高频考点07 二次函数的综合专练24大题型专练（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

高频考点07 二次函数综合专练 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（5大命题点+15道中考预测题，中考必考·（3-12）分） 考点一 二次函数的定义 考点二 二次函数的图象与性质 命题1 列二次函数关系式 命题2 判断是否为二次函数 命题3 根据二次函数的定义求参数 命题1 二次函数的性质综合判断 命题2 利用二次函数的性质比较大小 命题3 画二次函数的图象 命题4 二次函数中平移问题 命题5 已知二次函数对称的两点求对称轴 命题6 根据二次函数的对称轴求函数值 命题7 待定系数法求二次函数解析式 考点三 二次函数的图象与系数的关系 考点四 二次函数与方程组或不等式组综合 命题1 二次函数图象与系数关系（压轴） 命题2 函数图象综合判断 命题3 二次函数中最值问题 命题4 利用二次函数的对称性求最短路径 命题1 图象法解不等式 命题2 根据交点确定不等式的解集 考点五 二次函数与几何综合（压轴题） 命题1 二次函数综合之线段周长问题 命题2 二次函数综合之面积问题 命题3 二次函数综合之角度问题 命题4 二次函数综合之特殊三角形问题 命题5 二次函数综合之特殊四边形问题 命题6 二次函数综合之相似三角形问题 命题7 二次函数综合之定值定点定线段问题 命题8 二次函数综合之交点个数问题 每个考点中考预测题3道 04好题速递·分层闯关（精选7道最新名校模拟试题+6道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 二次函数图象基础性质辨析 1. 已知解析式，判断图象开口方向、对称轴、顶点坐标、所在象限、与坐标轴的交点特征； 2. 已知图象特征（开口、对称轴、顶点位置、分布位置），求参数a、b、c的取值范围； 3. 二次函数图象的平移、对称变换，求变换后函数解析式； 4. 图象与解析式的对应关系辨析，区分二次函数与其他函数图象； 5. 含参数二次函数图象位置的综合判断。 1. 中考基础/中档核心考点，选择题、填空题为主，分值3~6分，属必拿分基础题； 2. 侧重考查a、b、c的符号与图象特征的对应关系，数形结合思想渗透； 3. 常结合一次函数、反比例函数图象进行辨析，考查函数图象的识别与判断； 4. 命题难度低，侧重基础概念与图象性质的识记、辨析。 二次函数增减性与最值问题 1. 已知解析式，判断函数单调增减区间、确定函数最高点/最低点； 2. 结合自变量取值范围，求解二次函数定区间最值； 3. 根据函数最值、极值条件，反求解析式中参数的取值； 4. 含参数二次函数动轴定区间、定轴动区间最值综合分析； 5. 结合函数图象比较不同自变量对应的函数值大小。 1. 中考基础/中档高频考点，选择、填空、解答小题均会考查，分值3~6分； 2. 侧重考查对称轴与区间位置关系，深度渗透分类讨论、数形结合思想； 3. 常结合函数解析式、参数范围综合命题，是函数大题的基础核心考向； 4. 命题梯度分明，基础题侧重公式识记，中档题侧重区间最值综合分析。 二次函数系数a、b、c综合符号判断 1. 由函数图象，判断a、b、c及abc、2a+b、a+b+c等代数式符号； 2. 由系数及代数式符号，反向推理图象结论、正误选项辨析； 3. 结合对称轴、交点信息，求解参数大小关系与取值范围； 4. 结合判别式Δ，判断函数与x轴交点个数综合问题； 5. 多结论组合选择题的正误综合判断。 1. 中考经典中档选择压轴考点，固定选择题考查，单题分值3 分； 2. 全面考查图象与系数的互推逻辑，是数形结合思想的核心载体； 3. 题目陷阱多、综合性强，是基础分向中档分跨越的分水岭考点； 4. 命题侧重多结论综合辨析，注重图象细节推导与逻辑严谨性。 待定系数法求二次函数解析式 1. 已知图象上点的坐标，选用一般式、顶点式、交点式求解解析式； 2. 结合顶点、最值、对称轴、坐标轴交点等条件，求函数表达式； 3. 结合一次函数交点、几何条件，综合求解二次函数解析式； 4. 根据图象变换前后特征，反推原函数解析式； 5. 结合实际问题背景，求解二次函数模型解析式。 1. 结合二次函数图象，求解线段长度、三角形、四边形面积相关计算； 2. 探究图象上动点、定点问题，存在性（直角、等腰、平行四边形）综合分析； 3. 结合点坐标、线段最值、面积最值，求解相关参数与点坐标； 4. 结合几何图形性质，进行函数背景下的几何证明与综合计算； 5. 函数背景下几何图形分类讨论、多情况综合探究。 二次函数与方程、不等式综合 1. 根据函数图象与x轴交点，求解对应一元二次方程的实数根； 2. 结合函数图象，直接读取一元二次不等式的解集范围； 3. 二次函数与一次函数图象交点问题，比较函数值大小； 4. 结合判别式，探究方程根的个数、参数取值范围问题； 5. 函数、方程、不等式三者综合转化与应用辨析。 1. 中考中档核心综合考点，选择、填空、解答全题型覆盖，分值3~8分； 2. 打通函数、方程、不等式三大模块，全面渗透数形结合解题思想； 3. 常跨模块结合命题，侧重图象读图能力与代数转化能力考查； 4. 命题综合性强，是衔接基础小题与压轴大题的核心过渡考点。 二次函数与几何综合问题 1. 结合二次函数图象，求解线段长度、三角形、四边形面积相关计算； 2. 探究图象上动点、定点问题，存在性（直角、等腰、平行四边形）综合分析； 3. 结合点坐标、线段最值、面积最值，求解相关参数与点坐标； 4. 结合几何图形性质，进行函数背景下的几何证明与综合计算； 5. 函数背景下几何图形分类讨论、多情况综合探究。 1. 中考代数压轴重难点核心考点，固定解答大题压轴小题考查，分值6~10分； 2. 侧重函数与几何融合综合分析，深度渗透数形结合、分类讨论思想； 3. 综合性极强，跨函数、平面几何多模块融合，试卷高分拉开差距核心考点； 4. 命题梯度跨度大，注重综合计算、几何分析与解题逻辑完整度。 考点一 二次函数的定义 《解题指南》 一、二次函数的定义 形如的函数叫二次函数，必须同时满足： ①最高次数是2；②二次项系数a≠0；③是整式函数(分母、根号里不能有x) 二、判断一个函数是不是二次函数 只看三点： ①化简后是不形式；②a≠0；③没有x在分母、根号里 命题点01 列二次函数关系式 【典例】（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【变式1】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 【变式2】（2025·上海黄浦·一模）某抛物线的最高点在y轴上，且与x轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是__________． 【变式3】（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是____________． 命题点02 判断是否为二次函数 【典例】（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河南开封·一模）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·上海金山·一模）下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A．（其中是常数） B．（其中、、是常数） C． D． 命题点03 根据二次函数的定义求参数 【典例】（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【变式1】（2026·甘肃白银·模拟预测）若是二次函数，则_______． 【变式2】（2025·上海嘉定·一模）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是______． 中考预测题 1．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 3．天气瓶是生活中常见的装饰品，它的结晶状态会随温度发生改变．制作天气瓶用到的固体物质有硝酸钾和氯化铵．这两种物质在水中的溶解度与温度的函数图象如图所示． 信息窗 a．在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化． b．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． 下列说法正确的是（   ） A．硝酸钾和氯化铵的溶解度与温度分别满足二次函数和一次函数关系 B．当时，硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度都随温度的上升而增大 C．硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度始终不一样 D．时，将氯化铵加到水中可得到饱和溶液 考点二 二次函数的图象与性质 《解题指南》 一、核心解题总策略：3步通关法 第1步：快速预处理(把函数变成“看得懂”的形式) 拿到函数式，先做这两步，所有性质一眼就能看出来： 1.化成顶点式(首选) 对一般式，用配方法化为： 直接读出：①对称轴：；②顶点坐标：(h,k)；③开口方向：由a的正负决定 2.提取关键参数 不用配方也能快速得到核心信息： ①开口方向：看；②对称轴：公式；顶点纵坐标(最值)：公式 第2步：按固定顺序，逐项核对选项 按这个顺序检查，不会漏项、不会搞混逻辑： 检查顺序 检查内容 核心判断依据 ① 开口方向 二次项系数a的正负 ② 对称轴/顶点坐标 顶点式或公式​ ③ 增减性（单调性） 开口方向 + 对称轴位置，分左右两侧判断 ④ 最值情况 开口方向 + 顶点纵坐标，区分最大 / 最小值 ⑤ 与坐标轴交点 与y轴：时的y值；与x轴：判别式Δ=b2−4ac ⑥ 特殊点/平移变换 代入坐标验证，或对比顶点式判断平移 命题点01 二次函数的性质综合判断 【典例】（2026·陕西榆林·一模）已知二次函数（为常数）的对称轴为，下列说法中正确的是（   ） A．图象与轴的交点可能在轴负半轴上 B．该二次函数的最小值为 C．图象与轴有一个交点 D．若点，在该函数图象上，则 【变式1】（2026·陕西渭南·一模）将二次函数（a、h为常数，）的图象向右平移2个单位长度，得到的新二次函数中部分x与y的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于新二次函数的说法不正确的是（） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．当时， 【变式2】（2026·广东珠海·一模）已知二次函数，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【变式3】（2026·江苏连云港·模拟预测）关于二次函数，下列说法正确的是 （   ） A．图像的对称轴在轴的右侧 B．图像的顶点坐标为 C．的最小值为 D．图像与轴没有交点 命题点02 利用二次函数的性质比较大小 【典例】（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线的图象经过，，其中，且当时，y值随x值的增大而增大，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·福建三明·一模）已知点，和都在关于的二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 命题点03 画二次函数的图象 【典例】（2026·河南周口·一模）已知关于x的二次函数，x与y的几组对应值如表所示． x … 2 … y … 1 … (1)求a，c的值． (2)求二次函数的对称轴，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)若抛物线上有两点，，当，时，均满足，直接写出t的取值范围． 【变式1】（2026·广东茂名·一模）在“桥梁设计”项目式学习中，某数学小组需要分析一种桥拱截面轮廓线的力学特性．该轮廓线对应的函数关系为（单位：米），其中表示距桥面基准线的垂直高度．小组将工程问题抽象为数学问题进行以下探究： (1)列表（完成以下表格）： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 3 4 0 5 12 ．．． (2)描点并画出该桥拱截面轮廓线的图象； (3)根据图象完成以下问题： （i）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点，，则不等式的解集是___________； （ii）设函数的图象与轴交于两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有3个交点，求此时的值． ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 ０ 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 ０ 3 4 3 0 5 12 ．．． 【变式2】（2026·河南周口·模拟预测）新考向  通过实验研究发现：当音量x（单位：）满足时，听觉舒适度y与音量x之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示． 音量x/ 40 45 50 55 60 65 70 听觉舒适度y 1 6 9 10 9 6 1 (1)求该二次函数的解析式； (2)在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (3)在家听音乐时，王林听到的音量x与所坐位置到音箱的距离d（单位：m）的关系如图2所示．若他希望听觉舒适度不小于6，根据此实验研究结果，求出王林所坐位置到音箱的距离d的取值范围（结果保留小数点后一位）． 【变式3】（2025·贵州遵义·一模）已知二次函数部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 a 0 … (1)请在平面直角坐标系中根据以上数据进行描点、连线，画二次函数图象； (2)请写顶点坐标：________， _______ (3)当时，写出方程的解． 命题点04 二次函数中平移问题 【典例】（2026·四川达州·一模）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【变式1】（2026·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象平移后经过点，下列平移方式正确的是（   ）． A．向右平移1个单位，向下平移1个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位 【变式2】（2026·陕西西安·三模）已知二次函数，当时函数值y有最大值1，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则b的值为（   ） A． B． C．或 D．或1 【变式3】（2025·广西·一模）把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（    ） A． B． C． D． 命题点05 已知二次函数对称的两点求对称轴 【典例】（2026·陕西西安·一模）二次函数（a，b，c为常数，a0）的图象经过三点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）已知二次函数的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 命题点06 根据二次函数的对称轴求函数值 【典例】（2026·陕西西安·三模）已知二次函数的函数图像经过，两点，则的值可能是（    ） A．0 B． C．2 D． 【变式1】（2025·河南濮阳·一模）如图，抛物线经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是________． 【变式2】（2025·江苏扬州·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：则________．（填“>”“<”或“=”） … 1 3 … … … 命题点07 待定系数法求二次函数解析式 【典例】（2026·河南周口·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 【变式1】（2026·安徽安庆·一模）新定义：对于给定的二次函数，我们把形如的函数称为二次函数的“友好关联函数”，运用此定义解决下列问题： 已知二次函数． （1）请写出这个二次函数的“友好关联函数”的表达式____________； （2）若点和点在这个二次函数的“友好关联函数”的图象上，请写出直线与该“友好关联函数”图象的交点坐标（除了、两点）____________． 【变式2】（2026·浙江舟山·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 中考预测题 1．如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D．点在该函数图象上 2．已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（   ） A．无论实数a取什么值，都有 B．无论实数a取什么值，都有 C．可以找到实数a，使得 D．可以找到实数a，使得 考点三 二次函数的图象与系数的关系 《解题指南》 高频考点专项突破 考点1：判断abc的符号 1.先看（开口）和（对称轴位置），确定的符号； 2.再看（与y轴交点），的符号就是与符号的乘积。 例：开口向，对称轴在y轴右侧（a，b异号→），交y轴正半轴，则 考点2：判断的符号 直接看抛物线与x轴的交点个数： ①2个交点：；②1个交点：；③无交点： 拓展：等价于，等价于：，等价于。 考点3：判断等的符号直接用特殊点代入法： ①时，，看图象上处的点在x轴上方还是下方； ②时，，看图象上处的点在x轴上方还是下方； 考点4：判断2a+b、2a-b的符号 利用对称轴公式变形： ：由移项得，当时，，所以看对称轴和1的关系； ：当时，，变形为，看对称轴和-1的关系。 命题点01 二次函数图象与系数关系（压轴） 【典例】（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 【变式1】（2026·江西新余·一模）二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与x轴的交点为和点B；与y轴的交点在与之间（包括端点）．①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．其中正确结论是______． 【变式2】（2026·四川内江·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤；其中结论正确的是______（填写序号） 【变式3】（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图像如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交于，下列结论①；②；③有两个不相等的实数根；④；其中正确的个数为_______． 命题点02 函数图象综合判断 【典例】（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【变式1】（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，则一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数的图象大致如图所示，则函数和的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 命题点03 二次函数中最值问题 【典例】（2026·陕西西安·二模）已知二次函数（a为常数），当时，y有最大值，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·陕西宝鸡·一模）已知抛物线（为常数，），当时，取得最小值，当时，取得最大值，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，若点，，，则的最小值为__________． 命题点04 利用二次函数的对称性求最短路径 【典例】（2025·湖北·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【变式1】（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川绵阳·二模）如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________． 【变式4】（2026·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数的最小值为__________． 【变式5】（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 中考预测题 1．如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知二次函数的图象开口向上，与轴交于和，则下列关系正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格： 2 以下五个结论：①点在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直线对称；④点，，若，则；⑤若直线与函数的图象有个公共点，则．其中正确的结论是______．（填写序号） 考点四 二次函数与方程组或不等式组综合 《解题指南》 题型1：二次函数与方程组综合(求交点/求解析式) 1.求两个函数的交点坐标 解题步骤： 1.联立：将两个函数解析式联立成方程组。 例：。 2.消元：代入消元，转化为一元二次方程(或一元一次)。 即： 3.求解：解方程求出，再代回求。 结果即为交点坐标。 2.利用交点求二次函数解析式(待定系数法进阶) 解题技巧： 若已知抛物线与x轴的两个交点，直接设交点式：( 若已知抛物线与直线的交点，通常先联立求，再代点求。 题型2：二次函数与不等式组综合(求范围/比大小) 1.利用图象解不等式(数形结合)核心口诀： ：找图象上方的部分，对应的范围。 ：找图象下方的部分，对应的范围。 关键点：先求交点横坐标，作为范围的分界点。 命题点01 图象法解不等式 【典例】（25-26九年级下·江苏扬州·开学考试）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ． 【变式1】（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是_____． 【变式2】（2025·辽宁·一模）已知函数，其中为常数．若该函数的图像显示随着的增大而增大，则的取值范围为______． 命题点02 根据交点确定不等式的解集 【典例】（2026·江苏连云港·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【变式1】（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【变式2】（2026·江西鹰潭·一模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； 中考预测题 1．在直角坐标系中，当时，抛物线的图象总在直线的下方，则t的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 2．已知二次函数的图象顶点为M，图象上有一点满足，若是函数图象（段）上的一点（不与P，M重合），令，则的范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且．若点在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 考点五 二次函数与几何综合 《解题指南》 必备基础工具(所有大题必考公式) 1.点坐标基础 设抛物线上任意一点P(x,y) 点到x轴距离：|y| 点到y轴距离：|x| 两点距离公式： 2.铅垂高面积公式(中考万能，90%面积题必考)抛物线与直线围成三角形面积 设直线与抛物线交点：A，B，抛物线上动点P 水平宽： 铅垂高：h=动点纵坐标一直线纵坐标(上下作差) 优点：不用勾股、不用复杂距离公式，直接用坐标算面积，最快。 3.平行、垂直坐标关系 ①水平线段：纵坐标相等，长度=横坐标之差的绝对值 ②竖直线段：横坐标相等，长度=纵坐标之差的绝对值 ③两直线垂直：斜率乘积=—1（初中记：横差比=纵差比倒数相反数） 命题点01 二次函数综合之线段周长问题 【典例】（2026·山东潍坊·一模）已知二次函数，其中k为常数． (1)证明：不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点； (2)将该函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度，得到的新二次函数的图象与x轴的交点分别为，，且，记线段的长度为d，求d的最小值； (3)该二次函数与一次函数的图象交于点M，过点作x轴的垂线，分别交二次函数和一次函数的图象于点P、Q，若，求k的值． 【变式1】（2026·黑龙江鸡西·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），其中点，． (1)求抛物线的解析式，直接写出顶点坐标． (2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当线段最短时，求点的坐标； (3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 【变式3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②将直线平移，若直线与第一象限的抛物线和线段（不包括点B和点C）分别交于点M，N，在平移过程中，求出线段长度的取值范围； ③如图③，E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，，则的最小值是______． 命题点02 二次函数综合之面积问题 【典例】（2026·河北廊坊·一模）抛物线：（m为常数，）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为点P． (1)如图1，若点C的坐标为． ①求抛物线的函数解析式及点P的坐标； ②过点P作x轴的垂线，垂足为Q，与直线交于点M，求的长； (2)设点B到直线的距离为，点P到直线的距离为，，判断h是否为定值，如果是，求出h的值；如果不是，说明理由； (3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线与y轴交于点F，抛物线，相交于D，E两点，若四边形的面积为，直接写出m的值． 【变式1】（2026·湖北襄阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． (1)求b的值和点D坐标； (2)如图，点E是第二象限抛物线上的点，，求点E的横坐标； (3)将抛物线沿竖直方向平移得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点P，设点P的纵坐标为n，点Q在L的对称轴上，点Q的纵坐标为，当点Q与点D不重合时，将点Q绕点D顺时针旋转得到点M，当P、M、D三点不在同一直线上时，设的面积为S． ①求S关于n的函数解析式； ②当L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围． 【变式2】（2026·四川南充·一模）如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 【变式3】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，直线与双曲线在第一象限内交于两点，已知，． (1)分别求出直线和双曲线的函数表达式； (2)设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，当的面积最大时，请求出此时点的坐标． 【变式4】（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图：抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，其中， (1)求抛物线的解析式； (2)点G是抛物线上的一点，且满足，请直接写出点G的坐标． 【变式5】（2026·广东广州·一模）已知抛物线，点，纵坐标为的点在抛物线上，且，过点作直线交抛物线于点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 命题点03 二次函数综合之角度问题 【典例】（2026·湖南岳阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线L：交于点和点． (1)求证：点Q为抛物线L的顶点； (2)将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，若抛物线经过点，且点D在抛物线的对称轴左侧，求抛物线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线l，作点关于直线l的对称点B，连接，在直线上是否存在点P，满足？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【变式2】（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，过作交轴于点，线段在直线上移动且，当取得最大值时，求此时点的坐标及的周长的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点的对应点为点，平移后的新抛物线的对称轴上有一点，点为新抛物线上一动点，若，请直接写出点的坐标，并写出求的坐标的其中一种情况的过程． 【变式3】（2026·天津和平·一模）已知抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，连接． (1)当点D落在该抛物线上时， ①求抛物线的解析式； ②抛物线上的点E的横坐标为m，且，若，求点E的坐标； (2)点M是线段上一动点，连接，点N是射线上一动点，且满足，连接．当的最小值为时，求a的值． 【变式4】（2026·安徽合肥·一模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且的面积与的面积相等，求出点P的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且满足，请直接写出点Q的坐标． 命题点04 二次函数综合之特殊三角形问题 【典例】（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，顶点为P． (1)求该二次函数的函数表达式； (2)设二次函数的图象经过点A，B，且与y轴交于点D，顶点为Q．求的值； (3)在（2）的条件下，当是直角三角形时，求的值． 【变式2】（2026·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【变式3】（2026·甘肃平凉·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式4】（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为． (1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴； (2)若，求的取值范围； (3)令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 命题点05 二次函数综合之特殊四边形问题 【典例】（2026·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线经过三点，交轴于点． (1)求a，b的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积； (3)点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【变式3】（2026·山东淄博·一模）如图，已知二次函数（其中，为常数）的图象经过点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，线段的长为． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，求的和的最大值及此时点的坐标； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，顶点关于直线的对称点为．当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【变式4】（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 命题点06 二次函数综合之相似三角形问题 【典例】（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 【变式1】（2026·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线上一点，平分，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点坐标； (3)在直线上取两点（在点上方），连接，使得，求坐标． 【变式2】（2026·四川内江·一模）如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 【变式3】（2026·陕西延安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)点为第四象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交线段于点，当以、、为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的点的坐标． 【变式4】（2026·福建·一模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． 命题点07 二次函数综合之定值定点定线段问题 【典例】（25-26九年级下·四川成都·月考）抛物线与轴交于、，与轴交于． (1)求、的值； (2)如图1，直线交抛物线于，两点，连接，，，若恰好平分，求的值； (3)将抛物线向左平移两个单位后得抛物线，交轴于、，交轴于，直线交抛物线于E、F两点，分别过E、F且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于，求证：点在一条定直线上． 【变式1】（25-26九年级下·湖北武汉·期中）已知抛物线交x轴于点和B点，对称轴为，抛物线交y轴于点C，点D为抛物线上不与重合的一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为上方抛物线上一点，于点E，若，求点D的坐标； (3)如图2，点M为的中点，直线交抛物线于点E，若直线的交点为点N，试判断的面积是否为定值，若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·期中）如图，直线与抛物线交于、两点，与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若，点为抛物线上一点，过点作，与直线相交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的横坐标． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，直线、分别交抛物线于点、，连接，为的中点，试探究的横坐标是否为定值？若是，请求出的横坐标；若不是，请说明理由． 命题点08 二次函数综合之交点个数问题 【典例】（2026·江苏徐州·一模）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． (1)如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 【变式1】（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，二次函数图象的顶点在轴上，与轴交于点，二次函数与的对称轴相同，且经过点和点，点的横坐标为，直线与轴交于点． (1)求二次函数的解析式： (2)当时，直线与二次函数的图象从左到右依次交于点，．若，求的值： (3)二次函数与二次函数组成新函数． ①已知点，点，线段与有2个交点时，请直接写出的值或取值范围： ②当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【变式2】（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值； (3)将抛物线向上平移3个单位得新抛物线，新抛物线中的部分记为“图形W”．在新抛物线对称轴上取两点和，其中，将线段绕点M顺时针旋转，点N的对应点为H，以为边构造正方形． ①直接写出点Q和点H的坐标（用含m的式子表示）； ②当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的m的取值范围． 【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)该函数图像经过两个定点，这两个点的坐标是______，______； (3)已知，．若该函数的图像与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 【变式4】（2026·江苏无锡·一模）定义：若一个函数图像上存在纵坐标相等的两个点，则称这两点为该函数的一对“等值点”． 已知二次函数（为常数），设其函数图像为． (1)求证：函数图像上总存在“等值点”； (2)设函数图像上一对“等值点”的坐标分别为和，（），若，求的值； (3)将函数图像沿经过且平行于轴的直线翻折得到新图像．当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，请直接写出的值． 中考预测题 1．我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（   ） 当时，；（   ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（   ） (2)是否存在点，是“同频”拋物线上的点，其中，且，若存在，请求该抛物线的解析式，若不存在，请说明理由； (3)“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 2．如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 3 ．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，若点在轴左侧，且，求点的坐标； (3)如图2，若平行于轴，过点作交于点，设，，求与的函数关系式； (4)若点位于点左侧，、两点间的水平距离为，以为对角线作矩形使其各边分别与轴或轴平行，若矩形的周长与抛物线上、两点间纵坐标的最大值相等，求的值． 好题速递 1．若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 3．定义：若某函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，则称该函数为“自反”函数，该点为“反点”．已知二次函数（为常数，）是“自反”函数，且该函数图象上有唯一的“反点”，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如果抛物线向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为___________． 5．如图，二次函数的图像经过点，则的值为______． 6．已知抛物线（为常数，且），在轴上存在点，过点垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则的取值范围为______． 7．研究函数图象与坐标轴的交点，是分析函数性质、解决函数问题的重要抓手． (1)如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）． (2)已知二次函数（m为常数，且）． ①求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； ②该函数图象所过的象限随m的值变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围． (3)下图是用数学软件绘制的函数（a、c为常数，且）的图象．下方的演示图显示当、时对应的函数形态． 已知，利用函数图象，直接写出关于x的不等式的解集（用含a，c的式子表示） 中考闯关 1．下表记录了二次函数中两个变量x与y的3组对应值，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则n的取值范围是（   ） x … 1 5 … y … m 3 m … A． B． C． D． 2．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B在线段上运动，过点B作x轴的垂线交函数的图象于点C，若三条线段，，中，恰有两条线段长度的比值为2，则线段的长为________． 5．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在的范围内，若二次函数的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为__________． 6．已知点是抛物线上一点，若，则我们把点P称为该抛物线的“二倍点”． (1)【定义理解】 ①若点P是抛物线上的“二倍点”，则点P的坐标为________； ②下列抛物线，没有“二倍点”的是________． A．    B．    C． (2)【深入探究】 已知抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点． ①求该抛物线的解析式； ②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二倍点”的坐标． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点07 二次函数综合专练 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（5大命题点+15道中考预测题，中考必考·（3-12）分） 考点一 二次函数的定义 考点二 二次函数的图象与性质 命题1 列二次函数关系式 命题2 判断是否为二次函数 命题3 根据二次函数的定义求参数 命题1 二次函数的性质综合判断 命题2 利用二次函数的性质比较大小 命题3 画二次函数的图象 命题4 二次函数中平移问题 命题5 已知二次函数对称的两点求对称轴 命题6 根据二次函数的对称轴求函数值 命题7 待定系数法求二次函数解析式 考点三 二次函数的图象与系数的关系 考点四 二次函数与方程组或不等式组综合 命题1 二次函数图象与系数关系（压轴） 命题2 函数图象综合判断 命题3 二次函数中最值问题 命题4 利用二次函数的对称性求最短路径 命题1 图象法解不等式 命题2 根据交点确定不等式的解集 考点五 二次函数与几何综合（压轴题） 命题1 二次函数综合之线段周长问题 命题2 二次函数综合之面积问题 命题3 二次函数综合之角度问题 命题4 二次函数综合之特殊三角形问题 命题5 二次函数综合之特殊四边形问题 命题6 二次函数综合之相似三角形问题 命题7 二次函数综合之定值定点定线段问题 命题8 二次函数综合之交点个数问题 每个考点中考预测题3道 04好题速递·分层闯关（精选7道最新名校模拟试题+6道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 二次函数图象基础性质辨析 1. 已知解析式，判断图象开口方向、对称轴、顶点坐标、所在象限、与坐标轴的交点特征； 2. 已知图象特征（开口、对称轴、顶点位置、分布位置），求参数a、b、c的取值范围； 3. 二次函数图象的平移、对称变换，求变换后函数解析式； 4. 图象与解析式的对应关系辨析，区分二次函数与其他函数图象； 5. 含参数二次函数图象位置的综合判断。 1. 中考基础/中档核心考点，选择题、填空题为主，分值3~6分，属必拿分基础题； 2. 侧重考查a、b、c的符号与图象特征的对应关系，数形结合思想渗透； 3. 常结合一次函数、反比例函数图象进行辨析，考查函数图象的识别与判断； 4. 命题难度低，侧重基础概念与图象性质的识记、辨析。 二次函数增减性与最值问题 1. 已知解析式，判断函数单调增减区间、确定函数最高点/最低点； 2. 结合自变量取值范围，求解二次函数定区间最值； 3. 根据函数最值、极值条件，反求解析式中参数的取值； 4. 含参数二次函数动轴定区间、定轴动区间最值综合分析； 5. 结合函数图象比较不同自变量对应的函数值大小。 1. 中考基础/中档高频考点，选择、填空、解答小题均会考查，分值3~6分； 2. 侧重考查对称轴与区间位置关系，深度渗透分类讨论、数形结合思想； 3. 常结合函数解析式、参数范围综合命题，是函数大题的基础核心考向； 4. 命题梯度分明，基础题侧重公式识记，中档题侧重区间最值综合分析。 二次函数系数a、b、c综合符号判断 1. 由函数图象，判断a、b、c及abc、2a+b、a+b+c等代数式符号； 2. 由系数及代数式符号，反向推理图象结论、正误选项辨析； 3. 结合对称轴、交点信息，求解参数大小关系与取值范围； 4. 结合判别式Δ，判断函数与x轴交点个数综合问题； 5. 多结论组合选择题的正误综合判断。 1. 中考经典中档选择压轴考点，固定选择题考查，单题分值3 分； 2. 全面考查图象与系数的互推逻辑，是数形结合思想的核心载体； 3. 题目陷阱多、综合性强，是基础分向中档分跨越的分水岭考点； 4. 命题侧重多结论综合辨析，注重图象细节推导与逻辑严谨性。 待定系数法求二次函数解析式 1. 已知图象上点的坐标，选用一般式、顶点式、交点式求解解析式； 2. 结合顶点、最值、对称轴、坐标轴交点等条件，求函数表达式； 3. 结合一次函数交点、几何条件，综合求解二次函数解析式； 4. 根据图象变换前后特征，反推原函数解析式； 5. 结合实际问题背景，求解二次函数模型解析式。 1. 结合二次函数图象，求解线段长度、三角形、四边形面积相关计算； 2. 探究图象上动点、定点问题，存在性（直角、等腰、平行四边形）综合分析； 3. 结合点坐标、线段最值、面积最值，求解相关参数与点坐标； 4. 结合几何图形性质，进行函数背景下的几何证明与综合计算； 5. 函数背景下几何图形分类讨论、多情况综合探究。 二次函数与方程、不等式综合 1. 根据函数图象与x轴交点，求解对应一元二次方程的实数根； 2. 结合函数图象，直接读取一元二次不等式的解集范围； 3. 二次函数与一次函数图象交点问题，比较函数值大小； 4. 结合判别式，探究方程根的个数、参数取值范围问题； 5. 函数、方程、不等式三者综合转化与应用辨析。 1. 中考中档核心综合考点，选择、填空、解答全题型覆盖，分值3~8分； 2. 打通函数、方程、不等式三大模块，全面渗透数形结合解题思想； 3. 常跨模块结合命题，侧重图象读图能力与代数转化能力考查； 4. 命题综合性强，是衔接基础小题与压轴大题的核心过渡考点。 二次函数与几何综合问题 1. 结合二次函数图象，求解线段长度、三角形、四边形面积相关计算； 2. 探究图象上动点、定点问题，存在性（直角、等腰、平行四边形）综合分析； 3. 结合点坐标、线段最值、面积最值，求解相关参数与点坐标； 4. 结合几何图形性质，进行函数背景下的几何证明与综合计算； 5. 函数背景下几何图形分类讨论、多情况综合探究。 1. 中考代数压轴重难点核心考点，固定解答大题压轴小题考查，分值6~10分； 2. 侧重函数与几何融合综合分析，深度渗透数形结合、分类讨论思想； 3. 综合性极强，跨函数、平面几何多模块融合，试卷高分拉开差距核心考点； 4. 命题梯度跨度大，注重综合计算、几何分析与解题逻辑完整度。 考点一 二次函数的定义 《解题指南》 一、二次函数的定义 形如的函数叫二次函数，必须同时满足： ①最高次数是2；②二次项系数a≠0；③是整式函数(分母、根号里不能有x) 二、判断一个函数是不是二次函数 只看三点： ①化简后是不形式；②a≠0；③没有x在分母、根号里 命题点01 列二次函数关系式 【典例】（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 【变式1】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·上海黄浦·一模）某抛物线的最高点在y轴上，且与x轴有两个交点，这个抛物线的表达式可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，掌握二次函数图象的顶点坐标公式，是解题的关键. 根据抛物线的最高点在y轴上，可知，，抛物线与x轴有两个交点，可知，据此写出答案即可. 【详解】解：∵抛物线的最高点在y轴上， ∴，，， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴这条抛物线的表达式可以是：. 故答案是：（答案不唯一） 【变式3】（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是____________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解． 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 命题点02 判断是否为二次函数 【典例】（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 【变式1】（2025·河南开封·一模）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义“形如（为常数，且）的函数叫做二次函数”进行判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是二次函数，符合题意； 、是一次函数，不合题意； 、是反比例函数，不合题意； 、是正比例函数，不合题意； 故选：． 【变式2】（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，根据形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，不符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 【变式3】（2025·上海金山·一模）下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A．（其中是常数） B．（其中、、是常数） C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、当时，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不含二次项，不是二次函数，不符合题意． 故选C． 命题点03 根据二次函数的定义求参数 【典例】（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 【变式1】（2026·甘肃白银·模拟预测）若是二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 【变式2】（2025·上海嘉定·一模）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线开口向下可得出，再结合二次函数的定义即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知：且， 解得：， 故答案为： 中考预测题 1．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x轴有交点时对应一元二次方程的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数， 又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根， ∴， 化简得，解得， 综上的取值范围是且． 2．已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的定义，学会联立函数解析式是解题的关键．根据二次函数定义可知，再将二次函数和一次函数联立方程组，再利用即可得出答案． 【详解】解：二次函数， ， 联立， 整理得：， 二次函数与一次函数的图象有交点， ， 解得：， k的取值范围是且． 故选：B． 3．天气瓶是生活中常见的装饰品，它的结晶状态会随温度发生改变．制作天气瓶用到的固体物质有硝酸钾和氯化铵．这两种物质在水中的溶解度与温度的函数图象如图所示． 信息窗 a．在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化． b．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． 下列说法正确的是（   ） A．硝酸钾和氯化铵的溶解度与温度分别满足二次函数和一次函数关系 B．当时，硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度都随温度的上升而增大 C．硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度始终不一样 D．时，将氯化铵加到水中可得到饱和溶液 【答案】B 【分析】此题考查了从函数图象获取信息，读懂题意，从图象获取正确信息是关键．根据图象分析即可． 【详解】解：根据题图，无法判断硝酸钾的溶解度与温度满足二次函数，根据题意可知，氯化铵的溶解度与温度之间的函数图象不是直线，故氯化铵的溶解度与温度一定不满足一次函数关系，故选项A错误； 观察图可知，当时，硝酸钾和氯化铵在水中的溶解度都随温度的上升而增大，故选项B正确，符合题意； 由图可知，时硝酸钾和氯化铵在水中的溶解一样，故选项C错误，不符合题意； 由题意可知，时，氯化铵的溶解度大于， ∴将氯化铵加到水中可得到不饱和溶液，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 考点二 二次函数的图象与性质 《解题指南》 一、核心解题总策略：3步通关法 第1步：快速预处理(把函数变成“看得懂”的形式) 拿到函数式，先做这两步，所有性质一眼就能看出来： 1.化成顶点式(首选) 对一般式，用配方法化为： 直接读出：①对称轴：；②顶点坐标：(h,k)；③开口方向：由a的正负决定 2.提取关键参数 不用配方也能快速得到核心信息： ①开口方向：看；②对称轴：公式；顶点纵坐标(最值)：公式 第2步：按固定顺序，逐项核对选项 按这个顺序检查，不会漏项、不会搞混逻辑： 检查顺序 检查内容 核心判断依据 ① 开口方向 二次项系数a的正负 ② 对称轴/顶点坐标 顶点式或公式​ ③ 增减性（单调性） 开口方向 + 对称轴位置，分左右两侧判断 ④ 最值情况 开口方向 + 顶点纵坐标，区分最大 / 最小值 ⑤ 与坐标轴交点 与y轴：时的y值；与x轴：判别式Δ=b2−4ac ⑥ 特殊点/平移变换 代入坐标验证，或对比顶点式判断平移 命题点01 二次函数的性质综合判断 【典例】（2026·陕西榆林·一模）已知二次函数（为常数）的对称轴为，下列说法中正确的是（   ） A．图象与轴的交点可能在轴负半轴上 B．该二次函数的最小值为 C．图象与轴有一个交点 D．若点，在该函数图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，灵活运用二次函数的对称轴公式、顶点坐标公式、与坐标轴的交点判定方法以及函数的增减性是解题的关键．根据二次函数对称轴公式，先由对称轴为求出参数的值，确定函数解析式；再分别分析函数与轴、轴的交点情况、函数的最小值，以及抛物线上点到对称轴的距离与函数值大小的关系，从而对各选项进行判断． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ， ， 令，， 图象与轴的交点在轴正半轴上，错误； 函数开口向上，当时，，错误； ，， 图象与轴没有交点，错误； 开口向上的抛物线，离对称轴越远，函数值越大， 对称轴为： 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ， ，正确． 故选：． 【变式1】（2026·陕西渭南·一模）将二次函数（a、h为常数，）的图象向右平移2个单位长度，得到的新二次函数中部分x与y的对应值如下表： x … 1 2 3 4 … y … 7 4 … 则关于新二次函数的说法不正确的是（） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的平移可得新二次函数为，由表可得，当时，；当时，，代入解析式求解即可得到a，h的值，从而得到新二次函数的解析式，根据二次函数的图象及性质即可判断各个选项． 【详解】解∶将二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到新二次函数为，即， 由表可得，当时，；当时，， ∴，解得， ∴新二次函数为． ∴其图象开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， 当时，． 综上所述，选项A、B、D正确，选项C错误． 【变式2】（2026·广东珠海·一模）已知二次函数，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得出答案． 【详解】解：∵ ，， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，B、C选项说法正确， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，因此D选项说法错误． 综上，只有D选项符合题意． 【变式3】（2026·江苏连云港·模拟预测）关于二次函数，下列说法正确的是 （   ） A．图像的对称轴在轴的右侧 B．图像的顶点坐标为 C．的最小值为 D．图像与轴没有交点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；根据二次函数的顶点形式，分析对称轴、顶点、最值及与轴的交点情况． 【详解】解：∵ 二次函数为 ， ∴ 对称轴为直线 ，在轴左侧，选项A不符合题意； 顶点坐标为 ，选项B不符合题意； ∵ ， ∴ 函数有最大值，最大值为 ，无最小值，选项C不符合题意； 令 ，得 ，即 ，无实数根， ∴ 图象与轴没有交点，选项D符合题意． 故选D． 命题点02 利用二次函数的性质比较大小 【典例】（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线的图象经过，，其中，且当时，y值随x值的增大而增大，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对抛物线配方得到对称轴和顶点坐标，根据已知增减性判断开口方向，再计算两点到对称轴的距离，结合开口向下抛物线的性质比较函数值大小即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，顶点纵坐标为， ∵当时，随的增大而增大，在对称轴左侧， ∴抛物线开口向下，， ∵开口向下时抛物线顶点为最高点， ∴抛物线上所有非顶点的点纵坐标都小于， 设点A，B到对称轴的距离分别为和， ∵， ∴，， ∵， ∴，即点离对称轴更远， ∵抛物线开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小， ∴． 【变式1】（2026·福建三明·一模）已知点，和都在关于的二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵， ∴． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】将代入两个函数得到和的表达式，再结合各选项中，的大小关系，比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：依题意，，， ∴ 若， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，即，C正确，D错误． 若，，，，得，，A错误． 若，，无法确定的正负，无法得到，B错误． 命题点03 画二次函数的图象 【典例】（2026·河南周口·一模）已知关于x的二次函数，x与y的几组对应值如表所示． x … 2 … y … 1 … (1)求a，c的值． (2)求二次函数的对称轴，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)若抛物线上有两点，，当，时，均满足，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)，画图见解析 (3) 【分析】（1）根据表格中的对应数据列方程组求解即可； （2）根据二次函数对称轴为直线求解，根据二次函数特征画图； （3）根据二次函数图象得知抛物线开口向下，根据题意结合图象，，，满足条件，计算解得t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意，得，解得， ∴，； （2）解：由（1）得， ∴二次函数的对称轴为直线， 作图如下， （3）解：， ∵，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，且和时的函数值相等， ∵当，时，均满足， ∴，， ∴． 【变式1】（2026·广东茂名·一模）在“桥梁设计”项目式学习中，某数学小组需要分析一种桥拱截面轮廓线的力学特性．该轮廓线对应的函数关系为（单位：米），其中表示距桥面基准线的垂直高度．小组将工程问题抽象为数学问题进行以下探究： (1)列表（完成以下表格）： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 3 4 0 5 12 ．．． (2)描点并画出该桥拱截面轮廓线的图象； (3)根据图象完成以下问题： （i）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点，，则不等式的解集是___________； （ii）设函数的图象与轴交于两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有3个交点，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（i）或（ii）①直线的解析式为；② 【分析】（1）把分别代入和，求出和的值，再填表即可； （2）根据表格中的数据描点，连线可得函数的图象； （3）（i）根据函数图象可得出不等式的解集； （ii）①运用待定系数法求出的解析式即可； ②画出函数图象，当直线平移时发现，直线与二次函数有三个交点时，直线与相切时可得结论． 【详解】（1）解：当时，； 所以，． 当时， 所以，． 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 12 5 ０ 0 5 12 ．．． ．．． 12 5 ０ 3 4 3 0 5 12 ．．． （2）解：描点，连线如图： （3）解：（i）由图象得： 不等式的解集为：或； （ii）①根据题意得，， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， 所以，直线的解析式为； ②当时，函数解析式为， 当直线沿轴平移个单位后与函数图象相切时，与函数的图象恰好有3个交点， 平移后的直线解析式为， 联立方程得， 整理得， ∵平移后的直线与函数图象相切， ∴方程有相等的实数根， ∴， 解得：． 【变式2】（2026·河南周口·模拟预测）新考向  通过实验研究发现：当音量x（单位：）满足时，听觉舒适度y与音量x之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示． 音量x/ 40 45 50 55 60 65 70 听觉舒适度y 1 6 9 10 9 6 1 (1)求该二次函数的解析式； (2)在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (3)在家听音乐时，王林听到的音量x与所坐位置到音箱的距离d（单位：m）的关系如图2所示．若他希望听觉舒适度不小于6，根据此实验研究结果，求出王林所坐位置到音箱的距离d的取值范围（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、从函数图象获取信息等知识． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式， （2）根据表格数据和（1）中解析式画出二次函数的图象即可； （3）由表格数据，当时，或65，由图2可得，当时，，当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由二次函数点的坐标对称性质可设该二次函数的解析式为：， ∵经过点， ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为：， （2）解：依据题意，得函数图象如下： （3）解：由（1）知函数解析式为， 根据表格或图像可知：当时，或65， 若王林希望听觉舒适度不小于6， 根据数形结合可知：， 由图2知，当时，对应的距离d约为； 当时，对应的距离d约为； ．（注：本题答案不唯一，答案在合理区间即可，d的最小值在0.5～0.8之间，d的最大值在6.5～7.2之间） 【变式3】（2025·贵州遵义·一模）已知二次函数部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 a 0 … (1)请在平面直角坐标系中根据以上数据进行描点、连线，画二次函数图象； (2)请写顶点坐标：________， _______ (3)当时，写出方程的解． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数顶点式的性质是关键． （1）根据描点、连线，画二次函数图象即可； （2）根据二次函数的顶点式进行解答即可； （3）根据图象和顶点坐标进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：∵当和时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，， ∴顶点坐标为， ∵当和时，函数值相等， ∴， 故答案为：，； （3）解：根据图象的顶点坐标为，可知二次函数方程的解为． 命题点04 二次函数中平移问题 【典例】（2026·四川达州·一模）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接,,则可知图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积，由题意易得点、的水平距离即为该平行四边形的高，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接,, ∴阴影部分的面积为平行四边形， ∵，， ∴点的水平距离为， ∴, ∴， ∴抛物线向上平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为． 【变式1】（2026·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象平移后经过点，下列平移方式正确的是（   ）． A．向右平移1个单位，向下平移1个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位 【答案】C 【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，求出各选项平移后的解析式，代入点验证即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：平移后解析式为，当时，，不符合题意； 对于选项B：平移后解析式为，当时，，不符合题意； 对于选项C：平移后解析式为，当时，，符合题意； 对于选项D：平移后解析式为，当时，，不符合题意． 【变式2】（2026·陕西西安·三模）已知二次函数，当时函数值y有最大值1，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则b的值为（   ） A． B． C．或 D．或1 【答案】C 【分析】由二次函数图象平移的规律得，由经过原点得，由抛物线的对称轴为直线，①当时，②当时，由二次函数的最值即可求解． 【详解】解：二次函数向右平移3个单位长度后，得， ∵平移后的二次函数经过原点， ∴， 解得， ∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ①当时， ∵当时，函数值y有最大值1，， ∴当时，， ∴， 将代入得：， 解得； ②当时， ∵当时，函数值y有最大值1， ∴当时，， ∴， 将代入得：， 解得， 综上，b的值为或． 【变式3】（2025·广西·一模）把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，关键是把沿直线方向的平移分解为水平方向和竖直方向的平移． 先求原抛物线的顶点，再根据平移方向和距离确定平移方式，平移后顶点在原抛物线上，代入方程求解． 【详解】原抛物线可化为，顶点为， 已知直线，当时，；当时，， 一次函数过点，， ， 平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位或向左平移个单位，向下平移个单位， 新的顶点为或， 当顶点为时， ， ， ， ， ； 当顶点为时， ， ， ， ， ，与 矛盾； 故． 故选：． 命题点05 已知二次函数对称的两点求对称轴 【典例】（2026·陕西西安·一模）二次函数（a，b，c为常数，a0）的图象经过三点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，则可求出对称轴，得到a与b的关系，再由B点坐标得到c的值，最后代入式子计算即可． 【详解】解：∵二次函数经过，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴ ∵二次函数的图象经过， ∴将代入解析式得， ∴． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点与点关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线交轴于点， ∴点与点关于直线对称， ∵， 即点在与之间， 点在与之间， ， 故选：C． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）已知二次函数的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴的交点横坐标是，根据抛物线的对称性可得图象与x轴正半轴交点M的横坐标是． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴的交点横坐标是， 图象与x轴正半轴交点M的横坐标是． 故选：C． 命题点06 根据二次函数的对称轴求函数值 【典例】（2026·陕西西安·三模）已知二次函数的函数图像经过，两点，则的值可能是（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称性得到抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，根据完全平方公式判断出，则，求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵二次函数的函数图像经过，两点， ∴， 解得：或． 只有2在范围内， 即的值可能是2． 【变式1】（2025·河南濮阳·一模）如图，抛物线经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是________． 【答案】， 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点，正确得出抛物线与轴的交点坐标是解题关键．先通过对称轴得出的对称点，即为抛物线与轴的交点，再求出一元二次方程的根即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点是，对称轴为直线， 设另一个交点的坐标为， ∴，解得， ∴抛物线与轴的另一个交点是， ∴一元二次方程的解是：，． 故答案为：，． 【变式2】（2025·江苏扬州·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：则________．（填“>”“<”或“=”） … 1 3 … … … 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质等知识，综合性较强，难度较大．先根据点，，画出二次函数大致图像，即可得到抛物线对称轴为，再求出点距离对称轴个单位，点距离对称轴个单位，结合函数图像即可得到． 【详解】解：如图，根据点，，画出二次函数大致图像， 根据抛物线的对称性得对称轴为， ∴点距离对称轴个单位， 点距离对称轴个单位， ∵， ∴． 故答案为：． 命题点07 待定系数法求二次函数解析式 【典例】（2026·河南周口·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】利用待定系数法将，，代入求解即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得 ∴该二次函数的解析式为． 【变式1】（2026·安徽安庆·一模）新定义：对于给定的二次函数，我们把形如的函数称为二次函数的“友好关联函数”，运用此定义解决下列问题： 已知二次函数． （1）请写出这个二次函数的“友好关联函数”的表达式____________； （2）若点和点在这个二次函数的“友好关联函数”的图象上，请写出直线与该“友好关联函数”图象的交点坐标（除了、两点）____________． 【答案】 【分析】（1）充分理解“友好关联函数”的定义，再结合二次函数，进行分析，即可作答； （2）理解题意，再进行分类讨论，确定；同理确定，再由待定系数法确定直线的函数解析式为，再分两种情况分析：当时，当时，联立两个函数求解即可． 【详解】解：（1）∵的函数称为二次函数的“友好关联函数”．且二次函数． ∴这个二次函数的“友好关联函数”的表达式； （2）∵， ∴点在函数上， ∴， ∴点； 当时，把代入，得， 解得或（舍去）； 当时，把代入，得， 整理得：， ， ∴方程无解； ∴； 设直线的函数解析式为， 代入得：，解得：， ∴， 当时，联立得： 解得：（与点B重合，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当时，联立得： 解得：（与点A重合，舍去）或， ∴直线与该“友好关联函数”图象的交点坐标为． 【变式2】（2026·浙江舟山·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断出抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，抛物线与y轴交于点，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上 ∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 ∵当时， ∴抛物线与y轴交于点 当时， ∵ ∴，不符合题意； 当当时， ∵ ∴对称轴到的距离小于对称轴到的距离 ∴，即； ∴； 当对称轴在点和点之间时，即当时， ∵ ∴对称轴到的距离小于对称轴到的距离 ∴，即 ∴ 当对称轴在点右边时，即当时， ∵ ∴，不符合题意； 综上所述，t的取值范围是． 中考预测题 1．如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D．点在该函数图象上 【答案】B 【分析】连接，交于点O，过点Q作于点H，结合菱形的性质得，，，进一步判定，有，根据题意可知点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，则和，结合图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，进而分：点Q在线段运动时，解得、和，利用勾股定理求得为，即可得到点E的信息；当点Q在线段运动时，同理可得，，，和，则，利用勾股定理求得 ，代入点即可． 【详解】解：连接，交于点O，过点Q作于点H，如图， ∵菱形中，， ∴，，，， ∴为等边三角形． 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动， 由图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则， 那么，，，由图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合， 当点Q在线段运动时， ∴，，， ∴，解得，， 则， 那么，为 ， 当时即为图2的点E，， 当时，， 当点Q在线段运动时， 同理可得，，， ∴，， 则， 那么，为 ， 当时，， 故选∶B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用和二次函数的应用，解题的关键是应用动态的思想找到菱形的边长． 2．已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将A，B两点坐标代入抛物线解析式，得到关于的表达式，再根据确定的范围并比较大小即可． 【详解】解：∵ 点，在抛物线上， ∴ 将代入解析式得， 将代入解析式得， ∵ ， ∴ 对，不等式同乘得，三边加得；对，三边加得， ∴，即． 3．已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（   ） A．无论实数a取什么值，都有 B．无论实数a取什么值，都有 C．可以找到实数a，使得 D．可以找到实数a，使得 【答案】C 【分析】把代入解析式可得，可判断A选项；把代入解析式可得，从而得到，可判断B、D选项；再由当时，此时，可判断C选项． 【详解】解：当时，， ∴， 即，故A错误，不符合题意； 当时，， ∴， 即，故B、D错误，不符合题意； 当时，此时， 即可以找到实数a，使得，故C正确符合题意． 考点三 二次函数的图象与系数的关系 《解题指南》 高频考点专项突破 考点1：判断abc的符号 1.先看（开口）和（对称轴位置），确定的符号； 2.再看（与y轴交点），的符号就是与符号的乘积。 例：开口向，对称轴在y轴右侧（a，b异号→），交y轴正半轴，则 考点2：判断的符号 直接看抛物线与x轴的交点个数： ①2个交点：；②1个交点：；③无交点： 拓展：等价于，等价于：，等价于。 考点3：判断等的符号直接用特殊点代入法： ①时，，看图象上处的点在x轴上方还是下方； ②时，，看图象上处的点在x轴上方还是下方； 考点4：判断2a+b、2a-b的符号 利用对称轴公式变形： ：由移项得，当时，，所以看对称轴和1的关系； ：当时，，变形为，看对称轴和-1的关系。 命题点01 二次函数图象与系数关系（压轴） 【典例】（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点及特殊点的函数值，结合二次函数的系数与图象的关系，逐一分析四个结论的正误． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， 抛物线对称轴在轴右侧，对称轴为直线， ， 又， ， ，故结论①正确，符合题意． 由图可得抛物线顶点的纵坐标大于， 顶点纵坐标公式得， 又，不等式两边同时乘（负数），不等号方向改变， ，故结论②正确，符合题意． 抛物线过点、 ，， 即， ，故结论③错误，不符合题意． 抛物线经过点， 当时，，故结论④正确，符合题意． 故正确的结论是①②④． 【变式1】（2026·江西新余·一模）二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与x轴的交点为和点B；与y轴的交点在与之间（包括端点）．①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．其中正确结论是______． 【答案】①④⑤ 【分析】根据二次函数的图象与轴有两个交点，得，可判断①；根据对称轴为，得，根据二次函数图象交x轴于点，得，得，可判断②；根据点，，都在抛物线上，且的对称点为，当时，y随x的增大而增大， ，得，可判断③；根据直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，和方程无实根，可判断④；根据二次函数的图象交y轴于点，得，由，得，由顶点，得，得， 即得，可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和点， ∴， ∴①正确； ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∵对称轴为， ∴， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴②不正确； ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，，都在抛物线上，的对称点为，且， ∴， ∴③不正确； ∵直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交， ∴方程无实根， ∴④正确； 对，令，则， ∴二次函数的图象交y轴于点， ∴， ∵， ∴ 把代入， 得． ∴， 即． ∴⑤正确． ∴正确的有①④⑤． 【变式2】（2026·四川内江·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤；其中结论正确的是______（填写序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用到对称轴的距离进行判定求解；⑤当时，取得最大值求解． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ， ∵对称轴为直线， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∵对称轴为直线， ，即， ∴，故结论②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即，故结论③正确； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴到对称轴的距离分别为， ∴，故结论④错误． ∵当时，取得最大值， ∴当时，， ∴，故⑤错误， 综上所述，正确的结论是①②③． 【变式3】（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图像如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交于，下列结论①；②；③有两个不相等的实数根；④；其中正确的个数为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质．正确读图，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 根据二次函数的图像和性质，逐一分析即可． 【详解】解：①∵函数图像开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴   ∴，，， ∴，故①错误； ②∵二次函数与x轴交于，且对称轴为， ∴与x轴另一个交点为， 将代入 得： 将代入，得， 由图像可知，，故②错误； ③将变形得：， 由图像可知，二次函数与直线一定有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ④将代入 得： 整理得： 将代入，得， 将代入 得： 将代入，得， （1）+（2）得：，故④正确； 所以正确的个数为2个， 故答案为：2． 命题点02 函数图象综合判断 【典例】（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象得到，再判断一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ； 一次函数经过第一、二、四象限， 反比例函数图象在第一、三象限； 只有C选项同时符合两个函数的位置特点． 【变式1】（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，则一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式、一次函数与反比例函数的图象特征；解题的关键是由二次函数顶点坐标确定的符号，进而判断一次函数和反比例函数图象经过的象限．由二次函数的顶点为，得对称轴为直线，即，将顶点坐标代入得；由顶点纵坐标-2为最小值，知抛物线开口向上，即，则，一次函数中，，图象经过第一、二、三象限；反比例函数中，图像在第一、三象限：结合选项图像特征得出正确选项． 【详解】解：二次函数图象的顶点为 可设，即 该二次函数图象的对称轴为 一次函数为，即， 一次函数的图象恒经过定点，排除． 当时，，排除D． 故选A． 【变式2】（2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到，，然后判断一次函数的图象． 【详解】解：∵反比例函数图象在第一，三象限 ∴ ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， ∵二次函数的图象开口向下，顶点在第一象限 ∴， ∴ ∴ ∴一次函数的图象y随x的增大而减小， ∴一次函数的图象大致是： 【变式3】（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数的图象大致如图所示，则函数和的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线可得，，则，，再由一次函数与反比例函数经过的象限即可判断． 【详解】解：由抛物线可得，， ∴， ∴直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限 故D选项符合题意． 命题点03 二次函数中最值问题 【典例】（2026·陕西西安·二模）已知二次函数（a为常数），当时，y有最大值，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标；再结合给定的最大值和最小值，分析函数在时的增减性与最值取得的位置，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数解析式为，将其化为顶点式： ． ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，函数取得最大值． ∵的最大值为， ∴必须在取值范围内，即． 抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，到对称轴的距离为． 函数的最小值为， 将代入解析式得， ∴函数在处取得最小值， 要保证在时的最小值，则需满足，即到对称轴的距离不大于到对称轴的距离， ∴， 解得， 综上，的取值范围为． 【变式1】（2026·陕西宝鸡·一模）已知抛物线（为常数，），当时，取得最小值，当时，取得最大值，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，再根据最值位置确定区间端点的范围，解不等式得到m的取值范围． 【详解】对抛物线配方得：， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为，在处取得最大值， ∵，且时取得最大值， ∴， 解得 ， 又时取得最小值，二次函数在闭区间的最小值出现在离对称轴更远的端点处，到对称轴的距离为，因此区间右端点到对称轴的距离不超过3，即： 化简得， 解得 ， 取两个不等式的交集得， 故选：A． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，若点，，，则的最小值为__________． 【答案】 54 【分析】利用平面直角坐标系内两点间距离公式表示出和，代入所求式子整理为关于的二次函数，再用配方法求出二次函数的最小值即可． 【详解】解：根据两点间距离公式，得 则 ； ∴， ∴的最小值为54． 命题点04 利用二次函数的对称性求最短路径 【典例】（2025·湖北·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意可得抛物线的解析式为，分析可知当最小时，的周长最小，利用轴对称分别作出点M关于x轴和y轴的对应点，分别求解出直线的解析式，找到最短路线，分别求出的值，比较两种情况取值更小的结果即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线，，是抛物线上的一点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴，， 的周长为，且是定值，所以只需最小； 如图，过点，作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P， 设直线的解析式为， 由点，和点，可得， 解得：， ∴直线的解析式为，当时，，即，； ，，，，， ∴， 此时的周长为； 同理，如图，过点，作关于x轴对称的点，，连接，与x轴的交点即为所求的点P， 设直线的解析式为， 由点，和点，可得， 解得：， ∴直线的解析式为，当时，，即，， ，，，，， ∴， 此时△PMN的周长为； ，， ∴， ∴点P在y轴上时，的周长最小，此时点P的坐标是，． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称－－最短路线问题、二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、平面直角坐标系中两点距离公式，在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是要在坐标轴上找一点P，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P，要分类讨论比较后再判断． 【变式1】（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，，连接，，当P、B、C三点共线时，取得最小值，然后求得直线的解析式为，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：当时，则有， ∴， 由可知：对称轴为直线，当时，则有， 解得：， ∴， 连接，，如图所示： 由轴对称可知：，所以， ∴当P、B、C三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，则有， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴，即， ∵， ∴； 故选A． 【变式2】（2026·四川绵阳·二模）如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心坐标及圆与坐标轴相切得出圆的半径，设圆上任意一点坐标为，由半径得，，那么圆上任意一点的横纵坐标满足方程 ，再联立与得到一元二次方程，根据直线与圆有公共点，利用一元二次方程根的判别式 建立关于 b 的不等式，最后利用二次函数的图象与性质解不等式即可． 【详解】解：圆心 ， ∴圆心到轴，轴的距离为 ∵与轴，轴均相切， 的半径， 设圆上任意一点坐标为， 由半径得， ∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程， 当图象与有公共点时， 联立与， 得： ， 整理得：， 关于 的一元二次方程有实数根， ， 整理得，. 令， 解得， 令， ∴不等式的解集，即为抛物线在轴下方时，对应于轴交点横坐标的取值范围， ∵，抛物线开口方向向上， 不等式的解集为． 【变式3】（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________． 【答案】4 【分析】通过证明，可得，可求的长，由三角形的面积公式和二次函数的相知可求解最大值． 【详解】解：过点作直线于， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的最大值为， 【变式4】（2026·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】先将已知点坐标代入二次函数解析式求出的可能取值，再根据对称轴位置确定符合条件的的值，最后计算二次函数的最小值即可． 【详解】解：二次函数中，，因此二次函数开口向上，有最小值． 二次函数图象经过点， 将代入解析式得：， 整理得， 解得或． 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴公式为， ， 解得， 因此舍去，得． 将代入二次函数解析式得：， 配方得， 因此该二次函数的最小值为． 【变式5】（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 中考预测题 1．如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有， ∴，故①错误；，故②正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，即，故③正确； 由图象可知当时，则有；当时，则，由可得，故⑤错误； ∴根据二次函数的对称性可知：当和时，其对应的函数值相等， ∴当时，，故④正确； 综上所述：正确的结论有②③④共3个． 2．已知二次函数的图象开口向上，与轴交于和，则下列关系正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于和， ，对称轴为直线，关于的一元二次方程的两根为，， ，， ， ． 3．在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格： 2 以下五个结论：①点在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直线对称；④点，，若，则；⑤若直线与函数的图象有个公共点，则．其中正确的结论是______．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把代入函数解析式求出的值即可判断①；由绝对值的性质可得即不管取何值，始终有，即可判断②；根据表格对应的数值可判断③；根据二次函数的性质可判断④；画出图象可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点在函数的图象上，故①正确； 当时，， 当时，， 即不管取何值，始终有， ∴函数的图象一定不经过第四象限，故②正确； 由表知，函数的图像关于直线对称，即关于轴对称，故③错误； ∵当时，，随的增大而减小， ∴点，，若，则，故④正确； 由②可知，， 画函数图象如下： 当时，， 由图象可知，当直线与函数的图象有个公共点时，，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 考点四 二次函数与方程组或不等式组综合 《解题指南》 题型1：二次函数与方程组综合(求交点/求解析式) 1.求两个函数的交点坐标 解题步骤： 1.联立：将两个函数解析式联立成方程组。 例：。 2.消元：代入消元，转化为一元二次方程(或一元一次)。 即： 3.求解：解方程求出，再代回求。 结果即为交点坐标。 2.利用交点求二次函数解析式(待定系数法进阶) 解题技巧： 若已知抛物线与x轴的两个交点，直接设交点式：( 若已知抛物线与直线的交点，通常先联立求，再代点求。 题型2：二次函数与不等式组综合(求范围/比大小) 1.利用图象解不等式(数形结合)核心口诀： ：找图象上方的部分，对应的范围。 ：找图象下方的部分，对应的范围。 关键点：先求交点横坐标，作为范围的分界点。 命题点01 图象法解不等式 【典例】（25-26九年级下·江苏扬州·开学考试）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用图象法解一元二次不等式，理解不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围是解题的关键．根据不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【变式1】（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 【变式2】（2025·辽宁·一模）已知函数，其中为常数．若该函数的图像显示随着的增大而增大，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数解不等式，将原函数分左右两端，根据二次函数的性质解答即可，熟练利用二次函数解不等式是解题的关键． 【详解】解：左段函数为， 该函数开口向下，对称轴为直线， 要使该函数的图像显示随着的增大而增大， 则， 右段函数为， 该函数开口向上，对称轴为直线， 要使该函数的图像显示随着的增大而增大， 则，解得， 当时，左段函数值要小于等于右段函数， 即， 整理可得， 令， 解得，， 根据二次函数的图象可得的解集为或（舍去）， 综上，， 故答案为：． 命题点02 根据交点确定不等式的解集 【典例】（2026·江苏连云港·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 【变式1】（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【答案】或 【分析】先求得的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围． 【详解】解：令，可得， ， 令，可得，解得， ， 由图可得关于x的不等式即的解集为或． 【变式2】（2026·江西鹰潭·一模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； 【答案】(1)直线的解析式为；抛物线的解析式为 (2)或 【分析】（1）把、代入，求出抛物线表达式，再求出，用待定系数法求出直线表达式即可； （2）根据直线与抛物线交于、两点，得出结论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 当时，， 解得：， ， ∵直线经过点 B， C， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，直线与抛物线交于、两点， ∴不等式的解集是或． 中考预测题 1．在直角坐标系中，当时，抛物线的图象总在直线的下方，则t的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先对含参数的抛物线配方，根据抛物线在直线下方的条件得到一元二次不等式，求出的解集为，要使得任意，恒成立，则，且，故为求的最大值，则，再由换元法求解即可． 【详解】解：首先对抛物线配方：， 抛物线在直线下方，即对任意，满足， 整理得， 令， 解得，其中 ∴的解集为 要使得任意，恒成立， 则，且， ∴为求的最大值，则 ， 令，则 ∴ ， 则， ∴， ∵ ∴． 2．已知二次函数的图象顶点为M，图象上有一点满足，若是函数图象（段）上的一点（不与P，M重合），令，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式得到，由点P在函数图象上得到 ，结合题意得到，则，由此确定点坐标为 ，根据点 是段上不与P、M重合的点，得到，即，结合题意即可求解． 【详解】解：∵函数 的顶点为，且点 在函数图象上， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ，两边同除以 得：，则， 代入得 ，则， ∴点坐标为 ，且， ∵ 是段上不与P、M重合的点， ∴ ，即， 又∵在函数图象上，， ∴ ，即， 故选：D． 3．已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且．若点在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 先根据二次项系数判断抛物线开口方向，再结合抛物线与x轴的交点位置，根据开口向上抛物线的函数值正负对应的自变量范围，判断选项的正确性． 【详解】解：∵ 对任意实数a，， ∴ ，即该二次函数抛物线开口向上， ∵ 抛物线与x轴交于、，且， ∴ 根据开口向上抛物线的性质，可得： 当时，；当时，或， ∵ 点在抛物线上，即， ∴ 当时，， 当时，或． 对于选项A：当时，，而不一定成立，故该选项错误，不符合题意； 对于选项B：当时，或，故该选项错误，不符合题意； 对于选项C：当时，或，故该选项错误，不符合题意； 对于选项D：当时，，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 考点五 二次函数与几何综合 《解题指南》 必备基础工具(所有大题必考公式) 1.点坐标基础 设抛物线上任意一点P(x,y) 点到x轴距离：|y| 点到y轴距离：|x| 两点距离公式： 2.铅垂高面积公式(中考万能，90%面积题必考)抛物线与直线围成三角形面积 设直线与抛物线交点：A，B，抛物线上动点P 水平宽： 铅垂高：h=动点纵坐标一直线纵坐标(上下作差) 优点：不用勾股、不用复杂距离公式，直接用坐标算面积，最快。 3.平行、垂直坐标关系 ①水平线段：纵坐标相等，长度=横坐标之差的绝对值 ②竖直线段：横坐标相等，长度=纵坐标之差的绝对值 ③两直线垂直：斜率乘积=—1（初中记：横差比=纵差比倒数相反数） 命题点01 二次函数综合之线段周长问题 【典例】（2026·山东潍坊·一模）已知二次函数，其中k为常数． (1)证明：不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点； (2)将该函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度，得到的新二次函数的图象与x轴的交点分别为，，且，记线段的长度为d，求d的最小值； (3)该二次函数与一次函数的图象交于点M，过点作x轴的垂线，分别交二次函数和一次函数的图象于点P、Q，若，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)或 【分析】（1）证明判别式大于0，即可得出结论； （2）根据二次函数的平移规律得到新的二次函数解析式，令，由韦达定理可得，，从而得出，即可得解． （3）先表示出点、的坐标，从而得出，联立二次函数与一次函数，求出交点坐标，从而得出，再根据，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，即， 不论k取何值，该二次函数的图象与x轴始终有两个不同的交点； （2）解：， 将该函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，再沿x轴向右平移1个单位长度， 得到的新二次函数为， 令，则， ∵新二次函数的图象与x轴的交点分别为，， ∴，， ， ∵记线段的长度为d， ， 的最小值为1； （3）解：当时，， 当时，， ，， ， 联立， 整理得：，即， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，． 综上可知，k的值为或． 【变式1】（2026·黑龙江鸡西·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），其中点，． (1)求抛物线的解析式，直接写出顶点坐标． (2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． 【答案】(1)解析式为，顶点坐标为 (2)点坐标为，最小值为． 【分析】（1）将点A，C的坐标代入抛物线，组成方程组，即可求解； （2）令，可得点B的坐标，由此可得，，作点C关于x轴的对称点，过点作于点， 与x轴的交点即为所求点P，连接，可得的最小值为，求出点P的坐标及即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：由， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 作点C关于x轴的对称点，过点作于点，与x轴交于点P，连接， ∵，， ∴， 由对称可得，， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴当点的坐标为时，的最小值． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当线段最短时，求点的坐标； (3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 【答案】(1) (2)点P的坐标为； (3)的值为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据点B和点C的坐标可得直线的解析式为，设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可； （3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵和 ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 又∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴当时，最短， ∴当时，； ∴点P的坐标为； （3）解：当时，； 当时，； ， ∴抛物线的对称轴为； ①当时，即，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ③当时，即，此时最大值为， ∴最小值为， 若，则或（舍去）； 若，则或（舍去）； 故的值为或． 【变式3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②将直线平移，若直线与第一象限的抛物线和线段（不包括点B和点C）分别交于点M，N，在平移过程中，求出线段长度的取值范围； ③如图③，E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，，则的最小值是______． 【答案】(1) (2)①；②；③5 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与轴相交于点，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可； ②如图②，过点作轴，交线段于点．由①可知．由平移，得，则，结合轴，得出，则，在中，．设点的横坐标为．则，求出直线的解析式，根据轴，点在线段上，得出．表示出，再根据二次函数的性质即可求解； ③过点作，且，连接，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可； 【详解】（1）解：∵在二次函数的图象上， 设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， ， 如图，延长与轴相交于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵点是直线与二次函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ． ②如图②，过点作轴，交线段于点． 由①可知． 由平移，得， ， ∵轴， ， ， ， ∴在中，． 设点的横坐标为． ， 设直线的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． ∵轴，点在线段上， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值为． ∴． ∴的最大值为． ∵， ∴． ③如图，过点作，且， 连接， 设交轴为点． ，且， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 当时，最小，即最小， ， ， 此时三点共线且轴， ∴点的坐标为与点重合，满足在线段上． ∴的最小值为5． 命题点02 二次函数综合之面积问题 【典例】（2026·河北廊坊·一模）抛物线：（m为常数，）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为点P． (1)如图1，若点C的坐标为． ①求抛物线的函数解析式及点P的坐标； ②过点P作x轴的垂线，垂足为Q，与直线交于点M，求的长； (2)设点B到直线的距离为，点P到直线的距离为，，判断h是否为定值，如果是，求出h的值；如果不是，说明理由； (3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线与y轴交于点F，抛物线，相交于D，E两点，若四边形的面积为，直接写出m的值． 【答案】(1)①，；② (2)h为定值，2 (3)m的值为3 【分析】（1）①将代入求出，即可得到抛物线的解析式；然后配方成顶点式即可求出点P的坐标； ②首先求出，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式为，然后求出，进而求解即可； （2）首先求出，，，，直线的函数解析式为，然后求出，然后得到，分别过点P，B作的垂线，垂足为G，H，则，，解直角三角形表示出，，然后代入求解即可； （3）作直线，得到抛物线和抛物线关于原点对称，推出，，四边形为平行四边形，设点，则点，联立求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C的坐标为， ∴代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； ∴， ∴点； ②∵抛物线的解析式为 ∴当时， 解得，， ∴． 设直线的函数解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴， ∴； （2）解：h为定值2； ∵抛物线： ∴当时，， 解得，， ∴，． ∴，， 又∵， ∴ ∴直线的函数解析式为． 在中，，， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，， ∴． 如图1，分别过点P，B作的垂线，垂足为G，H，则，． 在和中，， ∴． 在中，， 在中，， ∴，为定值； （3）解：如图2，作直线， ∵将抛物线绕点旋转，得到抛物线 ∴抛物线和抛物线关于原点对称 ∴，， ∴四边形为平行四边形． 设点，则点， ∴可得直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式，得， 解得（负值舍去）． ∴， ∴四边形的面积为，即， 解得． 【变式1】（2026·湖北襄阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． (1)求b的值和点D坐标； (2)如图，点E是第二象限抛物线上的点，，求点E的横坐标； (3)将抛物线沿竖直方向平移得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点P，设点P的纵坐标为n，点Q在L的对称轴上，点Q的纵坐标为，当点Q与点D不重合时，将点Q绕点D顺时针旋转得到点M，当P、M、D三点不在同一直线上时，设的面积为S． ①求S关于n的函数解析式； ②当L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求出b的值，进而得到抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）过点E作于点F，求出点B的坐标，进而求出，则；设，则，可得方程，，解方程即可得到答案； （3）①可求出抛物线L的解析式为，则，可得到，由旋转的性质可得，，则可得到；②求出当L与线段没有公共点时n的取值范围，再根据（3）①所求求出S随n的增大而增大时n的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点D的坐标为； （2）解：如图所示，过点E作于点F， 由（1）得抛物线的解析式为， 在中，当时，，则， 当时，则， 解得或，则， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴， 解得（已检验）或（舍去）， ∴点E的横坐标为 （3）解：①设抛物线L的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵点P的纵坐标为n， ∴， ∴， ∴抛物线L的解析式为， ∴抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴， 由（1）得点D的坐标为， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴，即轴， ∴； ②如图3-1所示，当抛物线L的顶点恰好是点D时，则， 解得； 如图所示，当抛物线L的顶点在点D下方时，则， 解得， 由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点； 如图3-3所对，当抛物线L的顶点在点D上方，且点M恰好在抛物线L上，且在抛物线L的对称轴左侧时， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时点P的坐标为，即此时D、P、M三点共线； 如图3-4所示，当抛物线L的顶点在点D上方，且点Q在点D下方，点P在点D上方时，则， 解得， 由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点； 如图3-5所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方，且点M恰好在抛物线L上时， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 如图3-6所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方时， 由函数图象可知当点M的横坐标小于时，满足抛物线L与线段没有公共点， ∴， ∴， 综上所述，当抛物线L与线段没有公共点时，或或； ∵， ∴当时，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大，此时不满足题意； 当时 ，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大， ∴当时，S随n的增大而增大； 当时 ，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大， ∴当时，S随n的增大而增大； 综上所述，当或时，S随n的增大而增大， ∴当或时，抛物线L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大． 【变式2】（2026·四川南充·一模）如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式，设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，再表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）可证明，则为定值，则可证明当有最大值时，有最大值；根据，推出，仿照（2）求出取得最大值时点E的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H， 同理可得直线的解析式为， 由（2）得直线的解析式为， ∴， ∴点F到的距离为定值， ∴为定值， ∵， ∴当有最大值时，有最大值； 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值，即此时有最大值， 由（2）可知，此时， ∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 【变式3】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，直线与双曲线在第一象限内交于两点，已知，． (1)分别求出直线和双曲线的函数表达式； (2)设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，当的面积最大时，请求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入求出反比例函数解析式，再将代入反比例函数解析式求出n的值，进而可求直线的函数表达式； （2）设，先求出m的取值范围，再根据题意得到的面积的函数表达式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：， ∴， 将代入得， ∴， 将、代入得： 解得：， ∴； （2）解：设， ∵点是线段上的一个动点， ∴， ∵过点作轴于点，是轴上一点， ∴，到的距离为m， ∴的面积， ∵， ∴当时，的面积最大， ∵在的范围内， ∴当的面积最大时，． 【变式4】（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图：抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，其中， (1)求抛物线的解析式； (2)点G是抛物线上的一点，且满足，请直接写出点G的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)存在；或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）设G的横坐标为m，根据列出关于m的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，解得，， ∴， 又，， ∴， 设点G的横坐标为m， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，； ∴点G的坐标为或． 【变式5】（2026·广东广州·一模）已知抛物线，点，纵坐标为的点在抛物线上，且，过点作直线交抛物线于点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②10 【分析】（1）设，则，然后利用两点距离公式得到关于a的一元二次方程，解方程即可； （2）①设，，利用待定系数法表示出直线的函数表达式为，设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，分别与抛物线联立，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到，，，从而求得，即可解答； ②根据①中所求，可得，，然后利用完全平方公式的变形求得，，接着根据面积公式可求得面积和，即可利用二次根式的性质求得最小值． 【详解】（1）解：根据题意，设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）①证明：根据题意，设，，直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴， ∵过点作直线交抛物线于点，． ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴； ∵，直线交抛物线于点， ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴对于直线，当时，， ∴直线过定点； ②解：由①可得，，；，， 直线过定点，如图： ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴与面积和的最小值为10． 命题点03 二次函数综合之角度问题 【典例】（2026·湖南岳阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线L：交于点和点． (1)求证：点Q为抛物线L的顶点； (2)将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，若抛物线经过点，且点D在抛物线的对称轴左侧，求抛物线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线l，作点关于直线l的对称点B，连接，在直线上是否存在点P，满足？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，点或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法，求得二次函数解析式即可解答； （2）表示出平移后的抛物线解析式，将代入求解，再两种情况讨论即可； （3）过点作于点，作交于点，可得，求得点，再将沿翻折得到，延长交与点，求出另一个点即可． 【详解】（1）证明：把点代入，得， ， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为，即点Q为抛物线L的顶点； （2）解：∵将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得或， 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， 则点D在抛物线的对称轴左侧，符合题意； 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， 则点D在抛物线的对称轴右侧，不符合题意； ∴抛物线的解析式为； （3）解：存在， 令， 解得， ， ， ∴直线l为直线， 作点关于直线l的对称点B， ， 如图，当点在轴上方时，过点作于点，作交于点， ， ， ， ， ， ， ， 此时， 如图，当点在轴下方时，将沿翻折得到，延长交与点， 根据翻折可得， 过点作于点，延长交于点， 根据翻折可得，，， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则，，，， 可得， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 综上，点或时，． 【变式1】（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过P作轴，交于F，求出，从而可得直线解析式为，进而得出直线的解析式为，联立，可得， 设，则，，表示出，结合二次函数的性质可得当时，最大，由是定值，且，可得最大，即可得出结果； （3）设与交于点L，由勾股定理可得，结合二次函数图象平移的性质可得，先证明，从而可得，求出解析式为，解析式为，当时，联立，计算即可得出；设关于x轴对称点为，求出 直线解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：如图，过P作轴，交于F， 在中，令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴当面积最大时，； （3）解：设与交于点L， ， ∵，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴联立， 解得（舍去）或， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—角度问题，求一次函数的解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式2】（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，过作交轴于点，线段在直线上移动且，当取得最大值时，求此时点的坐标及的周长的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点的对应点为点，平移后的新抛物线的对称轴上有一点，点为新抛物线上一动点，若，请直接写出点的坐标，并写出求的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】（1）将代入得到关于a、c的二元一次方程组求解即可解答； （2）利用坐标与图形以及勾股定理可得，易得，如图：过D作于F，则，进而得到，即；再求出直线的函数解析式为， 设点，则，，，，易得 ；再根据二次函数的性质可确定点p的值，进而确定点P的坐标；如图：过P作，在上截取，此时四边形是平行四边形可得，则求出最小值即可；点是P向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即；如图：作点P关于直线的对称点，连接，，易得当共线时，有最小值，即的最小值为；再求出的坐标，最后运用两点间距离公式求出的长，进而求出的周长的最小值； （3）先说明将抛物线向右平移3个单位长度、向上平移3个单位长度得到新抛物线，即新抛物线；易得、；再说明，如图：过F作轴于L，则，易得；再分当点G在右侧和左侧两种情况作答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵抛物线与轴交于点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图：过D作于F，则， ∴，即， ∴， 设直线的函数解析式为， 则，解得：， ∴直线的函数解析式为， 设点，则，， ∴，， ∴ ， ∴当时，最小，此时，； 要求的周长的最小值，即求的最小值，即求出的最小值， 如图：过P作，在上截取，此时四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值， ∵， ∴，即， 如图：过P作轴，过作轴， ∵， ∴， ∴， ∴点是P向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即； 如图：作点P关于直线的对称点，连接，， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值，即的最小值为， ∵点P与点关于直线对称， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． （3）解：∵， ∴，即， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴将抛物线向右平移3个单位长度、向上平移3个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线， ∴平移后的对称轴为，即 ∵点的对应点为点， ∴， 如图：过H作轴于I，则，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图：当点G在右侧时， ∵， ∴， ∴， 设 ，如图：过G作于K，则， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴； 如图：当点G在左侧时，如图：过H作对称轴的垂线交对称轴于J，则，在对称轴上取一点，使得，连接交新抛物线于， ∴，， ∴，即，解得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 则，解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立，解得：或（不合题意舍弃）， ∴． 综上，点G的坐标为或． 【变式3】（2026·天津和平·一模）已知抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，连接． (1)当点D落在该抛物线上时， ①求抛物线的解析式； ②抛物线上的点E的横坐标为m，且，若，求点E的坐标； (2)点M是线段上一动点，连接，点N是射线上一动点，且满足，连接．当的最小值为时，求a的值． 【答案】(1)①② (2) 【分析】 （1）①先根据平移得，再把，分别代入，解得，即； ②算出，则，证明，再求出直线的解析式为，依题意得，解得，，又因为抛物线上的点E的横坐标为m，且，故，故把代入，得； （2）根据二次函数的图象性质，得，，，过点作射线交抛物线于点，在射线上取一点G，使．连接，，再证明，则，又因为的最小值为，即，再结合勾股定理列式计算，得，解得． 【详解】（1）解：①依题意，抛物线与y轴相交于点C， ∴， ∵将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，点D落在该抛物线上， ∴， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， ②由①得，，， ∴， 连接，与y轴相交于点，如图所示： 当时，则， 即， 解得， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴ 即 ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为 把，代入， 得， 解得， ∴， 依题意得， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得，， ∵抛物线上的点E的横坐标为m，且， ∴， 故把代入，得， 即； （2）解：∵抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点， ∴， ∴， 令，则， 解得； ∵抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C， ∴，， ∵将点C水平向右平移2个单位长度得到点D， ∴射线的解析式为 过点作射线交抛物线于点，在射线上取一点G，使．连接，， ∵轴，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵的最小值为 ∴ ∵，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴，（舍去） 【变式4】（2026·安徽合肥·一模）已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且的面积与的面积相等，求出点P的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且满足，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标为 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设直线 为 ，代入 ， ，求得直线 的解析式为 ，要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上，分两种情况讨论即可； （3）设，，由题意可知，作轴于M则，，中直角边满足​或，，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意知抛物线经过，，， 则解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线 为 ， 代入 ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上， 情况一：点 必在过点 且平行于 的直线 上， 过点 作 设直线 为 代入 得 直线 的解析式为 联立直线 与抛物线： 解得或4， 当时，， 则， 情况二：在与 关于 对称的直线 上， 则直线 的解析式为 ， 联立直线 抛物线：，即， ，方程无解， ∴点 的坐标为 ； （3）解：设，， 由题意可知， 作轴于M则 ， ∵， 且，，， ∴中直角边满足 ​或，； ①     ，解得(舍) 或，​     代入得 ​， ② 解得， ， ， ∴点Q的坐标为或． 命题点04 二次函数综合之特殊三角形问题 【典例】（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 【答案】(1) (2) (3)这两盏路灯的坐标分别为 【分析】（1）根据题意，得出点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为，将代入，求出的值，即可得出结果； （2）令，求解对应自变量的值即可； （3）假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，可得垂直于轴，垂足为，且，设点的横坐标为，得，求解出的值，即可得出最终结果． 【详解】（1）解：据题意，可得， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点，点到的距离均为， ∴令， 解得， ∴． （3）解：如图，假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且， 可得垂直于轴，垂足为，且， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 可得， 解（舍去）． 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 即这两盏路灯的坐标分别为或． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，顶点为P． (1)求该二次函数的函数表达式； (2)设二次函数的图象经过点A，B，且与y轴交于点D，顶点为Q．求的值； (3)在（2）的条件下，当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)当是直角三角形时，的值或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点Q和点D的坐标，再表示出即可得到答案； （3）分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴， 该二次函数的函数表达式为； （2）解：∵， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； ∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中， 当时，， 当时，， ∴，， ∵点C的坐标为，点P的坐标为， ∴，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ， ， 当，则，即， 解得，不符合题意，舍去； 当，则，即， 解得（不符合题意，舍去）或； 此时，即，，即， ∴，水平距离为，垂直距离为， ∴； 当，则，即， 解得；此时，即，，即， ∴，水平距离为，垂直距离为， ∴； 综上所述，当是直角三角形时，的值或． 【变式2】（2026·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)的面积的最大值是，此时点坐标为 (3)或或或 【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入平移后的抛物线的解析式中可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，进而求出点D的坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）作轴交于，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题； （3）利用两点间的距离公式得到；再分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ∵， ∴点的坐标为， 把点A的坐标代入得，， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为，即； 在中，当时，，解得，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得，， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为． （3）解：由（1）得， ∴； 当时，则点P的横坐标为或， ∴此时点P的坐标为或； 当时，则点D在的垂直平分线上， ∴的中点的坐标为， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为； 当时，设，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【变式3】（2026·甘肃平凉·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8， (3)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点作轴，交于点，先利用待定系数法，求直线的解析式，设点 ，则点 ，可得，从而，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据二次函数图象平移的规律，可得，设点的坐标为，可得，，，再根据题意，分类讨论：当时，列方程求解即可；当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为； （3）解： 在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下： ，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ， 设点的坐标为， 点，点， ，， 是以为直角边的直角三角形， 或， 当时，， 解得或5，此时点或； 当时，， 解得或，此时点 或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，符合条件的点的坐标为或或或． 【变式4】（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为． (1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴； (2)若，求的取值范围； (3)令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；直线 (2) (3) 【分析】（1）将一般式化为顶点式即可，同时得到抛物线对称轴为直线． （2）根据题意知，得，则抛物线解析式为．进一步结合题意可知， 时，，以及时，，求解即可； （3）由对称轴对称得，连接和，对称轴与x轴交于点E，结合等边三角形，则，则有，解得，结合有，化简得，则有，即可． 【详解】（1）解：，抛物线对称轴为直线； （2）解：由题意可知，， ∴， 故抛物线解析式为． 由题意可知，当时，，即，解得； 当时，，即，解得， ； （3）解：当时，为等边三角形，证明如下： 关于对称轴对称， ． 如图，连接和，对称轴与x轴交于点E， 若为等边三角形，则， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ， 抛物线与轴交于两点，故顶点不可能在轴上， 故， ∴， ∵， ∴， 当时，无论为何值，都存在为等边三角形． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及二次函数的顶点式、二次函数的性质、解不等式、等边三角形的性质和解直角三角形，解题的关键是掌握二次函数的性质． 命题点05 二次函数综合之特殊四边形问题 【典例】（2026·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线经过三点，交轴于点． (1)求a，b的值； (2)在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积； (3)点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）将代入，求出，得到抛物线的解析式，将代入解析式，即可求出b的值； （2）连接，求出直线的解析式为，使的值最小，即点为直线与对称轴的交点，得到，即可求出三角形的面积； （3）当点在轴下方时和当点在轴上方时进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：将代入， 得到， 解得， 故抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得； ； （2）解：抛物线解析式为， ， 对称轴为直线， 连接，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 使的值最小，即点为直线与对称轴的交点， 当时，， ， ； （3）解：①当点在轴下方时，如图， ∴ 抛物线的对称轴为直线，， ∴点纵坐标为， 将代入， 解得或（舍去）， ; ②当点在轴上方时， 过点作轴于点， 在和中， ， ，即点的纵坐标为， ， 解得或 或， 综上所述，符合条件的坐标为或或． 【变式1】（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）先求出点，再将两个点的坐标代入二次函数关系式，求出答案即可； （2）分两种情况：当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，，结合点，可知点D的纵坐标是，再代入函数关系式得出答案； （3）①根据点可得答案； ②当点H，M重合时，求出． 再分两种情况：当点M在点H下方时，当时，矩形内没有函数y的图象；当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，可得取值范围； 当点M在点H上方时，有两种可能：当时，此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大；当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，综合以上情况可得答案． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 当时，， ∴点． ∵点B，C在抛物线上， ∴， 解得， ∴二次函数关系式； （2）解：∵点， ∴，且， ∴． 当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，， ∵点， ∴点D的纵坐标是， 令，， 解得， ∴点； （3）解：①当时，， ∴点，则点． ②抛物线，顶点坐标为． 当点H，M重合时，则 解得． 当点M在点H下方时，如图所示， 即， 由题意，得． 当点H，N达到对称轴两侧对称的位置时，则，则当时，矩形内没有函数y的图象； 当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，即； 当点M在点H上方时，如图， 即或， 当时，，即， 此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大； 当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，则． 综上所述，或． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，分，，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得； （2）解：由（1）知该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 令， 解得或， ∴抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为， 当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小， 此时，，解得（舍去）； 当时，即，此时，随的增大而减小， 此时，，即， 解得或（舍去）； 综上，当时，y的取值范围是，t的值为； （3）解：存在； 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得 ∴， 设，则， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则，即， 解得（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则，即， 解得或（舍去）， 此时菱形的边长为； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或． 【变式3】（2026·山东淄博·一模）如图，已知二次函数（其中，为常数）的图象经过点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，线段的长为． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，求的和的最大值及此时点的坐标； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，顶点关于直线的对称点为．当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)的和的最大值为，点的坐标为 (3)当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）通过论证为等腰直角三角形，得到， 即当取得最大值时，有最大值，设点，求解的最大值即可； （3）分情况讨论四边形为平行四边形和四边形为平行四边形时的点坐标即可. 【详解】（1）解：如图，，，， ， 将、代入， 得， 解得， ， 二次函数的解析式为 ； （2）解：令，得， ， 设直线的解析式为， 代入，解得， 直线的解析式为 ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 当取得最大值时，有最大值， 设点，则， ， ∵，， 当时，有最大值， 的和的最大值为，点的坐标为 ； （3）解：①当四边形为平行四边形时，， 连接，过点作轴于点， 设与直线交于点，如图， ， ∴二次函数顶点为， ∵， ，， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ， 又， 四边形为矩形， ， 点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， ，， ， ， 设，则， ， ， ； ②当四边形为平行四边形时，， 连接，过点作轴于点， 设与直线交于点，如图， 二次函数顶点为，， ，， ， ， ， 又， 四边形为矩形， ， 点关于直线的对称点为， ， ， 过点作轴于点， ，， ， ，， ∴， ； 综上，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或. 【变式4】（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 命题点06 二次函数综合之相似三角形问题 【典例】（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据一次函数可知，的坐标，进而根据可得点是线段的中点，然后根据待定系数法即可求得二次函数表达式； （2）根据是梯形，可知的直线解析式，进而联立方程可知点的坐标，根据割补法即可求解； （3）①过点作,过点作，进而可知，根据相似三角形的性质即可求解；②过点作交对称轴于,过点作交对称轴于，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，一次函数与轴交于点，与轴交于点， 则点，， ∵是直线上一点，且， ∴点是线段的中点， 设点， ∴点， ∴，， ∴点， 将点，点代入抛物线 得 解得： 则抛物线的表达式为：， （2）解：由题可得图， ∵四边形是梯形， ∴, ∵为原点， 则的直线解析式为：， 则联立函数得， 解得或， ∵点在抛物线上，且位于第一象限， ∴, 过点作轴，过点作轴， ， （3）解：①由题可得，过点作,过点作 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点，点 ∴，， ，， 则，， 解得：或， ∵点、都在第三象限， ∴, ∴， ∴． ②由题可得，抛物线的对称轴为， 过点作交对称轴于,过点作交对称轴于， 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点， ∴,， ，。 解得：或（舍去）， 则∴． 综上所述，，． 【变式1】（2026·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线上一点，平分，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点坐标； (3)在直线上取两点（在点上方），连接，使得，求坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为： (2) (3) 或 ． 【分析】（）根据，两点，利用待定系数法求解即可得； （）先由抛物线解析式求出与轴交点的坐标，再在中用勾股定理求出的长度；根据角平分线定理得到与的比例关系，结合的长度求出，从而确定的坐标；接着求出直线的解析式，联立直线与抛物线的方程，舍去点对应的解，得到点的坐标； （）先求出直线的解析式，再利用角平分线的性质得到点到直线的距离等于的长度；结合，根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出与的长度；设出点的坐标，由的长度列方程求解得到的坐标，再根据的长度和直线的斜率求出对应点的坐标，最终得到两组符合条件的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴代入两点坐标得方程组：， 解得 ， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式； 令，得， 即：抛物线与轴交点， 在中，，， 由勾股定理得， ∵平分， 根据角平分线定理：，且， 即： 解得：，即， 设直线解析式为， 代入、得：， 联立直线与抛物线方程：， 整理得：， 解得：（对应点，舍去），，代入直线得 ， ∴点坐标为：； （3）解：设直线的解析式为， 代入、得， 解得：， ∴直线的解析式为， 作，垂足为， ∵平分，， ∴ ∵点在直线上， ∴在直线上，点到直线的距离为定值：， 即：中，边上的高为， 在中，在轴上，边上的高为， ∵， ∴，，即 由，，得，， 设，由得：， 整理解得或， ① 当时，， ，，，计算得； ② 当时，， ，，，计算得； 因此坐标为： 或 ． 【变式2】（2026·四川内江·一模）如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，可知只存在和这两种情况，据此利用相似三角形的性质讨论求解即可； （3）求出直线的解析式为；证明，可推出；设，则，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【变式3】（2026·陕西延安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)点为第四象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交线段于点，当以、、为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为， (2)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出抛物线的表达式，再令，求出的值，即可得出点的坐标； （2）求出直线的解析式为，设，则，，分两种情况：当时；当时，分别计算即可得出结果 【详解】（1）解：∵抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∵以、、为顶点的三角形与相似，且， ∴如图，当时， ， 此时， ∴，即点和点的纵坐标相同， 在中，当时，， 解得：，， ∴此时； 如图，当时， ， 此时，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：，， 此时，即点的坐标为； 综上所述，当以、、为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 【点睛】采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式4】（2026·福建·一模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由对称轴为直线，以及点的坐标得出与的值，即可求出抛物线解析式； （2）由抛物线的对称轴及的长，确定出与两点的横坐标，代入抛物线解析式求出与两点的纵坐标，得出与两点的坐标，再作点关于轴的对称点为点，连接，，交x轴于点D，则点D即为所求，最后利用待定系数法求出直线的解析式，即可解决问题； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设直线与交于点P，过点P作轴，垂足为点H，设与y轴交于点S，则，，进一步得；由已知面积之比求出的长，确定出点的横坐标，代入直线的解析式求出点的纵坐标，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，，且两点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为，点的横坐标为． 把代入抛物线解析式得：， ∴，． 如图，作点关于轴的对称点为点，连接，，交x轴于点D， 则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小． 设直线解析式为，（）， 把代入得，， 解得，， 即直线解析式为， 令得，， 解得，， 即点D的坐标为； （3）解：由（2）得，，， 设直线解析式为，（）， 将代入得，， 解得，， ∴直线解析式为． 如图，设直线与交于点P，过点P作轴，垂足为点H，设与y轴交于点S， 则，， ∴， ∴． ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∴或． ∵， ∴或， ∴或， ∴点P的横坐标为或． 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时； 综上所述，点P的坐标为或． 命题点07 二次函数综合之定值定点定线段问题 【典例】（25-26九年级下·四川成都·月考）抛物线与轴交于、，与轴交于． (1)求、的值； (2)如图1，直线交抛物线于，两点，连接，，，若恰好平分，求的值； (3)将抛物线向左平移两个单位后得抛物线，交轴于、，交轴于，直线交抛物线于E、F两点，分别过E、F且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于，求证：点在一条定直线上． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将交点、代入抛物线，列方程组，进行求解即可； （2）先根据题意得出，则直线，由角平分线性质，关于的对称点在上．过点作水平向右的直线，过点作竖直向下的直线，两条直线交于点，联立直线与抛物线，结合一元二次方程根与系数的关系和对称点坐标关系，进行求解即可； （3）先根据题意可得抛物线，求过的解析式，联立得出，再由一元二次方程根与系数的关系，，消去得在定直线上． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、， ∴， 解得； （2）解：由（1）得，抛物线的解析式为， 当时， ，即， 设的解析式为， 将、代入得， 解得， ∴的解析式为， ∵直线过和， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵平分， ∴将射线沿翻折，点会落在射线上，记为点， 设，则其关于直线的对称点为． ∴线段的中点在直线上， ∴ ， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∴， 过点作水平向右的直线，过点作竖直向下的直线，两条直线交于点，如图， ∴，轴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是水平线段，是竖直向下的线段， ∴，， ∴ 解得， 将②代入①， 解得， 将代入②，得： 解得， ∴点关于直线的对称点坐标为， ∵直线过点， ∴设直线的解析式为， ∵、、三点共线， 将代入直线得， 解得， 将代入直线得，， 将代入③得， ， 由题意，联立直线与抛物线得， ， ∵直线与抛物线交于、， ∴， ∴ ， ∵、在直线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ 解得（舍去）； （3）解：∵将抛物线向左平移两个单位后得抛物线，且， ∴， 分别设和点的横坐标为，， ，． 令 ， ，， 设过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 令 ， 由题意可知， 解得， 同理可得， 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 令 解得， 此时， ， 又∵，， ， 联立， ∴，即点在定直线：上运动． 【点睛】本题核心是角平分线的对称转化、一元二次方程根与系数关系的应用、二次函数的性质，通过对称将角平分线问题转化为共线问题，利用一元二次方程根与系数关系消参得定直线，体现了代数与几何的深度结合． 【变式1】（25-26九年级下·湖北武汉·期中）已知抛物线交x轴于点和B点，对称轴为，抛物线交y轴于点C，点D为抛物线上不与重合的一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为上方抛物线上一点，于点E，若，求点D的坐标； (3)如图2，点M为的中点，直线交抛物线于点E，若直线的交点为点N，试判断的面积是否为定值，若是，求出其定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积是定值，2 【分析】（1）利用抛物线对称轴和已知点，由对称性确定，再将两点坐标代入，解方程组求得，故抛物线解析式为； （2）过点作轴交轴于点，过点作于点，由和轴，得，又，故，由得相似比为3，即，设，则，由得由得，将两式联立消去，解得，进而求得． （3）由得M(2,0)，设，用待定系数法设直线为，将代入解得；联立与抛物线，由韦达定理，结合，求得2t-5代入抛物线得；再用待定系数法分别求直线和的解析式；设，令两直线在处的横坐标相等，即t-2，解得； 故为定值，为定值． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， 且过点， 由对称性，点的坐标为， 将和代入， ， 解得，， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将和代入得， , 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交轴于点，过点作于点， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 消去 ，得， ， 点的坐标为； （3）解：是的中点， ， 设且， 设，将和代入得 ， 解关于的方程组， ， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线，消去得， 整理，得 ， 由韦达定理 ， ， 将代入，得 ， 设，将和代入得， ， 整理，得， ， ， 直线为， 设，将和代入得， ， ， 直线为； 设，将代入直线，得 ， ， 将代入直线，得 ， ， 整理，得， ， ， 的面积为定值2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、韦达定理的应用；解题的关键是第（2）问构造相似三角形实现线段比到坐标关系的转化，第（3）问通过待定系数法、韦达定理以及设使横坐标相等的方法完成定值的一般性证明，体现了数形结合思想和代数运算能力． 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·期中）如图，直线与抛物线交于、两点，与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若，点为抛物线上一点，过点作，与直线相交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的横坐标． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，直线、分别交抛物线于点、，连接，为的中点，试探究的横坐标是否为定值？若是，请求出的横坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的横坐标为或2或 (3)点的横坐标为定值 【分析】（1）设抛物线的解析式为，整理可得：与解析式比较求出和的值，即可得到抛物线的解析式； （2）当时，直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，所以，根据点、的坐标可以求出，根据平行四边形的性质可知，可得方程，解方程求出的值即为点的横坐标； （3）设点的坐标为，点的坐标为，因为点是抛物线的对称轴与轴交点，所以点的坐标是，把点和点的横坐标表示出来，根据平面直角坐标系中的中点坐标公式求出点的横坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 整理得：， 抛物线的解析式为， ，，， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，直线的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标为， 点， ， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， ， ， 当时， 整理可得：， 解得：，， 当时， 解得：，（此时、重合，舍去）， 综上所述，点的横坐标为或2或； （3）解：点的横坐标为定值， 设点的坐标为，点的坐标为， 则、是方程的解， 整理可得：， ，， 点的坐标为， 点的坐标为， 设的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 解方程 整理得：， 方程的解应是点和点的横坐标， ， ， ， 同理可得：， 点的横坐标为， 整理可得： ， 点的横坐标为定值． 命题点08 二次函数综合之交点个数问题 【典例】（2026·江苏徐州·一模）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． (1)如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①先求出抛物线与坐标轴的交点，再把点代入抛物线表达式求解即可； ②先求出，设直线交轴于点，证明，求出，再求出直线的表达式，然后与抛物线表达式联立求解点； （2）找出两个临界位置求解即可． 【详解】（1）解：①对于，当时，； 当时，，解得 ∴， ∵抛物线经过点A， ∴ 解得 ∴二次函数表达式为； ②令， 解得， ∴ 如图，设直线交轴于点， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设直线， 则， 解得 ∴直线 与抛物线联立得， 解得或 ∴； （2）解：， ∴抛物线顶点为， ∵点向右平移3个单位长度得到点D， ∴， ∴顶点在线段上方， ∴当时，抛物线开口向上，抛物线与线段没有交点； 当时，抛物线经过点时，如图： 则， 解得 此时抛物线与轴交点为，即，在点上方； 当抛物线经过点时，如图： 此时， 解得， ∴要使得抛物线与线段只有一个公共点，实数a的取值范围为． 【变式1】（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，二次函数图象的顶点在轴上，与轴交于点，二次函数与的对称轴相同，且经过点和点，点的横坐标为，直线与轴交于点． (1)求二次函数的解析式： (2)当时，直线与二次函数的图象从左到右依次交于点，．若，求的值： (3)二次函数与二次函数组成新函数． ①已知点，点，线段与有2个交点时，请直接写出的值或取值范围： ②当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】（1）由点，得．顶点在轴上，得， 即可确定对称轴为 ．即可确定； （2）推导出．设点，则点， 得，解得（舍）， ．得． （3）由图可知，当时，有最小值，得，解得． 得最大值 ．当时，，解得：或（舍）．即得． 【详解】（1）图象与轴交于点， ． 顶点在轴上， ， ， ． 对称轴为 ． 与的对称轴相同，且经过点， ． 把点代入得：， ， ． （2）解：设直线与抛物线的对称轴交于点， 由题可知：， ． ， ， ． 设点， 则点， ， 解得（舍）， ． ． （3）解：①定义为： ① 在部分，代入​得​； 在​部分，代入​得； 在时，​随x的增大而减小； 在时​随x的增大而增大，在​时随x的增大而减小，最大值为3（时），时​。 当时，线段与无交点。 当时，是公共点，线段与​交于和， 共2个交点； 当​时，线段与（）交于1点，与​（）交于2点，共3个交点； 当时，线段与（） 无交点，与​（）交于2点，共2个交点； 当时，线段与交于，与​无交点，仅1个交点； 当时，线段与（） 无交点。 故n的取值为：或 ， ②当时，， 由图可知，当时，有最小值， ， ． 最大值为 ． 在中，当时，， 解得：或（舍）． ． 【变式2】（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值； (3)将抛物线向上平移3个单位得新抛物线，新抛物线中的部分记为“图形W”．在新抛物线对称轴上取两点和，其中，将线段绕点M顺时针旋转，点N的对应点为H，以为边构造正方形． ①直接写出点Q和点H的坐标（用含m的式子表示）； ②当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的m的取值范围． 【答案】(1)； (2)面积的最大值为 (3)①H点的坐标为，Q点的坐标为；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可求出抛物线的解析式；令，求出，可得，，将代入，可得，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）过点P作轴交直线于点D，设点，则，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解； （3）平移后的抛物线为，对称轴是． ①当，两种情况讨论，利用旋转的性质结合正方形的性质即可分别求出点，点的坐标； ②分点H在对称轴左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，解得， 抛物线的解析式为； 令，则， 解得， ，， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，将B点坐标代入得，解得． 直线的解析式为． （2）解：如图1，过点P作轴交直线于点D， 设点，则， ． ． ， 抛物线的开口向下，函数有最大值， 当时，面积的最大值为． （3）解：平移后的抛物线为，对称轴是直线． ①当时，即时，M在N的上方，． 此时H点的坐标为，Q点坐标为； 当时，M在N的下方，． 此时H点的坐标为，Q点坐标为； 即无论m取何值，H点的坐标均为，Q点的坐标均为； ②当点H在对称轴的左侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时， 点在抛物线上， ，化简得， 解得． ， ． 当点H在对称轴的右侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时， 点在抛物线上或点H在直线的右侧． 若点在抛物线上，， 化简得，解得． ， ． 若点H在直线的右侧，，解得； 综上可知：或或． 【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)该函数图像经过两个定点，这两个点的坐标是______，______； (3)已知，．若该函数的图像与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)、 (3)或 【分析】（1）根据根的判别式即可证明； （2）计算当时的函数值即可； （3）结合图像，分类讨论进行解题． 【详解】（1）证明：当时， ， ， ∴不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； （2）解：当时，； 当时，； ∴该函数图像经过两个定点，这两个点的坐标是、； （3）解：当时，抛物线开口向上，经过定点、，如图， 点在第一象限，要使该函数的图像与线段恰有1个公共点， 则有； 当时，抛物线开口向下，经过定点、，如图， 点在第二象限，要使该函数的图像与线段恰有1个公共点， 则点只能在抛物线内部， 即时，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 【变式4】（2026·江苏无锡·一模）定义：若一个函数图像上存在纵坐标相等的两个点，则称这两点为该函数的一对“等值点”． 已知二次函数（为常数），设其函数图像为． (1)求证：函数图像上总存在“等值点”； (2)设函数图像上一对“等值点”的坐标分别为和，（），若，求的值； (3)将函数图像沿经过且平行于轴的直线翻折得到新图像．当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值为，，或 【分析】（1）将二次函数配方成顶点式，然后得到对称轴为直线，即可证明； （2）由（1）可设，，，根据求出，然后将代入求解即可； （3）首先求出函数的表达式为，然后求出图像和图像的交点坐标，然后根据题意分4种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴由二次函数的图像可得，图像为轴对称图形，对称轴为直线 ∴当时，两个函数值相等， ∴函数图像上总存在“等值点”； （2）解：由（1）可设，， ∵ ∴ ∴ ∴ 将代入得， 解得； （3）解：∵二次函数的顶点坐标为 ∴关于经过且平行于轴的直线对称的点的坐标为 ∴翻折后新函数的表达式为 联立函数和函数得， 解得， 将代入得， 将代入得， ∴图像和图像的交点坐标为和 如图所示，当函数的图像与函数图像有1个公共点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴联立函数和函数得， 整理得， ∴ 解得； 如图所示，当函数的图像经过点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴将代入得， 解得； 如图所示，当函数的图像经过点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴将代入得， 解得； 如图所示，当函数的图像与函数图像有1个公共点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴联立函数和函数得， 整理得， ∴ 解得； 综上所述，当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，的值为，，或． 中考预测题 1．我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（   ） 当时，；（   ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（   ） (2)是否存在点，是“同频”拋物线上的点，其中，且，若存在，请求该抛物线的解析式，若不存在，请说明理由； (3)“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 【答案】(1)√；√；×； (2)不存在，理由见解析 (3)代数式的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的应用，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法求解析式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得，整理得，再结合已知条件分别判断； （2）由（1）得抛物线的顶点坐标为，，又，是“同频”拋物线上的点，则，得出，再结合，得，然后求出的值即可，再联立抛物线与直线，得出无交点，即可求解； （）先求出抛物线的顶点坐标为，又抛物线是“同频”拋物线，则，整理得，所以，根据题意得，解得，，所以，又是等腰直角三角形，所以顶点到的距离等于，得，整理得，求得，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， 根据“同频”拋物线可得：，整理得：， 当时，； ∵，， ∴； 由， ∴抛物线与轴没有交点， 故答案为：√；√；×； （2）解：不存在，理由如下： 由（1）可得抛物线，顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得：，整理得： ∵，是“同频”拋物线上的点， ∴， 得：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴该抛物线的解析式为； ∵， ∴在直线上， 联立 消去得， 即 ∴ ∴不在抛物线上，故不存在 （3）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， ∵抛物线是“同频”拋物线， ∴，整理得：， ∴， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴， ， 解得：，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴顶点到的距离等于， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴ ； 当时，， ∴ ； 综上可得：代数式的值为或． 2．如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)3． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求解即可； （3）过点作于点，作于点，求得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，对称轴是直线， ∴，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作平行线，交抛物线于点，此时， 令， 则， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴设直线的解析式为， 联立解析式：， 解得：，， ∴点的坐标为； （3）解：如图，过点作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为3． 3 ．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，若点在轴左侧，且，求点的坐标； (3)如图2，若平行于轴，过点作交于点，设，，求与的函数关系式； (4)若点位于点左侧，、两点间的水平距离为，以为对角线作矩形使其各边分别与轴或轴平行，若矩形的周长与抛物线上、两点间纵坐标的最大值相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式为，过点作轴交延长线于点，过，两点分别作，分别交于，两点，得出点坐标为，点坐标为，进而根据，解方程，即可求解； （3）依题意得出，根据点坐标为，进而得出根据，即可求解； （4）依题意，点坐标为，，分别表示出，分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数， ， 解得， ． （2）设直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 过点作轴交延长线于点， 过，两点分别作，分别交于，两点， 点坐标为，点坐标为， ， ， 解得，， ∵点在轴左侧，（舍）， ． （3）解：，， ， ∵点坐标为， ，， ， ，． （4）解：依题意，点坐标为，， ，， 当时，矩形的周长， 当时，矩形的周长， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， ①当时，解得，（舍） ②当时，解得（舍） ③当时，解得（舍） ④当时，解得，（舍） 综上所述：或． 好题速递 1．若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先联立抛物线与直线得到，然后设点，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线有两交点A，B， 设点 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得． 2．二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】A 【分析】先根据二次函数的图象与性质可得，，则可得，再根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：由图象可得，， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴对于方程， ∴方程的根的情况为有两个不相等的实数根． 3．定义：若某函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，则称该函数为“自反”函数，该点为“反点”．已知二次函数（为常数，）是“自反”函数，且该函数图象上有唯一的“反点”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“反点”定义，反点满足，代入二次函数得到关于的一元二次方程，由“唯一反点”可知方程有唯一解，利用一元二次方程根的判别式等于求解即可． 【详解】解：∵“反点”坐标满足横纵坐标互为相反数，即，且“反点”在二次函数图象上， ∴将代入，得:， 整理得， ∵该二次函数有唯一的“反点”， ∴上述一元二次方程有两个相等的实数根，判别式， ∵， ∴令， 解得． 4．如果抛物线向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为___________． 【答案】4 【分析】先根据平移规则得到平移后抛物线的解析式，再将原点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度后，平移后的抛物线解析式为， 平移后抛物线经过原点， ∴， 解得． 5．如图，二次函数的图像经过点，则的值为______． 【答案】2 【分析】将点代入二次函数解析式，得到关于a、b、c的方程组，通过解方程组用含a的代数式表示b和c，最后代入待代数式进行整式加减运算即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 可得：，解得：， 将代入①得，解得： ∴． 6．已知抛物线（为常数，且），在轴上存在点，过点垂直于轴的直线交抛物线于两点，且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先联立直线与抛物线方程得到一元二次方程，利用的长度得到关于的表达式，再根据的取值范围结合二次函数的性质求出的取值范围． 【详解】解：由题意得，过点垂直于轴的直线为， 将代入抛物线得：， 整理得：， 设，，由得， 由根与系数的关系得，， 因为， ∴， ， ， 整理得， 由，根据二次函数的性质，的最小值为（当时取得），最大值为（当时取得），即， ∴，即． 7．研究函数图象与坐标轴的交点，是分析函数性质、解决函数问题的重要抓手． (1)如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）． (2)已知二次函数（m为常数，且）． ①求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； ②该函数图象所过的象限随m的值变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围． (3)下图是用数学软件绘制的函数（a、c为常数，且）的图象．下方的演示图显示当、时对应的函数形态． 已知，利用函数图象，直接写出关于x的不等式的解集（用含a，c的式子表示）． 【答案】(1)作图见解析 (2)①证明见解析；②当时，此时图像经过一、二、四象限；当时，此时图像经过三、四象限；当或时，此时图像经过一、三、四象限；当时，开口向下，此时图像经过一、二、三、四象限． (3)解集为：当，时，或；当，时，或． 【分析】（1）对于直线，当，当时，，解得，那么直线与轴的交点坐标为，同理可求直线与轴的交点坐标为，那么直线也经过点，与轴的交点和直线与轴的交点关于原点对称，据此即可作直线；可求直线与轴的交点坐标为，那么直线与轴交点在轴负半轴，且距离原点的距离是距离原点的距离的一半，直线与轴交点与关于原点对称，据此即可作出直线； （2）①当时，，解得，据此证明即可； ②分；；或；四种情况讨论求解即可； （3）先得到函数与x轴的三个交点分别为：，，，再分类讨论根据函数图象确定不等式的解集． 【详解】（1）解：如题①，直线即为所求；如题②，直线即为所求 （2）①证明：当时，， 解得，     当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程有两个不相等的实数根， ∴不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点； ②当时，， ∴抛物线与轴交点为 若抛物线与轴正半轴相交， 设，即z是m的二次函数， 当，则或时， ∵抛物线开口向上， ∴当或时，． ∴当或时，抛物线与轴正半轴相交； 当时，经过原点； 当时，抛物线与轴负半轴相交； 情况一：当时，开口向上，与x轴交点的横坐标：，如图： 此时图像经过一、二、四象限； 情况二：若抛物线与轴只有一个交点时，则，解得，那么时，开口向下，与x轴交点的横坐标为1，此时图像经过三、四象限，如图： 情况三：当或时，开口向下，与x轴交点的横坐标：， 此时图像经过一、三、四象限，如图： 情况四：当时，开口向下，与x轴交点的横坐标为：， 此时图像经过一、二、三、四象限，如图： 综上：当时，此时图像经过一、二、四象限；当时，此时图像经过三、四象限；当或时，此时图像经过一、三、四象限；当时，开口向下，此时图像经过一、二、三、四象限． （3）解：设函数， ∵， ∴， 则方程有两个不相等的实数根， ∵当时，， ∴函数与x轴有三个交点， 根据求根公式可得： 方程的两个根分别为：，， ∴函数与x轴的三个交点分别为：，，， ①当，时，如图： ∴或时，； ②当，时，如图： ∴或，． 综上，解集为：当，时，或；当，时，或． 中考闯关 1．下表记录了二次函数中两个变量x与y的3组对应值，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则n的取值范围是（   ） x … 1 5 … y … m 3 m … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用y值相等的两点确定二次函数对称轴，再求出二次函数解析式，结合给定x范围，根据交点个数判断n的取值范围即可． 【详解】解：∵和时值相等，两点关于对称轴对称， ∴对称轴， 由对称轴公式得，即， ∴二次函数可写为， 将代入得， 解得， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，顶点在范围内， 当时，，当时，， ∵直线与该二次函数图象在有两个公共点， ∴根据图象得，n的取值范围是． 2．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象以及对称轴得到，再根据当时，和当时，分别进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，， 对称轴为直线， ， ， ，①错误； 函数与轴有两个交点，故，②正确； 当时，，③正确； ， ， ， 当时，， ，④正确． 3．联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 【答案】 【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线的特征值是即为抛物线的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可． 【详解】解：∵平移不改变抛物线的特征值， ∴抛物线的特征值即为抛物线的特征值，如图： 此时抛物线的对称轴为轴， ∵，轴 ∴，即 设，则， ∴， 将点代入，则， 解得或（舍去） ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B在线段上运动，过点B作x轴的垂线交函数的图象于点C，若三条线段，，中，恰有两条线段长度的比值为2，则线段的长为________． 【答案】3或 【分析】由题意可得，分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵三条线段，，中，恰有两条线段长度的比值为2， ∴当时，，即点的坐标为， 此时， ∴，此时不满足恰有两条线段长度的比值为2，故不符合题意，舍去； 当时， ∵， ∴，即点的坐标为， ∵过点B作x轴的垂线交函数的图象于点C， ∴此时点的横坐标为，纵坐标为，故此时； 当时， ∵， ∴，即点的坐标为， ∵过点B作x轴的垂线交函数的图象于点C， ∴此时点的横坐标为，纵坐标为，故此时； 综上所述，线段的长为3或． 5．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在的范围内，若二次函数的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据“级和值点”的定义将问题转化为二次函数与直线在范围内有两个不同交点，结合一元二次方程根的判别式和端点值分析即可求解． 【详解】解：设“级和值点”坐标为，由定义得，整理得， 在的范围内，二次函数的图象上存在两个“级和值点”， 二次函数的图象与直线在的范围内有两个不同交点， 联立方程， 消去整理得， 当直线与抛物线相切时，只有一个交点，此时一元二次方程的判别式， 解得， 此时交点横坐标为， 当直线经过二次函数的端点时，将代入得， 解得， 此时方程的根为，，均满足，此时存在两个交点； 当时，方程的较大根大于，只有一个根满足，不符合题意， 当时，只有一个交点或无交点，不符合题意； 因此的取值范围为． 6．已知点是抛物线上一点，若，则我们把点P称为该抛物线的“二倍点”． (1)【定义理解】 ①若点P是抛物线上的“二倍点”，则点P的坐标为________； ②下列抛物线，没有“二倍点”的是________． A．    B．    C． (2)【深入探究】 已知抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点． ①求该抛物线的解析式； ②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二倍点”的坐标． 【答案】(1)①或，②C (2)①；②，“二倍点”的坐标为 【分析】（1）①根据“二倍点”的定义可得，且，据此解方程即可得到答案；②根据题意可得当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点，故联立对应的抛物线的解析式和直线的解析式，看方程是否有解即可得到答案； （2）①抛物线与x轴只有1个公共点可得判别式的值为0，再结合点B和点C的坐标列式求解即可；②求出平移后的抛物线解析式，根据新抛物线恰好只存在1个“二倍点”可得新抛物线与直线只有一个交点，据此求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∵点P是抛物线上的“二倍点”， ∴，且， ∴， 解得或， 当时，；当时，； 综上所述，点P的坐标为或； ②由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∴所有的抛物线的“二倍点”都在直线上， ∴当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线有两个不同的交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， 解得， ∴二次函数与直线只有一个交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线没有交点， ∴二次函数上没有“二倍点”； （2）解：①∵抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； ②由题意得，平移后的抛物线的解析式为， 联立得，即 ∵平移后的抛物线上恰好只存在1个“二倍点”， ∴， ， ∴， 解得． ∴“二倍点”的坐标为． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $