期中培优：单变量不等式的证明、双变量不等式的证明讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

期中培优：单变量不等式的证明、双变量不等式的证明讲义 期中培优：单变量不等式的证明、双变量不等式的证明讲义 考点目录 单变量不等式的证明 双变量不等式的证明 考点一 单变量不等式的证明 【知识点解析】 一、解题原理 将不等式变形为（或）的形式，通过研究函数的单调性、极值/最值，证明其在定义域内的最值满足不等式，核心是不等式函数化，函数最值定符号。 二、解题思路（核心三步） 1. 构造函数：移项整理不等式，令“左式右式”，明确函数定义域； 2. 求导分析性质：求，找临界点（的点），划分区间判断的单调性、极值点； 3. 求最值证结论：求在定义域内的最值（端点值/极值），若或，则不等式得证。 补充技巧：若一次求导无法判断单调性，可多次求导（结合二阶导分析一阶导符号）；含参数时需分类讨论参数范围。 【例题分析】 例1．（2026·宁夏·一模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程. (2)若在恒成立，求的取值范围. (3)当时，证明：对，有. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，即可求出切线方程. （2）先化简不等式，根据指数函数的性质求出结果. （3）构造新函数，求导，判断单调性，求出最值. 【详解】（1）当时，，而， ，由点斜式得切线方程：， 即. （2）由题意化简得， ，，又，， 故​. （3）当时，原不等式等价于，即. 令，求导得，因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以由，得， 只需证，即. 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，且在处取最小值；而在恒成立， 故，所以， 原不等式对所有成立. 例2．（25-26高二下·广东揭阳·月考）已知函数． (1)令，讨论在的单调性： (2)当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的正负性与函数的单调性，分类讨论进行求解即可； （2）构造新函数，利用导数的性质求出新函数的最值，结合新函数的最值进行求解即可； （3）根据（2）的结论，构造新函数，利用导数的性质求出新函数的最值即可. 【详解】（1）当时，， 当时，即当时，单调递减； 当时，即当时， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上所述：当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）， 当， 时， 设， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 要想对任意的恒成立， 只需， 所以实数的取值范围为； （3）由（2）可知：当时，不等式恒成立， 当时，有， 即， 令， 所以， 即， 令， 当时，单调递增， 所以当时，， 即，所以. 例3．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，求出曲线在处的切线斜率和函数值，进而求得切线方程. （2）对函数求导并化简，构造新函数，讨论的范围判断函数的单调性，进而得到结果. （3）令，得，利用累加法求和结合对数的运算法则证明即可. 【详解】（1）当时，，， 对函数求导得 所以，而. 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）对求导，可得：. 令，其对称轴为. 当时，的对称轴，且. 所以当时，，即， 所以在上单调递减，所以满足题意. 当时，的对称轴，且， 所以存在，使得， 当时，，即，单调递增， 所以，不满足题意， 因此，的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，，即当且仅当时取等号. 令，则，即. 将两边同时乘以，可得. 所以. 根据对数的运算法则可得. 所以. 【变式训练】 变式1．（2026·江西·模拟预测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值； (3)当时，证明不等式恒成立． 【答案】(1)当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）对进行求导，分为和两种情况，结合极值的概念分别讨论即可； （2）结合（1）问，分别讨论和时函数在区间上单调性，即可求解. （3）先构造函数证明，利用放缩将不等式化为在恒成立，再构造函数证明即可. 【详解】（1），定义域为， ， 当时，，在上单调递增，无极值. 当时，令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. （2）由（1）可得当时，在区间上单调递增，所以，解得：，满足条件； 当时，若，即时，在区间上单调递增， ，解得：，与矛盾，舍去； 若，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，解得：，与矛盾； 综上，实数a的值为. （3）可化为， 即证， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 则， 只需证对恒成立， 令，， 令，， 因为，，当且仅当时，等号成立，故，所以，即在上单调递增， 则，则在上单调递增， 则，则对恒成立， 故不等式恒成立. 变式2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)试证明不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将 转化为 ，令 ，由求解； （2）法一：由(1)知，将问题转化为证 ，即证明；法二：令，，证明即可. 【详解】（1）由 得 ， 。 可化为 ， 令 ，则 。 令  得 ，  得， 所以 在 单调递减，在 单调递增， 所以 的最小值为 ， 所以 ； （2）法一：由(1)可知 ，即 ，故（时，等号成立）， 下证 ，即证 , 因为， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 又不能同时取“”，所以 . 法二：要证明不等式；令，， 只需证， 由，得， 当时，，当时，， 所以在单增，在单减， 所以， ，因为， 所以. 变式3．（25-26高三上·四川成都·期末）记函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)若不等式对于任意恒成立，求的取值范围； (3)求证：对于任意，恒成立. （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）构造函数，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合对任意的恒成立可得出实数的取值范围； （3）证法一：令，利用导数分析函数在上的单调性，分析可知所以存在唯一，使得；存在唯一，使得，只需证，结合（2）中的结论证明即可； 证法二：证明出当时，即可，构造函数，利用导数求出该函数在上的单调性，证明出即可； 证法三：证明出，即证，构造函数，其中，利用导数求出该函数的最小值，结合，可得出，其中，再利用（2）中的结论结合参考数据可证得结论成立. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以切线方程为，整理得. （2）令， 所以且，令，则. 则函数在上为增函数，且， 若，即，由可得， 即函数在上单调递减，所以， 故函数在上单调递减，所以，矛盾，所以， 当时，对于任意，. 所以在上单调递增，所以对于任意，， 所以在上单调递增，所以对于任意，，符合题意. 综上所述，的取值范围为. （3）法一：令，所以， 令，则， 当时，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 又，，， 所以存在唯一，使得；存在唯一，使得， 所以当时，，从而在上单调递增， 当时，，从而在上单调递减， 当时，，从而在上单调递增， 又，所以只需证明即可，又即， 所以， 下证即可说明， 又，单调递增. 所以， 又，由（2）知， 所以 ， 由已知得，，代入可知： ， 于是，所以恒成立. 法二：我们证明当时，即可， 记，所以， 记，所以， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，在单调递增. 又，，所以，. 所以存在使得，，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以为函数的唯一极小值点. 所以只需证明，且， 将代入，整理得， 所以等价于，即只需要证明即可， 注意到， 所以，故原不等式得证； 法三：要证，只需证，即证， 构造函数，其中，则， 令，解得（舍去）或， 令，当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以，即证，即证， 即证， 由（2）知， 所以 ， 由已知得，，代入可知： ， 所以恒成立. 考点二 双变量不等式的证明 【知识点解析】 一、解题原理 将两个变量的不等式，通过变量归一（构造单变量函数）或利用函数单调性转化为单变量不等式，核心是消元降维，将双变量问题转化为已掌握的单变量问题求解，常见类型为极值点偏移、任意/存在型双变量、无明显偏移的双变量。 二、解题思路（分两类核心方法） 方法1：极值点偏移型（形如/，为极值点） 1. 定单调性与极值点：求，确定的单调性和极值点； 2. 构造偏移函数：设（或对应乘积型），求导判断的单调性； 3. 定偏移方向：结合的符号，推出与的大小关系，再利用单调性证不等式。 方法2：通用消元型（无明显极值点偏移，形如） 1. 找变量关联：根据题干条件（如、），设参归一（令或），将双变量转化为单变量； 1. 构造单变量函数：把不等式全部表示为关于的函数； 1. 单变量法证明：按单变量不等式的思路，求的单调性、最值，证（或）。 三、通用核心技巧与注意事项 1. 函数构造原则：移项后让函数形式简洁，优先消去常数、简单根式，便于求导； 1. 定义域必关注：构造函数后先明确定义域，避免导数分析超出范围； 1. 双变量消元关键：找准变量间的等量/比例关系，确保参变量能表示所有项，无剩余双变量； 1. 多次求导不慌：若一阶导复杂，通过二阶导分析一阶导的符号，逐步推导原函数单调性。 【例题分析】 例1．（2026·重庆渝中·二模）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的单调区间； (3)若，，且，满足，求证：． （参考数据：） 【答案】(1) (2)的增区间为，无减区间 (3)证明见解析 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用导数的符号研究函数的单调区间； （3）根据题设分析，令并应用极值点偏移思想构造，，再应用导数研究函数符号，结合即可证. 【详解】（1）由题设且，则，所以切线方程为； （2）设，令，则， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， ，，， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 所以，即， 故的增区间为，无减区间； （3）由（1），（2）知，在上单调递增， 若，，必有， 若，，必有， 若，必有，，矛盾， 令，（）， ， 则， 所以单调递增，， 在上，，单调递减，， ，， 所以，， 所以，，即，原不等式成立. 