7.1.2 第1课时垂线-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）云南专版

参考答案 第七章 相交线与平行线 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 新知梳理 ①反向延长线 ②顶点反向延长线 ③相等 例题引路 【例1】(1)∠BOC(2)∠BOF,∠AOE【例2B 基础过关 1.C2.C3.120°4.C5.C6.35°7.解：因为OA平分∠EOC,∠E0C=70°，所 以∠A0C-号∠0C=35,所以∠B0D-=∠A0C=35 能力提升 弥 8.B9.B10.90°11.解：(1)因为OE平分∠BOC,∠BOE=65°，所以∠BOC= 解 2∠B0E=2×65°=130°，所以∠A0C=180°-∠BOC=180°-130°=50°.又因为 ∠COF=90°，所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-50°=40°；(2)因为OE平分 ∠BOC,所以∠BOE=∠COE.因为∠BOD:∠BOE=1:2,所以∠BOD:∠BOE: ∠EOC=1:2:2.设∠BOD=x°，则∠BOE=∠COE=2x°.因为∠BOD+∠BOE十 ∠COE=180°，所以x+2x+2x=180,解得x=36.所以∠BOD=36,所以∠AOC= ∠BOD=36°.又因为∠COF=90,所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-36°=54°. 12.解：(1)因为∠AOC=65°，所以∠BOD=∠AOC=65°.又因为∠BOE+∠BOD+ 她 ∠DOF=180°，所以∠BOE=180°-∠BOD-∠DOF=180°-65°-50°=65°；(2)易得 ∠AOF=∠BOE=65.因为∠AOC=65°，所以∠AOF=∠AOC,所以射线OA是 ∠COF的平分线. 封 思维拓展 13.解：(1)2(2)6(3)12(4)若有（⊙2）条直线相交于一点，则有n(1-1)对对顶角 7.1.2两条直线垂直 0 第1课时垂线 新知梳理 ①直角垂线垂足②有且只有 例题引路 【例1】解：如图，线段AD即为所求. 【例2B 基础过关 线1.A2.B3.互相垂直 4.A5.解：如图. 图① 图② 图③ 6.A【变式D7.50°或130 能力提升 8.B9.B10.30°11.解：因为OF⊥CD,所以∠FOD=90°.因为∠EOF=54°，所以 ∠DOE=∠FOD-∠EOF=90°-54°=36°.因为OE平分∠BOD,所以∠BOD= 2∠DOE=72°.因为OG⊥OE,所以∠EOG=90°.因为∠DOE=36°，所以∠COG=1801 -∠EOG-∠DOE=180°-90°-36°=54°，所以∠AOG=∠AOC+∠COG=∠BOD+ ∠C0G=72°+54°=126， 思维拓展 12.解：(1)∠AOD与∠BOC互补.说明如下：因为∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+ 第1页（共48页） ∠BOD,∠BOD=∠COD一∠BOC=90°一∠BOC,所以∠AOD=90°+90°一∠BOC= 180°-∠BOC,即∠AOD+∠BOC=180°，所以∠AOD与∠BOC互补：(2)猜想仍成立. 理由如下：因为∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，∠AOB,∠COD都是直角， 所以90°+∠BOC+90°+∠AOD=360°.所以∠BOC+∠AOD=180°.所以∠AOD与 ∠BOC互补. 第2课时垂线段 基础过关 1.D2.B3.B4.B5.C 能力提升 6号 7.解：(1)如图， 根据“垂线段最短”，过点M作AB的垂线，垂 A B 足为P,所以汽车行驶到P点时，与学校M距离最近，学校M受噪声影响最严重； (2)如图，由(1)可知，汽车行驶在AP段时，与学校M的距离越来越近，学校M受噪声 影响越来越大；汽车行驶在PB段时，与学校M的距离越来越远，学校M受噪声影响 越来越小. 7.1.3两条直线被第三条直线所截 基础过关 1.B2.A3.B4.D5.C6.B 能力提升 7.D8.70°70°110°对顶9.解：(1)如图； (2)由∠1：∠2： 29 a" ∠3=1：2：3，设∠1=x°，∠2=2x°，∠3=3.x°.由∠2与∠3是邻补角，得∠2+∠3=2x° +3.x°=180°，解得x=36.所以∠1=36°，∠2=2x°=72°，∠3=3x=108°. 7.2平行线 7.2.1平行线的概念 新知梳理 ②相交平行3一 ④平行 例题引路 【例1】D【例2】解：(1)如图，直线c即为所求； (2)a∥c.理由如下：因为a -b ∥b,b∥c,所以a∥c.（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行) 基础过关 1.A2.(1)平行(2)相交(3)重合3.解：(1)如图； (2)AB∥CD, AE∥BC,BE⊥AB,BE⊥DC.4.B【变式】C5.解：(1)如图： (2) -D A P —B E、 AB∥CD.理由如下：因为AB∥EF,CD∥EF,所以AB∥CD.(如果两条直线都与第三 条直线平行，那么这两条直线也互相平行) 能力提升 6.C7.(1)∥⊥⊥∥(2)不是同一平面8.解：因为AB∥EF,CD∥EF,所 以AB∥CD.依据：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 9.解：(1)(2)如图： (3)如图，与2的夹角有两个：∠1，∠2.量得∠1= 第2页（共48页） ∠O=50°，∠2=130°，所以∠2+∠O=180°.综上所述，41与2的夹角与∠0相等或互补 思维拓展 10.解：(1)分类(2)如图，三条直线将平面分成四或六或七部分. I八Ⅱ Ⅱ/ ⅢV V\VI I V 时wV 图① 图② 图③ 图④ 7.2.2平行线的判定 新知梳理 ①相等②相等③互补 例题引路 【例1】解：(1)由∠1=∠2可得AB∥CD:理由：内错角相等，两直线平行：(2)由∠B十 ∠BAD=180可得AD∥BC;理由：同旁内角互补，两直线平行；(3)由∠B=∠5可得 AB∥CD:理由：同位角相等，两直线平行.【例2】解：AB∥CD.理由如下：：∠ACD= 70°，∠ACB=60°，.∠BCD=∠ACD+∠ACB=70°+60°=130°.，∠B=50°，∴. ∠BCD+∠B=130°+50°=180°，∴.AB∥CD. 基础过关 1.同位角相等，两直线平行2.B3.解：AD∥BC.理由如下：.AD平分∠EAC,∴. ∠1=∠CAD.∠1=∠C,.∠CAD=∠C,∴.AD∥BC.4.100°5.解：AF⊥AC, CDLAC,.∠A=∠C=90°，∠A+∠C=180°，∴.AF∥CD.AF∥BE,∴.BE∥CD. 6.B 能力提升 7.A8.解：(1)：∠E0C:∠E0D=2:3,∠E0C=180×3千2=72.0A平分 ∠E0C,∠A0C=号∠E0C=7X72=36,∴∠B0D=∠A0C=36;(2)0E∥EH. 理由如下：∠MFH-∠BOD=90°，∴.∠MFH=90°+∠BOD=90°+36°=126°，∴ ∠GFM=180°-126°=54°.又：FM平分∠OFG,∴.∠GFD=2∠GFM=2×54°= 108°，∠GFD+∠EOC=108°+72°=180°，.OE∥GH. 思维拓展 9.解：(1)70°(2)∠BCD+∠ACE=180°.理由如下：：∠BCD=∠ACB+∠ACD= 90°+∠ACD,∴.∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180°；(3)分两 种情况：①如答图①，∠ACE=30°.理由如下：·∠ACE=30°，∠A=30°，∴.∠ACE= ∠A,.CE∥AB;②如答图②，∠ACE=150°.理由如下：∠ACE=150°，∠A=30°， ∠ACE+∠A=150°+30°=180°，.CE∥AB.综上所述，当∠ACE等于30°或150时， CE∥AB. 答图① 答图② 7.2.3平行线的性质 第1课时平行线的性质 新知梳理 ①相等②相等3互补 例题引路 【例1】解：∠A=∠C,∠B=∠D.理由如下：，AB∥CD,.∠A+∠D=180°.，AD∥ BC,∴.∠C+∠D=180°，.∠A=∠C.同理可得∠B=∠D.【例2】解：如图， 过点B作EF∥AM,则∠1=∠A=120°.：'∠ABC=150°，.∠2= 第3页（共48页）冒名师导学。预习先知 新知梳理 ①当两条直线相交所成的四个角中，有 一个角是 时，就说这两条直 线互相垂直，其中的一条直线叫作另 一条直线的 ,它们的交点叫 作 ②在同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直. 例题引路 【例1】如图，请你过点A画AD⊥BC, 垂足为D ●A B C 【名师点拨】用“一贴、二移、三画”的方 法去画，另外要注明垂足 【学生解答】 【例2】下列说法中，不正确的是() A.一条直线有无数条垂线 B.一条直线只有一条垂线 C.过一点可画平面内多条直线的垂线 D.过直线外一点画直线的垂线，垂足 一定在直线上 【学生解答】 3数学Ⅱ七年级下册 7.1.2两条直线垂直 第1课时垂线 ②基础过关⊙逐点击破 知识点1垂线的概念 1.如图，OA⊥OB,若∠1=55°，则∠2的度数为 ( A.359 B.40° C.45 D.60° E 1 130° 2ǒ—B C 40°D A 2 0 D A E (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.(昆明西山区期末)如图，直线AB,DE相交于点O,CO AB,∠1=54°，则∠2的度数为 A.30° B.36 C.46 D.56° 3.如图，直线AB,CD相交于点O.如果∠EOD=40°，∠BOC= 130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是 知识点2垂线的画法 4.过点P作直线1的垂线CD,下面三角尺的摆放正确的 是 5.(教材P5例2变式)如图，已知∠AOB和一点P,过点P画 ∠AOB两边的垂线. 图① 图② 图③ 知识点3垂线的性质 6.如图，经过直线1外一点A画1的垂线，能画出( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 A· (第6题图) (变式题图) 【变式】如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的 条数有 () A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 !易错点未给出图形，考虑不周全而 致错 7.在直线MN上取一点P,过点P作射线 PA,PB,使PA⊥PB,当∠MPA=40°时， ∠NPB的度数是 能力提升。整合运用 8.如图，E是直线CA上一点，∠FEA=40°，射 线EB平分∠CEF,GE⊥EF,则∠GEB的 度数为 ) A.10° B.20° C.30° D.40 太阳光 G 40° 34 太阳 C A 支点A 光板 (第8题图) (第9题图) 9.跨学科地理)“玉兔”号月球车在月球表面行驶 的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光 能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上. 现太阳光如图照射，要使接收光能最多，太阳 光板要绕支点A逆时针旋转 ( A.46° B.44° C.36° D.54° 10.(玉溪期末)如图，直线AB, CD相交于点O,OE⊥CD,且 ∠BOE的度数是∠AOD的2AO B 倍，则∠BOC的度数为 11.如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分 ∠BOD,OF⊥CD,OG⊥OE.若∠EOF= 54°，求∠AOG的度数. 思维拓展。学科素养 12.猜想验证法如图①，∠AOB,∠COD都是 直角. 图① 图② (1)试猜想∠AOD和∠BOC在数量上是否 存在相等、互余或互补关系.请说明猜 想的正确性； (2)当∠COD绕点O旋转到如图②的位置 时，你的猜想还成立吗？为什么？ 第七章相交线与平行线4