福建省福清第一中学2026 届高三第二学期质量检测卷五数学科试卷

福清一中2026届高三第二学期质量检测卷五 数学 科试卷 完卷时间： 120 分钟 满分：150分学校 班级 姓名 座号 准考号： . -- -------密………封…………装…………订………线---------- . . 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则     A. B. C. D. 2.若复数，则的虚部为  A. B. C. D. 3.若，，且，则的最大值为     A. B. C. D. 4.已知函数，则函数在区间上的零点个数为    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.已知的外接圆的半径为1，，点G满足，且，则的面积为    A. B. C. D. 6.为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为(    ) A. B. C. D. 7.已知函数的定义域为R，设的导函数是，若恒成立，则      A. B. C. D. 8.已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，离心率为，点P为直线上的一点.当的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为    A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.下列说法中正确的是    A. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 B. 若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的标准差是6 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别为和 D. 按从小到大排序的两组数据：甲组数据为29，31，37，40，41，乙组数据为24，30，33，44，48，52，60，68，70，则甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40百分位数之和为75 10.数列满足，下列说法正确的是    A. 可能为常数列 B. 数列是等差数列 C. 若，则 D. 数列可能为公差不为0的等差数列 11.波兰表达式是一种特殊的数学式表示方法，可以用于逻辑、算术和代数的表示，波兰表达式的基本结构为“运算符操作数1 操作数2”，运算时从左到右读取表达式，遇到运算符时，将其与接下来的两个操作数结合．如：波兰表达式“”的运算过程为：先将“”转化为“”，再以“”为运算符，“”和“5”为操作数，即得“”；波兰表达式“”中，“”表示幂运算，该式的运算过程为：先将“”转化为“”，将“”转化为“”，再由“”得“”，由“”得“”最后由“”得“”．根据上述内容，下列说法正确的是  附： A. 波兰表达式“”的值为108 B. 若波兰表达式“”的值大于6，则x的取值范围是 C. 若波兰表达式“”表示的函数无极值，且，则 D. 若波兰表达式“”的值为，则x的所有取值之和大于4 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.若双曲线的离心率为3，则          . 13.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用的开水泡制，再等茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.若茶水原来的温度是，经过一定时间后的温度，则可由公式求得，其中表示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯的绿茶放在室温为的房间中，已知茶温降到需要那么在室温下，用的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间          ，才能达到最佳饮用口感. 14.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形， ①直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等； ②若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为； ③若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为； ④若四面体在点处的离散曲率为，则平面 上述说法正确的有          填写序号 四、解答题：本大题共5小题，共61分。 15.在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 求角B； 若是锐角三角形，且，求a的取值范围. 16.已知函数， 当时，求在处的切线方程; 当时，求的单调区间和极值; 若对任意，有恒成立，求a的取值范围. 17.已知数列的首项是1， 证明：的奇数项成等差数列； 求的前n项和 18.有A，B，C，D，E，F，G，H八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军.八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，A运动员与其它运动员对决时，A获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立. 求这八名运动员各自获得冠军的概率; 求B与A对决过且最后获得冠军的概率; 求B与C对决过且最后获得冠军的概率. 19.如图1，已知抛物线的焦点为F，准线交x轴于点D，过点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点点A在第一象限当时， 求抛物线C的方程; 如图2，把沿DF翻折为，使得二面角的大小为 ①若，求直线BD与平面PBF所成角的正弦值; ②证明：三棱锥的体积为定值. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福清一中2026届高三第二学期质量检测卷五 数学 科试卷解析版 完卷时间： 120 分钟 满分：150分学校 班级 姓名 座号 准考号： . -- -------密………封…………装…………订………线---------- . . 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则     A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由得或，， 由，则，所以故选： 2.若复数，则的虚部为  A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，则， 所以的虚部为 故选： 3.若，，且，则的最大值为     A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为，，且， 所以， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为 故选： 4.已知函数，则函数在区间上的零点个数为    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D  【解析】解：， 令， 可得或， 又， 解得或或或， 则函数在区间上有4个零点. 故选： 5.已知的外接圆的半径为1，，点G满足，且，则的面积为    A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由正弦定理得， 由于，则点G为的重心， 又由于，则，即， 因此为等腰三角形，且顶角， 由且，得：， 所以的面积 故选： 6.为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：将五名同学分为四组，每组人数分别为2、1、1、1，分组方法种数为种， 所以，五名同学报名四门课程，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修， 不同的报名种数为种， 考虑数独的报名人数， ①若数独只有一人报名，从乙和丙中选一人，有2种情况， 若选修几何画板只有一人，从剩余4人中除甲以外的3人中任选1人，有3种情况， 最后将剩余3人分为两组，再分配给另外两门课程， 此时不同的选择情况种数为种； 若选修几何画板有两人，有种情况，剩余两人选修剩余两门课程， 此时不同的选择方法种数为种； ②若数独有两人报名乙和丙， 则选修几画板的有剩余人中除甲以外的两人中任选一人，有两种情况. 剩余两人报名剩余两名课程， 此时不同的选择方法种数为种. 综上所述，所求概率为 故选： 7.已知函数的定义域为R，设的导函数是，若恒成立，则      A. B. C. D. 【答案】D  【解析】设，则，故在定义域R上是增函数，所以，即，所以故选 8.已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，离心率为，点P为直线上的一点.当的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为    A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C  【解答】 解：椭圆的焦点为，，所以，， 又离心率为，所以， 由对称性，不妨设点P为第一象限的点，坐标为，， 设直线与x轴的交点为T，，， 则，，所以， 设外接圆半径为R，则根据正弦定理可得， 即 ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 同理当点P为第四象限的点，时，的外接圆半径取最小值，即外接圆周长取最小值， 故的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为 故选 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.下列说法中正确的是    A. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 B. 若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的标准差是6 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别为和 D. 按从小到大排序的两组数据：甲组数据为29，31，37，40，41，乙组数据为24，30，33，44，48，52，60，68，70，则甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40百分位数之和为75 【答案】BC  【解析】解：对于A，若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为1，故A错误; 对于B，若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差是，所以标准差为6，故B正确; 对于C，，，，故C正确; 对于D，因为，，所以甲组数据的第30百分位数为31，乙组数据的第40百分位数是，，故D错误. 故选 10.数列满足，下列说法正确的是    A. 可能为常数列 B. 数列是等差数列 C. 若，则 D. 数列可能为公差不为0的等差数列 【答案】ABC  【解析】解：对于A，令， 由，可得，解得， 所以可能为常数列，A正确； 对于B，当时， 由，得， 则， 此时无意义， 中，若，则，矛盾，故， 当时，则，则， 数列是公差为的等差数列，B正确； 对于C，，由选项B得等差数列的首项为，公差为， ，其中， 则由等差数列求和公式得，C正确； 对于D，若数列为公差不为0的等差数列，由B知，， 由，得， 则不会是非零常数，D错误. 故选： 11.波兰表达式是一种特殊的数学式表示方法，可以用于逻辑、算术和代数的表示，波兰表达式的基本结构为“运算符操作数1 操作数2”，运算时从左到右读取表达式，遇到运算符时，将其与接下来的两个操作数结合．如：波兰表达式“”的运算过程为：先将“”转化为“”，再以“”为运算符，“”和“5”为操作数，即得“”；波兰表达式“”中，“”表示幂运算，该式的运算过程为：先将“”转化为“”，将“”转化为“”，再由“”得“”，由“”得“”最后由“”得“”．根据上述内容，下列说法正确的是  附： A. 波兰表达式“”的值为108 B. 若波兰表达式“”的值大于6，则x的取值范围是 C. 若波兰表达式“”表示的函数无极值，且，则 D. 若波兰表达式“”的值为，则x的所有取值之和大于4 【答案】BD  【解析】解：对于A，波兰表达式“”，即，故A错误； 对于B，波兰表达式“”的值大于6，等价于，由于函数在R上单调递增， 且为其零点，所以所求x的取值范围是，故B正确； 对于C，波兰表达式“”表示的函数为，， 由题可知，则，所以， 当且仅当时等号成立，又，故，则，，故C错误； 对于D，波兰表达式“”的值为等价于，易知满足该等式， 令，则，易知有唯一解， 且在区间上单调递减，在上单调递增， 又，，，由零点存在定理知，方程必存在另外一解， 且，所以x的所有取值之和大于4，故D正确. 故选： 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.若双曲线的离心率为3，则          . 【答案】  【解析】双曲线的方程+双曲线的离心率  因为为双曲线方程，所以，得记该双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则，，所以，则该双曲线的离心率，得 13.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用的开水泡制，再等茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.若茶水原来的温度是，经过一定时间后的温度，则可由公式求得，其中表示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯的绿茶放在室温为的房间中，已知茶温降到需要那么在室温下，用的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间          ，才能达到最佳饮用口感. 【答案】20  【解析】【分析】 本题考查指数函数模型的应用，属于基础题. 由的绿茶放在室温为的房间中茶温降到需要代入公式得  ；茶温降到需要 t 代入公式得  ，观察  与  为平方关系，可求得 t . 【解答】 解：一杯的绿茶放在室温为的房间中，如果茶温降到需要， 那么：  ，所以  一杯的绿茶放在室温为的房间中，如果茶温降到需要 t ， 那么：  ，所以  ， 所以  ，所以  . 故答案为： 14.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形， ①直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等； ②若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为； ③若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为； ④若四面体在点处的离散曲率为，则平面 上述说法正确的有          填写序号 【答案】②④  【解析】解：对于①，当直四棱柱的底面为正方形时， 其在各顶点处的离散曲率都相等， 当直四棱柱的底面不为正方形时， 其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故①错误； 对于②，若，则菱形ABCD为正方形， 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，， 所以直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，故②正确； 对于③，若，则， 又，， 所以直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，故③错误； 对于④，在四面体中，，，， 所以， 所以四面体在点处的离散曲率为， 解得， 易知， 所以，所以， 所以直四棱柱为正方体， 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 同理， 又平面， 所以平面，故④正确， 所以正确的有②④. 故答案为：②④. 四、解答题：本大题共5小题，共61分。 15.在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 求角B； 若是锐角三角形，且，求a的取值范围. 【答案】解：因为， 由正弦定理可得， 因为B、，则， 所以， 则有，故 因为为锐角三角形，则， 所以， 所以，则， 由正弦定理可得， 所以， 即a的取值范围是   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.已知函数， 当时，求在处的切线方程; 当时，求的单调区间和极值; 若对任意，有恒成立，求a的取值范围. 【答案】当时，，则，，， 所以切线方程为 当时，， 令， 故在R上单调递减，而，因此0是在R上的唯一零点 即：0是在R上的唯一零点 当x变化时，，的变化情况如下表： x 0 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 的单调递增区间为：递减区间为： 的极大值为，无极小值. 由题意知，即，即， 设，则， 令，解得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以， 所以   17.已知数列的首项是1， 证明：的奇数项成等差数列； 求的前n项和 【答案】解：证明：若n为奇数，则是偶数，是奇数， 所以，， 即， 所以的奇数项是首项为，公差为3的等差数列； 当时， ， 因为， 所以当时， ， 综上所述，  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.有A，B，C，D，E，F，G，H八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军.八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，A运动员与其它运动员对决时，A获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立. 求这八名运动员各自获得冠军的概率; 求B与A对决过且最后获得冠军的概率; 求B与C对决过且最后获得冠军的概率. 【答案】解：夺冠即为三轮比赛都获胜，所以A夺冠的概率为 由题意，B∽H七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为 所以B∽H七名运动员各自夺冠的概率均为 记事件“B获得冠军”，事件“B与A对决过”，事件Ai=“B与A在第i轮对决”，，2， 不妨设A在①号位，则B在第1，2，3轮能与A对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧ ， ， ， 所以 记事件“B与C对决过”. B没有与A对决过且最后获得冠军的概率 由题意，C∽H六名运动员与B对决过的概率相同，B夺冠时共与三名运动员对决. 所以， 代入得：  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.如图1，已知抛物线的焦点为F，准线交x轴于点D，过点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点点A在第一象限当时， 求抛物线C的方程; 如图2，把沿DF翻折为，使得二面角的大小为 ①若，求直线BD与平面PBF所成角的正弦值; ②证明：三棱锥的体积为定值. 【答案】解：当时，，所以点A的坐标为，因为，所以， 解得，所以抛物线C的方程为 ①在平面直角坐标系中，若，则直线AB的方程为， 联立得，解得，或， 所以点的坐标分别为， 如下图建立空间直角坐标系，则， 当二面角的大小为时，点，即， 方法一：所以，，， 设平面PBF的法向量为， 则即 解得取，得， 设直线BD与平面PDF所成角为，则，  所以直线BD与平面PBF所成角的正弦值为 方法二：由题得， 计算得，，，，所以，， 所以， 设点D到平面BFP的距离为h， 则由，得，解得， 所以直线BD与平面PBF所成角的正弦值为 ②由题意得 ， 当时，， 当时，在平面直角坐标系中，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为，设点的坐标分别为，， 联立得， 则，，， 因为，所以，得， 所以 ， ， 综上所述，三棱锥的体积为定值  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $