精品解析：山东聊城市高唐县2025-2026学年七年级下学期 期中考试数学试题（4月）

2025－2026学年第二学期期中检测 七年级数学试题 本试卷共6页，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 某市为了解95000名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中3000名学生的身高进行统计分析，下列叙述错误的是（ ） A. 95000名初中毕业生的身高是总体 B. 每名初中毕业生的身高是个体 C. 3000名学生是样本容量 D. 本次调查属于抽样调查 2. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条 3. 如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”翻译为：“今有五只雀、六只燕，分别称重时，五只雀比六只燕重；若交换一只雀和一只燕，两边重量相等．五只雀和六只燕共重1斤．问每只雀、燕各重多少斤？”（注意：古代1斤=16两）设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法中，正确的有（ ） ①相等的两个角是对顶角；②若，则与互为补角；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； A. 1个 B. 3个 C. 2个 D. 4个 9. 对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，下列各组角中，是邻补角的一组是______；是同位角的一组是______；相等的一组是______． 12. 数学兴趣小组对收集到的个数据进行整理，绘制成扇形统计图，若某组数据的频数为，则对应这组数据所对应的扇形圆心角的大小为______． 13. 在方程中，用含的代数式表示，_____． 14. 已知方程组的解满足，则的值是______． 15. 若与的两边分别平行，且，，则∠α=__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、过程或演算步骤． 16. 解方程组： （1）； （2）． 17. 把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，平分，试说明：． 解：因为平分， 所以　　　　　　 （ ） 又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以　　　　　 （ ）， 所以（ ）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以　　　　　　　　（ ）， 所以（ ） 18. “机器人的一小步，是人类科技发展的一大步．”某校机器人社团对学生进行“最喜欢的人形机器人”随机抽样调查，受访者从“A．天工；B．小顽童；C．行者；D．城市之间；E．钢宝”五款机器人中选择最喜欢的一款，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）这次调查的学生共有______人，图②中的值为______，图②中所在扇形的圆心角是______度； （2）将图①中的条形统计图补充完整； （3）若该校有名学生，请估计全校选择的人数是多少？ 19. 利用网格画图． （1）过点C画的平行线； （2）过点C画的垂线，垂足为E； （3）线段的长度是点C到直线 的距离； （4）连接，，在线段，，中，线段 最短，理由： ． 20. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人／辆） 45 60 租金（元／辆） 1200 1800 参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 21. 如图，已知：，． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）若平分，于点E，，求的度数． 22. 情境 珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组： 尝试 （1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下. 请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为______，解关于，的方程组，得，所以解这个方程组，得______； 应用 （2）利用上述方法解方程组 23. 在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． （1）【问题初探】如图1，，，试判断与的位置关系，并说明理由． （2）【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． （3）【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______； （4）一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期期中检测 七年级数学试题 本试卷共6页，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 某市为了解95000名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中3000名学生的身高进行统计分析，下列叙述错误的是（ ） A. 95000名初中毕业生的身高是总体 B. 每名初中毕业生的身高是个体 C. 3000名学生是样本容量 D. 本次调查属于抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A、95000名学生的身高是总体，故A不符合题意； B、每名初中毕业生的身高是个体，故B不符合题意； C、3000是样本容量，故C符合题意； D、本次调查属于抽样调查，故D不符合题意； 故选：C． 2. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，符合题意； B、木板上弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯曲河道改直，可以用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、两钉子固定木条，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 3. 如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理进行排除选项即可． 【详解】解：A、若，则根据“内错角相等，两直线平行”可得，故不符合题意； B、若，则根据“内错角相等，两直线平行”可得，故符合题意； C、若，则根据“同位角相等，两直线平行”可得，故不符合题意； D、若，则根据“同旁内角互补，两直线平行”可得，故不符合题意． 4. 下列四个方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B选项中的次数为2，是二元二次方程，不符合题意； C选项含有两个未知数、，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合题意； D选项中是分式，不是整式方程，不符合题意； 故选C． 5. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 6. 如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，，再根据角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 7. 《九章算术》中有这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”翻译为：“今有五只雀、六只燕，分别称重时，五只雀比六只燕重；若交换一只雀和一只燕，两边重量相等．五只雀和六只燕共重1斤．问每只雀、燕各重多少斤？”（注意：古代1斤=16两）设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组，设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意列方程组，即可求解． 【详解】解：设每只雀x斤，每只燕y斤， 交换一只雀和一只燕，两边重量相等，则，即， 五只雀和六只燕共重1斤，即， 所以 故选：B． 8. 下列说法中，正确的有（ ） ①相等的两个角是对顶角；②若，则与互为补角；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； A. 1个 B. 3个 C. 2个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】依据对顶角的定义、补角的定义、点到直线的距离以及平行公理进行判断即可． 【详解】解：①相等的两个角不一定是对顶角，故说法①错误； ②若，则与互为补角，说法正确； ③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故说法③错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，说法正确； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故说法⑤错误； 综上所述，说法正确的是②④，共个． 9. 对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组．根据定义将行列式转化为二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：由新定义得， ， 得方程组： 解得， 故选：B． 10. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用折叠的性质得到相等的角，结合长方形的直角和已知角的度数，求出折叠后相关角的度数；再根据折叠后线段的平行关系，利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质与平行线的性质，掌握折叠前后对应角相等、两直线平行时同旁内角互补是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，下列各组角中，是邻补角的一组是______；是同位角的一组是______；相等的一组是______． 【答案】 ①. 和（答案不唯一） ②. 和 ③. 和 【解析】 【详解】解：是邻补角的一组是和（或和）； 是同位角的一组是和； 相等的一组是和． 12. 数学兴趣小组对收集到的个数据进行整理，绘制成扇形统计图，若某组数据的频数为，则对应这组数据所对应的扇形圆心角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，用乘以这组数据的占比即可求解，掌握扇形圆心角的计算方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴对应这组数据所对应的扇形圆心角的大小为， 故答案为：． 13. 在方程中，用含的代数式表示，_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代入消元法解方程．将当作已知数，先移项，然后系数化为1，即可用含的代数式表示． 【详解】解：方程， 移项得：， 系数化1得：， 故答案为：． 14. 已知方程组的解满足，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，观察方程组两个方程的系数，将两个方程相减即可构造出表达式，结合已知条件即可求出k的值． 【详解】解： 得：， ， ， 解得． 15. 若与的两边分别平行，且，，则∠α=__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当两角相等时，如图， ， 解得：， ； 当两角互补时，如图： ， 解得：， ； 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、过程或演算步骤． 16. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）将第一个方程去分母并整理后，再与另一个方程利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 得，， 整理得， 由得，， 得，， 将代入得，，解得， 原方程组的解为． 17. 把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，平分，试说明：． 解：因为平分， 所以　　　　　　 （ ） 又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以　　　　　 （ ）， 所以（ ）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以　　　　　　　　（ ）， 所以（ ） 【答案】，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可． 【详解】解：因为平分， 所以∠1=∠2（角平分线的定义）， 又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（ 两直线平行，同旁内角互补）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以（同角的补角相等）， 所以（ 同位角相等，两直线平行）， 故答案为：，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行． 18. “机器人的一小步，是人类科技发展的一大步．”某校机器人社团对学生进行“最喜欢的人形机器人”随机抽样调查，受访者从“A．天工；B．小顽童；C．行者；D．城市之间；E．钢宝”五款机器人中选择最喜欢的一款，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）这次调查的学生共有______人，图②中的值为______，图②中所在扇形的圆心角是______度； （2）将图①中的条形统计图补充完整； （3）若该校有名学生，请估计全校选择的人数是多少？ 【答案】（1），， （2） 补全统计图， （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体．从统计图中获取正确的信息是解题的关键． （1）根据的人数与占比求得总人数，再求得的占比，进而求得的值，根据的占比乘以，即可得出图②中所在扇形的圆心角； （2）先求得、的数量，再补全统计图，即可求解； （3）用，即可求解． 【小问1详解】 解： 的占比为 ∴，则， 图②中所在扇形的圆心角是， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：的人数是：人， 的人数是：人， 【小问3详解】 估计全校选择的人数是人 19. 利用网格画图． （1）过点C画的平行线； （2）过点C画的垂线，垂足为E； （3）线段的长度是点C到直线 的距离； （4）连接，，在线段，，中，线段 最短，理由： ． 【答案】（1） 如图，即为所求作的平行线； （2）如图，即为所求作的垂线； （3） （4）；垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了网格作图和据垂线段最短，解题的关键是熟练掌握网格的特点． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与平行的格点作出即可； （2）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； （3）根据点到直线的距离概念回答； （4）根据垂线段最短直接回答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：线段的长度是点到直线的距离； 故答案为：； 【小问4详解】 解：连接、，在线段、、中，线段最短，理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 20. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人／辆） 45 60 租金（元／辆） 1200 1800 参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ 【答案】参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车． 【解析】 【分析】设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车，根据“计划租用的45座客车辆数师生总数”或“座客车辆数）师生总数”可列方程组求解； 【详解】解：设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车，根据题意，得 ， 解得， 答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车 21. 如图，已知：，． （1）判断与的大小关系，并说明理由； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据可得，然后根据，可证明，即可得出结果； （2）首先推导出，，然后依据平分，得到，利用，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 22. 情境 珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组： 尝试 （1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下. 请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为______，解关于，的方程组，得，所以解这个方程组，得______； 应用 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得． 23. 在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． （1）【问题初探】如图1，，，试判断与的位置关系，并说明理由． （2）【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． （3）【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______； （4）一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 【答案】（1） ，理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2） ，理由如下： 如图所示，过点作， ， ， ， ， ； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先证明，根据平行线的性质可得，结合已知等量代换得出，即可得证； （2）过点作，可得，根据平行于同一条直线的两直线平行可得，得到，即可得证； （3）过的顶点作平行线，即过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解； （4）过点作，得到，再求出，最后根据得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作， ， 工作篮底部与支撑平台平行，即， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：如图所示，过点作， ， ， ， 底部支架与吊线平行，即， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $