第2次月考检测-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册单元测试卷

数学 第二次月考检测 (满分150分，时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.已知复数等于 A+号 c号- 1+i D.2+2 2已知复数：清足-二号，则在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知正方形ABCD的中心为O,且其边长为2，则(OD-OA)·(BA+BC)等于 数 A.1 B.2 C.3 D.4 4.在△ABC中，角A,B,B所对的边分别为a,b,c,A=60°，b=2,sinC=4sinB,则a的值为 A.3√7 B.2√6 C.52 D.213 如 助g 5.在正三角形ABC中，D是AC上的动点，且AB=3,则BD·BC的最小值为 邻 A.9 知 R c留 D号 器 6.设在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C十ccos B=asin A,则△ABC的形状 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 7.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,E为线段AB的中点， D庐=FC,BC=2AD=4,∠ABC=60,则B.C等于 A.-12 B.-10 C.-8 D.-6 8.设锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若A=否a=√5，则B十2+bc的取值范 围为 A.(1,9] B.(3,9] C.(5,9] D.(7,9] 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.设之(1一i)=2十i,则下列叙述中正确的是 A:的虚部为- B-- C.1z1=10 2 D.在复平面内，复数之对应的点位于第四象限 10.设1，z2是复数，则下列说法中正确的是 () A.1一22=一22 B.12=1·z2 C.若12∈R,则1=2 D.若1一2=0，则=2 11.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c一b=2 bcos A,则下列结论正确的有 () A.A=2B BB的取值范围为(0，平) C.分的取值范围为(2,2) Daa十2nA的取值范丙为5,3 。1 12.对于给定的△ABC,其外心为O,重心为G,垂心为H,则下列结论正确的是 AAò.A店=号A B.OA.OB=OA OC=OB.OC C.过点G的直线1交AB,AC于E,F,若A它=入A店，A庐=uAC,则}+1=3 λ4 一十Ad 一共线 D.AHTAB cos B ACIcos 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知a=1,|b|=√2，且a⊥(a一b),则向量a与向量b的夹角为 14.已知向量a=(2,6),b=(一1，λ)，若向量a与向量b的夹角为钝角，则入的范围是 15.已知向量a=(m,1),b=(4-n,2),m>0,m>0,若a/b,则+8的最小值 16.若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且a=1,b=1,c=3,则a十b十c= 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10分)已知复数2=1-)-31+D,且a2十6=1-(a,b∈R). 2-i (1)求x; (2)求a,b的值. 19 18.(12分)(1)设复数x满足(1十)z=2i,求|z|; (2)已知复数之=(m2+5m十6)+(m2一2m一15)i,当实数m为何值时，复数之对应的点在第四 象限。 19.(12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别a,b,c,cos Csin(A+)-sin Csin(A-牙）=2 (1)求B: (2)若△ABC的周长为4，面积为号，求6 20.(12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b-3c=osC √3a cosA· (1)求角A的值； (2)若角B=否，BC边上的中线AM=2V7,求△ABC的面积. 20无敌原创·单元卷数学·必修第二册 21.(12分)已知a=(3,-1),b=(-1,2). (1)确定实数k的值，使a十b与2a一b垂直； (2)求与a一b同向的单位向量. 22.(12分)如图所示，在平面五边形ABCDE中，已知∠A=120°，∠B=90°，∠C=120°，∠E=90°， AB=AE=3 念 )当8C=2时，求cD, 子 (2)当五边形ABCDE的面积S∈「65,93)时，求BC的取值范围. D E C(2)Sm=SaAe+SAm=号ACx BCX sin∠ACB+ACX CDXsin∠ACD,其中sin∠ACB=sin∠ACD,故而可得SAD 1 ACX (BC+CDsn∠ACB=号X?BDX号=7，解得BD 2 Γ21 AC AD 5.在△ACD中，由正弦定理可得n ZADB-sin乙ACD,AD- 7 =2√2.故而在△ABD中，由余弦定理可得AB2= 7√2 10 AD+BD2 -2 KADX BDeos∠ADB=8+25-20V2×￥2 10 29.故而可得AB=√29. 21.解：(1)选①：因为a=√3 csin A-acos C,所以sinA=√3sinC sinA-sin Acos C,因为sinA≠0，所以W3sinC-cosC=1,即 製 sin(c-吾)）=之，因为0<C<,所以-吾<C-吾<晋，所 以C-吾=若，即C=子 选②：因为(2a-b)sinA+(2b-a)sinB=2 csin C,所以(2a 如 n b)a+(2b-a)b=2c2,即a2+-c2=ab,所以cosC= 2ab 2,因为0<C<x,所以C=苓 (2)由(1)可知C=号，在△ABC中，由余弦定理得a2+ 2 abcos C=3,即a2+b-ab=3,所以(a十b)2-3=3ab≤ 3(a十b,所以a十b区2尽，当且仅当a=b时等号成立，所以 4 a+b+c≤3√3，即△ABC周长的最大值为3√/3， 2.解：1)因为5mB=2平，且B为纯角，所以0sB √1-sin2B= sin C=sin(A+B)=sin Acos B+ 7 cosAsinB,且A=吾，所以smC=合×(-牙)+号× -,由正孩定鞋可知品 7 snC=2R,所以AB=2 Rsin Ca 4X2_2V2I 14 (2):|BC1=2 RX sin A=2,由正弦定理可得1BA|= 4sin(g-B),Bi·BC=|Bi1·1Bc1cosB= 8sin(-B)cos B-8cos B(c0s B sin B-4 cosB+ 43sin Bcos B=2+2cos 2B+23sin 2B=4sin (2B+)+ 2,“Be(受，)）∴.2B+石∈(，15)sm(2B+石)∈ [-1,-号)，所以BA·B心的取值范围为[-2,0). 第二次月考枪测 -1A解析得-保=9号-告=受+台故 2 选A.] 2.C 【解析：因为-二号，所以-异 1-i 2动会+=-号-日所以复数 (1-i)(-2-i) 乏在复平面内对应的点为（一号，一号），位于第三象限.故 选C.】 3.D[解析：因为正方形ABCD的边长为2，所以AD=2,BD= 2√2，所以(O亦-OA)·(BA+BC)=AD·BD=2X2√2· c0s45°=4.故选D.1 4.D[解析：A=60°，b=2,sinC=4sinB,可得c=4h=8,∴.由余 弦定理可得a=√+2-2hc0sA=√2+8-2X2X8X2 2√13.故选D.] 5.D【解析：由已知设CD=ACA,则0≤A≤1，则BD=BC+ CD=BC+xCA,又正三角形ABC的边长为3，所以BD·BC (成+AC.-成+a成os(x-0=9-号 所以当X=1时，B方·B心取得最小值号.故选D.】 6.B[解析：因为bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦定理可 sin Bcos C++sin Ccos B=sin2A,sin(B+C)=sin2A,sin A= sinA,所以sinA=1,A=受，即为直角三角形，放选B.】 7.B【解析：在等腰梯形 A ABCD中，分别过点A,D 作AM,DN垂直于BC于 点M,N,则MN=AD=2, BM=CN=1.因为∠ABC= 60°，所以AB=CD=2,因为E为线段AB的中点，D市 元所以萨.成=（心+号市·(2i-心）=号脑· BC-BC+号Ci.BA-号ci.B心=号×2X4×os60 4+号×2X2Xcs60-号X2X4Xc0s120=2-16+4十 [0<2B<受， A正确；， 若<B<平，子<A<受，B错 16=-10.故选B.1 0Kx-3B<受， 8D[解析：因为A=吾a,由正弦定理可得品A 5 误：号-盟合22B=2osB∈(W2,,C错误： sin B sin B 2 B+2如A-份段+2如A=+ 1 sin Bsin A 2= sin B sin(-B) 则有=2sinB,c=2sin(5-B）, 2nA=+2nA,又号<A<号，9<mA<1,令 0<B<受， 晋< =nA(9<<)小，则f0)=是+2a(<<)由 由△ABC的内角A,B,C为锐角，可得 -BK受 0<3 0=+2在：(9)上单潤适增又（停）店 B<受，由余弦定理可得a2=:十-26 e cos A,即3=：+ 2-c,因此有B++c=2x+3=8 3sin Bsin(-B）+3 2x9-5,1)=+2X1=3BaA+2mA- 43sin B cos B+4 sin'B+3=23sin 2B-2cos 2B+5=5+ 品A+2sinA∈(，3)，D正确故选AD】 4sn(2B-吾），音<2B-吾<g,合<m(2B-吾)≤1， 12.ACD[解析：如图，设AB中 点为M,则OM⊥AB,|AO1· 2<4sin(2B-)≤4，B+2+bc∈(7,9].故选D.] cos∠OAM=|AM:Aò.AB= M [解析：由之(1一i)=2+i,得之= 2+1= 1Aò1|AB|cos∠OAB=|AB1· 二、9.BC 1-i (|AO1cOs∠OAB)=|AB|· 8±9十书-1+1-号+号4.则：的虚部为受A错误： (1-i)(1+) 2 应1-之A,A正确：O耐· 2 =之-是B正确：l=√（合）+（号）=四，c正 O苏=OA.O心等价于OA·(oi O心)=0等价于OA·CB=0,即 确；复数：对应的点（分，是）位于第一象限，D错误.故 OA⊥BC,对于一般三角形而言， 选BC.】 O是外心，OA不一定与BC垂直， 10.ABD[解析：设1=a十bi,z2=c十di,1-22=(a一c)一 E G 比如直角三角形ABC中，若B为 (b-d)i,-2=a一bi一(c-di)=(a-c)-(b-d)i,A正确； B 直角顶点，则O为斜边AC的中 z2=ac-bd+(ad+bc)i=V(ac-bd)+(ad+bc)= 点，OA与BC不垂直，B错误；设BC的中点为D,则AG √(a+b)(c+d,||·|2|=√a2+F.√e+d= 号访-专成+ò=号（只+）-动应+， √(a2+6)(c2+d),B正确；当之1=i,22=-4i时，之1=4， ≠五，C错误；|a一2|=0，|(a-c)+(仍-d0i川= :E,FG三点共线，小员+=1，即}十女=3，C正确： √(a-c)}2十(b-d=0,a=c,b=d,21=x2,=,D正确.故 A店 选ABD.J (6。小成高。蕊高。 11.AD[解析：.c一b=2 bcos A,∴.由正弦定理可得sinC AB].BCL6Os(-B ACLBClcos C-+ AB cos B ACI cos C sin B=2sin Bcos A,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+ AB AC cos Asin B,.'.sin Acos B++cos Asin B-sin B=2sin Bcos A, BC=0,Aco8 BACI cos C与BC垂直，又A方 sin Acos B-sin B=sin Bcos A,.'.sin Acos B-cos Asin B= BC,.. AB sin(A-B)=sinB.,'A,B,C为锐角，∴.A-B=B,即A=2B, 1ABI cos B ACC与A共线，D正确，故 41 选ACD.】 三、l3.交【解析：a⊥(a-b),∴.a(a-b)=a2-ab=1 1Xy2Xcos<a,b>=0解得cos<a,6>=9a,6的夹 角为牙】 14.(-0,-3)U(-3,弓）【解析：若a与b的夹角为钝角， 则它们数量积小于0且两向量不为反向向量.所以ab=(2,6)· (一1，)=6以-2<0，解得X<分，若为反向向量，则a=ub(r<0), 解得入=一3，入≠一3.所以实数入的取值范围是 2=-4, <号且x≠-3.故答案为(-0，-3)U(-3,号）】 15.号【解析：因为a∥b,2m=4-,2m十n=4(m>0,n> 0+是=（品+号）2m+m=(10+兴+)≥ (10+2√丹0)=号当且仅当品-1，即a=m, m n ”号m=号时，等号成立】 16.2或5【解析：|a+b+c=√(a+b+c)7= √a2+b+c2+2a·b+2a·c+2b·c,因为平面向量a,b,c两 两的夹角相等，所以夹角有两种情况，即a,b,c两两的夹角为 0°或120°.当夹角为0°时，a·b=a·|b·cos0°=1，a·c= |a|·|cl·cos0°=3，b·c=|b|·|cl·cos0°=3， |a+b+c|=√2+12+32+2×1+2×3+2X3=5;当夹角 为120时，a…b=|a·b·cos120=-7a·c=a· 1c·cos120=1x3×(-号)=-2，b·c=|b1·lc· cos120°=1×3×（-2)=-2,1a+b+c= V1+1+3+2×(-7)+2×(-号)+2×(-号)=2， 所以|a+b+c=2或|a+b+c=5.】 四、17.解：1)z=1-)2-31+D=1-2i+-3-35 2-i 2一1 3-352=1与18-÷-号： 2-i (2-i)(2+i) 5 (2)因为az+b=1-ia,bER),所以a(-号-：)+6=1 42 无敌原创·单元卷数学·必修第二册 a+6=1, 所以（一号a十6）-号i=1-元所以 所以 9。=-1, a=最6总 18.解：1由1+)=2：可得=斧化简可得=至 1+i,故而|z|=|1+i=√+1严=√2 m2+5m+6>0, (2)x对应的点在第四象限，∴ 解得-2< m2-2m-15<0, m<5,故而当一2<m<5,复数之对应的点在第四象限 19.解：1)因为osCsin(A+若）-sin C sin(A-号）=2， 所以eosC sin(A-号+受）-sin C sin(A-号）=2，即 csCs(A-晋）-mCsn(A-晋）=2所以s(AHC-S)= 合，因为A+B+C=,所以A+C=x一B,所以ms(号-B) 合又0<B<,放一吾<号-B<号，所以号-B=子，即 B=子 （2由余弦定理，得心+c=60sB=合，即a2十2-ac= 2ac 2,又a+b+c=4,所以a2十c2-ac=[4-(a十c)],即(a十c)2 3ac=[4-(a+c)]2.整理得3ac+16=8(a+c),由面积为 之acsn受=9即ac=专，所以a+=号6=子 20解：(1)：2-0系“由正弦定理，得 √3a 出0C-化简得cosA-号A=音 √3sinA (2):∠B=吾C=x-A-B=三，可知△ABC为等腰三角 形，在△AMC中，由余弦定理，得AMP=AC2+MC2-2AC· MC0s120,即28=+（台）了-2×b×合×co0s120,解得 6=4△ABC的面积S=名0snC=是××9=4V5. 21.解：(1)由a+b与2a一b垂直，则(a+b)·(2a一b)=0, 所以2a2+(2k-1)a·b-b2=0.由a=(3,-1),b=(-1,2), 所以|a|=√10，|b|=√5，a·b=-5,所以20+(2k-1)· （-5)-5=0,解得=号 (2)a一b=(4,-3),所以a一b=5,所以与a一b同向的单位 三棱柱的三条侧棱，D错误.故选A.】 向量为号4，-3)=（号，-号）： 4.C[解析：设圆锥的高与底面半径分别为h、r,则h=8,产+ rh=8, 22.解：(1)连接EB,由五边形 h2=16,联立 解得h=2√2，r=2√2.故选C.】 2+h2=16, 内角和得∠D=∠C=120°，因 5.C【解析：补成直四棱柱ABCD-A1B,CD,则所求角为 为AE=AB,所以∠AEB= ∠BC1D,.BC1=√2，BD=√/22+1-2X2X1Xc0s60°=√3， ∠ABE=30°，所以∠DEB= CD=AB1=√5，易得C1D=BD+BC,因此cos∠BCD= ∠CBE=60°，则四边形 BCDE为等腰梯形，在△ABE 器-滑平故选c1】 CD5 中，AB=AE=3,由余弦定理得BE=AE十AB-2AE· 6.C【解析：在棱长为2的正方 ABcos120°=27，∴.BE=3√3，过C点作CM⊥BE于点M,可 B 体ABCD-A1B1CD,中，AD的 得BM=BC.cos60°-3y5,CD=BE-2BM=3y3 中点是E,过点B1且与平面A 4 2 BE平行的正方体的截面，则截 (2)由Sm=之·AB·AE·血12四-9，又五边形ACDE 面是一个对角线分别为正方体 的面积sc[6.0).5u∈[5E,27y).设Bc 体对角线和面对角线的菱形，则 D HI=2√2，B1D=2√3，HI⊥B1D,则截面HDIB:面积S= x,则SE=号×(BE+CD)XCM=合×(33+3F-)× 合HIBD=2G.故选C】 15<6V3x-￡<27，解得3≤x<3 7.C[解析：如图所示，DF∥ BC,A正确；BC⊥PO,BC⊥PE, 5V3,又DC=BE-2BM=3√3-x>0,即x<3V3,.BC的取 可得BC⊥平面PAE,从而得 密 值范围是[√5,3√3) DF⊥平面PAE,B正确；PO⊥ D 平面ABC,则平面PAE⊥平面 第三次月考检测 E ABC,D正确.故选C.】 8.C[解析：连接AD,,在正方体ABCD-A1B,C1D1中，M是 一、L.A【解析：a,B表示两个不同的平面，直线mCa,m∥p, A1D的中点，所以M为AD1的中点，又N是D1B的中点，所 不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平 以MN∥AB,又MN中平面ABCD,ABC平面ABCD,所以 面相交，需要有另一条和它相交的直线也平行于平面，当两个 MN∥平面ABCD.因为AB不垂直BD,所以MN不垂直 平面平行时，一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定 BD,则MN不垂直平面BDD1B1,所以B,D不正确；在正方体 存在m∥3，.“a∥3”是“m∥的充分不必要条件.故选A.】 ABCD-A1BCD中，AD⊥A:D,AB⊥平面AA1DD,所以 2.C[解析：设△ABC为斜边为2的等腰直角三角，将其绕 AB⊥AD,AD∩AB=A,所以AD⊥平面ABD,DBC平 直角边旋转一周形成圆锥，则AC=BC=√2，则圆锥的底面圆 面ABD1,所以A,D⊥DB,且直线AD,DB是异面直线，所 的半径为巨，高为v瓦，所以其体积为号×x×(2)×,巨= 以A错误，C正确.故选C.] 二、9.AD[解析：由m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同 22r.故选C.] 3 的平面，对于A,若m⊥a,n⊥a,则由线面垂直的性质定理得 3.A[解析：两两相交且不交于同一点的三条直线有三个不 m∥n,A正确；对于B,若m∥n,m∥a,则n∥a或nCa,B错 同的交点，且三个交点不共线，则确定一个平面，A正确；当三 误；对于C,若mCa,nCB,则m,n相交、平行或异面，C错误； 个点共线时，不能确定一个平面，B错误；当这个点在直线上 对于D,若a∥β，mCa,nCB,则m∥n或m,n是异面直线，D 时，不能确定平面，C错误；互相平行的三条直线不共面时，如 正确.故选AD.]