中点，EG平分∠4EF,EG交AB于G,B-号，4D=2,求EG的长 【详解】(1)①证明：：EF⊥AE, LAEF=90°， ∴∠DEA+∠CEF=90°， :矩形ABCD, ∴.∠D=∠C=90°，AD=CB, .∠DAE+∠DEA=90°， ∠DAE=∠CEF, :BE平分∠ABC, LABE=∠EBF=45°， LCEB=45°， :CE CB, :AD =CE, 在ADE和△ECF, 74/127 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠D=∠C AD=EC, ∠DAE=∠CEF AADE≌△ECF(ASA), :AE=EF; ②证明：：aADE≌△ECF, .DE=CF, :AB+BF DE +EC +BC-CF =EC +BC 2BC=2AD, :AB+BF =2AD (2)解：作EM⊥AB于M,GN⊥AE于N, EF⊥AE, ∠AEF=90°， ∴LDEA+∠CEF=90°， :矩形ABCD, ∠D=∠C=90°，AD=CB, ∠DAE+∠DEA=90°， :ZDAE =ZCEF, ∴△ADEn△ECF, AD EC DE CF :F为BC中点，AB= 3,0=2, :CF=8C=1,设DE=x,则EC=CD-DE=1 2 3 11 -x 2-3 x I 解得气子名=目舍去)，故DE=子 ·AE=√AD2+DE2 V22+ 22210 3 3 :EM⊥AB,GN⊥AE, :∠D=∠ANG=90°， :∠DAE+∠EAG=90°，∠EAG+∠AGN=90°， ∠DAE=∠AGN, 75/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △AGN∽△EAD, 0提 3 :GN =3AN, :EG平分∠AEF, .∠AEG=45°， :EN =GN=3AN, ·4N+3AW=4E=2 3 AN =10 6 EN=1 2 EG=VEN2+GN2=√5. D E C D E C G B 图1 图2 5.(2026安徽阜阳.一模)如图1，△ACB,△DCE是两个全等的等腰直角三角形，LACB=LDCE=90 ,AB,DE交于点F, D E G H 图1 图2 (1)求证：AF=EF; (2)如图2，连接CF,过点A作AG⊥AC交CF延长线于点G,过点B作BH⊥BC交CE延长线于点H. ①求证：∠G=∠DCG; ②若CH=5,CG=25,求CF的长. 【详解】(1)证明：如图1，连接AE, 76/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F 图1 :△ACB,△DCE是两个全等的等腰直角三角形，∠ACB=LDCE=90°， ∴AC=EC=CD=BC,LCAB=LCBA=∠CED=∠D=45°， ∴∠CAE=LCEA. :∠CAB=∠CED=45°， ∴LCAE-LCAB=∠CEA-∠CED,，即∠FAE=∠FEA, :AF=EF. (2)①证明：：∠ACB=∠DCE=90°， .∠ACB-∠ACE=LDCE-LACE, ·∠DCA=LBCE, AF=EF,AC=CE,CF=CF, △ACF≌△ECF(SSS), .∠ACF=∠ECF, .∠ACF+∠DCA=∠ECF+∠BCE, ∴.∠DCG=∠BCG. AG⊥AC, LGAC=90°， ∠GAC+∠ACB=90°， .AG CB, ∠G=∠BCG, ∠G=LDCG. ②解：如图2，延长CD,GA交于点M, M B 图2 :CA=CB,∠MCA=∠BCH,∠CAM=∠CBH=90°， 刀/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△CAM≌△CBH(ASA), ∴.CM=CH=5. ZG ZDCG, .MC=MG=5. 设AG=x, 则MC2-AM2=AC2=CG2-AG2,即52-(5-x2=(25-x2, 解得：x=2, 则AG=2, ·BC=AC=VCG2-AG2=4. :AG∥CB, △BCF∽△AGF, FC BC FG AG FC_4=2, FG 2 CF=2CG=5 3 6.(2026安徽合肥.一模)矩形ABCD中，E为BC边上一点，F为矩形内一点，且AB=AF,EB=EF, 延长AF与直线CD交于点Q,与直线BC交于点H,延长EF与直线CD交于G点， B E H 图1 图2 (1)如图1，当E为BC中点时， ①求证：EG=EH; ②若QD=2,DG=3,求AB长； (2)如图2，若CE=2BE,当G恰好为CD中点时，求证：BE=CQ, 【详解】(1)证明：①：E为BC中点， :BE EC 又：EF=BE, EF=EC. 78/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AB=AF,BE=EF,AE=AE, .ABE≌AFE SSS, ∠AFE=90°， ∠EFH=∠ECG=90°. 又：∠GEC=LHEF, :△ECG≌△EFH(ASA), ∠G=∠H,EG=EH. ②由①可知，EG=EH,EF=EC, :FG=CH, :∠G=∠H,∠GFQ=HCQ=90°， △FGQ≌△CHO(ASA), ..OH=QG=DO+DG=5,Co=FO. CQ∥AB, .CHQ∽BHA, .co_on AB AH 设CQ=x,则FQ=x,则AB=2+x, :AF=2+x, .AQ=x+2+x=2x+2,AH=2x+7, 5 x+22x+7' 解得x=-1+V27 (负根舍去) 2 4B=3+21 (2)证明：由(1)可知，BE=EF,∠ABE=∠AFE=90°， IAB.BE SABE二 1AB.BE S AEH 1AB.EH 1 AH.EF AB BE AH-EH' :∠FEH=∠CEG,LEFH=LECG=90°， .EFH∽ECG, 79/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EF=FH EC CG EC =2BE, FH 1 CG-21 设CG=2a,则DC=4a,FH=a, :AH =5a, :BH =AH2-AB2 =3a, 、ABBE AH EH BE 4a 4 EH=5a5’ 4 .BE=3a. :BC=4a, :CH=a, 同理可得： ABH∽QCH, BHAB CH CO 3a_4a 4 CO= a Co 30, .BE=CO 7.(2026·安徽合肥.一模)己知▣ABCD中，AD=kAB,E、F分别为边CD、AD上的点，且CE=AF, 连接AE、CF相交于点P,连接BP, D D 图1 图2 (1)当k=1时，如图1， ①若∠D=60°，∠DAP=50°，则∠BCP=°； ②若3FP=2PC,AB=6,求CE的长. (2)若k>1,如图2，试猜想∠ABP与∠CBP的数量关系，并给出证明 【详解】(1)①：k=1, AD=AB,则四边形ABCD为菱形， 80/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AD=CD,CE AF,DE=CD-CE,DF=AD-AF, :DE DF, 在ADE和CDF中， (AD=CD ∠D=∠D, DE=DF △ADE≌△CDF(AS), ·LAED=LCFD, :∠D=60°，∠DAP=50°， :∠AED=180°-∠D-∠DAP=70°，即∠CFD=70°， AD l BC, :∠BCP=∠CFD=70°（两直线平行，内错角相等）； ②解：延长AE交BC的延长线于点G,如图1. D .3FP=2PC >.G 图1 FP 2 PC3 AD BC,AF CE, CE AF FP 2 CGCG PC 3 :EC∥AB, :△GECn△GAB, CE AB 2 CG BG 3' AB=6, :.BG=9,CG=BG-BC =BG-AB=3, CE CG 3 1 AB-BG--3 ∴.CE=2. (2)猜想：∠ABP=∠CBP, 证明：【解法一】延长BP交CD的延长线于点G,过点E作EM∥AD,如图2， 81/127 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G D 2.- .ADI川BC,AD∥ME, B 图2 AB AP AF CE CD EG PE MEME FD' :EG=DF, :CG=AD=BC, .∠GBC=∠G=∠ABG,即LABP=∠CBP. 【解法二】过点P作GH∥AB,MN∥AD,如图3， Aa Fc-aG b D e 最 a-a 四边形AMPG、GPND、MBHP、PHCN为平行四边形. H 图3 设AF=CE=a,HC=GD=b，MP=AG=c, PH =NC=d,AM =GP=c, 由，0=e得be=cd-ad, b-d 由e=S得be=cd-ac, d-a b ∴.c=d, ·四边形MBHP为菱形， BP平分∠ABC, 即∠ABP=∠CBP. 8.(2026安徽合肥.一模)在平行四边形ABCD中，E,F分别为边BC,CD上两点. D D B E (1) (2) (3) (1)当E是边BC中点时， 82/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①如图(1)，连接EF,如果AE=EF,求证：∠BAE=LCFE; ②如图(2)，如果CF=DF,连接AE,BF交边AE于点G,求S△BEG:S△EF的值； 2如图(3)所示，连接AE,AF,如果AD=3,AB=2,CF=CD,∠AEB=∠AFE=∠EFC.求AF的 2 长 【详解】(1)解：①如图所示，延长FE,AB交于H, B H- (1) :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, ∠EBH=∠ECF,∠EHB=∠EFC, :E是边BC中点， :BE CE, ∴△BEH≌ACEF(AAS), .EH=EF,∠H=∠CFE, AE EF, .AE =EH, ∠H=LBAE, .∠BAE=∠CFE; ②如图所示，延长BF,AD交于M, D -=…M G :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC, .BEG∽MAG,aBCF∽△MDF, BE GE BG BC BF CF AM AG GM'】 =1, DM MF DF :BF =MF,BC=DM :E是边BC中点， 83/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BC 2CE=2BE, 设CE=BE=m,则BC=DM=2m, .AM AD +DM 4m, GE BG BE m 1 AG MG AM 4m4' BF =1, MF BG 2 GF=3 S.NGE=SAGEE=GE=1 SAARG=BG2 S.S.SAAFG-FG3 设SAABG=4n,则S△BGE=n,S△AFG=6n, 3 SABGE= 2 ，3 SAAEF SAAGF+SAEGF 6n+3n 15 (2)解；如图所示，延长AD,EF交于M, D R :∠AEB+LAEF+∠FEC=∠EFC+∠FCE+LFEC=I8O°，LAEB=LEFC, ∠AEF=∠FCE, △AEF∽△ECF, :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,CD=AB=2, .△ECF∽△MDF, CF-CD-DF1 .EC=MD,EF=FM, :AD∥BC, .∠AEB=LEAD, :∠AEB=∠AFE=∠EFC, ∠EFA=∠EAD, 又：∠AEF=LMEA, 0411L1 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △AEF∽△MEA; 设CE=MD=x,EF=FM=y, △AEF△ECF, CF CE EF 1 x y FEF,即 y AE AF' :AE=xy,AF=y, :AM AD+DM =3+x: :△AEF∽△MEA, cM应即上=、卫 EF AE AF xy 2y 3+x AF=y'=2+3W2 2 9.(2026安徽合肥一模)在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB,垂足为点D ,过点D作DE⊥OA,垂足为点E,直线DE,OC交于点F,过点C作CG⊥DE,垂足为点G. A A FE BD D 图1 图2 (1)观察猜想：如图1，当∠A0B为锐角时，用等式表示线段CG,OE,OD的数量关系： (2)类比探究：如图2，当∠A0B为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断(1)中的结论是 否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明。 OD 拓展应用当0<0B<80,日L40B≠90°时，若CC4,请直接写 CD 的值。 【详解】(1)解：如图，过点C作CP⊥OA于点P, F BD :0C平分∠A0B,CD⊥OB,CP⊥OA, 85/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .CP=CD, 在Rt△POC和RtADOC中， .OC=0C,CP=CD, ∴.RtAPOC≌RtADOC(HL), .OP =OD, DE⊥OA,CG⊥DE,CP⊥OA, ∴LCPE=∠PEG=LCGE=90°， .四边形CPEG是矩形， .PE=CG, .OD=OP=PE+OE=CG+OE. (2)解：不成立，OD=CG-OE,证明如下： 如图，过点C作CQ⊥OA于点Q, :0C平分∠A0B,CD⊥OB,CQ⊥OA, .CO=CD, 在RtAOOC和RtADOC中， OC=0C,CO=CD, ∴.RtaOOCS≌Rt△DOC, 00=0D, :DE⊥OA,CG⊥DE,CQ⊥OA, ∠CQE=∠QEG=∠CGE=90°， :四边形CQEG是矩形， ∴QE=CG, ∴0D=0Q=QE-0E=CG-0E. (3)解：①如图：当0°<∠A0B<90°时， 86/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G BD :CG⊥DE,DE⊥OA, ∴.CG∥OE, .aOEF∽△CGF, CG GF OE EF =4,即CG=40E, ∴0D=CG+0E=40E+0E=50E, DE=V0D2-0E2-V50E)'-0E2-260E, :∠DCG+∠CDG=90°，∠ODE+∠CDG=90°， .∠DCG=LODE, △CDG∽aDOE, ODDE2√60E√6 CD CG 40E 2 ②如图：当90°<∠A0B<180°时， A B E :CG⊥GF,GF⊥OE, .CG∥OE, △DEFACGF, CG_GF=4,即CG=40E, OE EF ∴0D=CG-0E=40E-0E=30E, DE=0D2-0E2=V30E)2-0E2=2W20E, :∠DCG+∠CDG=90°，∠ODE+∠CDG=90°， .∠DCG=∠ODE, 87/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .aCDG∽△D0E, .OD DE 2√20E√2 CD CG 40E 2 OD 综上， 的值为6 或2 CD 2 10.(2026安徽毫州.一模)按要求完成下列各题： E 图1 图2 图3 (1)如图1，点E是正方形ABCD的边上一点，连接AE,过点D作DF⊥AE于点G,交边AB于点F, ①求证：AF+CE=AD; ②如图2，连接ER,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEH,连接CH,求C的值； AF (2)如图3，矩形ABCD中，AD=12,AB=10,点F是边AB的中点，连接DF,过点A作AE⊥DF于点G, 交边BC于点E,连接EF,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEH,连接CH,求CH的长 【详解】(1)解：①：四边形ABCD是正方形， ·AD=AB=BC,∠DAF=∠ABE=90°， .∠BAE+∠DAE=90°， :DF⊥AE, ∠ADF+∠DAE=90°， .∠BAE=∠ADF, :△ADF≌△BAE(ASA), ∴AF=BE, :AF +CE BE+CE=BC=AD ②如图2，作HM⊥BC交BC的延长线于M, 0 图2 :四边形DFEH是平行四边形， 88/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .DF=HE,∠DFE=∠DHE,DF∥EH, ∠AGD=∠AEH=90° ∠AEB+∠HEM=90°， :∠BAE+∠AEB=90°， ·LBAE=∠HEM, 由(1)得△ADF≌△BAE, :DF =AE=HE, :∠ABE=∠HMC=90°， △ABE≌△EMH(AAS), ∴.HM=EB,AB=EM=BC, ∴.BE=CM=HM :∠HMC=90°， ∴.△HCM是等腰直角三角形， ·CH=V2CM=√2AF, ..CH AF -2: (2)解：：四边形ABCD是矩形， :AD=BC=12,∠DAF=∠ABE=90°， .∠BAE+∠DAE=90°， DF⊥AE, ∠ADF+∠DAE=90°， ·∠BAE=∠ADF, ∴△ADF∽△BAE AD AF DF BA BE AE :AF=BF=5,DF=V5+122=13, :12513 10 BE AE ·BE=25 6 如图3，作HN⊥BC交BC的延长线于N, 89/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图3 :四边形DFEH是平行四边形， ∴.DF=HE=13,DF∥EH, .∠AGD=∠AEH=90°， :∠AEB+∠HEN=90°， :∠BAE+∠AEB=90°， :∠BAE=∠HEN=∠ADF, :∠FAD=∠HNE=90°， ∴.AADF≌ANEH(AAS :HN=AF=5,EN AD=BC=12, .CN=BE= 25 6 25 .CH=,52 5√6i 6 11.(2026安徽合肥.一模)已知：如图1，在ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分 ∠ABC,分别交CD,AC于点F,E. B B E 图1 图2 (1)求证：CE=CF; (2)若BC=6,CE=3,求AE的长； (3)如图2，在AC上取点G使AG=CE,连接FG,求证：FG∥AB. 【详解】(1)证明：：BE平分∠ABC, ∠CBE=LABE, :CD为AB边上的高， ∠BDC=90°， :∠ACB=90°， 90/127 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠BDC=∠ACB=90°， ∴.在△BCE和BDF中，∠BCE=∠BDF=90°，∠CBE=∠DBF, ∴∠CEB=∠DFB, 又：∠CFE=LDFB, ∠CFE=∠CEF, .CE CF (2)解：：∠ACB=90°，CD⊥AB, .∠BCF+∠ECF=90°，∠A+∠ECF=90°， ∠BCF=∠A, 又：∠CBE=LABE, .△BCFn△BAE, :BC_CF 63 BAE,即8A正· .AB =2AE, 设AE=x,则AB=2x, 在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2, 62+(x+32=(2x)2, 解得x=5或-3（舍负）， :AE=x=5; (3)证明：在BA上截取BM=BC,连接FM,如图， B D G 在BCF和△BMF中， BC=BM ∠CBF=∠MBF, BF=BF :.△BCF≌△BMF(SAS), ∴∠BCF=∠BMF,CF=FM, 由(2)知∠BCF=LA, .∠BMF=∠A, 4142 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·FM∥AG, 由(1)知CE=CF, 又，AG=CE,CF=FM, .:FM =AG, :四边形AGFM为平行四边形， .FG∥AB 12.(2026安徽宣城一模)如图，在正方形ABCD中，E,N分别是BC,AB的中点，CN与DE交于点G, 连接BG并延长交CD于点F,CN与对角线BD交于点H. (1)求证：CN⊥DE. 2求、Sm一的值. SE方形ABCD (3)探究线段GN,GE及BG的数量关系，并说明理由， 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .CB=DC=AB,∠CBN=∠ECD=90°， :E,N分别是BC,AB的中点， :BN=AB,CE=IBC, 2 2 .BN=CE CB=DC 在△CBN和△DCE中， ∠CBN=∠DCE, BN=CE ·aCBN≌△DCE(SAS, ·∠CNB=∠CED, :∠CNB+∠NCB=90°， ∴∠CED+∠NCB=90°， ∠CGE=90°， .CN⊥DE; (2)解：：四边形ABCD是正方形， 92/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·AB∥CD, △BHN∽△DHC, S.BNH BN 1 S.DHC (CD =4 设SBwH=a,则S.DHc=4a, 如图1，过点H作JK∥AB,交AD于点J,交BC于点K, K 图1 1 1 S.. 4 .S矩形cpr=8a，S矩形AB=4a, S正方影ACD=SE形cDr十S矩形ABK=12a, SBNH= 1 S正方形ABCD 12 (3)解：GN+GE=√2BG. 理由：如图2，过点B作BI⊥CN于点I,作BM⊥DE,交DE的延长线于点M, B E 图2 则∠BIG=∠BIN=LBME=∠NGE=90°， :四边形BMGI是矩形， .∠MBI=∠NBC=90°， ∠NBI=∠MBE. :BN=AB=BC=BE,∠BN=∠BME=90°， 2 .△BIN≌△BME(AAS, 95/1∠1 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴BI=BM，NI=EM, :四边形BMGI是正方形， ÷G1=GM-5BG, GN+GE-GI+NI+GE-GI+EM+GE-GI+GMBGBG-8G 13.(2026安徽合肥.一模)按问题背景、进行迁移、拓展应用完成下列问题： (I)【问题背景】如图，在ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE∥BC,点F为线段DE上一点， 连接AF并延长交BC于点G,求证： DF BG EF CG F (2)【迁移应用】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,点D,E分别在边AB,AC上， D∥BC,点F为线段DE上一点，PF-延长AF交BC于点G,连接CF,CF1AG,过点A作 AH⊥BC,垂足为H,求CF的长. G (3)【拓展提高】 如图，在ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BE=BD,AC=DC,点F为AE的中点，连接DE并 延长，交CF的延长线于点G,连接AG,过点C作MN∥AB,分别交GD,GA的延长线于点M,N若 DE=5,EG=4,求AG的长 G E B M 【详解】(1)证明：：DE∥BC, 94/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ADE=∠B,LAED=∠C. :∠DAF=∠BAG,∠EAF=∠CAG, △ADFn△ABG,△AEFn△ACG, DF AF EF BG AG CG DF BG EF CG (2)解：：DE∥BC, BG_DF_2 CG EF 3 :∠BAC=90°，AB=8,AC=6, BC=V82+62=10, .BG=4,GC=6, .AC=GC, :∠AHC=∠BAC=90°，∠ACH=∠BCA, .△AHC∽△BAC, .AH =CHL_AC_3 AB AC BC5 .AH= CH=18 24 GH=12 4G=125 5 :∠CFG=∠AHG=90°，∠CGF=LAGH, 六△CGF∽△AGH, CF CG AH AG CF 6 24125, 5 5 ÷CF=12 5 (3)解：：MN∥AB ∴∠M=∠BED,LN=LEAG. BE BD, .∠BDE=∠BED, .∠M=∠BDE=∠CDM, .CD=CM 95/127 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC=DC, .CM=AC,∠CDA=∠CAD, :点F为AE的中点， .AF EF. 由(1)知，Cy=AF CMEF' .CN=CM, ·CN=AC, .∠CAN=LN=∠EAG. 设LBDE=∠BED=,∠CDA=∠CAD=B, 则∠ADG=180°-a-B,∠B=180°-2a, ∠ACD=180°-2B,∠BAC=2a+2B-180°， .ZADG ZEAG. :LAGD=∠EGA, △ADG∽△EAG, .AG_DG EG AG' :G4+5 4 AG .AG=6 14.(2026安徽合肥.一模)如图1，在ABC中，∠B=∠C,AD1BC于点D,E是线段DC上一点（不 与点D,C重合)，点F是线段BE上一点，若EF=EC. B CA E DF B ED F 图1 图2 图3 (1)求证：BF=2DE; (2)在直线BC上方有一点G,GE=ED,∠GED=2∠C,连接AG,GF. (i)如图2，若点G在边AC上，求证：∠CGD=90°； 份红超3，带C名约数 【详解】(1)证明：：∠B=∠C, :AB AC, :AD⊥BC, 八14L1 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CD=1BC, EF EC, .BF=BC-CE-EF =2CD-2CE =2(CD-CE), DE=CD-CE, :BF =2DE; (2)(i)证明：：∠GED=2∠C,∠GED=C+LCGE, .ZC ZCGE GE ED, :ZDGE ZEDG, ∴∠CGD=∠DGE+∠CGE=∠EDG+LC, :∠CGD+∠EDG+∠C=180°， .∠CGD=90°； ()如图，连接DG,过点G作GH∥AC,交BC于点H, G ,八、 .∠DHG=∠C, :∠GED=2∠C,∠GED=∠DHG+LHGE, ∠DHG=∠HGE, :GE=EH, GE ED, ∴∠DGE=∠EDG,EG=EH=DE, LHGD=∠DGE+∠HGE=∠EDG+LDHG,DH=2DE, :∠HGD+∠EDG+∠DHG=180°， ∠EDG+∠DHG=90°，∠HGD=90°， ZB=ZC, :AB AC, :AD⊥BC, .BC=2BD=2CD,∠ADG+∠EDG=90°， .∠DHG=∠ADG, 97/127 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :4C=5 即AC5 BC 6 2CD6' AC_5 CD3’ .可设AC=5a,BD=CD=3a,则AD=4a, tanC=4D 4 CD3' DG 4 ∴.tan∠DHG= GH3' 由(1)得：BF=2DE, :BF=DH, ∴.BF+DF=DH+DF,即BD=FH=3a, AD=4扣=4 FH 3a3' AD DG FH GH .△FGH∽△AGD, AG AD 4 GF-FH3 15.（2026安徽马鞍山一模)如图，在ABC中，AB=AC,E为AB上一点，AC=CE,D为ABC内 一点，∠ADB=2∠DAB=2∠ABC. A A E E D B 图1 图2 (1)求证：∠ABD=∠BCE: (2)若AD=2,BD=4,求AB的长： )如图2，若点D在线段CE上，求0的值， BD 【详解】(1)证明：：AB=AC, .∠ABC=∠ACB, ∠ADB=2∠DAB=2∠ABC, .180°-∠ADB=180°-2∠ABC=180°-（∠ABC+∠ACB), ∠ABD+∠BAD=LBAC=∠BAD+∠CAD, ∠ABD=∠CAD, 8/12/ 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC=CE, :ZCAE ZAEC, :∠BAD+∠CAD=∠ABC+LBCE, ∠CAD=∠BCE, .∠ABD=∠BCE: (2)解：如图，在BC上取一点F,使得CF=BD=4,连接EF, D B F C :CF=BD,∠ABD=∠BCE,AB=AC=CE, ∴△ABD≌△ECF(SAS, EF=AD=2,CF=BD=4,∠EFC=∠ADB=2∠ABC. :∠EFC=∠ABC+∠BEF, ∠BEF=∠ABC, .BF EF =2, .BC=BF+CF=6. :∠ABD=∠BCE,∠DAB=∠ABC, △ABD∽△BCE, AB BDBD BC CE AB .AB2=BD,BC=4×6=24, AB=2√6： (3)解：设AD=x,BD=y, :∠ABD=∠BCE,∠BED=LCEB, △BEDACEB, BD BE BC CE 由(2)得△ABD∽△BCE, AD BD BE CE AD BE BD CE 99/127 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD BD BD BC 由(2)同理可证BC=AD+BD=x+y, :=y y x+y' x2+xy-y2=0, +x-1=0, y y 解得=5-1 (负值已舍)， y AD5-1 BD 2 16.(2026·安微二模)如图1，正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD上的点，且BE=CF,连接 BF、AE相交于点G,P为BC延长线上一点，连接AP交BF、CF于点M、N,且EM⊥AP, D E 图1 图2 (1)求证：∠AGB=90°： 2若AE=EP,求C巴 的值： EC (3)如图2，若BE=EC=2,求CP的长 【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形， AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， AB=BC 在△ABE和BCF中， ∠ABE=∠BCF, BE=CF .△ABE≌△BCF(SAS), .∠CBF=∠BAE, :∠CBF+∠ABG=90°， ∠BAE+∠ABG=90°，即∠AGB=90°. (2)解：：AE=EP,EM⊥AP, .∠P=∠EAM,M为AP的中点， 100/127