精品解析：浙江宁波市鄞州中学2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学学科期中试题

鄞州中学2025学年第二学期期中考试 高一年级数学学科期中试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域完成相应内容的填写和填涂考试号、贴好条形码，所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 3．本次考试期间不得使用计算器； 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚数单位的性质结合复数乘法运算化简复数，进而可得虚部. 【详解】因为复数， 所以复数的虚部为. 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行坐标关系结合充分必要条件定义判断即可. 【详解】向量，“”可以得出，即得， 不能得出成立，可以推出成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 3. 正方形边长为2，点分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，， 则在中利用余弦定理可得，. 4. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得：， 则，即， 在上的投影向量. 5. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形．其中，，，．以原四边形的边为轴，旋转一周得到的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形求得，然后利用斜二测画法还原出原图形，最后利用台体体积公式计算即可. 【详解】作，如图： 由，，所以， 作出平面四边形的图形如下图所示： 四边形为直角梯形，且，，，，， 故以原四边形的边为轴，旋转一周得到的几何体为圆台， 该圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 所以该几何体的体积为：. 6. 如图，在河岸上测量河对面两点间的距离，测得，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合内角和公式求，，在，中，分别利用正弦定理求，在中，利用余弦定理求. 【详解】因为， 所以， ， ， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得 ，则． 7. 如图，长方体的长、宽、高分别为，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的公共点的轨迹长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由最小时，得到分别为的三等分点，得到以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，结合扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意得，要使得最小，则要在同一个平面内，即平面内， 如图（1）所示，可得， 所以， 当最小时为， 此时，即分别为的三等分点， 因为，所以， 分别在取点，使得， 可得， 则以为球心，的长为半径的球面与上底面的交线对应的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，如图（2）所示， 所以轨迹的长度为. 8. 已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据面积公式得出，利用正弦定理得出，进而得出，再利用求出，最后在中利用余弦定理可得. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 由正弦定理可得，， 则， 因为，所以，则，即， 因为是角的平分线，所以，所以， 则， 因为，，所以， 因为，所以， 则，得（负值舍去），故， 在中利用余弦定理得， 故 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、多选、错选均不得分） 9. 已知中，分别是角的对边，则下列选项中，使得有两解的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，用余弦定理计算唯一，即可判断解的情况；B、C、D选项，用正弦定理计算，根据正弦值是否小于1和三角形大边对大角即可判断解的情况. 【详解】对于A：由余弦定理得：， 因此唯一，故三角形只有一解； 对于B：由正弦定理得：， 即，且，即， 所以有两个可能值，故三角形有两解； 对于C：由正弦定理得： ， 即，不成立，故三角形无解； 对于D：由正弦定理得：， 即，且，即， 所以有两个可能值，故三角形有两解. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对于非零向量，若，则 B. 对于复数，若，且，则 C. 对于向量，若，则 D. 对于复数，若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由条件结合数量积的运算性质和向量垂直的向量表示可得，可判断A项，根据复数运算律可判断B项，由平面向量数量积公式可知计算可判断C项，举反例，可判断D项. 【详解】对于A项，，则可能，不能得出， 反例：取，满足，但，故A项错误； 对于B项，因为， 所以，又为非零复数， 所以，即，故B项正确； 对于C项，因为， 所以，所以，故C项正确； 对于D项，若，，则满足， 但此时，故D项错误. 11. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，三角形的面积为2，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当最小时， D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据三角形面积公式即可判断选项A；根据正弦定理及选项A可得到，结合基本不等式即可判断选项B；根据三角形面积公式及正弦定理得到，设，则，求出取最大值，得到此时取最小值，即取最小值，进一步化简即可判断选项C；结合诱导公式、二倍角公式、导数及已知条件，即可判断选项D. 【详解】选项A：由得，， 则，所以，故A正确. 选项B：由正弦定理，得，所以， 即，整理得. 又，当且仅当时，等号成立， 所以（，时取等号），故B正确. 选项C：由正弦定理可知，，， ， 所以. 又，则，设，则，. 则 . 当，即时，取最大值，此时取最小值，即取最小值. 代入中得，，即，也即. 因此，当最小时，，故C正确. 选项D：当时，，又，所以， 则. 若，则，即， 所以，此时，， 若，即，由结合C选项的推导可得， 设， 则, 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以， 又，所以在上有两个零点， 所以在上有两个解， 所以不一定成立，故D错误. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知，若，则点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设出点的坐标代入计算即可. 【详解】设点坐标为，由，则， 则，即. 从而点坐标为. 13. 已知圆台的体积为，上底面半径为1，高与母线的比值为，则该圆台的下底面半径为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先由高和母线比设参数，结合勾股定理得高与半径差的关系，再代入体积公式列方程即可得结果. 【详解】设圆台的高为，母线长为，下底面半径为， 则，设，则， 所以，即，所以， 又因为， 整理得：，所以. 14. 在以为圆心，半径为的中，有一个内接锐角三角形，其中，的角平分线交于点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦定理求得，再根据外心性质和角平分线、数量积的运算律得到，最后根据面积的范围可求前者的范围. 【详解】，设，，，则，则， 再由角平分线定理，，则由定比分点性质，， 又为三角形的外心，所以：； 则三角形的面积，其中为三角形的边上的高， 由题意，当在的垂直平分线上时，此时取得最大值， 为圆心到的距离加上半径即， 且三角形为锐角三角形，不能使或为直角或钝角， 时，为直径，此时取得下确界，为圆心到的距离的二倍，即下确界为， 故的取值范围为，则. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知向量． （1）当时，求实数的值． （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由已知，，， 由有 ，解得． 【小问2详解】 由已知，， 由有，解得， 于是． 16. 复数其中，复数满足，其中为虚数单位． （1）若为虚数，求的取值范围； （2）求与； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据虚数的定义求解即可. （2）根据复数的乘除法运算法则和共轭复数的定义、复数的模的公式进行计算即可. （3）先根据复数的模的公式计算出，然后根据二次函数的性质求出最小值. 【小问1详解】 因为复数为虚数，所以，所以. 【小问2详解】 因为复数满足，所以， 化简得，所以. 所以. 【小问3详解】 因为复数，，所以. 所以， 根据二次函数的性质可得，所以， 所以的最小值为. 17. 如图，在四边形中，，四边形绕所在直线旋转一周所形成新的几何体． （1）求该几何体的表面积和体积； （2）若旋转过程中，点和点始终落在球上，求球的表面积． 【答案】（1）表面积,体积. （2） 【解析】 【分析】（1）分析图形的构成，表面积有哪几块构成，利用圆、扇形、扇环计算面积即可，体积看是由哪几个基本几何体组合而成，利用圆锥圆台体积计算公式计算即可. （2）立体问题平面化找球心，求半径，利用球的表面积计算公式计算即可. 【小问1详解】 如图，在中，， 从而.则， 过点作于，则， 从而四边形为矩形，即有，, 从而，则在中, . 该几何体的表面积包含旋转一周得到的曲面，旋转一周得到的曲面，以及旋转一周得到的圆面. 而， ， ， 从而该几何体的表面积 该几何体的体积可看成由梯形旋转得到的圆台挖去由三角形旋转得到的圆锥，则. 【小问2详解】 如图，由题意球的球心在直线上，设， 则， 又， 则，解得. 从而球的半径， 球的表面积. 18. 记锐角的内角，，的对边分别为，，. （1）若，证明：. （2）当，时，求面积的最大值. （3）当角，，满足，其中符号表示不大于的最大整数，若，试探讨是否为定值?请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）是，，理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用正弦函数的单调性求解； (2)利用两角和的正切关系进行变形化简得到，再利用余弦定理和三角形面积公式求解； (3)利用两角和的正切关系变形求解. 【小问1详解】 由题意可知，，，则， 因为在上单调递增，所以， 所以. 【小问2详解】 在锐角中，由， 得. 因为，可得， 得，又，所以； 由余弦定理有，即：， 当且仅当时取等，此时， 所以. 即该三角形的面积的最大值为. 【小问3详解】 由（2）知. 记，，，由条件得， 因为，所以， 所以，所以，，必为整数. 由，得，所以， 又，所以，， 又， 所以，， 化简得，即：， 所以，得， 又因为，，均为整数，所以或， 因为，且，，所以， 所以，即，，， 所以. 19. 如图，若、是平面内相交成的两条射线，则称平面坐标系为仿射坐标系；在仿射坐标系中，、分别为、同向的单位向量，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）由题意得，，利用平面向量数量积的定义可得出关于的等式，求出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值； （3）（3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，所以， 因为，所以， 故. 【小问2详解】 由题意可得，， 所以， ，同理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 即，解得， 又因为，故. 【小问3详解】 依题意设、， 且，，， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得， 所以，， 由题意可知，，， 则， 在中依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，，， ， 为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄞州中学2025学年第二学期期中考试 高一年级数学学科期中试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域完成相应内容的填写和填涂考试号、贴好条形码，所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 3．本次考试期间不得使用计算器； 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 4 D. 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 正方形边长为2，点分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形．其中，，，．以原四边形的边为轴，旋转一周得到的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在河岸上测量河对面两点间的距离，测得，则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 如图，长方体的长、宽、高分别为，且分别为上底面、下底面（含边界）内的动点，当最小时，以为球心，的长为半径的球面与上底面的公共点的轨迹长度为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、多选、错选均不得分） 9. 已知中，分别是角的对边，则下列选项中，使得有两解的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对于非零向量，若，则 B. 对于复数，若，且，则 C. 对于向量，若，则 D. 对于复数，若，则 11. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，三角形的面积为2，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当最小时， D. 当时， 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知，若，则点坐标为_________． 13. 已知圆台的体积为，上底面半径为1，高与母线的比值为，则该圆台的下底面半径为_________． 14. 在以为圆心，半径为的中，有一个内接锐角三角形，其中，的角平分线交于点，则的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知向量． （1）当时，求实数的值． （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 16. 复数其中，复数满足，其中为虚数单位． （1）若为虚数，求的取值范围； （2）求与； （3）求的最小值． 17. 如图，在四边形中，，四边形绕所在直线旋转一周所形成新的几何体． （1）求该几何体的表面积和体积； （2）若旋转过程中，点和点始终落在球上，求球的表面积． 18. 记锐角的内角，，的对边分别为，，. （1）若，证明：. （2）当，时，求面积的最大值. （3）当角，，满足，其中符号表示不大于的最大整数，若，试探讨是否为定值?请说明理由. 19. 如图，若、是平面内相交成的两条射线，则称平面坐标系为仿射坐标系；在仿射坐标系中，、分别为、同向的单位向量，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $