期中培优：切线问题5种高频考点复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

期中培优：切线问题5种高频考点复习讲义 期中培优：切线问题5种高频考点复习讲义 考点目录 求函数在某点的切线 求函数过某点的切线 已知切线求参数问题 已知函数过某点的切线数量求参数问题 公切线问题 考点一 求函数在某点的切线 【知识点解析】 一、解题原理 函数在某点处的导数值，等于该点处切线的斜率；该点既是曲线上的点，也是切线上的公共点，兼具曲线与直线双重属性。依托导数几何意义，结合直线点斜式方程，即可唯一确定切线方程。 二、解题思路 1. 确定切点：题干给出的点直接为切点，无需额外设元； 1. 求导运算：对原函数求导，得到导函数解析式； 1. 计算斜率：将切点横坐标代入导函数，求出切线斜率； 1. 求切点纵坐标：将切点横坐标代入原函数，确定切点完整坐标； 1. 写切线方程：利用点斜式列出方程，整理为斜截式或一般式。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏·期中）若，则在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）函数的图象在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·山东济南·期中）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三下·陕西西安·月考）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 考点二 求函数过某点的切线 【知识点解析】 一、解题原理 该点不一定是切点，只是切线经过的定点，无法直接代入导数求斜率。需先设出未知切点，利用切点处导数为斜率、切点在曲线上、切线过定点三个等量关系，构造方程求解切点横坐标，进而求出切线方程。 2、 解题思路 1. 设切点：设未知切点坐标； 2. 表示斜率：由导函数得切线斜率； 3. 列切线通式：根据点斜式，写出含参切线方程； 4. 代入定点：将已知定点坐标代入切线方程，得到关于的方程； 5. 求解化简：解方程得出切点横坐标，回代求出斜率； 6. 写出切线：每一个有效切点，对应一条过该点的切线。 【例题分析】 例1．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·广东佛山·月考）过作函数的图像的切线，切线方程为__________. 例3．（25-26高二下·山东济南·月考）已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·湖北宜昌·月考）函数过的切线为________． 变式3．（25-26高二下·天津·月考）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程为______ 考点三 已知切线求参数问题 【知识点解析】 一、解题原理 已知切线方程、切线斜率、切线平行或垂直等条件，结合导数几何意义，形成两组核心等量：一是切点处导数=切线斜率，二是切点同时在曲线与切线上。通过联立方程组，建立含参数的等式，求解参数的值。 2、 解题思路 1. 对含参函数求导，用参数表示切线斜率； 2. 根据已知切线条件（已知斜率、平行、垂直），列出斜率等式； 3. 设公共切点，切点坐标同时满足原函数与切线方程； 4. 联立斜率方程与切点方程，构造方程组； 5. 解方程求出参数，检验解是否符合定义域与题意，舍去增根。 【例题分析】 例1．（2026·江苏·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·湖北·期中）若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 例3．（2026·安徽·模拟预测）若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·浙江丽水·期中）已知曲线在点处的切线与直线平行，则a的值为（   ） A．3 B． C． D． 变式2．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 变式3．（25-26高二下·四川成都·期中）已知曲线与相切，其中为自然常数，则________. 考点四 已知函数过某点的切线数量求参数问题 【知识点解析】 一、解题原理 过定点的切线条数，等价于切点横坐标方程的实数根个数。将切线问题转化为函数零点问题，通过构造新函数，利用导数研究函数单调性、极值，结合极值的符号分布，控制方程根的数量，反向确定参数取值范围。 2、 解题思路 1. 设切点，写出含参切线方程，代入已知定点； 2. 整理化简，得到只含切点横坐标与参数的方程； 3. 构造单变量新函数，将切线个数问题转化为函数零点个数问题； 4. 求新函数导数，分析单调性，求出极大值、极小值； 5. 根据题目要求的切线数量，列出极值符号约束条件； 6. 解不等式，结合定义域与边界情况，确定参数最终范围。 【例题分析】 例1．（24-25高二下·江西南昌·期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 例3．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为______. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·吉林长春·月考）已知，若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·广东珠海·月考）已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______． 变式3．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是________． 考点五 公切线问题 【知识点解析】 一、解题原理 两个不同曲线存在同一条切线即为公切线，分公共切点与不同切点两种情况。核心等量关系：两条曲线在各自切点处切线斜率相等，且两条切线方程完全重合；依靠导数表示斜率，结合直线方程一致建立方程组，求解切点或参数。 2、 解题思路 1. 分别在两条曲线上各设一个切点； 2. 分别对两个函数求导，用切点横坐标表示各自切线斜率； 3. 利用公切线斜率相等，列出第一个方程； 4. 分别写出两条曲线的切线方程； 5. 依据两条切线为同一直线，截距相等，列出第二个方程； 6. 联立双方程，求解切点横坐标，进而求出公切线方程； 7. 若含参数，结合方程有解条件，求解参数范围。 【例题分析】 例1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 例2．（25-26高二下·重庆·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______． 例3．（25-26高二下·湖北·期中）若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·广西贺州·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 变式3．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是__________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：切线问题5种高频考点复习讲义 期中培优：切线问题5种高频考点复习讲义 考点目录 求函数在某点的切线 求函数过某点的切线 已知切线求参数问题 已知函数过某点的切线数量求参数问题 公切线问题 考点一 求函数在某点的切线 【知识点解析】 一、解题原理 函数在某点处的导数值，等于该点处切线的斜率；该点既是曲线上的点，也是切线上的公共点，兼具曲线与直线双重属性。依托导数几何意义，结合直线点斜式方程，即可唯一确定切线方程。 二、解题思路 1. 确定切点：题干给出的点直接为切点，无需额外设元； 1. 求导运算：对原函数求导，得到导函数解析式； 1. 计算斜率：将切点横坐标代入导函数，求出切线斜率； 1. 求切点纵坐标：将切点横坐标代入原函数，确定切点完整坐标； 1. 写切线方程：利用点斜式列出方程，整理为斜截式或一般式。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏·期中）若，则在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定切点坐标，再利用复合函数求导法则计算导函数得到切线的斜率即可求解. 【详解】将代入中，得，因此切点为， ，， 即切线斜率为且过点， 故切线方程为，整理得. 例2．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）函数的图象在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】将 代入函数 ，得， 因此切点为 ， 又因为， 将 代入，，即， 所以， 即． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·山东济南·期中）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，， 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 变式2．（25-26高三下·陕西西安·月考）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以切线的斜率为， 故所求切线的方程为，即． 考点二 求函数过某点的切线 【知识点解析】 一、解题原理 该点不一定是切点，只是切线经过的定点，无法直接代入导数求斜率。需先设出未知切点，利用切点处导数为斜率、切点在曲线上、切线过定点三个等量关系，构造方程求解切点横坐标，进而求出切线方程。 2、 解题思路 1. 设切点：设未知切点坐标； 2. 表示斜率：由导函数得切线斜率； 3. 列切线通式：根据点斜式，写出含参切线方程； 4. 代入定点：将已知定点坐标代入切线方程，得到关于的方程； 5. 求解化简：解方程得出切点横坐标，回代求出斜率； 6. 写出切线：每一个有效切点，对应一条过该点的切线。 【例题分析】 例1．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程为 . 故所求切线方程为 . 例2．（25-26高二下·广东佛山·月考）过作函数的图像的切线，切线方程为__________. 【答案】 【分析】设切点为，求得切线方程为，由切线过点，代入求得的值，进而得到切线方程. 【详解】由函数，可得， 设切点为，可得， 所以切线方程为， 因为切线过点，可得，解得， 所以过点的切线方程为. 例3．（25-26高二下·山东济南·月考）已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________. 【答案】和 【分析】设出切点，利用导数的几何意义与直线的点斜式方程可表示出切线方程，再将点代入计算即可得切点坐标，即可得解. 【详解】，设切点为，则切线方程为， 由该直线过点，则，整理得， 即为，解得或， 则切线方程为与， 即为与. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式. 【详解】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 变式2．（25-26高二下·湖北宜昌·月考）函数过的切线为________． 【答案】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过点，代入求出，即可求出切线方程. 【详解】设切点为，，故切线方程斜率， 切线方程为：， 代入点得：，化简得：，解得：， 即，代入切线方程得：，化为一般式得：. 变式3．（25-26高二下·天津·月考）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程为______ 【答案】和 【分析】设切点，写出切线方程，将点代入切线方程，即可求出切点，则可得答案. 【详解】设切点， 因为，所以，则， 所以切线方程为：， 将点代入得：， 化简得：即： 解得：或 当时，切线方程为：，化简得：， 当时，切线方程为：，化简得：. 所以过点且与曲线相切的直线方程为和. 考点三 已知切线求参数问题 【知识点解析】 一、解题原理 已知切线方程、切线斜率、切线平行或垂直等条件，结合导数几何意义，形成两组核心等量：一是切点处导数=切线斜率，二是切点同时在曲线与切线上。通过联立方程组，建立含参数的等式，求解参数的值。 2、 解题思路 1. 对含参函数求导，用参数表示切线斜率； 2. 根据已知切线条件（已知斜率、平行、垂直），列出斜率等式； 3. 设公共切点，切点坐标同时满足原函数与切线方程； 4. 联立斜率方程与切点方程，构造方程组； 5. 解方程求出参数，检验解是否符合定义域与题意，舍去增根。 【例题分析】 例1．（2026·江苏·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，结合切点在切线和曲线上列方程组求解可得. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，所以，解得. 例2．（25-26高二下·湖北·期中）若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 【答案】2 【分析】根据题意先求出曲线在处的切线方程，设与曲线的切点，利用导数的几何意义推得关于的方程组，求解即得. 【详解】由求导得，则曲线在处的切线方程为，即， 设曲线的切线的切点为，由求导得， 依题意可得，解得. 例3．（2026·安徽·模拟预测）若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 【答案】5 【分析】设直线与曲线相切于点，进而结合导数几何意义求得切点为，再代入直线方程求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由得， 所以，整理得，解得或（舍去）， 所以，即切点为 所以将代入直线方程得，解得． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·浙江丽水·期中）已知曲线在点处的切线与直线平行，则a的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为在点处的切线与直线平行， 所以，解得. 变式2．（25-26高二下·河南南阳·月考）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出函数在已知点处的切线方程，再利用该直线与函数的图象相切，根据切点处的导数值等于切线斜率确定切点，最后利用切点在切线上求解参数即可. 【详解】已知，求导得：代入得：， 切线斜率，由点斜式得切线方程：，即， 设与相切于点， 对求导得：切线斜率等于在切点处的导数值， 因此：，切点在切线上， 代入得：整理得：. 变式3．（25-26高二下·四川成都·期中）已知曲线与相切，其中为自然常数，则________. 【答案】 【分析】切点坐标为，利用导数的几何意义求解曲线切线斜率. 【详解】对求导得，设切点坐标为， 根据导数的几何意义，切线斜率满足， 切点同时在曲线和切线上， 因此可得方程组消去得， 将代入得， 因为，两边约去得，因此. 考点四 已知函数过某点的切线数量求参数问题 【知识点解析】 一、解题原理 过定点的切线条数，等价于切点横坐标方程的实数根个数。将切线问题转化为函数零点问题，通过构造新函数，利用导数研究函数单调性、极值，结合极值的符号分布，控制方程根的数量，反向确定参数取值范围。 2、 解题思路 1. 设切点，写出含参切线方程，代入已知定点； 2. 整理化简，得到只含切点横坐标与参数的方程； 3. 构造单变量新函数，将切线个数问题转化为函数零点个数问题； 4. 求新函数导数，分析单调性，求出极大值、极小值； 5. 根据题目要求的切线数量，列出极值符号约束条件； 6. 解不等式，结合定义域与边界情况，确定参数最终范围。 【例题分析】 例1．（24-25高二下·江西南昌·期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，从而将问题化为方程有3解，进而转化为与有3个交点，设，从而利用导数研究函数的单调性及极值，即可求解. 【详解】因为，所以， 设过点的切线切曲线于点， 则切线方程为，又其过点， 所以，所以根据题意可得该关于的方程有3解， 即方程有3解， 所以与有3个交点， 设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极小值为，的极大值为， 且时，；时，， 所以要使与有3个交点，则需． 故选：A 例2．（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出函数的切线方程，代入点，整理得，令，利用导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】设切点为， 据题意：这样的切点有两个， 即关于的方程有且仅有两根. 因为， 所以切线方程为， 即为过切点的切线， 又在此切线上， 所以， 即， 所以， 令， 所以， 所以，则或， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为， 当趋于时，趋于，当趋于时，趋于， 作出函数的图象，如图所示： 又不在曲线C上，所以， 由的图象可知. 例3．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据函数导数求解函数的切线方程，由切线过点可得.构造新函数，结合函数导数判断函数的单调性求得极值，根据数形结合求得实数a的取值范围. 【详解】由题意，设点为曲线的切点， 则切线方程为，整理得， 将点代入可得. 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，，当时，方程有3个不同的实数根， 即当时，有3个不同的满足方程， 即过点可作三条直线与曲线相切. 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·吉林长春·月考）已知，若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设过点的直线与相切于点，利用导数的几何意义，求出切线方程，代入点，根据关于的一元二次方程有两个不同解，利用求解即可. 【详解】因为，， 所以， 设过点的直线与相切于点， 则切线方程为， 代入， 得， 整理得， 因为有两条这样的切线， 所以此方程有两个不同解， 所以， 解得或， 所以实数的取值范围为. 变式2．（25-26高二下·广东珠海·月考）已知函数，若过点可作曲线的3条切线，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】设出切点，写出切线方程，将点代入，参变分离，将原问题转化为直线与函数有三个交点，画出的草图，即可得出答案. 【详解】设切点为，因为函数，所以，则， 所以切线方程为：，又切线方程过点， 所以，化简得：， 令，所以 所以当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，极大值为， 的草图如下： 过点可作曲线的3条切线等价于直线与函数有三个交点，则， 所以. 变式3．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】设出切点，写出切线方程，依题转化成有两个不同得实数根.设，求得的单调区间和最大值即可得解. 【详解】设切点为，由题得：，故切线的斜率为，切线方程为：， 因切线经过点，则，故有两个不同的实数根. 不妨设，则 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故，则，即，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 考点五 公切线问题 【知识点解析】 一、解题原理 两个不同曲线存在同一条切线即为公切线，分公共切点与不同切点两种情况。核心等量关系：两条曲线在各自切点处切线斜率相等，且两条切线方程完全重合；依靠导数表示斜率，结合直线方程一致建立方程组，求解切点或参数。 2、 解题思路 1. 分别在两条曲线上各设一个切点； 2. 分别对两个函数求导，用切点横坐标表示各自切线斜率； 3. 利用公切线斜率相等，列出第一个方程； 4. 分别写出两条曲线的切线方程； 5. 依据两条切线为同一直线，截距相等，列出第二个方程； 6. 联立双方程，求解切点横坐标，进而求出公切线方程； 7. 若含参数，结合方程有解条件，求解参数范围。 【例题分析】 例1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值. 【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 故选：A. 例2．（25-26高二下·重庆·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______． 【答案】或0 【详解】设，切点为， 可知，则切线方程为，化简得， 设，切点为， 可知，则切线方程为，化简得， 当两条切线为同一直线时， 由可得，代入上式得，化简得， 解得或，由，可知或0. 例3．（25-26高二下·湖北·期中）若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 【答案】2 【分析】根据题意先求出曲线在处的切线方程，设与曲线的切点，利用导数的几何意义推得关于的方程组，求解即得. 【详解】由求导得，则曲线在处的切线方程为，即， 设曲线的切线的切点为，由求导得， 依题意可得，解得. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·广西贺州·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设曲线上的切点为，曲线上的切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，从而得到方程组，求出、，即可得到切线方程，从而求出的值. 【详解】设曲线上的切点为， 曲线上的切点为， 由可得，则 ，所以切线方程为， 由可得，则， 所以，即，解得， 切线方程为，即，所以. 故选：C 变式2．（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 【答案】/ 【分析】分别设出两曲线的切点，并写出切线方程，因为公切线，对应斜率以及截距相等得到等式进行消元求解即可. 【详解】设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 设曲线上的切点为， 又因为，所以直线， 即 因为是公切线，所以，解得 所以 所以在轴上的截距为 变式3．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设两切点分别为，，由导数求得斜率相等，从而得，构造函数，根据与有两个交点，利用导数求解即可. 【详解】因为求导得由求导得， 设与相切的切点为，与曲线相切的切点为， 则有公共切线的斜率（*）， 又因为，，代入（*），得， 即，则， 又因为，所以， 因为存在两条公切线，该方程在上有两解， 令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以函数在处取极大值，也是最大值，， 当时，,当时，， 因为存在两条公切线，即与有两个交点，则， 所以实数的取值范围为. 2 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