第3次月考检测-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册单元测试卷

效学 第三次月考检测 (满分150分，时间120分钟) 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.已知a,B表示两个不同平面，直线m是a内一条直线，则“a∥”是“m∥”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.将一个斜边为2的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为 Ags 品 C22 3π D.4② π 3.在空间中，可以确定一个平面的条件是 蚁 A.两两相交且不交于同一点的三条直线 B.三个不同的点 C.一条直线和一个点 如 p区 D.互相平行的三条直线 郊 4.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则此圆锥的高是 A.2 B.2 C.2√2 D.4 器 5.已知直三棱柱ABCA1B1C中，∠ABC=120°，AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1 长 所成角的余弦值为 A号 B. 5 C.0 D. 6.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AD中点，过点B1,且与平面A1BE平行的正方 体的截面面积为 ) A.5 B.25 C.26 D.6 7.在正四面体P-ABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，下面四个结论中不成立的是( A.BC∥平面PDF B.DF⊥PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC 8.如图，已知正方体ABCD-A1B1CD1,M,N分别是A1D,D1B的中点，则 A.直线AD与直线DB相交，直线MN∥平面ABCD B.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B C.直线AD与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD D.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.设m,n是两条不同的直线，α，B是两个不同的平面，则下列结论正确的是 A.若m⊥a,n⊥a,则m∥n B.若m∥n,m∥a,则n∥a C.若mCa,nCB,则m,n是异面直线 D.若a∥B,mCa,nCB,则m∥n或m,n是异面直线 10.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是 A.直线CD与直线GH共面 B.直线CD与直线EF异面 C.直线AB与直线EF共面 D.直线GH与直线EF异面 11.给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面a、3的四个命题： ①若mCa,l∩a=A,点A庄m,则l与m不共面； ②若m,l是异面直线，l∥a,m∥a且n⊥l,n⊥m,则n⊥a; ③若l∥a,m∥B,a∥β，则l∥m; ④若lCa,mCa,l∩m-A,l∥B,m∥B,则a∥B. 其中为真命题的有 A.① B.② C.③ D.④ 12.六氟化疏，化学式为SF6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气 体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构 为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长 均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体)，如图所示，硫原子位于 正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体E-ABCD-F的6个顶点. 若相邻两个氟原子间的距离为a(不计氟原子的大小)，则 A.直线AE与FC为异面直线 B.平面ADE∥平面BCF C.直线AE与BC为异面直线 D.八面体外接球体积为。 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为 α，最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是 14.正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D所在平面过球心O,点P在球面 b 上，如果Vm号，则球0的表面积为 2 15.已知平面a,3和直线，给出条件：①m∥a;②m⊥a;③mCa;④a⊥β；⑤a∥3. (1)当满足条件 时，有m∥3： (2)当满足条件 时，有m⊥β.（填所选条件的序号） 21 16.如图，矩形ABCD中，AB=2AD,E为边AB的中点，将△ADE沿 直线DE翻折成△ADE.若M为线段A:C的中点，则在△ADE翻 D 折过程中，下面四个命题中正确的是 .(填序号即可) ①BM是定值②点M在某个球面上运动③存在某个位置，使 A DE⊥AC④存在某个位置，使MB∥平面A,DE 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)如图（单位：c),求下图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. -2D B 22 无敌原创·单元卷数学·必修第二册 18.(12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠CDA=45°，AD=AC= 1,O为AC中点，PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD中点. (1)证明：PB∥平面ACM; (2)证明：平面PAD⊥平面PAC. P C 0 :3V/ad (I) 路多4彩年多裂业 多科 台索 海班 4素 20.(12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，A-BCB1是底面边长为2的正三棱锥. (1)求证：AC⊥CC1; (2)若异面直线AB,与CC所成的角为，求三棱锥BACC1的体积. B x'B 23 21.(12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC,AC⊥BC,E在线段B1C1上，B1E= 3EC,AC=BC=CC1=4. (1)求证：BC⊥AC1; (2)试探究：在AC上是否存在点F,满足EF∥平面A1ABB1?若存在，请指出点F的位置，并 给出证明；若不存在，说明理由 B B 24 无敌原创·单元卷数学·必修第二册 22.(12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，BC1的中点为O,且AO⊥平 面BB1CC (1)证明：B1C⊥AB; (2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°，BC=1,求三棱柱ABCA1B1C1的高. A C B选ACD.】 三、l3.交【解析：a⊥(a-b),∴.a(a-b)=a2-ab=1 1Xy2Xcos<a,b>=0解得cos<a,6>=9a,6的夹 角为牙】 14.(-0,-3)U(-3,弓）【解析：若a与b的夹角为钝角， 则它们数量积小于0且两向量不为反向向量.所以ab=(2,6)· (一1，)=6以-2<0，解得X<分，若为反向向量，则a=ub(r<0), 解得入=一3，入≠一3.所以实数入的取值范围是 2=-4, <号且x≠-3.故答案为(-0，-3)U(-3,号）】 15.号【解析：因为a∥b,2m=4-,2m十n=4(m>0,n> 0+是=（品+号）2m+m=(10+兴+)≥ (10+2√丹0)=号当且仅当品-1，即a=m, m n ”号m=号时，等号成立】 16.2或5【解析：|a+b+c=√(a+b+c)7= √a2+b+c2+2a·b+2a·c+2b·c,因为平面向量a,b,c两 两的夹角相等，所以夹角有两种情况，即a,b,c两两的夹角为 0°或120°.当夹角为0°时，a·b=a·|b·cos0°=1，a·c= |a|·|cl·cos0°=3，b·c=|b|·|cl·cos0°=3， |a+b+c|=√2+12+32+2×1+2×3+2X3=5;当夹角 为120时，a…b=|a·b·cos120=-7a·c=a· 1c·cos120=1x3×(-号)=-2，b·c=|b1·lc· cos120°=1×3×（-2)=-2,1a+b+c= V1+1+3+2×(-7)+2×(-号)+2×(-号)=2， 所以|a+b+c=2或|a+b+c=5.】 四、17.解：1)z=1-)2-31+D=1-2i+-3-35 2-i 2一1 3-352=1与18-÷-号： 2-i (2-i)(2+i) 5 (2)因为az+b=1-ia,bER),所以a(-号-：)+6=1 42 无敌原创·单元卷数学·必修第二册 a+6=1, 所以（一号a十6）-号i=1-元所以 所以 9。=-1, a=最6总 18.解：1由1+)=2：可得=斧化简可得=至 1+i,故而|z|=|1+i=√+1严=√2 m2+5m+6>0, (2)x对应的点在第四象限，∴ 解得-2< m2-2m-15<0, m<5,故而当一2<m<5,复数之对应的点在第四象限 19.解：1)因为osCsin(A+若）-sin C sin(A-号）=2， 所以eosC sin(A-号+受）-sin C sin(A-号）=2，即 csCs(A-晋）-mCsn(A-晋）=2所以s(AHC-S)= 合，因为A+B+C=,所以A+C=x一B,所以ms(号-B) 合又0<B<,放一吾<号-B<号，所以号-B=子，即 B=子 （2由余弦定理，得心+c=60sB=合，即a2十2-ac= 2ac 2,又a+b+c=4,所以a2十c2-ac=[4-(a十c)],即(a十c)2 3ac=[4-(a+c)]2.整理得3ac+16=8(a+c),由面积为 之acsn受=9即ac=专，所以a+=号6=子 20解：(1)：2-0系“由正弦定理，得 √3a 出0C-化简得cosA-号A=音 √3sinA (2):∠B=吾C=x-A-B=三，可知△ABC为等腰三角 形，在△AMC中，由余弦定理，得AMP=AC2+MC2-2AC· MC0s120,即28=+（台）了-2×b×合×co0s120,解得 6=4△ABC的面积S=名0snC=是××9=4V5. 21.解：(1)由a+b与2a一b垂直，则(a+b)·(2a一b)=0, 所以2a2+(2k-1)a·b-b2=0.由a=(3,-1),b=(-1,2), 所以|a|=√10，|b|=√5，a·b=-5,所以20+(2k-1)· （-5)-5=0,解得=号 (2)a一b=(4,-3),所以a一b=5,所以与a一b同向的单位 三棱柱的三条侧棱，D错误.故选A.】 向量为号4，-3)=（号，-号）： 4.C[解析：设圆锥的高与底面半径分别为h、r,则h=8,产+ rh=8, 22.解：(1)连接EB,由五边形 h2=16,联立 解得h=2√2，r=2√2.故选C.】 2+h2=16, 内角和得∠D=∠C=120°，因 5.C【解析：补成直四棱柱ABCD-A1B,CD,则所求角为 为AE=AB,所以∠AEB= ∠BC1D,.BC1=√2，BD=√/22+1-2X2X1Xc0s60°=√3， ∠ABE=30°，所以∠DEB= CD=AB1=√5，易得C1D=BD+BC,因此cos∠BCD= ∠CBE=60°，则四边形 BCDE为等腰梯形，在△ABE 器-滑平故选c1】 CD5 中，AB=AE=3,由余弦定理得BE=AE十AB-2AE· 6.C【解析：在棱长为2的正方 ABcos120°=27，∴.BE=3√3，过C点作CM⊥BE于点M,可 B 体ABCD-A1B1CD,中，AD的 得BM=BC.cos60°-3y5,CD=BE-2BM=3y3 中点是E,过点B1且与平面A 4 2 BE平行的正方体的截面，则截 (2)由Sm=之·AB·AE·血12四-9，又五边形ACDE 面是一个对角线分别为正方体 的面积sc[6.0).5u∈[5E,27y).设Bc 体对角线和面对角线的菱形，则 D HI=2√2，B1D=2√3，HI⊥B1D,则截面HDIB:面积S= x,则SE=号×(BE+CD)XCM=合×(33+3F-)× 合HIBD=2G.故选C】 15<6V3x-￡<27，解得3≤x<3 7.C[解析：如图所示，DF∥ BC,A正确；BC⊥PO,BC⊥PE, 5V3,又DC=BE-2BM=3√3-x>0,即x<3V3,.BC的取 可得BC⊥平面PAE,从而得 密 值范围是[√5,3√3) DF⊥平面PAE,B正确；PO⊥ D 平面ABC,则平面PAE⊥平面 第三次月考检测 E ABC,D正确.故选C.】 8.C[解析：连接AD,,在正方体ABCD-A1B,C1D1中，M是 一、L.A【解析：a,B表示两个不同的平面，直线mCa,m∥p, A1D的中点，所以M为AD1的中点，又N是D1B的中点，所 不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平 以MN∥AB,又MN中平面ABCD,ABC平面ABCD,所以 面相交，需要有另一条和它相交的直线也平行于平面，当两个 MN∥平面ABCD.因为AB不垂直BD,所以MN不垂直 平面平行时，一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定 BD,则MN不垂直平面BDD1B1,所以B,D不正确；在正方体 存在m∥3，.“a∥3”是“m∥的充分不必要条件.故选A.】 ABCD-A1BCD中，AD⊥A:D,AB⊥平面AA1DD,所以 2.C[解析：设△ABC为斜边为2的等腰直角三角，将其绕 AB⊥AD,AD∩AB=A,所以AD⊥平面ABD,DBC平 直角边旋转一周形成圆锥，则AC=BC=√2，则圆锥的底面圆 面ABD1,所以A,D⊥DB,且直线AD,DB是异面直线，所 的半径为巨，高为v瓦，所以其体积为号×x×(2)×,巨= 以A错误，C正确.故选C.] 二、9.AD[解析：由m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同 22r.故选C.] 3 的平面，对于A,若m⊥a,n⊥a,则由线面垂直的性质定理得 3.A[解析：两两相交且不交于同一点的三条直线有三个不 m∥n,A正确；对于B,若m∥n,m∥a,则n∥a或nCa,B错 同的交点，且三个交点不共线，则确定一个平面，A正确；当三 误；对于C,若mCa,nCB,则m,n相交、平行或异面，C错误； 个点共线时，不能确定一个平面，B错误；当这个点在直线上 对于D,若a∥β，mCa,nCB,则m∥n或m,n是异面直线，D 时，不能确定平面，C错误；互相平行的三条直线不共面时，如 正确.故选AD.] 10.ACD[解析：如图，点C与点 CG) G重合，则CD与GH相交，A正 确；在正方体中，CE∥DF且CE DF,故四边形CDFE为平行四边 形，∴.CD∥EF,则CD,EF共面，B B(F) 错误；因为AB∩EF=B,故AB, EF共面，C正确；由图可知EF,GH不在同一个平面，且EF, GH既不平行也不相交，∴.EF,GH为异面直线，D正确.故 选ACD.J 11.ABD[解析：③是假命题，直线I与m可能相交，可能异 面，也有可能平行.故选ABD.】 12.BCD[解析：连接AC与BD 设AC∩BD=O,则O为正方形 ABCD的中心，连接EF,根据正棱 锥的性质可知EF必过点O,即 製 EF∩AC=O,所以E,F,A,C四点 共面，所以AE,CF共面，A错误： 显然E,B,A,C四点不共面，故直线AE与BC为异面直线，C 正确；因为AD∥BC,ADC平面ADE,BC丈平面ADE,所以 地她 BC∥平面ADE,依题意AB=BC=CD=AD=EB=ED n 北 EA=EC=FA=FB=FC=FD=a,所以AC=BD=√2a,所以 BD=DE2十BE,即△BDE为等腰直角三角形，所以OE= OF-号，即四边形AFCE为平行四边形，所以AE∥CR, 长 AEC平面ADE,CF￠平面ADE,所以CF∥平面ADE,又 BC∩CF=C,BC,CFC平面BCF,所以平面ADE∥平面 BCF,BE确：显然0E=OF=0B=OD=0C=0A=号a,则 O即为外接球的球心，外接球的半径R=写。，所以外接球的 2 体积V=专R-号 πa3,D正确.故选BCD.】 三、13.xr2.a+b 2 【解析：再去一个全等的几何体，倒置拼接 可得一个圆柱体，所得圆柱体的底面半径为，高为，故所 求几何体的体积为号·2(a十b).】 14.16π[解析：由题意，设外接球O的半径为R,则OP QA=R,AB=ER,则正四棱锥P-ABCD的体积为V=号S%= 号×WR)×R=9,解得R=2,所以球O的表面积为S 4πR2=4π×22=16π.] 15.③⑤②⑤[解析：(1)由两个平面平行，其中一个平面内 的任一条直线都平行于另一平面，所以a∥β，，mCa,可得m∥ B,选③⑤.(2)由若一条直线与两个平行平面中的一个垂直， 则它也必垂直于另一个平面，因此由a∥B,m⊥a,可得m⊥β， 选②⑤.】 16.①②④[解析：①取 CD中点F,连接MF,BF, D 则MF∥DA,BF∥DE, .平面MBF∥平面ADE, .MB∥平面A1DE.由 ∠ADE=∠MFB,MF=AD=定值，FB=DE=定值，由 余弦定理可得BMF=MF+FB2-2MF·FB·cos∠MFB, 所以BM是定值，①正确；②，B是定点，∴.M是在以B为球 心，MB为半径的球上，②正确；③设A1在平面ABCD中的射 影为H,H在AF上，A1C在平面ABCD内的射影为CH,而 CH与DE不垂直，存在某个位置，使DE⊥AC,③错误； ④取CD中点F,连接MF,BF,则平面MBF∥平面A:DE, ④正确.故正确的命题有①②④.】 四、17.解：由题意知所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台 下底面、侧面和一半球面.S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底= 25元，故所求几何体的表面积为68x,由Va台=号×[x×2”十 VX2XGX+xX]X4=2Vm-音xx2×号-9x, 16140 所以，旋转体的体积为V台一V=52x一3=3c》. 18.证明：(1)连接BD,MO,在平行四 边形ABCD中，O为AC,BD的中点， :M为PD中点，∴.PB∥MO.又 .PB中平面ACM,MOC平面ACM, .∴.PB∥平面ACM. (2).∠CDA=45°，且AD=AC=1, ∴.∠DAC=90°，即DA⊥AC..PO⊥ 平面ABCD,ADC平面ABCD,∴.PO⊥AD.,AC∩PO=O, AC,POC平面PAC,.AD⊥平面PAC.又.ADC平面 PAD,.平面PAD⊥平面PAC 19.(1)证明：设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD 为矩形，所以O为BD的中点.又E为PD的中点，所以EO∥ PB.EOC平面AEC,PB吨平面AEC,.PB∥平面AEC. (2)解：V=号×号×PAX ABXAD:=gAB,由V3 ,可得AB=是作AHL PB交PB于点H.由题设 知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH,因为PB∩BC=B,所以 H,由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥ AH1平面PBC.又AH=PAAB=3厘，所以点A到平 BC.又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB=60°，所 PB 13 面PBC的距离为33 以△CBB,为等边三角形.又BC=1,可得OD=尽，由于AC1 13 20.(1)证明：取BB1的中点 AB,所以OA=BC=合由OH·AD=OD·OA,且AD E,连接CE,BC,交于点O, VOD+0m=只，得OH=吾又0为B,C的中点，所以 连接AO,AE,因为ABCB1B 是正三棱锥，所以三角形 点B,到平面ABC的距离为√T,故三棱柱ABCA,B,C的 7 BBC为正三角形，所以O 为三角形BB:C的中心，所以AO⊥平面BCB,所以AO⊥ 高为四 BB1.因为OE⊥BB1,且OE∩AE=E,所以BB1⊥平面ACE, 所以BB⊥AC.又CC1∥BB1,所以AC⊥CC1. 第四次月考检测 (2)解：因为BB∥CC,异面直线AB与CC所成的角为号， -、1.A 所以∠ABB=牙又ABCB:是底面边长为2的正三棱锥， 【解析：依题意可知事件A的频率为号=号，概率为 1 所以△ABB1为正三角形，所以AB1=BB1=2.连接OB1,则 .故选A1 0B=2,所以A0=VA-08=√2-(2 2.C[解析：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点 的横坐标，则众数是12.5，中位数是把频率分布直方图分成两 25所以V吉A0:8m-吉×25×号×2X5 个面积相等部分的平行于y轴的直线的横坐标，第一个矩形 3 的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分 22,所以Vs=Vs=V,-2 3 3 成3：2即可，中位数是13，平均数为7.5×0.2十12.5×0.5+ 21.(1)证明：AA1⊥平面ABC,BCC 17.5×0.3=13.故选C.1 G 平面ABC,.BC⊥AA1.又，BC⊥AC, 3.B[解析：由题意知A,B为不可能事件，AUB表示向上的 AA1,ACC平面AACC,AA∩ g1 点数是1,23,45，所以P(AB)=0,P(AUB)=吾，事件A与 AC=A,.BC⊥平面AA,CC.又AC1C 事件B是互斥事件，不是对立事件.故选B.] 平面AACC,.BC⊥AC1. 4.D【解析：由扇形图，知成绩前200名的学生中，高一人数 (2)解：存在.当AF=3FC时，FE∥平 F B 比高二人数多200×(45%一30%)=30，A正确；由条形图知 面A1ABB1.理由如下：证明：如图，在平面A1BC内过E作 高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此前 EG∥AC1交AB于点G,连接AG.:BE=3EC1,.EG= 子AC.又AF/AC且AF=AG,∴AF∥BG且AF= 100名中，高一人数为200×45%×2=45<50，B正确：成绩 第1一50名的学生中，高一人数为200×45%×0.2=18，因此 EG,∴.四边形AFEG为平行四边形，∴.EF∥AG.又EF亡平面 高三最多有32人，C正确；第51一100名的学生中，高二人数 A1ABB1,AGC平面A1ABB1,∴.EF∥平面A1ABB1· 不确定，无法比较，D错误.故选D.] 22.(1)证明：连接 BC1,则O为BC1与 5.B【解析：P(甲)=日，P(乙)=名，P(丙)=希，P(T) BC的交点，因为侧 是=言P甲丙)=0时P甲)P丙).P甲T)=高=P甲)PTD, 面BBCC为菱形， D 所以BC⊥BC,又 P(乙丙)=36≠P(Z)P(丙)，P(丙丁)=0≠P(T)P(丙).故 AO⊥平面BB,CC, 选B.】 故BC⊥AO,B1C⊥平面ABO.由于ABC平面ABO,故B1C⊥ 6.C[解析：记零件或系统X能正常工作的概率为P(X),该 AB. 系统正常工作的概率为P{[(AB)UC]∩D}=P[(AB)UC] (2)解：作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为 P(D)=[1-P(AB)P(C)]P(D)=(1-P(AUB)P(C))P(D)= 43