解答题02 圆的综合问题（6大考向）（专项训练）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

解答题02 圆的综合问题（6大考向） 结构 · 第 (1) 问：证明题（角相等、平行、切线、弧相等） · 第 (2) 问：计算题（半径、弦长、线段长、面积） 难度：中档偏基础，不考复杂相似，主打：圆周角 + 直径直角 + 垂径 + 勾股 + 切线 高频背景 · 直径 AB 为 “标配” · 半圆 / 圆内接四边形 · 切线 + 角平分线 · 垂直弦（CD⊥AB） 考向01直径构直角 研考向·通技法 看到直径，立刻连弦，构造Rt△ 1．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 2．（2026·安徽池州·一模）如图，，是的直径，切线与延长线相交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 3．（2026·安徽合肥·一模）如图，是的直径，M为上一点，N为外一点，，，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 考向02 垂径定理 + 弦心距 + 勾股定理 研考向·通技法 过圆心；垂直弦；平分弦；平分优弧；平分劣弧 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 3．（2026·安徽滁州·一模）如图，四边形的边为半圆的直径，，两点均在半圆上，连接，，已知，平分交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考向03 切线判定 + 性质 研考向·通技法 证切线口诀：连半径，证垂直 套路： · OA=OC → ∠OAC=∠OCA · AC 平分∠BAD → ∠OAC=∠DAC · ∴ ∠OCA=∠DAC → OC∥AD · AD⊥CD ⇒ OC⊥CD ⇒ 切线 计算：依旧用直径直角 + 勾股 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．（2026·安徽安庆·一模）如图，为的直径，交于点为上一点，连接并延长交于点M，点N是延长线上一点，连接，． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 3．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 考向04 圆内接四边形 + 角度计算 研考向·通技法 内接四边形：对角互补，外角 = 内对角 直径⇒90°，出现 30°/60°直接用特殊直角三角形 常用转换：∠ABD=∠ACD 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·月考）如图，四边形内接于，，是的直径，连接． (1)求的度数； (2)若的直径为4，求的长． 2．（2025·安徽合肥·二模）如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直于，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)点为上一点，平分，且，求的度数． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）已知四边形内接于，为的直径，点 E 是 延长线上一点，连接，， (1)如图1，若交 于点F， ，求 和的大小； (2)如图2，若与相切于点C，过点A 作，交 的延长线于点P，与相交于点 D．若，求的长． 考向05 等弧对等角 研考向·通技法 弧相等 ⇨ 弦相等 ⇨ 圆周角相等 优先用角关系推平行、垂直、等腰 少用复杂相似，多用等量代换 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，内接于，是的直径，是上一点，是的中点，连接，，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形： (2)若，，求的长． 2．（2026·安徽阜阳·一模）如图，，是的两条弦，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，和互余，点D是上一点，以为直径作切于点E，连接． (1) 若，求的度数； (2) 如图2，与交于点F，点F是的中点，，求的半径． 考向06 隐圆 / 辅助圆 研考向·通技法 1.定点定长 ⇒ 圆（最基础） 直接标圆心，用圆周角、勾股、三角函数 2.直角对直径 ⇒ 圆 找直径中点（圆心） 求最值：点到圆心距离 ± 半径 3.定角对定弦 ⇒ 圆 作外接圆，用圆心角 = 2 倍圆周角 求长度用特殊三角形（30°/60°/ 等腰直角） 4.四点共圆 ⇒ 隐圆 共圆后直接用：同弧所对圆周角相等，快速倒角证明。 1．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）在中，，为边上一点，连接，，于点． (1)如图，若，连接求证：四边形为菱形； (2)如图，连接交于点，若平分求证：． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，，，点是边上一动点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接， (1)若，求的长； (2)如图2，连接，若点是的中点，求证：； (3)如图3，当的长度最小时，求的值． 3．（2026·安徽·一模）如图1，四边形和四边形均为正方形，点G为对角线上一点，且，连接，过点D作平分，，分别交于点H，I，连接． (1)若，求； (2)求证：； (3)如图2，延长交于点J，求证：点H为的中点． 4．（2026·安徽六安·一模）在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； (3) 如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 刷模拟 1．（2026·安徽安庆·模拟预测）是的内接三角形，，E是上的一点，延长交的延长线于点D，连接，已知． (1)如图1，连接，证明：； (2)如图2，连接和，若四边形是菱形，求的度数． 2．（2026·安徽·模拟预测）如图，为的内接三角形，为的高，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，是的直径，C是延长线上一点，切于点E，G是上一点且，的延长线交的延长线于点D，交于点F． (1)求证：； (2)若G是的中点，，求的半径长． 4．（2026·安徽·二模）如图，为的直径，为圆弧上一点，为的中点，过点作的切线交射线于点，连接，D． (1)求证：； (2)若，，求长． 5．（2026·安徽阜阳·一模）如图，的顶点在以为直径的半圆上，过点的切线交的延长线于点，于点． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 6．（2026·安徽合肥·一模）如图，为的直径，C为上一点，切线交的延长线于点D，过A点作交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求直径长． 7．（2026·安徽·一模）如图，为直径，C，D为上的两点，且是的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．（2026·安徽阜阳·一模）如图，半圆的直径．点在半圆上，连接，，点在上，连接，交于点，连接，交于点，连接，且． (1)求证：是的中点． (2)如图，将绕点顺时针旋转，点恰好落在线段上的点处．若，求的值． 9．（2026·安徽·模拟预测）半圆的直径，点在半圆上（不与点，重合），连接，，过点作射线，为射线上一点，点，在直线同侧，连接． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若与半圆相切，，连接，求的长度． 10．（2026·安徽阜阳·一模）如图，为半圆O的直径，为半圆O的一条弦，于点E，交于点D，于点F，交于点G． (1)若，，求的长； (2)连接，，求证：． 11．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连接，过点作，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若的直径，，求阴影部分图形的面积． 12．（2026·安徽宿州·一模）已知，是的直径，点C，D分别是上的点且． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，的延长线与的切线交于点，已知的半径为，，求的长． 13．（2026·安徽宣城·一模）如图1，是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，平分，与交于点E，连接，交于点F． (1)求证：． (2)如图2，若，E为的中点，求的长． 14．（2026·安徽芜湖·一模）如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，若，求的长． 15．（2026·安徽六安·一模）如图，已知内接于，是的直径，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 16．（2026·安徽亳州·一模）如图，为的直径，点C在上，过点O作交于点E，以点A为圆心，以为半径作弧交于点D，连接，若． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，求的长． 17．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径的圆与交于点，与交于点，连接，． (1)求的度数． (2)若，，求的长． 18．（2026·安徽阜阳·一模）如图，是的直径，是的切线，为上一点，的延长线交于点，为的中点，的延长线交于点，连接交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 19．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在中，为直径，弦，垂足为E，过点C作，垂足为F，交于点G，连接． (1)求证：； (2)若求弦的长． 20．（2026·安徽合肥·一模）如图，是的外接圆，，过点作的垂线交于点，垂足为，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为5，求的长． 21．（2026·安徽芜湖·一模）如图1，点P为圆O外一点，经过圆心O，且与圆交于另一点B，与圆O相切． (1)求证：； (2)如图2，点D在上，且，连接AD，若，，求长． 22．（2026·安徽合肥·一模）如图，是的直径，是上一点，于点，连接，的平分线交于点，交于另一点． (1)连接，求证：； (2)若，求的长． 23．（2026·安徽淮南·一模）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，于点，于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求的值； (3)如图2，若，求的值． 刷真题 1．（2021·安徽·中考真题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E． （1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长； （2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：． 2．（2022·安徽·中考真题）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD． (1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长； (2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB． 3．（2023·安徽·中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．    (1)如图1，连接，若，求证；平分； (2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 4．（2024·安徽·中考真题）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． 5．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（2023·安徽·中考真题）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接．    (1)如图1，求的大小； (2)已知点和边上的点满足． （ⅰ）如图2，连接，求证：； （ⅱ）如图3，连接，若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解答题02圆的综合问题(6大考向) 趋势领航·探考向 ·命题预测 结构 第(1)问：证明题（角相等、平行、切线、弧相等） 第(2)问：计算题（半径、弦长、线段长、面积） 难度：中档偏基础，不考复杂相似，主打：圆周角+直径直角+垂径+勾股+切线 高频背景 直径AB为“标配” 半圆/圆内接四边形 切线+角平分线 垂直弦(CD⊥AB) 隐圆/辅助圆 直径构直角 等弧对等角 圆的综合题 垂径定理+弦心距+勾股定理 圆内接四边形+角度计算 切线判定+性质 考法破译·知规律 ·●者向.Q1直径构直鱼.。 !研考▣：通技法 1看到直径，立刻连弦，构造t△ 1.(2026安徽马鞍.-模)如图，4B为00的直径，点C在00正，ZACB的平分线交00于点D.过 点D作DE∥AB,交CB的延长线于点E. D (1)求证：DE是⊙0的切线； 1/67 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AC=15,BC=8,求CD的长. 【详解】(1)证明：如图，连接0D, O E :CD是∠ACB的平分线， .∠ACD=∠BCD, ∠AOD=∠BOD, :AB为OO的直径， :∠A0D=∠B0D=1x180°=900， 2 .OD⊥AB, :DE∥AB, :OD I DE, :0D为00的半径， DE是OO的切线； (2)解：如图，连接AD,BD, B D :AB为OO的直径， ∠ACB=90°，∠ADB=90°， :AC=15,BC=8, AB=AC2+BC2=17, :CD是∠ACB的平分线， ∠ACD=∠BCD, :AD BD' 4D-BD-4B-17 2 2 过点B作BF⊥CD于点F, 2/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BCD 1 2 ACB 45, .BF-cF= BC=4V2, 2 DF=DB-BR7152 CD=CF+DF=4V2+152_232 2 2 2.(2026安徽池州一模)如图，AB,CD是⊙0的直径，切线DE与CA延长线相交于点E. A B O (1)求证：∠E=∠B; (2)若BC=12,DE=15,求00的半径 【详解】(1)解：DE是00的切线， CDE 90, :∠E+LECD=90°， :AB是OO的直径， ∠ACB=90°， .∠CAB+∠B=90°， :0A=0C, .∠0CA=∠OAC. ∠E=∠B. (2)解：连接AD, 0 ∠AOD=∠BOC, :AD BC=12. :CD是直径， ∠DAE=∠CAD=90°， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AE=√DE2-AD2=9, :∠CDE=90 :tan∠E=4D_CD AE DE 12_CD 9=15 ·.CD=20 ..OC=OD =10 00的半径为10. 3.(2026安微合肥.一模)如图，AB是00的直径，M为00上一点，N为O0外一点，ON∥AM, ∠OBN=90°，连接NM. M (1)求证：NM与00相切； (2)若0A=4,0N=6,求AM的长. 【详解】(1)证明：如图，连接0M, M B 0 :0M=0A, .∠OAM=∠OMA. :ON∥AM, ∠OAM=∠BON,∠OMA=∠MON, .∠MON=∠BON, :0N=0N,OM=0B, aMON≌aBON(SAS), ∠0MN=∠0BN=90°， OM⊥NM, 4/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 OM为00的半径， :NM与⊙0相切， (2)解：如图，连接BM交ON于点D. 由(1)知△M0N≌aB0N,0M=0B, :NM =NB, ON垂直平分BM. :0A=0B=4,0N=6,∠0BN=90°， :.BN=V0N2-0B2=V62-42=2V5. RN-ON BD BD=OBBN=4×25_4V5 ON 6 3 ∴.BM=2BD= 85 3 :AB是O0的直径， .AB=20A=8,∠AMB=90°， .AM=AB2-BM2 82- 85)2 16 3 ▣.Q2垂径定理.±.弦心距+勾股定理.。 的：通技法 |过圆心：垂直弦；平分弦；平分优弧；平分劣弧 ,25-26九年级上安徽合肥期未)如图，B是00的直径，C,D是00上的点，且0C∥BD,AD分 别与BC,OC相交于点E,F. B (1)求证：BC平分∠ABD; (2)若AB=2√5，AD=4,求CF的长. 【详解】(1)证明：：0C∥BD, ∴.∠OCB=LDBC, 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :0C=0B, .Z0CB =Z0BC, .∠OBC=∠DBC, ·BC平分∠ABD; (2)解：：AB是O0的直径， .∠ADB=90°， :OC∥BD, ∠AF0=∠ADB=90°， .OF⊥AD, :AF=DF=IAD=1x4=2, 1 2 2 :AB=2V5, :0A=0C=AB=5, 0F=V52-22=1, ∴CF=0C-0F=V5-1. 2.(24-25九年级上安微六安期末)如图，AB是⊙0的直径，弦CD1AB于点E,点M在O0上，MD恰 好经过圆心O,连接MB M E (1)若CD=16,BE=4,求⊙0的直径； (2)若∠D=2∠M,求∠D的度数. 【详解】(1)解：设00的半径是r,则0D=0B=r, :BE=4 .0E=r-4, :直径AB⊥CD,CD=16, 0ED168, OD2=OE2+DE2, 6/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2=r-4)2+82, r=10, 00的直径为2r=20: (2)解：∠B0D=2LM,∠D=2∠M, ∠B0D=∠D, :AB⊥CD, ∠0ED=90°， ∴△OED是等腰直角三角形， ∴.∠D=45°. 3.(2026安徽滁州一模)如图，四边形ABCD的边AB为半圆O的直径，C,D两点均在半圆O上，连接 AC,BD,已知BC=CD,BE平分∠ABD交AC于点E. D E A δ (1)求证：CD=CE; (2)若AB=10,BD=8,求BE的长。 【详解】(1)证明：：BC=CD, :ZCBD ZCDB, :BE平分∠ABD, ∠ABE=∠DBE, :∠BAC=∠CDB, ·∠BAC=∠CBD, ,∠BEC=∠BAC+∠ABE,∠CBE=∠CBD+∠DBE, CBE=∠BEC, .BC CE, BC CD, :CD=CE; (2)解：如图，连接0C交BD于点F, 7167 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E A BC=CD, OC垂直平分BD, :BD=8, .8F-RD-4. AB=10, :0C=0B=AB=5, 2 ·在Rt△0BF中，OF=VOB-BF2=3, ·CF=0C-0F=2, :在Rt△CBF中，BC=VCF2+BF2=2V5, :.BC=CE=25, :∠ACB=90°， :在Rt△CBE中，BE=VBC2+CE2=20. 者▣.Q3切线判定.±.性质. 研考的：通技法 」证切线口诀：连半径，证垂直 套路： IOA=OC→∠OAC=∠OCA IAC平分∠BAD→∠OAC=∠DAC !∠OCA=∠DAC+OclAD IAD⊥CD→OC⊥CD→切线 |计算：依旧用直径直角+勾股 1.(25-26九年级上安徽毫州期末)如图，AC与⊙0相切于点C,AB经过⊙0上的点D,BC交00于 点E,DE∥OA,CE是OO的直径. 8/67 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (1)求证：AB是⊙0的切线； (2)若BD=4,CE=6,求AC的长， 【详解】(1)证明：连接0D,如图所示： .0E=0D, E ∠OED=LODE, :DE∥OA, ∠OED=∠AOC,∠ODE=∠AOD, ∠A0C=∠A0D, 在△AOD和△AOC中， AO=AO ∠AOD=∠AOC, OD=OC △AOD≌△AOC(SAS), ·.∠AD0=∠AC0 :AC与⊙0相切于点C, ∠AD0=∠AC0=90°， 又：0D是⊙0的半径， AB是⊙O的切线. (2)解：：CE=6, 0E=0D=0C=3, 在Rt△ODB中，BD=4,OD=3, .BD2+OD2=B02, B0=5, BC=B0+0C=8, 9/67 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :O0与AB和AC都相切， :AD AC, 在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2, 即：AC2+82=(AC+4)2, 解得：AC=6, 2.(2026安徽安庆.一模)如图，AB为00的直径，0C1AB交⊙0于点C,D为OA上一点，连接CD并延 长CD交OO于点M,点N是OA延长线上一点，连接MN,MN=DN. M D (1)求证：MW为⊙0的切线： (2)若0D=2且AD=AN,求⊙0的半径. 【详解】(1)证明：如图，连接0M, B :0M=0C, ∴.∠0MC=LOCM. MN DN, ∴.∠DMN=∠MDN. ∠MDN=∠CD0,∠CD0+∠0CM=90°， ∠DMN+∠CM0=90°， 即∠0MN=90°， .OM⊥MN. :0M是00的半径， ∴MN为OO的切线： (2)解：设00的半径0M=0A=r,则AD=AN=r-2, :.MN=2AD=2(r-2) 10/67