期中学习检测-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册单元测试卷

数学 期中学习检测 (满分150分，时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.已知复数=1十2i,则-5+5i等于 A.1+2i B.2+i C.1-2i D.2-i 2.在△ABC中，AC=(2,3),BA+BC=(-2,3),则|AB等于 A.2 B.3 C.4 D.6 3.已知复数之满足(1一)z=2十i,则之的共轭复数在复平面内对应的点在 蚁 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=acos B十bcos A,则△ABC是 A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 h 5.设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD,则 郊 A市=-号A店+号C B.AD-}A店-专AC 长 C.Ai-号Ai+}Ad D.Ad-号A店-}Ad 6.已知向量a=(8,2x,b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)∥(2a十b),则x的值为 A.4 B.8 C.0 D.2 7.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为√3，√2,1，则该三棱锥的外接球的表面积为 A.24π B.18元 C.10元 D.6元 8.如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD,AB=2DC,点P在线段BC上，且BP=2PC,则 AA币-号A店+号Ad BA的-号A店+号A心 CAD=多A-A店 D.AD= A市-A店 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9已知1为虚数单位，复数=士，则以下为真命题的是 ( A.之的共轭复数为号- B:的虚部为 C.1z=65 D.之在复平面内对应的点在第一象限 10.下列四式中能化简为AD的是 A.(AB+CD)+BC B.(AB+MB)+(CM+BC) C.(MB+AD)-BM D.(OC-OA)+CD 11.下列命题中，正确的是 A.在△ABC中，若A>B,则sinA>sinB B.在锐角三角形ABC中，不等式sinA>cosB恒成立 C.在△ABC中，若acos A=bcos B,则△ABC必是等腰直角三角形 D.在△ABC中，若B=60°，b2=ac,则△ABC必是等边三角形 12.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是 () A.圆柱的侧面积为2πR B.圆锥的侧面积为2πR C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如果用半径R=2√3的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥简的高是 14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若√3(bcos C+ccos B)cosA=asin A,b+c=8, a=4,则△ABC的面积为 15.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤 三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为 长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3 29 丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样 下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这 个问题中的刍童的体积为 16.如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点， BA.CA=4,B京.C京=-1，则BE.CE的值是 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分)如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm,底面 B 三角形的边长分别为3cm,4cm,5cm,以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部 分几何体的体积V. :BI 01 18.(12分)已知复数w满足0-4=(3-2w)i(i为虚数单位)，=品+西-2引. (1)求x; (2)若(1)中的之是关于x的方程x2一px十q=0的一个根，求实数p,q的值及方程的另一 个根： 19.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4),B(-2,3),C(2,-1). (1)求AB·AC及1AB+ACI: (2)设实数t满足(AB一tOC)⊥OC,求t的值. 30 无敌原创·单元卷数学·必修第二册 20.(12分)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且(sinB+sinC+sinA)·(sinB+ C-sin A)三sin Bsin C,b和c是关于x的方程x2-9x+25cosA=0的两根( (1)求cosA的值； (2)判断△ABC的形状. 21.(12分)已知向量a与b的夹角为60°，|a|=2,b=(1,0). (1)求|a-2b1; (2)若(a十tb)⊥(2a一b),求实数t的值 22.(12分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知3 bcos C=csin B. (1)求角C的大小； (2)若c=2√7，△ABC的面积为6√3，求△ABC的周长.(2)若经销商采用方案1，则收人为400×300=120000元.若 经销商采用方案2，则400袋大米中四级大米约400×0.004× 25=40(袋)，40×5=200（包），三级大米约400×0.012×25 120(袋)，120×5=600（包），二级大米约400×0.014×25 140(袋)，140×5=700（包），一级大米约400×0.010×25 100(袋)，100×5=500（包），400袋大米共卖200×55+600× 68+700×85+500×98=160300(元).400袋大米的包装袋 成本为200×2+600×2+700×4+500×5=6900（元），则收 入为160300-6900-8000=145400（元），.145400> 120000,且400袋大米成本相同，所以，该经销商采用方案2 所得利润更大 期中学习检测 一、1.B[解析：，x=1+2i,.z·乏=1十22=5，因此， 製 z2-5+5i-,5i 5i(1-2i) 1+21￥2-2五=2+i故选B.】 2.A[解析：：AC=(2,3),Bi+BC=-AB+AC-AB AC-2AB=(-2,3),2AB=(2,3)-(-2,3)=(4,0), 如 .AB=(2,0),1AB=2.故选A.】 3.D【解析：“(1-)x=2+i,之==2+D1+D 1-i (1-i)(1+i) +号，=-号的共辄复数在复平面内对应的 长 点的坐标为（分，一三），即的共轭复数在复平面内对应的 点在第四象限.故选D.] 4.A[解析：因为a=acos B十bcos A,所以由余弦定理可得 a=ax2+-&+bx+-a,整理得a=c,所以△ABC 2ac 2bc 为等腰三角形.故选A】 5.A【解析：A市=A范+B市=AB+BC+C市=AB+冬BC AB+专(AC-A)=-子A+号AC.故选A.】 6.A【解析：因为a=(8,之x),b=(x,1),所以a-2b (8-2z,2x-2）,2a+b=(16+x,x+1D.因为(a-2b)∥(2a+ b),所以(8-2x)(x+1)=(16+)·(分x-2）,即-号2十 40=0,解得x=士4，又x>0,所以x=4.故选A.】 7.D[解析：由题意得外接球的直径等于2R=√3+2+1 √6，所以表面积为4πR2=π(W6)2=6元.故选D.】 8.C[解析：因为BC=-AB+AD+DC=-AB+AD+ 号A成=AD-号A,B驴-号BC-号A市-A成，所以A AB+B丽=AB+号AD-A店=子AB+子AD,所以AD 号A市-A点故选C】 =Φ析：--侣智-专+号 e的共矩复数为一子ie的虚部为号k√（告）广+() 47. 在复平面内对应的点为（告号）在第一象限故 选CD.] 10.AD[解析：(AB+CD)+BC=AB+BC+CD=AD,A正 确；(AB+MB)+(Ci+BC)=AB+M店+CM+BC-AB+ BC+CM+M店-AC+C克-AB,B错误；(M店+AD)-BM M店+AD+M店=2M店+AD,C错误；(O心-OA)+CD= O元+Aò+CD=AO+OC+CD=AD,D正确.故选AD.】 11ABD[解析：对于选项A,由A>B,可得a>b,利用正弦 定理可得sinA>sinB,正确；对于选项B,在锐角三角形ABC 中，A,B∈(0,2)，：A+B>艺∴受>A>受-B>0, sinA>sin(受-B）=cosB,因此不等式sinA>cosB恒 成立，正确；对于选项C,在△ABC中，由acos A=bcos B,利用 正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B,∴.sin2A=sin2B, A,B∈(0，π)，.2A=2B或2A=π-2B,.A=B或A+B= 受，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错 误.对于选项D,在△ABC中，B=60°，b=ac,由余弦定理可 得2=ac=a2十c2-ac,可得(a-c)2=0,解得a=c,可得A= C=60°，正确.故选ABD.】 12.CD[解析：依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为 2πRX2R=4πR2,.A错误；圆锥的侧面积为πRX√5R= √5πR,.B错误；球的表面积为4πR2,,圆柱的侧面积为 4R,C正确：Va=xR,2R=2RVas=方R· 2R=号R,V=专成V雅VtVg=2aR:号状： 专xR=3:1:2,D正确，故选CD.】 三、13.3【解析：设圆锥筒的底面半径为r,则2xr=πR=2√3π，则 r一5，所以圆锥筒的高h=√R-7=√(2√3)2-(W3)2=3.】 14.43[解析：因为W3(bcos C十ccos B)cosA=asin A,所以 √3(sinB·cosC+sin Ccos B)cosA=sin Asin A,即V3cosA= sinA,所以tanA=√3，所以A=号；由余弦定理得a2=:+2- 2 bccos A=(b+c)2-2bc-2 bccos A,因为b+c=8,a=4,所以 c=16,所以△ABC的面积为之众s如A=号×16×号=4反.】 21.解：(1).(a,b〉=60°，|a|=2,b|=1,∴.a·b=1, ∴.|a-2b|=√(a-2b)F=√2-4a·b+46=√4-4+4=2. 15.26.5立方丈[解析：由题意知刍童的体积为[(4×2十3)× (2).(a+tb)⊥(2a-b),.(a+tb)·(2a-b)=2a2+(2t 3+(3×2+4)×2]×3÷6=26.5(立方丈).】 1)a·b-tb2=8+(2t-1)-t=0,解得t=-7. 16.冬【解析：耐·C耐=(2B心-A)· 2.解：)由正弦定理nBsC,得√3 sin Bos C=sin Bsin C, b C (←合成-动)=4市-恋=6市-迹=4，脉. 在△ABC中，因为sinB≠0，所以W3cosC=sinC,故tanC= C=(2BC-号AD)·(-合BC-号A)=号A市 3,又因为0<C<,所以C=答 十流=4市迹-1所以市=是心-号，所以 (2)由已知，得2 absin C=65.又C=号，所以ab=24,由已 成.成-（号成-动）·（←成-市）市迹 知及余弦定理，得a2+b2一2 abcos C=28,所以a2+b2= 16市-心-冬1 52,从而(a+b)2=100.即a+b=10,又c=2√7，所以△ABC 的周长为10+2√7 四、17.解：V=c4鸟6=号×3X4X6=36(cm).设圆柱 期未学习检测 2S△ABC 2×日×3×4 底面圆的半径为，则r=AB千B年AC3千4十5=1， V圆#o0,=π产h=6π(cm3).所以V=V三棱柱AcA1马S一V性o0, 一1.D【解析：由题意可知=一2+i,所以=千 (36-6π)cm3 -二1=-号十，因此，复数：的部 (1+i)(1-i) 2 18.解：(1)由题意得w(1十2i)=4+3i,.w= 4+31 1+2i 为号故选D.】 得+89器-g…是+日=9+1-3+i 5(2+i) 2.B【解析：因为△ABC的面积为2V巨，所以22=2AC× (2):x=3十i是关于x的方程x2-px十q=0的一个根， ∴(3+iD2-p(3+i)+q=0,(8-3p+q)+(6-p)i=0,:p,9 BG×s血45'=合×2XBG×号，解得B,G=4,所以BC (8-3p+q=0, 为实数， 解得p=6,q=10.解方程x2-6x十 8,易知AC⊥BC,由勾股定理得AB=√AC2+BC= 6-p=0, √2+8=2√17.故选B.】 10=0,得x=3士i,∴.实数p=6,q=10,方程的另一个根为 3.A[解析：对于A,若l⊥a,mCa,则根据直线与平面垂直 x=3-i. 的性质，知l⊥m,故A正确；对于B,若lLm,mCa,则l可能 19.解：(1)由已知得AB=(-3,-1),AC-(1,-5),AB· AC=(-3)X1+(-1)×(-5)=2.:AB+AC=(-2,-6), 在a内，故B不正确；对于C,若l∥m,mCa,则l∥a或lCa, 故C不正确；对于D,若l∥amCa,则l与m可能平行，也可 .|AB+AC=√4+36=2√10. 能异面，故D不正确.故选A.】 (2):AB-tOC=(-3-2t,-1+t),OC=(2,-1),且(AB 4.B[解析：因为a+b2=(a+b)2=a2+2a·b+=|a2+ OC)⊥OC,.(AB-tOC)·OC=0,.(-3-2)X2+ (-1+t)×(-1)=0,∴.t=-1. 21al·b1cos红+b12=1+2×1×2×(-2)+4=3,所以 20.解：1)由正弦定理得(6+c十a)(6十c-a)=8c,即+ |a十b1=√3.故选B.1 5.B[解析：因为北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有 -心=c,由余孩定理得c0sA十立=号 2bc 8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，所以需从西乡 (2)由(1)知c0sA=号，则方程x-9x+25c0sA=0可化为 7236 征集的人数是378×8758+7236+835≈112.故选B.】 x2-9x+20=0,解得x=5或x=4.,b>c,∴.b=5,c=4,由 6.C[解析：设A(i=1,2,3,4)表示“元件i能正常工作”的事 余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A=9,.a=3..b2=a2+c2, 件，S表示“系统能正常工作”，得P(S)=P(A1AUAA) .△ABC为直角三角形 P(A1)P(A2)+P(A)P(A)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)= 45