夯实基础专题 与平行线性质有关的角度的计算 & 重点突破专题 平行线的判定与性质-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）云南专版

∠ABC-∠1=30°.·AM∥CN,.EF∥CN,∴.∠2+∠C=180°，∴.∠C=180°-∠2= 150°. 基础过关 1.C2.B3.D4.B5.C6.解：AD∥BC,∠A=115°，∠D=100°，.∠B=1809 -∠A=180°-115°=65°，∠C=180°-∠D=180°-100°=80. 能力提升 7.B8.C9.75°10.解：(1)BC∥AD,∴.∠B=∠DOE.又BE∥AF,.∠DOE =∠A,∴.∠A=∠B:(2):BE∥AF,∴.∠EOA+∠A=180°.∠EOA=∠DOB= 135°，.∠A=180°-∠E0A=180°-135°=45°. 思维拓展 11.解：(1)115°(2)FE平分∠DFP.理由如下：DE平分∠MDF,∠EDF=30°，. ∠MDF=2∠EDF=2X30°=60°.MN∥PQ,∴.∠DFQ=∠MDF=60°.，∠EFD= 60°，∴.∠EFP=180°-∠DFQ-∠EFD=180°-60°-60°=60°，∴.∠EFP=∠EFD,即 FE平分∠DFP;(3)延长EB交MN于点G,如图③.MCGV由题意可得：∠DBE B(F) A PD EO =60,∠ABC=45°，∠DEG=90°，∴.∠CBE=∠ABC+∠DBE=45°+60°=105，. ∠CBG=180°-∠CBE=180°-105°=75..'MN∥PQ,∴.∠MGE+∠DEG=180°，. ∠MGE=180°-∠DEB=180°-90°=90°，.∠BCG=180°-∠CBG-∠MGE=180 -75°-90°=15°，即∠BCN=15. 第2课时平行线性质与判定的综合运用 基础过关 1.B2.对顶角相等同旁内角互补，两直线平行两直线平行，内错角相等等量代换 DE同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等3.解：.AB∥CD,∴∠BAG =∠AGC:AE,GF分别平分∠BAG和∠AGC,∠EAG=合∠BAG,∠AGF= ∠AGC,∠EAG-=∠AGR,AE/GR,∠E=∠R 能力提升 4.180°5.解：(1).AD∥BC,∴.GE∥HF,∠HPA=∠HFB,∴.∠GEA=∠HPA,. ∠GEA=∠HFB;(2)当∠EFC=35时，GH∥AD.理由如下：.AD∥BC,.GE∥HF. 根据折叠的性质可知∠G=∠D=70°，∠HFE=∠EFC=35°，∴.∠H=180°-∠G= 180°-70°=110°，∠HFC=∠HFE+∠EFC=35°+35°=70°，∴.∠H+∠HFC=1109 +70=180,∴.GH∥BC,∴.GH∥AD,∴.当∠EFC=35时，GH∥AD. 模型构建专题平行线中的折线问题一过拐点作平行线 1.A2.100°3.解：(1)∠ACB=∠1+∠2：[解析：如图①，P A过点C作CD C--D 2 MBN ∥PQ..PQ∥MN,∴.CD∥MN∥PQ,∴.∠1=∠ACD,∠2=∠BCD,∴.∠ACB= ∠ACD+∠BCD=∠1+∠2.](2)∠AEN=∠A=30°，.∠MEC=∠AEN=30°.由 (1)可得，∠ACB=∠MEC+∠PDC=90°，.∠PDC=90°-∠MEC=90°-30°=60°， ∴∠BDF=∠PC=60:(3结论①的值不变是正确的.设∠CEG=∠CBM= x,则∠MEG=∠CEG+CEM=x+x=2x,∠GEN=180°-∠MEG=180°-2x.由(1) 可得，∠ACB=∠CEM+∠CDP=90°，∴.∠CDP=90°-∠CEM=90°-x,∴.∠BDF= ∠0DP=90-器1部-2x定值.即>的值不度，值为24C 90°-x 5.105°6.270°7.D8.解：(1)如图①，过点P作PM∥AB,∴.∠EPM=∠AEP= 40°.AB∥CD,.PM∥CD,.∠FPM+∠PFD=180°.：'∠PFD=120°，∴.∠FPM =180°-120°=60°，.∠EPM+∠FPM=40°+60°=100°，即∠EPF=100°；(2)∠PFC =∠PEA十∠EPF.理由如下：如图②，过点P作PN∥AB,∴∠PEA=∠NPE. ∠FPN=∠NPE+∠EPF,∠FPN=∠PEA+∠EPF.:'AB∥CD,.PN∥CD, ∠FPN=∠PFC,∴.∠PFC=∠PEA+∠EPF. 第4页（共48页） D D 图① 图② 9.C10.=11.解：如图，过点E,F分别作EG∥AB,FH∥AB,则∠BEG=∠B= 25°，EG∥FH,.∠GEF=∠EFH..AB∥CD,AB∥FH,,.CD∥FH,.∠CFH= 180°-∠C=180°-150°=30°，∴.∠EFH=∠EFC-∠CFH=60°-30°=30°，.∠GEF =∠EFH=30°，∴.∠BEF=∠BEG+∠GEF=25°+30°=55. 夯实基础专题与平行线性质有关的角度的计算 1.A2.解：(1)AB∥CD,.∠A+∠ACD=180°.∠A=52°，.∠ACD=128°. CE,CF分别平分∠ACP和∠PCD∴∠ECP=∠ACP,∠PCF=∠PCD, ∠BCF=∠PCP+∠PCF=2(∠ACP+∠PCD)=号∠ACD=号X128=64;(2)不 变.'AB∥CD,∴.∠CPA=∠PCD,∠CFA=∠FCD.又，CF平分∠PCD,.∠PCD =2∠FCD,∴.∠CPA=2∠CFA;(3)∠ACE=∠FCD.理由如下：：AB∥CD,∴. ∠AEC=∠ECD.:'∠AEC=∠ACF,∴.∠ACF=∠ECD,∴.∠ACE+∠ECF=∠FCD +∠ECF,∴.∠ACE=∠FCD.3.B4.15°5.B6.50° 重点突破专题平行线的判定与性质 1.D2.C3.解：(1)'∠PAD=32°，∠PAD=∠BAE,∠PAD+∠PAB+∠BAE= 180°，.∠PAB=180°一32°-32°=116°：(2)BC∥PA.理由如下：∠PAD=∠BAE, ∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE,∴∠PAB=180°-2∠BAE.同理可得∠ABC=180 -2∠ABE..∠BAE+∠ABE=90°，.∴.∠PAB+∠ABC=180°-2∠BAE+180° 2∠ABE=360°-2（∠BAE+∠ABE)=360°-2×90°=180°.∴.BC∥PA.4.D 5.122°6.解：∠DAE=∠E.理由如下：，AB∥CD,∴.∠BAE=∠CFE.又AE平分 ∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠DAE=∠CFE.I∠CFE=∠E,∴.∠DAE=∠E. 7.解：在三角形EFG中，∠EFG=90°，∠E=35°，∴.∠EGF=180°-90°-35°=55°. GE平分∠FGD,∴.∠EGD=∠EGF=55°.：AB∥CD,∴.∠EHB=∠EGD=55°.又' ∠AHE=180°-∠EHB=180°-55°=125°，∴.∠EFB=180°-∠AHE-∠E=180°- 125°-35=20°.8.A9.D10.40°11.∠2两直线平行，内错角相等∠2CD 同位角相等，两直线平行EF如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行两直线平行，内错角相等12.解：AE∥BF.理由如下：，'AB⊥BD,AB ⊥AC,∴.∠BAC=90°，∠ABD=90°，.∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°.，∠1=∠2，∴. ∠3=∠4，.AE∥BF.13.解：(1)CE平分∠ACD,∴.∠ACE=∠DCE.:AB∥ CD,∴.∠1=∠DCE,.∠ACE=∠1=28°；(2)·CF⊥CE,.∠ECF=90°，∴∠ACF= ∠ECF-∠ACE=90°-28=62°，∴.∠ACF=∠2，∴.AG∥CF. 7.3定义、命题、定理 第1课时定义与命题 基础过关 1.B2.D3.D4.两直线平行同位角相等5.解：(1)如果两个角互补，那么这两 个角是钝角：题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角：(2)如果两个数互为相反数， 那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的绝对值相等. 6.D7.C8.如果两条直线相交，那么它们的交点只有一个真 能力提升 9.C10.解：(1)命题“相等的角是直角”的条件是两个角相等，结论是这两个角是直 角；改写成“如果…那么…”的形式为如果两个角相等，那么这两个角是直角； (2)“相等的角是直角”是假命题. 第2课时定理与证明 基础过关 1.D2.C3.B4.A5.OM⊥BD垂直的定义对顶角相等∠D等量代换 BD内错角相等，两直线平行∠ONA两直线平行，内错角相等 第5页（共48页） 能力提升 6.C7.B8.解：(1)DE∥BC,.∠1=∠2.又∠1=∠3，∴.∠2=∠3，.CD∥ FG.∴.∠CDB=∠BFG.CD⊥AB,∴.∠CDB=90.∴.∠BFG=90°.∴.FG⊥AB;(2) 是真命题.理由如下：CD⊥AB,FG⊥AB,∴.∠CDB=∠GFB=90°..CD∥FG.∴. ∠2=∠3.又∠1=∠3，∴∠1=∠2.∴DE∥BC;(3)是真命题.理由如下：同(2)可得 ∠2=∠3.DE∥BC,∴.∠1=∠2，∠1=∠3. 7.4平移 新知梳理 ②(1)形状大小(2)对应点平行在同一条直线上相等 例题引路 【例1】解：对应点分别是：点A和点D,点B和点E,点C和点F;所有的对应角分别是： ∠A和∠D,∠B和∠DEF,∠ACB和∠F;所有的对应线段分别是：AB和DE,BC和 EF,AC和DF;平移方向：沿着射线BC的方向；平移距离：线段BE(CF)的长度. 【例2】解：如图，三角形A'B'C即为所求. 北 M 基础过关 1.B2.C3.B4.35.C6.33 能力提升 7.B8.309.280m【变式1】4【变式254010.解：(1)如图，三角形A'B'C即为 所求 EB(2)AA'=CC,AA'∥CC 思维拓展 11.解：(1)这4个图形都是正方形；(2)设AB=xcm,AD=ycm,则4x·2+4y·2= 144,4(2x+2y)=144,∴.2x+2y=36,即原长方形ABCD的周长为36cm. 数学活动 1.D2.D3.C4.解：如图.（答案不唯一） 5.解：(1)①如图， C 线段EH即为所求作的垂线段；②直线MN即为所求作的平行线；③ 射线OP即为所求作的角平分线；(2)EO>EH垂线段最短(3)，∠OEH=30°， ∠EHO=90°，.∠EOH=90°-∠DEH=90°-30°=60°，∴.∠AOE=180°-∠EOH= 180°-60°=120.0P平分∠A0E,∠A0P=号∠A0E=号×120=60.：MN∥ AB,.∴.∠OPE=∠AOP=60°. 第七章整合与提升 高频考点突破 1.C2.55°3.解：OE⊥AB,∠AOE=∠BOE=90°.∠COE:∠AOC=2:3, .可设∠COE=2x°，则∠AOC=3x°.：∠AOE=∠COE+∠AOC,.90=2x十3x,解 得x=18.∴.∠COE=2×18°=36°，∠AOC=3×18°=54°.：OF平分∠AOD,∠AOD =180-∠A0C=180°-54°=126，∠D0F=7∠A0D=令×126=63.4.A 5.A6.∠ABD=∠EBD(答案不唯一)7.解：(1)AB∥CD,∴.∠EHD=∠1=50 ∴.∠2=∠EHD=50°；(2)HN⊥EF,.∠NHG=90.∠1=50°，.∠HGN=50, 第6页（共48页）夯实基础专题 与平行线性质有关的角度的计算 类型1 利用平行线的性质求角度 类型2 利用三角尺的特征求角度 1.(西藏)如图，已知直线4∥L2,AB⊥CD于点 方法指得 D,∠1=50°，则∠2的度数是 一副三角尺提供了30°，45°，60°，90°的已知角，再 A.40° 加上平行线的性质可以得到“同位角、内错角相等，同 D 旁内角互补”的不同位置的角的数量关系，进而求出 B.45° 一些未知角的度数 C.50° 3.(山东东营)已知直线a∥b,把一块含有30° D.60° 角的直角三角尺如图放置，∠1=30°，三角尺 2.如图，已知AB∥CD,P是射线AB上一动点 的斜边所在直线交b于点A,则∠2的度数 (不与点A重合)，CE,CF分别平分∠ACP 为 ( 和∠PCD,分别交射线AB于点E,F A.50° B.60° C.70° D.80° (1)若∠A=52°，求∠ECF的度数； (2)在点P的运动过程中，∠CPA与∠CFA 的数量关系是否随之发生变化？若变 化，请说明理由；若不变，求出∠CPA与 (第3题图) (第4题图) ∠CFA的数量关系； 4.(昆明西山区校级月考)将一副三角尺和一 (3)当点P运动到使∠AEC=∠ACF时，探 张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三 角尺的一条直角边重合，含30°角的直角三 究∠ACE与∠FCD的数量关系，并说明 角尺的斜边与纸条的一边重合，含45°角的 理由， 三角尺的一个顶点在纸条的另一边上，则 ∠1的度数为 类型3与折叠有关的角度计算 方法指得 图形折叠前后两部分完全重合，即能重合部分的 角相等，边相等；再依据平行线的性质可求出角的数 量关系 5.(昆明寻甸县期中)如图，将一条两边沿互相 平行的纸带按图中方式折叠.若∠2的度数 为56°，则∠1的度数为 ( A.66° B.68° C.54° D.56° 65 (第5题图) (第6题图) 6.(玉溪期中)一张长方形纸条按如图所示方 式折叠后，若∠EFB=65°，则∠AED的度数 为 第七章相交线与平行线16 重点突破专题 平行线的判定与性质 类型1平行线的判定 类型2平行线的性质 1.如图，直线a,b被直线c所截，下列条件中， 4.（昆明五华区校级期中)如图，已知直线AB 能判定a∥b的是 ( ∥CD,EF平分∠CEB.若∠1=40°，则∠2 A.∠1=∠4 B.∠2+∠3=180° 的度数为 ( C.∠2=∠5 D.∠4=∠5 A.40° B.50° C.60° D.70° 32 气 2 人4 、D 4 2 (第4题图) (第5题图) (第1题图) (第2题图) 5.跨学科物理)（曲靖期未）光线在不同介质中 2.(昭通期末)如图，下列推理正确的是 的传播速度是不同的，因此当光线从水中射 向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所 A.因为∠1=∠4，所以AD∥BC 以在水中平行的光线，在空气中也是平行 B.因为∠2=∠3，所以AB∥CD 的.如图，∠2=58°，则∠1的度数为 C.因为∠BAD+∠D=180°，所以AB∥CD D.因为∠D+∠3+∠4=180°，所以AB∥CD 6.如图，AB∥CD,AE平分∠BAD,CD与AE 3.情境题台球（教材P38复习题T16变式）如图， 相交于点F,∠CFE=∠E,∠DAE与∠E 台球运动中母球P击中桌边的点A,经桌边 相等吗？为什么？ 反弹经过点C(提示：∠PAD=∠BAE, ∠ABE=∠CBF). (1)若∠PAD=32°，求∠PAB的度数； (2)已知∠BAE+∠ABE=90°，母球P经过 的路线BC与PA一定平行吗？请说明 理由. 7.如图，AB∥CD,三角形EFG的顶点F,G分 别落在直线AB,CD上，GE交AB于点H, GE平分∠FGD.若∠EFG=90°，∠E=35°， 求∠EFB的度数. E H 17数学Ⅱ七年级下册 类型3平行线的判定与性质的综合运用 又.CD∥EF(已知)， 8.(曲靖二模)如图，a⊥c,b⊥c于点B,过点B .AB∥ 的直线d交直线a于点A.若∠1=40°，则 ∠2的度数是 ( ∴.∠BAE=∠AEG( A.50° B.40° C.30° D.20° 12.如图，已知AB⊥BD于点B,AB⊥AC于点 A,∠1=∠2，请判断AE与BF的位置关 系，并说明理由。 G (第8题图) (第9题图) 9.如图，点E,F分别在直线AB,CD上，点G, H在两直线之间，线段EF与GH相交于点 O,且有∠AEF+∠CFE=180°，∠1=∠2. 甲：AB∥CD;乙：GE∥FH;丙：AB∥GH.下 列判断正确的是 ( ) A.甲错，乙对 B.甲对，乙错 C.甲对，丙对 D.乙对，丙错 10.如图，已知直线AB,CD被EF所截，EG是 13.如图，AB∥CD,点E是直线AB上一点， ∠AEF的平分线.若∠1=∠2，∠2+∠4= CE平分∠ACD,CF⊥CE,∠1=28. 120°，则∠3的度数为 (1)求∠ACE的度数； 入 E1 B (2)若∠2=62°，则CF与AG平行吗？为 4 什么？ 3 人2 CG F D 11.(昆明期末)如图为某健身房的健身器材侧 面图. 已知：AE∥DF,∠D=∠1，CD∥EF. ∠BAE与∠AEG相等吗？为什么？ 阅读下面的解答过程，填空并填写理由. 解：AE∥DF(已知)， ∠D= 又.∠D=∠1（已知）， .∠1= (等量代换). .AB∥ 第七章相交线与平行线18