例2．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，． (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，函数，且存在，使得，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由函数的单调性转化为在区间恒成立，转化为最值问题求解； （2）首先利用导数判断函数和的单调性和最值，再根据，确定和的范围，再根据，，和三种情况，证明不等式. 【详解】（1）由条件可知，在上恒成立， 则在上恒成立，则，， 因为时，，当且仅当等号成立，所以， 所以； （2）时，， 恒成立，所以在单调递减， 且，时，，当时，， 由，得，，， 所以在区间上单调递减，在上单调递增，， 所以， 若存在，使得，则， 当时，，，满足， 当时，，，有两种情况，或， 要证明，即证明，其中， 当时，在单调递增，因此要证明，等价于证明， 因为，即证明， 令，， ， 当时，，， 令，， 所以在上单调递减，，因此， 所以在上单调递增，所以， 即在区间恒成立， 因此，又因为，所以， 又因为在区间单调递增， 所以，即，结论成立， 当时，因为，所以，所以不等式显然成立， 综上可知，时，，当时，成立， 所以无论何种情况，，得证. 例3．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数的正负，判断函数的单调性； （2）首先根据函数解析式的形式，将条件变形，将问题转化为证明，其中，根据所设函数，，证明，再结合函数的单调性，即可证明左边，再将右边转化为证明. 【详解】（1）因为，在定义域内单调递增，，得， 且时，当时， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）. 令，，设，则. 故问题等价于证明：. 不妨设，则. 先证明左边：. 证明：设，. 则， 因为，设 于是. 所以在上单调递增，故，从而在上单调递减，所以，即. 又，且，所以. 又因为，，且在上单调递增， 所以，故. 再证明右边不等式：. 证明：有，可得，，所以. 令，，，其中，. 当时，显然有. 下面讨论的情形. 因为，易知当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 记，，则. 记，则 . 记，则 ， 所以在上单调递增，得，所以，故在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，故，得证. 【变式训练】 变式1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数在区间内极值点的个数． (2)设函数，若函数存在两个不同的零点，且． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析. (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数，分情况和讨论极值点； （2）（i）利用导数研究单调性，从而得，由函数存在两个不同的零点可得，得解； （ii）根据零点的分布和大小情况进行考虑入手即可. 【详解】（1）因为，所以． 若，当时，恒成立， 则函数在上单调递增，无极值点． 若，当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 故是函数的极小值点，且函数无极大值点． 综上可知，当时，函数在区间内极值点的个数为0； 当时，函数在区间内极值点的个数为1． （2）（i）由题意知， 所以． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为函数存在两个不同的零点，所以，即， 所以实数a的取值范围为． （ii）下面找两个点m，，使得， 注意到，且，于是考虑找点， 下面我们证明：． ①要证，即证，设，要证明， 即设，则，则 所以在上单调递增，得， 所以在上单调递增， 故，即 因此． 设，则， 所以在上单调递增，所以， 因此，又，故，即， 又，所以．．             ②， 设，则， 易知在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 因为，即，所以，且， 因此， 因为，所以，所以， 即得证． 变式2．（2025·浙江·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在，使得.证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】(1)根据导函数几何意义，利用函数导数求切线方程. (2)根据任意恒成立的解题思路，求构造函数最值，根据最值范围求参数范围. (3)根据题干条件，列出两个函数之间的等式方程，化简求得两个参数之间的关系，列出不等式，对不等式进行放缩，证明题目问题. 【详解】（1）当时，，所以. 又因为，所以切线方程为. （2）设，只需在时恒成立即可， 又，且，所以，即. 下面证明的充分性： ①当时，由， 令，所以， 记，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，所以恒成立. 综上所述，实数的取值范围是. （3）由函数.可得， 设，由，可得，则， 由（2）知，当时，，则时，， 所以，则，所以， 代入可得：， 则，所以. 变式3．（24-25高二下·广东江门·月考）已知函数，，设. (1)若，求的最大值； (2)求在上的最小值； (3)若有两个不同的零点，求证：. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出函数导数，确定函数的单调性求出最大值. （2）求出函数的导数，进而求出其单调区间，再分类讨论求出最小值. （3）利用零点的定义可得，，作差变形并构造函数，利用导数探讨取值集合即可. 【详解】（1）依题意，函数，其定义域为， 当时，，求导得， 当时，，；当时，，， 函数在上单调递增，在上单调递增减， 所以的最大值为. （2）函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，而， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，又， 所以当时，；当时，. （3）依题意，不妨令，，即， 两式相减得， 不等式， 令，则， 令函数，，函数在上单调递增， 因此，即，则， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：单变量不等式的证明、双变量不等式的证明讲义 期中培优：单变量不等式的证明、双变量不等式的证明讲义 考点目录 单变量不等式的证明 双变量不等式的证明 考点一 单变量不等式的证明 【知识点解析】 一、解题原理 将不等式变形为（或）的形式，通过研究函数的单调性、极值/最值，证明其在定义域内的最值满足不等式，核心是不等式函数化，函数最值定符号。 二、解题思路（核心三步） 1. 构造函数：移项整理不等式，令“左式右式”，明确函数定义域； 2. 求导分析性质：求，找临界点（的点），划分区间判断的单调性、极值点； 3. 求最值证结论：求在定义域内的最值（端点值/极值），若或，则不等式得证。 补充技巧：若一次求导无法判断单调性，可多次求导（结合二阶导分析一阶导符号）；含参数时需分类讨论参数范围。 【例题分析】 例1．（2026·宁夏·一模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程. (2)若在恒成立，求的取值范围. (3)当时，证明：对，有. 例2．（25-26高二下·广东揭阳·月考）已知函数． (1)令，讨论在的单调性： (2)当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 例3．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 【变式训练】 变式1．（2026·江西·模拟预测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值； (3)当时，证明不等式恒成立． 变式2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)试证明不等式. 变式3．（25-26高三上·四川成都·期末）记函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)若不等式对于任意恒成立，求的取值范围； (3)求证：对于任意，恒成立. （参考数据：，，，） 考点二 双变量不等式的证明 【知识点解析】 一、解题原理 将两个变量的不等式，通过变量归一（构造单变量函数）或利用函数单调性转化为单变量不等式，核心是消元降维，将双变量问题转化为已掌握的单变量问题求解，常见类型为极值点偏移、任意/存在型双变量、无明显偏移的双变量。 二、解题思路（分两类核心方法） 方法1：极值点偏移型（形如/，为极值点） 1. 定单调性与极值点：求，确定的单调性和极值点； 2. 构造偏移函数：设（或对应乘积型），求导判断的单调性； 3. 定偏移方向：结合的符号，推出与的大小关系，再利用单调性证不等式。 方法2：通用消元型（无明显极值点偏移，形如） 1. 找变量关联：根据题干条件（如、），设参归一（令或），将双变量转化为单变量； 1. 构造单变量函数：把不等式全部表示为关于的函数； 1. 单变量法证明：按单变量不等式的思路，求的单调性、最值，证（或）。 三、通用核心技巧与注意事项 1. 函数构造原则：移项后让函数形式简洁，优先消去常数、简单根式，便于求导； 1. 定义域必关注：构造函数后先明确定义域，避免导数分析超出范围； 1. 双变量消元关键：找准变量间的等量/比例关系，确保参变量能表示所有项，无剩余双变量； 1. 多次求导不慌：若一阶导复杂，通过二阶导分析一阶导的符号，逐步推导原函数单调性。 【例题分析】 例1．（2026·重庆渝中·二模）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的单调区间； (3)若，，且，满足，求证：． （参考数据：） 例2．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，． (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，函数，且存在，使得，求证：． 例3．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：. 【变式训练】 变式1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数在区间内极值点的个数． (2)设函数，若函数存在两个不同的零点，且． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 变式2．（2025·浙江·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在，使得.证明：. 变式3．（24-25高二下·广东江门·月考）已知函数，，设. (1)若，求的最大值； (2)求在上的最小值； (3)若有两个不同的零点，求证：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $