第1次月考检测-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册单元测试卷

数学 第一次月考检测 (满分150分，时间120分钟) 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.下列结论，正确的个数为 (1)若a,b都是单位向量，则a=b (2)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 (3)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 (4)直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 A.1 B.2 C.3 D.4 数 2.设A(1,3),B(-2,-3),C(x,7),若AB∥BC,则x的值是 A.18 B.15 C.3 D.0 3.在△ABC中，A=45°，B=60°，a=10,则b等于 地如 的区 A.5√2 B.10√2 C.06 D.5√6 3 艇 4.已知平面向量a=(1,一2)，b=(2,1),c=（一4，一2)，则下列结论中错误的是 烘 器 A.向量c与向量b共线 B.若c=入1a十λ2b(入1，λ2∈R),则入1=0，λ2=一2 C.对同一平面内任意向量d,都存在实数k1,k2,使得d=k1b十k2c D.向量a与向量b可以做该平面内的一组基底 5.已知A,B,C三点的坐标分别为A(1,3),B(一5,1)，C(7,λ)，若AB⊥AC,则入等于 A.14 B.-14 C.15 D.-15 6.若非零向量a,b满足a=3b,(2a十3b)⊥b,则a与b的夹角为 A. 6 B晋 C.2 3 D.5x 6 7.G是△ABC的重心e,6c分别是角AB,C的对边，若aGi+6G成+号GC-0,则角A等于 A.90° B.60° C.45° D.30 8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2 csin C=(a十b)(sinB-sinA),则当角C 取得最大值时，B等于 A B C. π D.3 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表示出来的是 ( A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(2,3) 10.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c.下面四个结论正确的是 A.a=2,A=30°，则△ABC的外接圆半径是4 B若oAB则A=46° C.若a2+b2<c2,则△ABC一定是钝角三角形 D.若A<B,则cosA<cosB 11.设P是△OAB内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是 () A.O币=号oA+oi B.OP0B c.0币=oi+}Ai D.O-2oi+4A店 12.已知O是△ABC内一点，且OA+OB+OC=0,点M在△OBC内（不含边界），若AM=AAB+ μAC,则λ十2μ的值可能为 () A号 B号 C. D 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量a=(m,1),b=(1,-2),c=(2,3),若a-b与c共线，则实数m= 14.在四边形ABCD中，AB-DC,且AC·BD=0,则四边形ABCD的形状是 15.已知△ABC的面积为S,且|BC2=CA·CB+2S,则B= 16.△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中C为钝角，且c一b=2 bcos A,那么cosA的范 围是 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(x,1). (1)u=a十2b,v=2a-b,且u∥，求x; (2)若a,b的夹角为锐角，求实数x的取值范围. 17 18.(12分)已知e,e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e,十e2,B元=一e十e2,EC=一2e,十 e2,且A,E,C三点共线. (1)求实数λ的值； (2)若e1=(2,1),e2=(2,一2)，求BC的坐标； (3)已知点D(3,5),在(2)的条件下，若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标. 19.(12分)某市一棚户区改造用地平面示意图如图所示.该区域是半径为R的圆面，圆面的内接 四边形ABCD是原棚户区建筑用地，测量可知AB=AD=4km,BC=6km,CD=2km. (1)求原棚户区建筑用地ABCD中对角线AC的长度； (2)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积. B D ·0 20.(12分)如图，在AABC中，点D在边BC的延长线上，∠CAD-至，AC-名，cas∠ADB=得 (1)求sin∠ACB的值； (2)若△ABD的面积为7，求AB的长， B D 18 无敌原创·单元卷数学·必修第二册 21.(12分)在①a=√3 csin A-acos C,②(2a-b)sinA+(2b-a)sinB=2 csin C这两个条件中任 选一个，补充在下列问题中，并解答 已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=√3，而且 (1)求∠C: (2)求△ABC周长的最大值. 22.(12分)在△ABC中，A=石，B为钝角，△ABC的外接圆半径R=2. I)若simB=2平.求SnC及边长AB, (2)求BA·BC的取值范围，最P(B)=合×(1-合-子)+(1-子-)×= P(C)=(1-子-之)×(1-号-子)=品设两人所付租 车费用之和大于或等于8元的事件为W,则W-A十B十C, ∴两人所付租车费用之和大于或等于8元的概率为P(W)= P(A)+P(B)+P(C)=6++=6 513119 22.解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能 的结果组成的样本空间2={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C), (B,D),(C,D)},共6个样本点.由于每个人被选到的机会均 等，因此这些基本事件的出现是等可能的.设A=“选到的2 人身高都在1.78以下”，则A={(A,B),(A,C),(B,C)},共3 个样本点.因此选到的2人身高都在1,78以下的概率为P= 名-合 (2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的样本 空间2={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B, E),(C,D),(C,E),(D,E)},共10个样本点.由于每个人被选 到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.设B一 “选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9) 中”，则B={(C,D),(C,E),(D,E)},共3个样本点.因此选到 的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的 3 概率为P=0 第一次月考检测 一、1.B[解析：对于(1)，单位向量的长度都是1，但方向可能 不同，错误：对于(2)，作用力和反作用力作用在不同的物体 上，其大小相同，方向相反，是一对共线向量，正确；对于(3)， 方向为南偏西60的向量与北偏东60°的向量方向相反，它们 是共线向量，正确；对于(4)，x轴，y轴只有方向，没有大小，因 而不是向量，错误.故选B.J 2.C[解析：由题意得，AB=(-3,一6)，BC=(x十2,10)， -日=8放选C】 sin 45sin 6sin60 3.D【解析：由正弦定理得10=，6 sin 450 10=5√6.故选D.】 4.C[解析：c=一2b,所以向量c与向量b共线，A正确；由 40 无敌原创·单元卷数学·必修第二册 ∫-4=+22 3=0, c=λ1a十A2b,可 解得 B正确； -2=-2λ1十λ2， x2=-2, 向量c与向量b共线，所以由平面向量的基本定理可知它们的 线性组合不能表示出同一平面内的任意向量，C错误；向量ā 与向量b不共线，所以可以做基底，D正确.故选C.】 5.D【解析：由题意可得AB=(-6,-2),AC=(6,A-3), :ABLAC,.AB.AC=-36-2(a-3)=0,A=-15.故 选D.】 6.C[解析：根据题意，设a与b的夹角为0，|b|=t,则|a= 31b=3t,若(2a+3b)⊥b,则(2a+3b)·b=2a·b+3b= 6rc0s0叶3r=0,即c0s0=-2,又由0<0<x,则0=经故 选C.j 7.D【解析：因为G是△ABC的重心，所以有GA+G第+G式= 0又aGi+6成+式=0，所以a:6:号=111，设 c=3,则有a=b=1,由余弦定理可得，osA=1+3-1=, 232 所以A=30°.故选D.] 8.D[解析：2 csin C=(a+b)(sinB一sinA)中利用正弦定 理，得2c2=(a十b)(b一a),即b2一a2=2c2,则由余弦定理得 cos C=tlc3a+6 2ab 4如b,由均值不等式得30+址≥ 4ab 23a·正=号，当且仅当b=a时等号成立，则易知角C 4ab 21 的最大值为吾.当b=3a时，3a2-a2=2c2,则a=c,所以A= C=吾，B=x-吾-吾=故选D】 二、9.BD[解析：根据a=入e1十ue2,(O,0)不能做基底，选项 A不能；(3,2)=λ(-1,2)十4(5，-2)，则3=-1+5μ，2= 2λ一2，解得，λ=2,4=1，选项B能；(3,5)∥(6,10)，选项C 不能；(3,2)=λ(2，-3)十：(2,3)，则3=2λ+24,2=一3λ+ 3,解得X=音以-是，选项D能，放选BD】 a 10.BC【解析：由正弦定理知nA=4=2R,所以外接圆半径 是2，选项A错误：由正弦定理及心一品B可得A b cos A 出君-1，即anA=1,由0<A<,知A=45,选项B正确： 因为c0sC=+,一C<0,所以C为钝角，△ABC一定是钝 2ab 角三角形，选项C正确：若A=若，B=平，显然cosA>cosB, 0<A<受， 选项D错误.故选BC.】 0<B<受， 11.AC[解析：对于O泸=λOA+O克，当入+4=1，A≥0，≥ (舍去).又C为钝角，所以由 解得0<A<受 0时，点P在线段AB上；当入十u<1,A>0,>0时，点P在 0<A+B<受 △OAB内；当u<0时，点P在△OAB外，可知P在△OAB A=2B, 内部，A选项成立；可知P在△OAB外部，故B选项不成立； 所以cosA的范国（合，1）】 因为0苏-号i+号成=号i+号ò+号成=号耐+ 四、17.解：(1)根据题意，向量a=(1,2),b=(x,1).则u=a十 2b=(1+2x,4),v=2a-b=(2-x,3),若u∥，则有3(1+2x)= 号Oi,可知P在△0AB内部，选项C成立：因为O亦-号Oi+ 4(2-,解得x=子 号A范=号Oi+号A0+号O成=-号Oi+号O成，可知P在 (2)若a,b的夹角为锐角，则a·b=x十2>0且2x≠1，解得x> △OAB外部，选项D不成立.故选AC.j 一2且x≠号，即实数x的取值范固为{xx>-2且x≠号. 12.ABC[解析：因为O是△ABC内一点，且OA+Oi+O心 18.解：(1)由已知AE=AB+B=e+(1+)e,又EC=-2e+ 0,所以O为△ABC的重心，M在△OBC内（不含边界），且当 e,A,E,C三点共线，则AE,EC共线，所以存在实数k使得 M与0重合时，A+2最小，此时Ai=AA应+：A衣=号× AE=kEC,即e1十(1十a)e2=一2ke1十e2,e1,e2不共线，所以 入 [2店+Aò]=号A+号A心，所以X=子=号，即A+ 1=一2k, ,解得 2u=1.当M与C重合时，A+2μ最大，此时AM=AC,所以入= 1+=k, 的 牛 0,H=1,即入+2μ=2.因为M在△OBC内且不含边界，所以取 (2)成=-6-号4，武-成+武=-30-74=-32,1） 8 开区间，即入十2u∈(1,2).故选ABC.】 三、13.3[解析：.向量a=(m,1),b=(1,-2),c=(2,3),.a一 22.-2》=(-1-20 b=(m-1,3.a-b与c共线号=号解得实数m=3.】 (3)由题意AD=BC,所以(3-xA,5-yA)=(-7,-2), 2 3-xA=一7，∫xA=10, 14.菱形【解析：因为AB=D心，所以AB∥DC.因为AC.BD 得 所以点A的坐标为(10,7). (5-y=-2,y=7, O,AB=DC,所以AC⊥BD,所以四边形为菱形.】 19.解：(1)∠ABC+∠ADC=180°，由余弦定理，得AC2=42+ 15.牙【解析：设角A,B,C所对的边分别为ab,c,1B心2= 62-2X4X6·cos∠ABC=42+22-2X2X4·cos∠ADC, CA.Ci+2S,.a2=ba·cosC+ab·sinC,.a=b·cosC+ cos∠ABC=合.∠ABC∈(0，)，∠ABC=60,∠ADC= b·sinC,由正弦定理得sinA=sinB·cosC+sinB·sinC 120°，AC=AB2+BC-2AB·BC·cos∠ABC=28,∴.AC= 又在△ABC中sinA=sin(B+C)=sinB·cosC+cosB·sinC, 2√7.故原棚户区建筑用地ABCD中对角线AC的长度为2√7km 则cosB·sinC=sinB·sinC,又C∈(0，x),sinC≠0，则 (2)由(1)知5m=号×4X6×sm60+号×2X4×sm120= cosB=sinB,则B=子.】 8√5(km)2.即原棚户区建筑用地ABCD的面积为8√3(km). 16.（分，1）【解析：在△ABC中，根据正弦定理，可将条件 20.解：Ios∠ADB-语sn∠ADB=7E.:∠CAD 10 c-b=2 bcos A化为sinC-sinB=2 sin Bcos A.把sinC= 牙∠ACB=+∠ADB,sm∠ACB=m(冬+∠ADB)= sin(A十B)=sin Acos B+cos Asin B代入整理得sin(A一B)= sinB.所以A一B=B或A一B十B=π，解得A=2B或A=π 号o∠ADB+号in∠ADB=手 (2)SaD=SaAE+SAm=合-ACx CX sim∠ACB+合ACX CDXsin∠ACD,其中sin∠ACB=sin∠ACD,故而可得SAMD LACX (BC+CD)sn∠ACB=3X?BDX专7，解得BD 2 AC AD 5.在△ACD中，由正弦定理可得inZADB-sin ZACD'AD- 21 =2√2.故而在△ABD中，由余弦定理可得AB2= 7√2 10 AD+BD-2 KADX BDeos∠ADB=8+25-20V2×￥2 10 29.故而可得AB=√29. 21.解：(1)选①：因为a=√3 csin A一acos C,所以sinA=√3sinC sinA一sin Acos C,因为sinA≠0，所以w3sinC-cosC=1,即 鞍 sin(c-吾）=是，因为0<C<x,所以-否<C-吾<餐，所 以C-吾=晋，即C=号 选②：因为(2a-b)sinA+(2b-a)sinB=2 csin C,所以(2a 识 b)a+(2b-a)b=2c2,即a2+b-c2=ab,所以cosC= +。-名，因为0<C<,所以C=奇 2ab 解 (2)由(1)可知C=号，在△ABC中，由余弦定理得a2+B- 2 abcos C=3,即a2+b2-ab=3,所以(a+b)2-3=3ab≤ 3a十b),所以a十b≤2尽，当且仅当a=b时等号成立，所以 4 a+b+c≤3√3，即△ABC周长的最大值为3√3. 2.解：(1)因为5如B=2平，且B为钝角，所以c0sB √/1-sin2B=- sin C=sin(A+B)=sin Acos B+ cosAsin B,且A=吾，所以smC=之×(-牙)+号× 29-受，由正弦定理可知品。-2R,所以AB=2 eRsinC- 7 4X2I_22 14 7 (2):|BC=2 RX sin A=2,由正弦定理可得|BA|= 4sin(g-B),Bi·BC=|Bi1·1BC1cosB= 8sin(g-B）osB=8cosB(分cosB+号sinB）=4cosB+ 43sin Bcos B=2+2cos 2B+23sin 2B=4sin (2B+)+ 2.Be(受，号）2B+晋∈(g,1g)sm(2B+晋)e [-1,一2)，所以BA·B心的取值范围为[-2,0) 第二次月考枪测 -、1.A 【解桥昌-名鹄=学=号+台故 2 选A.] 1-5 2.C 1-i 【解析：因为？=三，所以？=2千 22=一号+=-所以复数 (1-)(-2-i) 2在复平面内对应的点为(-号，一号)，位于第三象限.故 选C.] 3.D[解析：因为正方形ABCD的边长为2，所以AD=2,BD= 2√2，所以(OD-OA)·(BA+BC)=AD·BD=2X2√2· cos45°=4.故选D.】 4.D[解析：.A=60°，b=2,.sinC=4sinB,可得c=4h=8,∴.由余 弦定理可得a=VB+7-2hmsA=√2+8-2X2X8x号 2√13.故选D] 5.D[解析：由已知设CD=入CA,则0≤A≤1，则BD=BC+ Cd=B武+aCA,又正三角形ABC的边长为3，所以Bd·BC (B心+xCi).BC-|BC+aCA1 BCIeos(x-C)=9-号x, 所以当入=1时，B市·B心取得最小值号.故选D.】 6.B[解析：因为bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦定理可 sin Bcos C+-sin Ccos B=sin2A,sin(B+C)=sin2A,sin A= sinA,所以sinA=1,A=乏，即为直角三角形.故选B.】 7.B[解析：在等腰梯形 A ABCD中，分别过点A,D 作AM,DN垂直于BC于 点M,N,则MN=AD=2, BM=CN=1.因为∠ABC= 60°，所以AB=CD=2,因为E为线段AB的中点，DF= 寻元所以萨.成=（心+号·(2-）=号耐· B-B心+号ci.i-号Ci.心=号×2×4×os60° 4+2×2×2×c0s60°-4×2X4Xc0s120°=2-16+号+ 5 5 5 0<2B<2, A正确； 吾<B<平，号<A<受，B错 16=-10.故选B.】 0<-3B<受， 8D【解析：因为A=子a=尽，由正弦定理可得品A 3 误：号-盟合2BgB=2osB∈(2，，C错误： sin B sin B 2 古+mA-器+2mA-限只+ sin Bsin A 2= b sin B m(-B可) 则有6=2sinB,c=2sin(经-B）, 2nA=A+2sinA,又音<A<受∴9<血A<1,令 [0<B<受， =nA(9<<)小，则f)=是+2a(<<)由 由△ABC的内角A,B,C为锐角，可得 一B<2' 03 π -士+公在(，)上单调遥增义（学）立 B<受，由余弦定理可得a2=公十c2-2 e cos A,即3=份十 2-c,因此有++c=2x+3=8 Bsin Bsin(F-B)+3 2x9-5,f)=+2X1=3∴Ba+2mA- 4V3sin B cos B+4 sin2B++3=2V3sin 2B-2cos 2B++5=5+ 品A十2snA∈(，3)，D正确故选AD.】 4sin(2B-吾)吾<2B-吾<晋，<sin(2B-吾)≤1， 12.ACD[解析：如图，设AB中 点为M,则OMLAB,.|Aò1· 2<4sin(2B-日)≤4，B+c2+bc∈(1,9].故选D.】 cos∠OAM=|AM∴A0·AB= M 二、9.BC [解析：由之(1一i)=2+i,得之= 2+i= 1AO11ABos∠OAB=|AB1· 1-i (|AO1cOs∠OAB)=|AB|· 9书-生3=名+号，则：的虚部为受A错误： (1-)(1十i) 2 =之1创，A正确：0à· 2 =合-是，B正确：=√（合）+（受）=四，c正 O苏=Oi.O心等价于Oi·(O- OC)=0等价于OA·CB=0,即 确：复数：对应的点（侵，号）位于第一象限，D错误.故 OA上BC,对于一般三角形而言， 选BC.】 O是外心，OA不一定与BC垂直， 10.ABD[解析：设1=a十bi,2=c十di,1-2=(a一c)一 E G 比如直角三角形ABC中，若B为 (b-d)i,-2=a-bi-(c一di)=(a-c)-(b-d)i,A正确； B 直角顶点，则O为斜边AC的中 D z=ac-bd+(ad+bc)i=v(ac-bd):+(ad+bc)= 点，OA与BC不垂直，B错误；设BC的中点为D,则AG √a+b)(c2+d,|a|·|x2|=√a+·√c+正= 号市=子成+脑=号（只花+）=员花+市， √(a+6)(c2十d),B正确；当1=i,2=一4i时，2=4， ≠，C错误；|-=0,1a-c)+(亿-dDi川= :EF,G三点共线，小员+=1，即子+=3，C正确： √(a-c)+(b-d0=0,a=c,b=d,2=x2,石=，D正确.故 (m)迹底惑盛。 AB 选ABD.】 ABI cos B ACI cos C 11.AD[解析：：c-b=2 bcos A,由正弦定理可得sinC IA·BClcos(红-B)+lAC:BC cos C=1BC+ AB|cos B AC cos C sin B=2sin Bcos A,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+ AB AC cos Asin B,.'.sin Acos B+cos Asin B-sin B=2sin Bcos A, BACIos C与垂直， sin Acos B-sin B=sin Bcos A,.'.sin Acos B-cos Asin B= BC,.. AB AC sin(A-B)=sinB.,A,B,C为锐角，.A一B=B,即A=2B, AosB十Aclos c与i共线，D正确，故 47