第10章 概率学习检测-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册单元测试卷

数学 第十章学习检测 (满分150分，时间120分钟) 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.“某点P到点A(一2,0)和点B(2,0)的距离之和为3”这一事件是 A.随机事件 B.不可能事件 C.必然事件 D.以上都不对 1 2.某种彩票中奖的概率为10000，这是指 A.买10000张彩票一定能中奖 B.买10000张彩票只能中奖1次 C.若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖 鞍 D.买一张彩票中奖的可能性是10000 1 3.一个家庭有3个小孩，设这个家庭生男孩或女孩的概率均为)，则这个家庭有3个男孩的概率是 》 A. c D. 器 4.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7，两人考试相互独立， 则甲、乙两人都未达到优秀的概率为 () A.0.42 B.0.28 C.0.18 D.0.12 5.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的 概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品（甲级）的概率为 A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08 6.某城市一年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 不大于30 (30,60 (60,100 (100,110] (110,130 (130,140 概率P 品 告 吉 品 品 0 其中当污染指数T≤50时，空气质量为优，当50<T≤100时，空气质量为良；当100<T≤150 时，空气质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到良或优的概率为 A员 B号 c D.6 7.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是 A君 c D. 3 8.甲袋装有m个白球、n个黑球，乙袋装有n个白球、m个黑球(m≠n),现从两袋中各摸一个球， A=“两球同色”，B=“两球异色”，则P(A)与P(B)的大小关系为 () A.P(A)<P(B) B.P(A)=P(B) C.P(A)>P(B) D.视m,n的大小而定 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环.某人射击一次，设事件A=“中靶”；事件 B=“击中环数大于5”；事件C=“击中环数大于1且小于6”；事件D=“击中环数大于0且小于 6”,则错误的关系是 () A.B与C互斥 B.B与C互为对立 C.A与D互斥 D.A与D互为对立 10.甲、乙两人下棋，和棋的概率为号，甲获胜的概率为号，则下列说法错误的是 () A乙获胜的概率是日 B乙不输的概率是 C.甲输了的概率是号 D.甲不输的概率是号 11.若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是 () A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 12.已知袋中有大小相同的黑、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概 率不为号的是 () A.颜色相同 B.颜色不全相同C.颜色全不相同 D.无红球 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.下列试验是古典概型的为 ①从6名同学中选出4人参加竞赛，每人被选中的概率；②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率； ③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率. 14.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中 10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘有 条鱼 15.甲、乙两人进行射击游戏，目标靶上有三个区域，分别涂有红、黄、蓝三色，已知甲击中红、黄、蓝 三区域的概率依次是号，号日，乙击中红、黄，蓝三区线的概率依次是号，号，子，二人射击情况互 不影响，若甲、乙各射击一次，则二人命中同色区域的概率为 ,二人命中不同色区域的 概率为 .(本题第一空2分，第二空3分) 13 16.为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随 机调查，向被调查者提出两个问题： (1)你的学号是奇数吗？ (2)在过路口的时候你是否闯过红灯？ 要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第(1)个问题；否则就回答第 (2)个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”， 因为只有被调查本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答.如果被调查的600人（学号 从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 17.(10分)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一 个球. (1)一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果 (2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5分的概率. 14无敌原创·单元卷数学·必修第二册 18.(12分)将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于 桌面上，记第一次朝下面的数字为x,第二次朝下面的数字为y. (1)求满足条件“二为整数”的事件的概率， (2)求满足条件“x一y<2”的事件的概率. 19.(12分)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干 人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人） 高校 相关人数 抽取人数 A 18 x B 36 2 54 (1)求x,y; (2)若从高校B,C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率 都 器 20.(12分)某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表： 每批粒数 2 10 70 130 700 150020003000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 137017862709 发芽的频率 (1)请完成上述表格（保留3位小数）； (2)该油菜籽发芽的概率约为多少？ 15 21.(12分)随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走人大家的世界，共享汽车、共享篮球、 共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费 标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不 超过一小时还车的概率分别为子，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，子；两 人租车时间都不会超过三小时. (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8元的概率. 16无敌原创·单元卷数学·必修第二册 22.(12分)某小组共有A,B,C,D,E五名同学，他们的身高（单位：m)以及体重指标（单位：kg/m) 如下表所示： A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率； (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9) 中的概率。约是76.7分 (2)每个小矩形的面积乘其底边中点的横坐标的和为0.004× 10×40+50+0.006×10×50+60+0.02×10×6070+ 2 2 2 0.03×10×70+80+0.024×10×80+90+0.016×10× 2 2 90+100=76.2,即这50名学生的平均成绩约是76.2分. 2 第十章学习检测 一、1.B[解析：由于“某点P到点A(一2,0)和点B(2,0)的 距离之和必大于或等于4”，故这一事件是不可能事件.故 选B.1 好 2.D【解析：如果某种彩票的中奖概率为10000，则买10000 张这种彩票中奖仍然是随机事件，即买10000张彩票，可能有 多张中奖，也可能不中奖，排除A,B;若买9999张彩票未中 奖，则第10000张中奖也是随机事件，且发生概率仍然是 如 n 1000故C错误：这里的中奖概率为10000，是指买一张彩 北 1 票中奖的可能性是0O00,故D正确.故选D.】 3.A[解析：根据题意画树状图如下.∴.一共有8种等可能情 盟 长 况，“这个家庭有3个男孩的概率是日.故选A】 女 开始 男 男 、女 一男 _女 4.D[解析：甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7，两 人考试相互独立，.甲、乙两人都未达到优秀的概率为P (1-0.6)(1-0.7)=0.12.故选D.】 5.C[解析：记抽验的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事 件B,是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥，因而抽验产品 是正品（甲级）的概率为P(A)=1-P(B)一P(C)=1-5% 3%=92%=0.92.故选C.1 6.C[解析：空气质量为优、良、轻微污染彼此互斥，所求概率 为++号-号故选C】 3 7.C[解析：样本空间的样本点为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、 乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲 丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为P=号=子故 选C.] 8.A[解析：设A1=“取出的都是白球”，A2=“取出的都是黑 球”，则A1,A2互斥且A=A1UA2,P(A)=P(A1)十P(A2)= mn mn 2mn (m十n了+(m十n(m十m,设B,=“甲袋取出白球乙袋 取出黑球”，B2=“甲袋取出黑球乙袋取出白球”，则B1,B2互 m2 斥且B=BUB:,P(B)=P(B)+P(B:)=mFn+ (m+n=m+n.由于m≠n,故2m<m+心.故P(A)< n m2+n2 P(B).故选A.] 二、9.BCD[解析：事件B“击中环数大于5”和事件C“击中环 数大于1且小于6”不会同时发生，两事件互斥，但可能会同时 不发生，故不互为对立.事件A“中靶”与事件D“击中环数大 于0且小于6”会同时发生，不互斥，也不互为对立.故 选BCD.J 10.BCD【解析：甲、乙两人下棋，和棋的概率为号，甲获胜 的概率为写“乙我胜的概率是1一号-合-日，故A正确， 乙不输的概率是1一片=子，故B不正确：甲输了的概率是 1-合-合-日，故C不正确；甲不输的概率是号+号-名， 故D不正确.故选BCD.】 11.BCD[解析：对于A,“甲站排头”与“乙站排头”不可能同 时发生，是互斥事件，对于B,“甲站排头”时，乙可以“不站排 尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，对于C,“甲站排头” 时，乙可以“站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，对于 D,“甲不站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生， 不是互斥事件.故选BCD.] 12.BCD[解析：有放回摸取球3次，共27个样品点，其中颜 色相同的样本点有3个，其既率为号-日颜色不金相同的样 本点有24个，其概率为器-号：颜色全不相同的样本点有6 个，其概率为品=号：无红球的样本点有8个，其概率为品 、8 故选BCD.】 三、13.①②④[解析：在①中，从6名同学中选出4人参加 竞赛，每人被选中的概率，这个试验具有古典概型的两个特 (1)可知，样本空间的样本点为8个，所以P(A)=冬 征：有限性和等可能性，故①是古典概型：在②中，同时掷两枚 18.解：根据题意，可以用(x,y)来表示样本点，则样本空间2 骰子，点数和为6的概率，这个试验具有古典概型的两个特 {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), 征：有限性和等可能性，故②是古典概型；在③中，近三天中有 (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共 一天降雨的概率，没有等可能性，故③不是古典概型；④10人 站成一排，其中甲、乙相邻的概率，这个试验具有古典概型的 16个样本点.(1)记“号为整数”为事件A,则A=《(1,1), 两个特征：有限性和等可能性，故④是古典概型.] (2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4)},共8个样本 14.750[解析：设池塘约有n条鱼，则含有标记的鱼的概率 点，则P(A)=是= 为积，由题意得30×50=2，m=750.】 (2)记“x-y<2”为事件B,则B=(1,1),(1,2),(1,3), 15,品易【解析：设甲射中红、黄，蓝三色区域的事件分别 (1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4) 为A,A2,A,乙射中红、黄、蓝三色区域的事件分别为B, （,3),,4》,共13个样本点，则P(B)-号 2 B,A,则P(A)=号，PA)=号PA,)=号P(B)=言 19.解：1)由题意可得8一36六，所以x=1y=3. (2)记从高校B抽取的2人为b1,b2,从高校C抽取的3人为 P(B,)=立，P(B,)=冬.：二人射击情况互不影响，即相互 C1,C2,Cg,则样本空间2={(b1,b2),(b1,c),(b1,c2),(b,c), 独立，∴二人命中同色区域的概率为P(AB十AB十AB)= (b,c),(be,ce),(b2,c),(cc),(g,c),(c2,c)},共10个样 PA)·PB,)+PA:)P(B)+PA)P(B)=号×合+ 本点.设选中的2人都来自高校C的事件为X,则X= 号×号+号×子=品二人命中不同色区域的概率为 1ac),a©)，es》,共3个样本点.因此P(X)=哥 P(A:B2+A:B3+A2B+A2Bs+A3 B:+AsB2)=P(A). 故选中的2人都来自高校C的概率为品 P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+ 20.解：(1)填表如下： PA)PB)+PA)·P(B,)=号×号+号×+号× 每批 2 10 70 130 700 150020003000 粒数 名+号×+号×g+号×-易】 发芽的 2 4 9 60 116 637137017862709 16.60【解析：设闯红灯的概率为p,由已知中被调查者回答的 粒数 两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口的时候你是否 发芽的 1.0000.8000.9000.8570.8920.9100.9130.8930.903 闯过红灯？再由调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答 频率 第(1)个问题；否则就回答第(2)个问题，得回答“是”有两种情 (2)由(1)估计该油菜籽发芽的概率约为0.900. 况：正面朝上且学号为奇数，其概率为之×之=子：反面朝上 21.解：(1)甲、乙两人所付租车费用相同即同为2,4,6元，都付 且闯了红灯，其概率为分×久则回答“是”的概率为子十号 2元的概率B=×合=名，都付4元的概率P,=之×子 8器，解得p=0,1.所以估计闯过红灯的人数为60×0.1=60.】 日都付6元的概率B=(1-}-号)×(1-合-)-话 四、17.解：(1)一共有8种不同的结果，即2={（红、红、红）， “所付租车费用相同的概率为P=P十P:十P=名+名十 (红、红、黑)，（红、黑、红），（红、黑、黑），（黑、红、红），（黑、红、 5 16=16 黑)，（黑、黑、红），（黑、黑、黑） (2)设两人所付租车费用之和为8元、10元、12元的事件分别为A,B, (2)记“3次摸球所得总分为5分”为事件A,即A={(红、红 黑)，（红、黑、红），（黑、红、红）》，事件A包含3个样本点.由 CPA-×(1-2-)+号×+(1--2)×2= 39 品P(B)=×(1--4)+(1-4-2)×4=6 P(C)=(1--号)×(1-号-子)=设两人所付租 车费用之和大于或等于8元的事件为W,则W=A十B十C, ∴两人所付租车费用之和大于或等于8元的概率为P(W)= PA+P(B+PC)=是+是+六-是 22.解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能 的结果组成的样本空间2={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C), (B,D),(C,D)},共6个样本点.由于每个人被选到的机会均 等，因此这些基本事件的出现是等可能的.设A=“选到的2 人身高都在1.78以下”，则A={(A,B),(A,C),(B,C)},共3 个样本点因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P= 名-2 (2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的样本 空间2={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B, E),(C,D),(C,E),(D,E)},共10个样本点.由于每个人被选 到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.设B= “选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9) 中”，则B={(C,D),(C,E),(D,E)》,共3个样本点.因此选到 的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的 概率为P=0 3 第一次月考检测 一、1.B[解析：对于(1)，单位向量的长度都是1，但方向可能 不同，错误；对于(2)，作用力和反作用力作用在不同的物体 上，其大小相同，方向相反，是一对共线向量，正确：对于(3)， 方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量方向相反，它们 是共线向量，正确：对于(4)，x轴，y轴只有方向，没有大小，因 而不是向量，错误.故选B.] 2.C[解析：由题意得，AB=(-3,-6),BC=(x+2,10), 2=0x=3.故选C.】 sin 45 sin 60sin 60 3.D【解析：由正弦定理得10=6， sin 450 10=5√6.故选D.】 4.C【解析：c=一2b,所以向量c与向量b共线，A正确；由 40 无敌原创·单元卷数学·必修第二册 ∫-4=+2a2 入=0， c=λ1a十λ2b,可知 解得 B正确； -2=-2λ1十λ2， λ2=-2， 向量c与向量b共线，所以由平面向量的基本定理可知它们的 线性组合不能表示出同一平面内的任意向量，C错误；向量ā 与向量b不共线，所以可以做基底，D正确.故选C.】 5.D[解析：由题意可得AB=(-6,-2),AC=(6,入-3)， ABLAC,AB.AC=-36-2(A-3)=0,∴λ=-15.故 选D.】 6.C[解析：根据题意，设a与b的夹角为0,1bl=t,则|a= 31b=3t,若(2a+3b)⊥b,则(2a+3b)·b=2a·b十3b= 6rPc0s0叶3r=0,即c0s0=-7,又由0≤0<x,则0=经.故 选C.] 7.D【解析：因为G是△ABC的重心，所以有GA+G+G式- 0又aG+6成+号式=0，所以a:6:号=11：1，设 c=3,则有a=b=1,由余弦定理可得，c0sA=1十31=5， 2√3 2 所以A=30°.故选D.] 8.D[解析：2 csin C=(a十b)(sinB一sinA)中利用正弦定 理，得2c2=(a十b)(b一a),即b一a2=2c2,则由余弦定理得 0C=t-栏，由均值不等式得过士投 2ab 4ab 23a,E-5,当且仅当b=5a时等号成立，则易知角C 4ab 21 的最大值为吾.当b=3a时，3a2-a2=2c2,则a=c,所以A= C-否B=x吾-否-放选D.】 二、9.BD[解析：根据a=入e1十μe2,(0,0)不能做基底，选项 A不能；(3,2)=λ(-1,2)十4(5，-2)，则3=-1十54,2= 2λ-2μ，解得，A=2,4=1,选项B能；(3,5)∥(6,10)，选项C 不能：(3,2)=λ(2，一3)十u(2,3),则3=2λ十2μ，2=一3λ十 513 3,解得入=立=立，选项D能.故选BD.】 10.BC【解析：由正弦定理知A=4=2R,所以外接圆半径 是2，选项A错误；由正弦定理及a `cos A sin B,可得nA cos A 出营-1，即anA=1,由0<A<x,知A=45,选项B正确： 因为c0sC=+,一C<0,所以C为饨角，△ABC一定是钝 2ab 角三角形，选项C正确；若A=石，B=平，显然cosA>cosB, 0<A<受 选项D错误.故选BC.] (舍去).又C为钝角，所以由 0<B<2, 11.AC[解析：对于OP=λOA+uOB,当入+u=1,A≥0，≥ 解得0<A<受 0时，点P在线段AB上；当X十μ<1，A>0,>0时，点P在 0<A+B<受 △OAB内：当<0时，点P在△OAB外，可知P在△OAB A=2B, 内部，A选项成立；可知P在△OAB外部，故B选项不成立； 所以cosA的范围（分，1）】 因为0亦-号i+号疝=号0i+号ò+台成=号i+ 四、17.解：(1)根据题意，向量a=(1,2),b=(x,1).则u=a十 2b=(1+2x,4),v=2a-b=(2-x,3),若u∥，则有3(1+2x)= 号成，可知P在△OAB内部，选项C成立：因为0亦-号Oi+ 42-),解得x=合 号A=号Oi+号A0+号O成=-号Oi+号O成，可知P在 (2)若a,b的夹角为锐角，则a·b=x十2>0且2x≠1，解得x> △OAB外部，选项D不成立.故选AC.] -2且x≠号，即实数x的取值范围为x>-2且x≠号》. 12.ABC[解析：因为O是△ABC内一点，且OA+Oi+O元= 18.解：(1)由已知A2-AB+B2=6+(1+)e,又心=-2e+ 0,所以O为△ABC的重心，M在△OBC内（不含边界），且当 e,A,E,C三点共线，则AE,EC共线，所以存在实数k使得 M与0重合时，A十2取最小，此时Ai=A范+rA花=号× Ai=kEC,即e十(1+)e2=-2e1十ke2,e1,e2不共线，所以 [合A+ò]-专A计号A花.所以A=号=号，即X+ b= 1=一2k, ,解得 1十λ=k, 3 2μ=1.当M与C重合时，A+2μ最大，此时AM=AC,所以入= λ=一2 牛 0,H=1,即入十2μ=2.因为M在△OBC内且不含边界，所以取 (2)成=-a-号e,武-成+=-a-名0=-32，) & 开区间，即1十2μ∈(1,2).故选ABC.】 辨 三、13.3[解析：，向量a=(m,1),b=(1,-2),c=(2,3),.a 22,-20=（←1-20 b=(m-1,3.0-b与c共线02号=号解得实数m=3.】 (3)由题意AD=BC,所以(3-x,5-yA)=(-7,-2), 2 ∫3-xA=-7,xA=10, 14.菱形【解析：因为AB=DC,所以AB∥DC因为AC.B= 得 所以点A的坐标为(10,7) 5-ya=-2,ya=7, O,AB=DC,所以AC⊥BD,所以四边形为菱形.】 19.解：(1)∠ABC+∠ADC=180°，由余弦定理，得AC=42+ 15.牙【解析：设角A,B,C所对的边分别为a,bc,1BC= 62-2X4X6·cos∠ABC=42+22-2×2X4·cos∠ADC, Ci.Ci+2S,a2=ba·cosC+ab·sinC,∴.a=b·cosC+ 六cos∠ABC=Z.“∠ABC∈(0，，∠ABC=60,∠ADC= b·sinC,由正弦定理得sinA=sinB·cosC+sinB·sinC 120°，AC=AB+BC-2AB·BC·cos∠ABC=28,∴.AC= 又在△ABC中sinA=sin(B+C)=sinB·cosC+cosB·sinC, 2√7.故原棚户区建筑用地ABCD中对角线AC的长度为2√7km 则cosB·sinC=sinB·sinC,又C∈(0，π)，sinC≠0，则 (2)由(1)知5m=号×4X6×sin60°+号×2×4×sin120°= cosB=sinB,则B=年.】 8√3(km)2.即原棚户区建筑用地ABCD的面积为8√3(km)2. 16.(分，1）【解析：在△ABC中，根据正弦定理，可将条件 20,解，D:s∠ADB-号∴m∠ADB-72.:∠CAD 101 c-b=2 bcos A化为sinC-sinB=2 sin Bcos A.把sinC= T∠ACB=T+∠ADB,m∠ACB=m(T+∠ADB)= sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B代入整理得sin(A一B)= sinB.所以A一B=B或A一B+B=π，解得A=2B或A=π 号as∠ADB+号n∠ADB=告 2