2026年中考数学模拟猜题卷（河北卷）

2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．碳酸氢钙中，元素、、、的化合价分别为，，，，其中化合价最小的元素是（   ） A． B． C． D． 2．如图是海昏侯墓出土的三足青铜鼎，显示出西汉时期手工业高超的工艺水平，下面关于它的三视图，说法正确的是（   ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三视图都不相同 3．2026年3月10日，某新型火星探测器在酒泉卫星发射中心成功发射，开启对火星卫星火卫一的探测任务．已知火卫一与火星的最近距离约为地球同步卫星轨道高度的35倍，地球同步卫星轨道高度约为，则火卫一与火星的最近距离约为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，能推出四边形是平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 6．化简的结果为（   ）A． B． C． D．1 7．为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点E到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 8．某中学八年级全体学生525人开展研学活动，现有大、小两种客车可以租赁．已知大客车能容纳49人，小客车能容纳35人，要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满，则租车方案有（       ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 9．已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．如图，先将直角放置在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，点在轴正半轴上，，，再将绕点顺时针旋转，得到，此时点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 12．如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．计算：_______． 14．如图，在中，，点D，E分别为，上的点，，，，，则的长为___________． 15．反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则的取值范围为______． 16．我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形的中心重合，分别延长，交于点E，F．若的半径为2，正方形的边长为1，则_____ ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）已知． (1)用含有的式子表示； (2)若，求的取值范围； (3)若的取值范围如图所示，求的负整数值． 18．（8分）若三位数的各位数字满足，则称该三位数为“和首数”．例如：三位数312，因为，所以312是和首数． (1)若一个“和首数”的十位数字是个位数字的2倍还多1，求该三位数． (2)若是和首数，将的各个数字轮换移位，得到一个新的三位数，求证：是9的倍数． 19．（8分）数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．已知：如图1，中，，分别是边，的中点． 求证：，． 【定理探究】 (1)下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 方法一 证明：如图2，延长到点，使，连接，，． 方法二 证明：如图3，过作交于点，过作交直线于点． 【定理应用】 (2)如图4，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离，测量员在地面上选了点和点，使，连接，并分别找到和的中点，，若测得，，则，两地间的距离为________． 20（8分）．某校为了解学生每周体育锻炼情况，随机抽取七、八年级部分学生，对其每周锻炼时间（单位：）进行统计，按锻炼时间分为：：；：；：；：四组，并绘制了如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中“”组对应的圆心角的度数为______，并补全条形统计图； (2)若该校八年级共有600名学生，估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； (3)乒乓球比赛中，“”组中七年级2班的甲、乙两名同学进入了决赛，争夺冠军，冠军奖励32颗乒乓球．甲乙两人水平相当，比赛规则为5局3胜制．比赛开始后，甲连胜2局，因特殊情况终止了比赛，也不再补赛．班主任决定用获胜概率的大小来给甲乙两人分配奖品，请用列表法或树状图法求甲获胜的概率，并求出甲、乙两人各分得乒乓球的数量． 21．（9分）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 22．（9分）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，为半径画半圆，分别与，相交于点D，E，过点E作，垂足为F． (1)求证：是半圆O的切线； (2)已知，，如图2，当与半圆O相切于点G时． ①求半圆O的半径； ②求图中阴影部分的周长． 23．（11分）数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠． (1)【初步尝试】如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，E是的中点，沿着剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则____． (2)【深入实践】如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点A，B在正方形网格的格点上，C，D是纸片边上的中点．沿着将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，保持①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片．请在正方形网格中画出拼接后的大正方形，并标注对应的编号． (3)【拓展迁移】如图3，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片剪拼成一个大正方形纸片．P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知，． ①求的长； ②求正方形的边长． 24．（12分）二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)如图，求二次函数的表达式； (2)如图，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接，若，求点的坐标； (3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“阶融合点”．如图，将二次函数的图象轴左侧部分沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数的图象第四象限内部分沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有个“阶融合点”，请直接写出的取值范围． 试卷第18页，共28页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D B D A C A B C D C B 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13． 14．2 15． 16． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【详解】（1）解：用含有的式子表示为：．······（1分） （2）解：由于，即，解得．······（3分） （3）解：由图可知，即， 解得，······（6分） 所以的负整数值为和．······（7分） 18．（8分） 【详解】（1）解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为， ∴百位上的数字为：， ∴， ∴， 当时，，该三位数为； 当时，，该三位数为； 当时，，该三位数为；······（4分） （2）证明：∵是和首数， ∴， ∴， ， ∴， ∴是9的倍数．······（8分） 19．（8分） 【详解】（1）解：方法一： 证明如下：在中，是边的中点， ， 在和中， ， ，······（2分） ，， ， 点是边的中点， ， ， 四边形为平行四边形，······（3分） ，， ， ，；······（4分） 方法二： 证明如下：过作交于点，过作交直线于点，······（1分） 四边形是平行四边形， ，， 又， ， 在和中， ， ，······（3分） ， ，， 点，分别是边，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，；······（4分） （2）解：如下图所示，连接并延长，交延长线于，······（5分） ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ，······（6分） ，， 是中点， 是的中位线， ， ， ， ，， ．······（8分） 20．（8分） 【详解】（1）解：抽取学生总数为：（名）， 扇形统计图中“”组对应的圆心角的度数为：， “”组八年级人数为：（名）， 补全后的条形统计图如下： ······（3分） （2）解：（名） 答：估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为210人；······（5分） （3）解：由题意画树状图如下： ······（6分） 由图可知，共有8种等可能的情况，根据5局3胜制规则，乙获胜的情况有1种（即第三、四、五局乙连胜），甲获胜的情况有7种， 所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，······（7分） 甲分得乒乓球的数量为：， 乙分得乒乓球的数量为：， 即甲、乙两人各分得乒乓球的数量分别为28个、4个．······（8分） 21．（9分）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 【详解】（1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即；······（2分） （2）解：， ， ， 设（为常数）， 则， ∴是常数． ∴x每增加相同的数值，y的增加量相同．······（5分） （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴．······（9分） 22．（9分） 【详解】（1）证明：如图，连接，······（1分） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半圆O的切线；······（4分） （2）解：①如图，连接， 与半圆O相切于点G， ， 是直角三角形， ， 设，则，， ， ， ， ， ， 即半圆O的半径为4；······（7分） ②连接， ， 四边形为矩形， ， 矩形为正方形， ，， 由①知：半圆O的半径为4， 阴影部分的周长为：．······（9分） 23．（11分） 【详解】（1）解：∵长方形纸片可看作由个全等的小正方形组成，是的中点， ∴， ∴， ∵拼接成一个大正方形纸片， ∴；······（1分） （2）解：如图，下图展示了两种不同的拼法， ······（3分） （3）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴；······（4分） 由可知，， 在中，，······（5分） 在中，， 在中，， ∴，······（7分） 设， ∴ ，······（8分） 解得， ∴，······（9分） ∴，······（10分） ∴正方形的边长是．······（11分） 24．（12分） 【详解】（1）解：二次函数，对称轴为直线，且过点， 根据对称轴公式和点坐标列方程： ，解得， 因此二次函数表达式为：；······（3分） （2）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴时，，得， 由（）得，，对称轴， ∴， 直线经过两点，设直线的解析式为， ， ∴直线的解析式为，······（5分） ∵，和同高（到直线的高）， ∴，即······（6分） 如图，分别过作轴的平行线，交于两点， ∵， ∴， ∴，······（7分） ∴， ∵， 将代入， 得： ∴. ∴ 设， 则 ∵，即 ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 因此点的坐标为：或；······（9分） （3）∵“阶融合点”，满足， ∴， ①当过时，； 过时，， 由图可得：当直线与的交点只有个；······（10分） ②当与相切时：， 整理，得， ， ， ∴时，直线与的交点只有个； 综上，若函数图象上有且只有个“阶融合点”，的取值范围为或．······（12分） 试卷第18页，共28页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学模拟猜题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．碳酸氢钙中，元素、、、的化合价分别为，，，，其中化合价最小的元素是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目已给出各元素的化合价，只需根据有理数大小比较规则，找出最小化合价对应的元素即可． 【详解】解：∵， ∴化合价最小的元素是． 2．如图是海昏侯墓出土的三足青铜鼎，显示出西汉时期手工业高超的工艺水平，下面关于它的三视图，说法正确的是（   ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三视图都不相同 【答案】D 【分析】根据三视图的定义判断即可． 【详解】解：主视图看到的是三足青铜鼎的正面轮廓，顶部两个鼎耳，底部能看到三个鼎足； 左视图只能看到左侧的鼎耳，底部只能看到前后两个鼎足； 俯视图从上往下看，只能看到鼎口的圆形轮廓，以及向两侧伸出的鼎耳，看不到鼎足和鼎身的侧面； 综上所述，三视图都不相同． 3．2026年3月10日，某新型火星探测器在酒泉卫星发射中心成功发射，开启对火星卫星火卫一的探测任务．已知火卫一与火星的最近距离约为地球同步卫星轨道高度的35倍，地球同步卫星轨道高度约为，则火卫一与火星的最近距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倍数关系列出算式，将结果整理为标准科学记数法即可得到答案． 【详解】解：∵ 火卫一与火星的最近距离为地球同步卫星轨道高度的倍，地球同步卫星轨道高度为 ∴所求距离为：． 4．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质与加减运算，根据二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 算术平方根的结果为非负数，， ∴ A选项错误； ∵ 合并同类二次根式得 ， ∴ B选项错误； ∵ 与不是同类二次根式，不能直接合并，， ∴ C选项错误； ∵ ，计算正确， ∴ D选项正确． 5．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，能推出四边形是平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【详解】解：由题意可知，，， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 6．化简的结果为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：原式． 7．为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点E到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上的高，则为的边上的高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 8．某中学八年级全体学生525人开展研学活动，现有大、小两种客车可以租赁．已知大客车能容纳49人，小客车能容纳35人，要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满，则租车方案有（       ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】根据题意列出二元一次方程，求方程的非负整数解即可得到租车方案的数量． 【详解】解：设租大客车辆，小客车辆，其中为非负整数， 由题意可得：， 两边同除以整理得：， 变形得：， 是非负整数， 必须是整数且， 由得， 的可能取值为， 对应的分别为，均符合要求， 因此共有种租车方案． 9．已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质与系数的关系，先将函数整理为标准一次函数形式，再根据随增大而减小的性质列不等式求解即可． 【详解】首先整理一次函数得 一次函数随的增大而减小， 一次项系数， 解不等式得． 故选C． 10．如图，先将直角放置在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，点在轴正半轴上，，，再将绕点顺时针旋转，得到，此时点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，推导出， 是等边三角形，求出，， ，进而证明，，则点的坐标为，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴点的坐标为． 11．如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，三角形全等的判定，角平分线性质定理，运用相关知识逐项判断即可． 【详解】解：连接，过点作于点，于点， 由作图得，， 又， ∴， ∴， ∴， 故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故选项B正确，不符合题意； 无法判断， 故选项C符合题意； ∵，，， ∴， 又， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 12．如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数的图象过定点，再利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，当时，， 所以一次函数的图象过定点． 由得，， 所以点B坐标为． 将代入得，， 所以点A坐标为． 当一次函数图象经过点A时， ， 解得． 当一次函数图象经过点B时， ， 解得， 所以当一次函数的图象与有交点时，k的取值范围是：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．计算：_______． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： 14．如图，在中，，点D，E分别为，上的点，，，，，则的长为___________． 【答案】2 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取，连接．证明，得到，即可由求解． 【详解】解：在上截取，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 15．反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则的取值范围为______． 【答案】 【分析】画出图象，找到临界状态，会发现，当时，是8个整点，满足条件． 【详解】解：如图， 当时，是5个整点，当时，是8个整点． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，画出函数图象是解题的关键． 16．我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形的中心重合，分别延长，交于点E，F．若的半径为2，正方形的边长为1，则_____ ． 【答案】 【分析】此题重点考查正方形的性质、正多边形和圆、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 作于点Q，于点P，连接、，则，，由圆心O和正方形的中心重合，可知和是正方形的边心距，则，可根据“”证明，得，可证明，则，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点Q，于点P，连接、，则，， ∵四边形是正方形，且圆心O和正方形的中心重合， ∴和是正方形的边心距， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）已知． (1)用含有的式子表示； (2)若，求的取值范围； (3)若的取值范围如图所示，求的负整数值． 【答案】(1) (2) (3)的负整数值为和 【分析】（1）根据等式的性质移项即可； （2）根据（1）中的等式，将代入，结合不等式的性质即可求解； （3）根据数轴得到，结合不等式的性质代入计算即可． 【详解】（1）解：用含有的式子表示为：． （2）解：由于，即，解得． （3）解：由图可知，即， 解得， 所以的负整数值为和． 18．（8分）若三位数的各位数字满足，则称该三位数为“和首数”．例如：三位数312，因为，所以312是和首数． (1)若一个“和首数”的十位数字是个位数字的2倍还多1，求该三位数． (2)若是和首数，将的各个数字轮换移位，得到一个新的三位数，求证：是9的倍数． 【答案】(1)或或 (2)见解析 【分析】（1）设个位上的数字为x，则十位上的数字为，得出百位上的数字为：，确定，即可求解； （2）根据题意得出，分别表示出M、N，然后代入化简即可． 【详解】（1）解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为， ∴百位上的数字为：， ∴， ∴， 当时，，该三位数为； 当时，，该三位数为； 当时，，该三位数为； （2）证明：∵是和首数， ∴， ∴， ， ∴， ∴是9的倍数． 19．（8分）数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．已知：如图1，中，，分别是边，的中点． 求证：，． 【定理探究】 (1)下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 方法一 证明：如图2，延长到点，使，连接，，． 方法二 证明：如图3，过作交于点，过作交直线于点． 【定理应用】 (2)如图4，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离，测量员在地面上选了点和点，使，连接，并分别找到和的中点，，若测得，，则，两地间的距离为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）方法一、证明，根据全等三角形的性质可证且，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可证结论成立； 方法二、证明，根据全等三角形的性质可证，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证结论成立； （2）连接并延长，交延长线于，可证，根据全等三角形的性质可知，，可证是的中位线，根据中位线的性质即可求出结果． 【详解】（1）解：方法一： 证明如下：在中，是边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 点是边的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ，； 方法二： 证明如下：过作交于点，过作交直线于点， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， 点，分别是边，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，； （2）解：如下图所示，连接并延长，交延长线于， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， 是中点， 是的中位线， ， ， ， ，， ． 20（8分）．某校为了解学生每周体育锻炼情况，随机抽取七、八年级部分学生，对其每周锻炼时间（单位：）进行统计，按锻炼时间分为：：；：；：；：四组，并绘制了如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中“”组对应的圆心角的度数为______，并补全条形统计图； (2)若该校八年级共有600名学生，估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； (3)乒乓球比赛中，“”组中七年级2班的甲、乙两名同学进入了决赛，争夺冠军，冠军奖励32颗乒乓球．甲乙两人水平相当，比赛规则为5局3胜制．比赛开始后，甲连胜2局，因特殊情况终止了比赛，也不再补赛．班主任决定用获胜概率的大小来给甲乙两人分配奖品，请用列表法或树状图法求甲获胜的概率，并求出甲、乙两人各分得乒乓球的数量． 【答案】(1)80，，图见解析 (2)210人 (3)甲、乙两人各分得乒乓球的数量分别为28个、4个 【分析】（1）用A组人数除以所占百分数可得抽取学生总数，用B组人数除以抽取学生总数，再乘以360度可得B组对应的圆心角的度数； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）画出树状图，根据比赛规则找出甲获胜的情况有几种，进而得出概率，即可求解． 【详解】（1）解：抽取学生总数为：（名）， 扇形统计图中“”组对应的圆心角的度数为：， “”组八年级人数为：（名）， 补全后的条形统计图如下： （2）解：（名） 答：估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为210人； （3）解：由题意画树状图如下： 由图可知，共有8种等可能的情况，根据5局3胜制规则，乙获胜的情况有1种（即第三、四、五局乙连胜），甲获胜的情况有7种， 所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲分得乒乓球的数量为：， 乙分得乒乓球的数量为：， 即甲、乙两人各分得乒乓球的数量分别为28个、4个． 21．（9分）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 【答案】(1) (2)x每增加相同的数值，y的增加量相同 (3) 【分析】（1）由，得，将代入求解即可； （2）由题意可得，设（为常数），计算即可； （3）求得，由 得x随着a的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即； （2）解：， ， ， 设（为常数）， 则， ∴是常数． ∴x每增加相同的数值，y的增加量相同． （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴． 22．（9分）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，为半径画半圆，分别与，相交于点D，E，过点E作，垂足为F． (1)求证：是半圆O的切线； (2)已知，，如图2，当与半圆O相切于点G时． ①求半圆O的半径； ②求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①4；② 【分析】（1）连接,根据等腰三角形的性质易得到，进而得到，根据平行线的性质得到，根据得到，从而得出结论； （2）①连接，根据切线的性质得到是直角三角形，进而得到，设，则，，进而求出，结合，列方程求出的值，从而求出长； ②连接，易证明四边形为正方形，进而得到，，利用阴影部分的周长等于求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半圆O的切线； （2）解：①如图，连接， 与半圆O相切于点G， ， 是直角三角形， ， 设，则，， ， ， ， ， ， 即半圆O的半径为4； ②连接， ， 四边形为矩形， ， 矩形为正方形， ，， 由①知：半圆O的半径为4， 阴影部分的周长为：． 【点睛】本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、正方形的判定与性质、勾股定理及弧长公式，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 23．（11分）数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠． (1)【初步尝试】如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，E是的中点，沿着剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则____． (2)【深入实践】如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点A，B在正方形网格的格点上，C，D是纸片边上的中点．沿着将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，保持①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片．请在正方形网格中画出拼接后的大正方形，并标注对应的编号． (3)【拓展迁移】如图3，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片剪拼成一个大正方形纸片．P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知，． ①求的长； ②求正方形的边长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)； 【分析】（）由勾股定理求出的长，由正方形的性质可得出答案； （）由题意画出图形即可； （）由全等三角形的性质及正方形的性质可得出答案； 由勾股定理得出，设 ，则，求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵长方形纸片可看作由个全等的小正方形组成，是的中点， ∴， ∴， ∵拼接成一个大正方形纸片， ∴； （2）解：如图，下图展示了两种不同的拼法， （3）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 由可知，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 设， ∴ ， 解得， ∴， ∴， ∴正方形的边长是． 24．（12分）二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)如图，求二次函数的表达式； (2)如图，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接，若，求点的坐标； (3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“阶融合点”．如图，将二次函数的图象轴左侧部分沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数的图象第四象限内部分沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有个“阶融合点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（）根据二次函数对称轴公式和已知点的坐标列方程组，求解得到，从而确定二次函数的表达式为； （）先求出点坐标及直线的解析式，先由且两三角形同高，推得线段比；再分别过作轴的平行线，交于两点，利用平行线性质证，得到；接着由点坐标求出点坐标与的长度，设出点坐标并表示出点坐标与的长度；最后代入比例关系列方程求解，再算出对应纵坐标，得到点的坐标； （）通过分析直线过分段函数的关键点时的值，以及直线与相切时的值，确定出“阶融合点”只有个时的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数，对称轴为直线，且过点， 根据对称轴公式和点坐标列方程： ，解得， 因此二次函数表达式为：； （2）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴时，，得， 由（）得，，对称轴， ∴， 直线经过两点，设直线的解析式为， ， ∴直线的解析式为， ∵，和同高（到直线的高）， ∴，即 如图，分别过作轴的平行线，交于两点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 将代入， 得： ∴. ∴ 设， 则 ∵，即 ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 因此点的坐标为：或； （3）∵“阶融合点”，满足， ∴， ①当过时，； 过时，， 由图可得：当直线与的交点只有个； ②当与相切时：， 整理，得， ， ， ∴时，直线与的交点只有个； 综上，若函数图象上有且只有个“阶融合点”，的取值范围为或． 试卷第18页，共28页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $