精品解析：广东省汕头市潮阳区龙港中学2024-2025学年下学期九年级开学数学试卷-

2024-2025学年广东省汕头市潮阳区龙港中学九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的一项是( ) A. 0 B. ﹣1 C. 0.101001 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义逐一判断即可. 【详解】A．0是有理数，A选项不符合题意； B．-1是有理数，B选项不符合题意； C．0.101001是有理数，C选项不符合题意； D．是无理数，D选项符合题意； 故选D. 【点睛】本题主要考查无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的定义是：无限不循环小数是无理数. 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 3. 2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天．预计参观人数将不少于16000000人次．将16000000用科学记数法表示应为（ ） A. 16×106 B. 1.6×107 C. 0.16×108 D. 1.6×108 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将16000000用科学记数法表示为：1.6×107． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则逐项计算即可求解． 【详解】解：A．，正确，符合题意； B．与不是同类项，不能合并，不符合题意； C．，故不正确，不符合题意； D．，故不正确，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5. 以方程组的解为坐标的点在平面坐标系中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及判断坐标点坐在象限，先求解方程组，再判断点在平面直角坐标系中的位置即可． 【详解】解： 由②代入①得：， 解得：， 把代入②式得：， ∴原方程组的解为：， ∵，， ∴点在第一象限， 故选：A． 6. 甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这三个团游客年龄的方差，，，导游小方最喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个团中选择一个，则他应选（ ） A. 甲队 B. 乙队 C. 丙队 D. 哪一个都可以 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差的意义求解可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴在这三个团中选择一个，他应选甲队， 故选：A． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 7. 在平面直角坐标系中，点关于 轴对称的点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面直角坐标系点对称的性质求解，关于x轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数． 【详解】解：∵点A的横坐标为1， ∴点A关于x轴对称的点的横坐标是1， ∵点A的纵坐标为 ， ∴点A关于y轴对称的点的纵坐标是2， ∴点关于x轴对称的点的坐标是． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律． 8. 在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设参加活动的同学有x人，则每人送出（）张贺卡，根据参加活动的同学共送贺卡42张，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设参加活动的同学有x人，则每人送出（）张贺卡， 依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（ ） A. 130° B. 100° C. 65° D. 50° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵∠CBE=50°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADC=∠CBE=50°（圆内接四边形的一个外角等于内对角）， ∵DA=DC， ∴∠DAC=∠DCA=. 故选C. 10. 如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③BF//DE；④S△BEF＝．其中所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG； ②再由GF＋GB＝GA＋GB＝12，EB＝EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG＝4，BG＝8，即可判断； ③由△BEF是等腰三角形，证明∠EBF＝∠DEC，； ④结合①可得AG＝GF，根据等高的两个三角形的面积的比等于底与底的比即可求出三角形BEF的面积． 【详解】解：①由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°， ∴∠DFG＝∠A＝90°， 在Rt△ADG和Rt△FDG中， ∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL）， 故①正确； ②∵正方形边长是12， ∴BE＝EC＝EF＝6， 设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12−x， 由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2， 即：（x＋6）2＝62＋（12−x）2， 解得：x＝4， ∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG， 故②正确； ③∵EF＝EC＝EB， ∴∠EFB＝∠EBF， ∵∠DEC＝∠DEF，∠CEF＝∠EFB＋∠EBF， ∴∠DEC＝∠EBF， ∴BF//DE， 故③正确； ④∵S△GBE＝BE•BG＝×6×8＝24， ∵GF＝AG＝4，EF＝BE＝6， ∴， ∴S△BEF＝S△GBE＝×24＝， 故④正确． 综上可知正确的结论的是4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：m3n﹣9mn＝______． 【答案】mn（m+3）（m﹣3） 【解析】 【详解】分析：原式提取mn后，利用平方差公式分解即可． 详解：原式=mn（m2-9）=mn（m+3）（m-3）． 故答案为mn（m+3）（m-3）. 点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 若+（b+4）2＝0，那么点（a，b）关于原点对称点的坐标是_____． 【答案】（﹣3，4） 【解析】 【分析】先根据二次根式，平方的非负性求出的值，然后根据关于原点对称的两点的坐标特征求解即可． 【详解】∵+（+4）2＝0 ∴，解得 ∴点坐标为 其关于原点对称的点的坐标为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式，平方的非负性，及关于原点对称的点坐标的特征，熟知以上内容是解题的关键． 13. 已知：直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，若∠1＝25°，则∠2＝_____度． 【答案】35 【解析】 【分析】如解图所示，先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图所示 ∵∠3是△ADG的外角， ∴∠3＝∠A+∠1＝30°+25°＝55°， ∵l1∥l2， ∴∠3＝∠4＝55°， ∵∠4+∠EFC＝90°， ∴∠EFC＝90°﹣55°＝35°， ∴∠2＝35°． 故答案为：35． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，利用三角形外角的性质，求出∠3的度数是解题的关键． 14. 如图，已知正方形 的边长为3，点 是对角线 上的一点，于点 ，于点 ，连接，当时，则________ 【答案】 【解析】 【分析】先证四边形 是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，可求 ， 的长，由勾股定理可求的长，由“”可证，可得． 【详解】解：如图： 连接， 四边形 是正方形， ，， ，， ， 四边形 是矩形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 15. 如图所示，扇形从图 无滑动绕着点 旋转到图 ()的位置，再由图 紧贴直线运动到图 ，已知，．由图 到图 点 所运动的路径长是______(结果保留)． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长公式，旋转的性质，解题的关键是正确运用弧长公式进行计算． 由图 到图 ，点 所运动的路径是以 为圆心， 为半径，圆心角为的弧长，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：由图 到图 ，点 所运动的路径是以 为圆心， 为半径，圆心角为的弧长， 根据弧长公式（其中为圆心角度数，为半径）， 可得路径长：， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了负整数指数幂、零指数幂以及绝对值的求解，注意计算的准确性． 【详解】解：原式 17. 先化简再求值，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】，5 【解析】 【分析】先因式分解，通分，去括号化简，再选值计算即可． 【详解】 ， 当 ， 时，分母为0，分式无意义，故不能取； 当时， ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分，通分是解题的关键． 18. 如图，在 中，． （1）用直尺和圆规作 的平分线交 于 (保留痕迹)； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图及直角三角形的性质． （1）根据角平分线的尺规作图即可得； （2）由知，再由角平分线知，结合可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：， ， 平分 ， ， ， ， ． 19. 已知关于x的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及 的值； （2）是否存在实数 ，满足？若存在，求出求实数 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【详解】解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0， ∴m<5， 将x1=1代入原方程得：m=3， 又∵x1•x2=2m−1=5， ∴x2=5，m=3； （2）设存在实数m，满足，那么 有， 即， 整理得：， 解得或． 由（1）可知， ∴舍去，从而， 综上所述：存在符合题意． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 20. 如图， 为正方形外一点，连接 ， ，，平分交 于点 ，连接 （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）设，则，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解； （2）证明 ， ， ， 四点共圆，利用四点共圆的性质求解． 【小问1详解】 解： 四边形是正方形， ，， 又， 平分，设，则， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接， 四边形是正方形， ，， 由（1）知， ， 、 、 、 四点共圆， ， ，即 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，四点共圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. RtABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D(4，1)，与AB边交于点E(2，n)． （1）求反比例函数的解析式和n值； （2）当时，求直线AB的解析式． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y=，n=2； （2）直线AB的函数解析式为y=x+1． 【解析】 【分析】（1）将D（4，1）、E（2，n）代入反比例函数y=解析式，进而得出n的值； （2）根据题意进而得出D，E，B的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可． 【小问1详解】 解：∵D（4，1）、E（2，n）在反比例函数y=的图象上， ∴4=k，2n=k， ∴k=4，n=2， ∴反比例函数的解析式为y=； 【小问2详解】 解：如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为H． 在Rt△BEH中，tan∠BEH=tan∠A=， ∵D（4，1），E（2，2）， EH=4-2=2， ∴BH=1． ∴B（4，3）． 设直线AB的解析式为y=kx+b，代入B（4，3）、E（2，2）， 得，解得：， 因此直线AB的函数解析式为y=x+1． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质，待定系数法求出一次函数解析式，解直角三角形等知识，根据待定系数法求出一次函数解析式是解题关键． 22. 如图， 是的直径，点C是劣弧 中点，与 相交于点E．连接，，与 的延长线相交于点F． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理得，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论； 根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案； 设为x，则为，根据勾股定理可得方程，求得的长，再根据三角形中位线定理可得答案． 此题考查的是圆周角定理、切线的判定与性质、勾股定理和三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决此题关键． 【小问1详解】 解：连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是 的切线． 【小问2详解】 解：∵点C是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【小问3详解】 解：如图：连接线，交 于H， ∵，， 于点H， 设为x，则为，根据勾股定理， ， 解得：， ， 是中位线， 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）四边形OCPQ是平行四边形，理由如下： ∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC的解析式为：y=-x+4， 设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4）， ∴PQ=-x+4-()==， ∴当x=2时，线段PQ长度最大=4， ∴此时，PQ=CO， 又∵PQ∥CO， ∴四边形OCPQ是平行四边形； （3）（0，）或（0，1）或（0，-1） 【解析】 【分析】（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解； （2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线， ∴B（4，0），C（0，4）， 设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：； （2）略 （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N， 由（2）得：Q（2，-2）， ∵D是OC的中点， ∴D（0，2）， ∵QN∥y轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设E（x，），则，解得：，（舍去）， ∴E（5，4）， 设F（0，y），则， ，， ①当BF=EF时，，解得：， ②当BF=BE时，，解得：或， ③当EF=BE时，，无解， 综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）． ． 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省汕头市潮阳区龙港中学九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的一项是( ) A. 0 B. ﹣1 C. 0.101001 D. 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天．预计参观人数将不少于16000000人次．将16000000用科学记数法表示应为（ ） A. 16×106 B. 1.6×107 C. 0.16×108 D. 1.6×108 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 以方程组的解为坐标的点在平面坐标系中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这三个团游客年龄的方差，，，导游小方最喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个团中选择一个，则他应选（ ） A. 甲队 B. 乙队 C. 丙队 D. 哪一个都可以 7. 在平面直角坐标系中，点关于 轴对称的点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（ ） A. 130° B. 100° C. 65° D. 50° 10. 如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③BF//DE；④S△BEF＝．其中所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：m3n﹣9mn＝______． 12. 若+（b+4）2＝0，那么点（a，b）关于原点对称点的坐标是_____． 13. 已知：直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，若∠1＝25°，则∠2＝_____度． 14. 如图，已知正方形 的边长为3，点 是对角线 上的一点，于点 ，于点 ，连接，当时，则________ 15. 如图所示，扇形从图无滑动绕着点 旋转到图 ()的位置，再由图紧贴直线运动到图 ，已知，．由图到图点 所运动的路径长是______(结果保留)． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： 17. 先化简再求值，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 18. 如图，在 中， ． （1）用直尺和圆规作 的平分线交 于 (保留痕迹)； （2）若，求的度数． 19. 已知关于x的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由． 20. 如图， 为正方形外一点，连接 ， ，，平分交 于点 ，连接 （1）求的度数； （2）求证：． 21. RtABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D(4，1)，与AB边交于点E(2，n)． （1）求反比例函数的解析式和n值； （2）当时，求直线AB的解析式． 22. 如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求 的长． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $