专题12 锐角三角函数（河北专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题12 锐角三角函数 考点一、仰角、俯角的应用 1．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） (1)求的大小及的值； (2)求的长及的值． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ，， ∴，，， ∴， ∴，； （2）解：∵，， ∴， 如图，过作于， ∵，设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 2．（2022·河北·中考真题）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线． 嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m． (1)求∠C的大小及AB的长； (2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1） 【答案】(1)，(2)见详解，约米 【详解】（1）解：∵水面截线 ， ， ， 在中，，， ， 解得． （2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示： 水面截线，， ，， 为最大水深， ， ， ，且， ， ，即，即， 在中，，， ，即， 解得， ， 最大水深约为米． 考点二、解直角三角形的其它实际应用问题 3．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．（参考数据：，） 【答案】 【详解】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D 由图可得，线段的长与其他的都不相等， ∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上， ∴ ∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴． ∴这条线段的长为． 故答案为：． 4．（2023·河北·中考真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中 （1） 度． （2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．    【答案】 【详解】解：（1）作图如下：    根据中间正六边形的一边与直线l平行及多边形外角和，得， ， 故答案为：； （2）取中间正六边形的中心为，作如下图形，    由题意得：，,， 四边形为矩形， ， ， ， ， 在中，， 由图1知， 由正六边形的结构特征知：， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 5．（2023·河北·中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点． （1）求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．    探究：在图2中 （2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小． 【答案】（1）；（2）；（3），，． 【详解】解：（1）连接， ∵为圆心，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ．    （2）∵与半圆的切点为， ∴ ∵ ∴于点， ∵，， ∴， ∴操作后水面高度下降高度为： ． （3）∵于点， ∴， ∵半圆的中点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 考点三、应用三角函数进行计算 6．（2021·河北·中考真题）如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为（为1~12的整数），过点作的切线交延长线于点． （1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （2）连接，则和有什么特殊位置关系？请简要说明理由； （3）求切线长的值． 【答案】（1）劣弧更长； （2）和互相垂直，理由见解析； （3）． 【详解】（1）劣弧， 直径， 因为，故劣弧更长． （2）如下图所示连接，，由图可知是直径， ∴对应的圆周角 ∴和互相垂直． （3）如上图所示， ∵是的切线 ∴， ∴． 7．（2021·河北·中考真题）在一平面内，线段，线段，将这四条线段顺次首尾相接．把固定，让绕点从开始逆时针旋转角到某一位置时，，将会跟随出现到相应的位置． （1）论证  如图1，当时，设与交于点，求证：； （2）发现  当旋转角时，的度数可能是多少？ （3）尝试  取线段的中点，当点与点距离最大时，求点到的距离； （4）拓展  ①如图2，设点与的距离为，若的平分线所在直线交于点，直接写出的长（用含的式子表示）； ②当点在下方，且与垂直时，直接写出的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）或；（3）；（4）①；②． 【详解】证明：（1）， ， 在和中，， ， ， ， ； （2）由题意，由以下两种情况： ①如图，取的中点，连接，则， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形， ， ， ； ②如图，当点与的中点重合， 则， 是等边三角形， ， 综上，的度数为或； （3）如图，连接， ， ，当且仅当点共线时，等号成立， 如图，过点作于点，过点作于点，则即为所求， ， ， 设，则， ， ， 解得， ，， 在中，， 在中，， 即当点与点距离最大时，点到的距离为； （4）①如图，连接交于点，过点作于点， 平分，， ，（等腰三角形的三线合一）， 设，则， ， ， 解得，即， 在和中，， ， ，即， 解得； ②初中阶段没有学习钝角的余弦值，且， 只需考虑的情形， 如图，设与交于点，过点作于点，连接， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， ， 设，则， 在和中，， ， ，即， 解得， ， ， 解得， 则． 专练一、应用已知三角函数值进行计算 8．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在等边中，点E，F在边上，，是边上的高，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：等边，是边上的高， ， ， ， ． ， ， 又， ， 故选D． 9．（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，，过，两点的交于点，过点作的切线交于点．连接． (1)求证：． (2)若，． ①求的长； ②直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【详解】（1）证明：连接， ，， ， , , ， 是的切线， ， ； （2）解：过作交于，过作交于，延长交于， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． ②连接， 在中，， 在中，， ∴． 10．（2025·河北邯郸·三模）已知是等边三角形，点在内，且，以为边在右侧作等边三角形． (1)如图1，若点在射线上， ①请利用无刻度的直尺和圆规作出，连接． ②求的度数． (2)如图2，延长交于点． ①求证：是的中点． ②设，交于点，若，求的值． (3)连接，若的边长是12，点是的中点，请直接写出点，之间距离的最大值． 【答案】(1)①见解析②(2)①证明见解析②(3) 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②和均为等边三角形， ，，． ， ， ． 又， ； （2）①证明：如图2，连接，过点作交的延长线于点． 同上可知，， ． ，， ． 又， ， ， ． 又， ， ， 即是的中点； ②解：如图2，连接． 是等边三角形，是的中点， ． 又， ， ． ， 设，则，， ； （3）解：如图所示， 以为直径作圆，因为，所以点的运动轨迹在此圆上， 以为直径作圆，点为中点，因为，所以点的运动轨迹在此上，此时，， ∵点为中点，点为中点， ∴点的运动轨迹在以为直径的上，此时，， 当点在同一条直线上时，且点在点右侧时，取得最大值， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ， 所以，点，之间距离的最大值为． 专练二、根据题意求三角函数值 11．（2025·河北唐山·三模）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，其中点、、都在格点上，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：延长交于格点，连接， 由8个全等的菱形组成的网格， 、都在格点上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：A． 12．（2025·河北唐山·二模）如图，，延长，交于点P，若，，，，则的值为 . 【答案】2 【详解】解：如图，作于点H，交于点O， ∵， ∴， ，即 ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 13．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在正方形中，为上一点，点为正方形的中心，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，且与交于点． (1)试判断点是否在线段上，并说明理由； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长交的延长线于点，连接，当时，求的值． 【答案】(1)点在线段上，见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：点在线段上，理由如下： 如解①，连接， ∵四边形是正方形，点是正方形的中心， ∴． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即点在线段上； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴在中，，在中，， ∴； （3）解：如图②，延长交的延长线于点，连接， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， 由（1）知， 设，则， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴，即． 专练三、利用锐角三角函数求解 14．（2025·河北沧州·一模）如图，在探究活动中，某小组将两张完全重合的正六边形纸片的中心用图钉固定住，保持下方正六边形纸片不动，将上方正六边形纸片绕点顺时针旋转，旋转后上方正六边形纸片的两边与边分别交于点，．该小组得到结论、，下列判断正确的是（   ） 结论：当时，阴影部分是正十二边形； 结论：连接、．在旋转过程中，的度数不变 A．结论都正确 B．结论都不正确 C．只有结论正确 D．只有结论正确 【答案】A 【详解】解：如图，当时， 由旋转性质可知，， 由正六边形可得：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴阴影部分的边数为，即正十二边形，故正确； 如图， 同上理可得：，， ∴，故正确； 故选：． 15．（2025·河北邯郸·二模）如图，正五边形的中心为，连接交对角线于点，则的值为 （参考数据：取）． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点作于点． 五边形是正五边形， ∴，， ∴，， ∴， 在中，． 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2025·河北邯郸·三模）如图，在菱形中，．点E在射线上运动（不与点B，点C重合），关于的轴对称图形为．若，为的外接圆，设的半径为r．则r的取值范围为 ． 【答案】，且 【详解】解：如图，设的外接圆圆心为O，连接，作于点G，作于点H． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中， ， ∵，且点E不与B、C重合， ∴，且， ∴，且． 17．（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，点D在边上运动（不与点A，C重合），以为边作正方形，使点A在正方形内，连接，则： （1）当时， ； （2）点到直线的距离为 ； （3）面积的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形， ∴； 故答案为：； （2）过点F作于G，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即点到直线的距离为； 故答案为：； （3）过点E作于H，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值是． 故答案为：． 18．（2025·河北邯郸·三模）如图1，过边长为10的正六边形的顶点，作平行线，为正六边形的中心，当两平行线分别绕点，旋转时(两直线始终保持平行)，两直线之间的距离也发生变化，连接． (1)若点在，之间，且，求的度数． (2)如图2，当点落在直线上时，相比（1）中的情况，两直线之间的距离减少了多少？ (结果保留整数，参考数据：，，) 【答案】(1)(2)和之间的距离减少了2 【详解】（1）在正六边形中，， 由正六边形的对称性可知，是它的一条对称轴， ． ， ， ， ， ． （2）如图（1），作于点，则， 由题意得， ， ， ． 如图（2），当在上时，连接，作于点， 在正六边形中，，， ， 即为，之间的距离， 又， ， 和之间的距离减少了． 专练四、与仰角、俯角有关是实际应用问题 19．（2025·河北邢台·三模）如图，小明从点观测对面的山，下列说法正确的是（    ） A．从点观测点的仰角是 B．从点观测点的俯角是 C．从点观测点的仰角是 D．从点观测点的俯角是 【答案】D 【详解】解：根据仰角与俯角的概念，可知从点观测点的仰角是， 从点观测点的俯角是， 故选：D． 20．（2025·河北邯郸·三模）太阳能光伏发电具有清洁、安全、高效的特点．嘉嘉为了解某太阳能板的相关数据，展开了测量活动．如图，为太阳能板，为支撑架，已知是的中点，垂直于水平地面．当太阳光线（视为平行光线）与水平地面的夹角为时，测得太阳能板在地面上的影长．在点处用高度为的测角仪测得点处的仰角为． (1)求太阳能板的顶端距离地面的高度； (2)测得，求太阳能板的宽度（的长）．（参考数据：，，） 【答案】(1)太阳能板的顶端距离地面的高度约为．(2)m 【详解】（1）如图，过点作，于点，过点作于点．则四边形是矩形， ，． 由题意知， ． 设，则， 在中，． ，即． 解得 ． 答：太阳能板的顶端距离地面的高度约为． （2）如图，过点作于点，过点作，交于点，则四边形是矩形． ，． ，是的中点， 是的中点，， ， ， ， ． 答：太阳能板的宽度约为m． 21．（2025·河北沧州·模拟预测）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点 处，让无人机飞到点 处 ，与底板平行，测得米，此时在点 处又测得坡道上的点 的俯角为，接着让无人机飞到点处 ，与底板平行，测得米． （参考数据：） (1)求的值； (2)已知水平地面、顶板 在同一条直线上，且这条直线与底板平行，无人机从点飞到点，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考 虑其他因素的前提下，请通过计算说明一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库． 【答案】(1)(2)货车能进入该车库，计算说明见解析 【详解】（1）解：如图，过点作于点，可得四边形为矩形，则. ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：如图，连接， ∵均与平行， ∴在同一直线上， ∵，， ∴， ， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴货车能进入该车库． 22．（2025·河北邯郸·二模）路灯是城市基础设施的重要组成部分，承担着夜间照明、安全保障和智慧城市功能集成等责任．酷爱数学的嘉嘉想利用数学知识测量灯臂和灯杆的长度．如图是某路灯的示意图，灯杆与水平地面垂直，两盏路灯挂在灯杆的两侧（灯臂，近似看作线段，且），直线与水平地面平行．嘉嘉站在路灯前方的点处时，观测到点，在同一条直线上，且测得米．他又向后移动3米到达点，此时观测到点，恰好在同一条直线上，且测得点的仰角为．已知米．（图中所有点在同一平面内） (1)判断的形状，并说明理由； (2)求灯臂的长和灯杆的高． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析；(2)（米），米 【详解】（1）解：是等边三角形． 理由如下：如图，过点作于点． 由题意，得， ． 又， 是等边三角形． （2）， 点在同一条直线上， 四边形、四边形和四边形都是矩形， 米，米，米， （米）． ， ． ， ． 设米，则米， （米）． ， （米）， （米）， 米． ， ， ， 即， 或（舍去）， （米），米． 23．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为，且点P与建筑物的水平距离为20米． (1)求建筑物的高度（结果精确到米）； (2)驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算，求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数．（参考数据：取，取，取4） 【答案】(1)28.7米(2)10人 【详解】（1）解：过点作于点D，如图，， 地面，地面， 四边形为矩形， 米，米， 在中，（米）， （米）， 即建筑物的高度为米； （2）解：由题意，，， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， （人）， 行人在斑马线上一横排并排行走的人数最多为10人． 专练五、与方位角有关的实际应用问题 24．（2025·河北唐山·三模）如图，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：） (1)求的长度（结果精确到千米）； (2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 【答案】(1)的长度约为千米 (2)甲选择的路线较近 【详解】（1）解：如图所示，过点作于， 由题意得，， ∴， 在中，千米， ∴千米， 在中，千米， ∴的长度约为千米； （2）解：如图所示，过点作于， 在中，千米， 在中，， ∴千米， ∴千米， 在中，千米， 千米， 在中，， ∴千米， 千米， ∴千米， 千米， ∵， ∴甲选择的路线较近． 25．（2025·河北·模拟预测）近年来，正定县在古城保护方面取得了显著成效，对城内古寺古木都采取了专业性的保护措施．如图，某工作人员在A处看到B，C处各有一棵被古塔隔开的古树，他在A处测得古树B在北偏西方向，古树C在北偏东方向．该工作人员从A处走了到达古树B后，又在B处测得古树C在北偏东方向上． (1)求及的度数； (2)求两棵古树B，C之间的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：如图所示，过点A作， 且， ， 且， ， ， ， ，， ； （2）解：过点A作于点G，则， 在中，， ， 又， ， ，， ， 在中，， ， 即两棵古树B，C之间的距离为． 26．（2025·河北邯郸·二模）淇淇家位于学校正东方向处，周末她和同学约好去学校附近的体育馆打篮球，已知体育馆位于学校北偏西方向，距离学校． (1)请根据描述画出淇淇家、学校和体育馆的方位示意图； (2)求体育馆到淇淇家的直线距离； (3)若淇淇步行从家出发，先以的速度匀速走到学校，但到达学校后，发现忘带篮球，于是立即以的速度原路返回家中．取到篮球后，为了赶时间，她以的速度从家直接走到体育馆，求淇淇全程所用的时长．（计算结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：画出示意图如图1． （2）解：如图2，连接，过点作，交的延长线于点，则， ，， ，， 体育馆到淇淇家的直线距离约为． （3）解：淇淇全程所用的时长为： ． 专练六、与坡度、坡脚有关的实际应用问题 27．（2025·河北石家庄·二模）某商场为了方便顾客使用购物车，将负一层超市的台阶式扶梯改为斜坡式扶梯．如图，改造前台阶式扶梯的斜坡与地面的夹角，米；改造后斜坡的坡度． (1)求的长（取1.73，结果保留一位小数）； (2)扶梯顶部距水平距离6.6米的处有一广告牌，米，身高1.9米的人乘坐改造后的扶梯，是否能碰到此广告牌？若能，需要将广告牌和点的距离调整为超过多少才能碰不到广告牌；若不能，请简要说明理由． 【答案】(1)的长为； (2)会碰到．需要将调整为超过米才能碰不到广告牌． 【详解】（1）解：在中，，， ∴，， ∵新坡面的坡度， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：会，理由如下： 延长交于点，由题意，得：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴会碰到． 当调整为米，则米，米， 由题意得， 解得， ∴， 答：会碰到．需要将调整为超过米才能碰不到广告牌． 28．（2025·河北唐山·二模）滑梯的坡角越小，安全性越高，从安全性及适用性出发，嘉嘉同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮嘉嘉解决方案中的问题． 【方案设计】如图，将滑梯顶端拓宽为（），使，并将原来的滑梯改为（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 【测量数据】滑梯的高，滑梯的坡度为，滑梯的坡角． 【解决问题】 (1)求滑梯的长度； (2)调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （注：，，） 【答案】(1)滑梯的长度为； (2)调整后的滑梯会多占的地面． 【详解】（1）解：∵滑梯的坡度为， ∴，    ∵， ∴， 解得， ∴滑梯的长度为； （2）解：过点作直线的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，， 在中，，即， 解得， ∴， 答：调整后的滑梯会多占的地面． 29．（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，界面的示意图如图1所示，一楼和二楼地面平行（即点A与点B所在的直线与平行），层高为8m，坡角． （1）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则A，B之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图2中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度i不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （2）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取0.34，取0.94，取0.36） 【答案】（1）A，B之间的距离要大于5米；（2）平台EF的最大长度为 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于点， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （2）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 专练七、应用锐角三角形函数解决古代问题 30．（2025·河北保定·二模）综合与实践： 【问题情境】 如图1，投石车在春秋时期就已经开始使用，是古代战车的一种，上装机枢，弹发石块．校园科技节活动中，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在活动当天进行投石试验展示． 【实验操作】图2是投石机的侧面示意图．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．已知，木架米．杠杆的初始位置与地面成角，即．当点上升到点时甩出石头，此时、O、在同一直线上． 【问题解决】 (1)求的长度； (2)甩出石头时，杠杆顶端与地面的距离的长度． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： 在中， ． （2）解：，， ， 在中，， 杠杆顶端与地面的距离的长度为． 31．（2025·河北沧州·二模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jiégāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)支点O到小竹竿的距离 (2)点A上升的高度为 【详解】（1）解：作于点G（图1）， O为的中点，， ， ， ， ， 在中， 支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ，， ∴， ， ， ， ， 在中，， 在中， 点A上升的高度为． 32．（2025·河北廊坊·一模）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究如图②，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．（结果精确到，参考数据：） (1)__________，_________； (2)求点到道路的距离． 【答案】(1)，(2)点到道路的距离约为 【详解】（1）解：正八边形的一个外角的度数为：， ，； 故答案为：，； （2）解：过点作，垂足为， 在中，，， ， 在中，， ， 所以，点到道路的距离为． 专练八、应用锐角三角函数解决其它实际问题 33．（2025·河北石家庄·三模）图1为水平放置在地面上的穿衣镜，其支架形状固定不变，镜面可任意角度调节，侧面示意图如图2，其中为镜面，为放置物品的水平收纳架，支架为水平地面，经测量得． (1)求支架顶点A到地面的距离； (2)如图3，将镜面顺时针旋转，求此时穿衣镜顶部端点O到地面的距离．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】(1)架顶点到地面的距离约为 (2)此时穿衣镜顶部端点O到地面的距离约为 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于I， ， ， ， ， ， ， 答：支架顶点到地面的距离约为； （2）解：如下图所示，过点O作于G，过点A作于H， ， ， ∵镜面顺时针旋转，即， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 答：此时穿衣镜顶部端点O到地面的距离约为． 34．（2025·河北邯郸·三模）如图，是起钉器在起钉时的截面示意图，起钉盒可看作矩形，点落在底座上（底座厚度忽略不计），起钉时．已知，，，且三点共线． (1)求起钉时的大小； (2)求起钉时点到底座的距离．（结果保留到小数点后一位，参考数据：取，取） 【答案】(1)75°(2) 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：如图，过点作于点，过点分别作于点，于点， ∴． ∵三点共线，， ∴， ∴在中，． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 答：起钉时点到底座的距离约为． 35．（2025·河北邯郸·二模）如图，是某种平板支架的侧面示意图，经测量知，，底座在桌面上不动，，可以分别绕点A，C转动．若，． (1)求的延长线与桌面的夹角的度数； (2)求点D到桌面的距离．（结果精确到）（参考数据，，，） 【答案】(1)(2)点D到桌面的距离约为 【详解】（1）解：∵，， ∴， 答：的延长线与桌面的夹角的度数为； （2）作于点M，，于点N， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点D到桌面的距离为：． 答：点D到桌面的距离约为． 36．（2025·河北邢台·三模）如图2是一款台灯（如图1）的侧面示意图，底座长，灯板长，支杆的高度可调节，已知于点，连接． (1)如图2，当与平行时，求的高度由下降时减少的度数； (2)固定的高度为，当灯板从图2的位置开始绕点顺时针旋转到图3的位置，求点到底座的距离． （参考数据：．） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，则四边形为矩形． ， ， 在中，， ， ， 同理可得：的高度由下降时， ． 减少的度数． （2）解：如图2，过点作于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ． 在中，． ． ． ． ∴点到底座的距离为． 37．（2025·河北邯郸·二模）综合与实践 发现生活中的锐角三角函数 背景信息 2025年1月10日，哈尔滨冰雪大世界一举夺得最佳旅游项目奖、最佳景区奖等5个金奖、其中新建的室外滑雪场更是吸引了万千游客，这引发了全国滑雪场项目的一波潮流，各地都在争相模仿打造滑雪小世界 生活素材 素材1 如图-1是某滑雪场儿童滑雪项目示意图，从处乘坐电梯到达处，然后沿滑雪道滑下，再从处乘坐摆渡车返回处，其中滑雪道长为200米，，电梯的坡度为 素材2 如图-2是成人滑雪项目的示意图，电梯顶端的高度同儿童滑雪项目一样，滑雪道有两段，前半段的坡角为，后半段的坡角为 解决问题 任务一 求儿童滑雪场中电梯的长度和游客乘坐摆渡车路线的长度 结果精确到，参考数据：， 任务二 求成人滑雪场中滑雪道的总长度 【答案】（1）的长度为125米，的长度约为米；（2）滑雪道的总长度约为米． 【详解】解：任务一：如解图①，过点作于点， 由素材1知，米， ∴米，米， 电梯的坡度为，即， 米， （米）， 在中，由勾股定理可得（米）． 儿童滑雪场中电梯的长度为125米，游客乘坐摆渡车路线的长度约为米； 任务二：如解图②，过点作于点，过点作于点于点， 由题知成人滑雪项目与儿童滑雪项目电梯顶端的高度一样， 米， ， ∴ ， ， 又 ， （米）， 米， （米）， 成人滑雪场中滑雪道的总长度约为米． 38．（2025·山东威海·一模）年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)度 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：在规定范围内，理由如下： 过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴在中，， ∵在中，，， ∴， ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内． 39．（2025·河北张家口·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务 探索可调节支撑架的伸缩杆的长度 素材1 图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点旋转，为液压可伸缩支撑杆 素材2 已知，， 问题解决 任务1 如图2，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度 任务2 如图3，当活动杆绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）并直接写出的值． 【答案】任务1：；任务2： 【详解】解：任务：过点作于，则四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴根据勾股定理． 任务2：过点作，交的延长线于点，交于点， 由题意得：，，， 在中，， 设，则， ， ， ，解得：， ，， ． ， ， ． 在中，． 连接，在中，， 在中，， ， 为直角三角形， 在中，． 40．（2025·河北唐山·二模）时代召唤“工匠精神”！可时钟拨回到2000多年前，中国历史上有一位大师级匠人已用毕生成就诠释了这一精神．他，就是鲁班．如图1，云梯是古代攻城用的器械，传说由鲁班发明．梯身可以调节角度，整体形状呈三角形．已知如图2所示，，，可以绕点A逆时针旋转得到，连接． (1)若时，，求的度数； (2)当，时，计算B、D两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握直角三角形的性质是解题关键． （1）由平行线的性质可得，再根据旋转的性质和等边对等角求解即可； （2）连接BD，根据角的正切值，得到，证明是等边三角形，得到，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 旋转得到， ， ， ； （2）解：如图，连接BD， ，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ． 41．（2025·河北邯郸·一模）情境 嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1，图2所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架垂直于水平面，射灯AB发出垂直于的光线，和的夹角，． 操作 嘉嘉进行了两步实验操作： ①如图1，光线投射到空水槽底部处． ②如图2，向水槽注水，光线投射到水面处，然后发生折射，最后投射到底部处． 探究 (1)请求出长（结果保留一位小数）； (2)在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以求出长．你认为谁的看法正确，并写出理由．（注：，，） 【答案】(1)cm (2)淇淇看法正确，见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）作于，利用矩形的性质，通过求得，然后根据锐角三角函数解直角三角形； （2）延长，交底部于C，D，结合平行四边形的判定和性质进行推理说明． 【详解】（1）解：如图，作于， 由题意可得四边形是矩形， ． 又∵， ，． 在Rt中，． （2）解：淇淇看法正确．理由如下： 延长，交底部于C，D． 由题意得，， 四边形是平行四边形， ． 同理，． ． 42．（2025·江西抚州·二模）如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中． (1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）； (2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)遮蔽宽度BC为 (2)点E下降的高度约为 【详解】（1）解：由对称性可知， ． 在中，， ， ， ． 答：遮蔽宽度为． （2）解：如图，过点作于点． ，，， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，， 当时，； 当时，， ． 答：点下降的高度约为． 43．（2025·河北沧州·二模）下面是化学中制取氧气的常见实验，将该装置图抽象成右侧的示意图，竖直铁架上固定夹E的高度，水平放置的水槽高度，，试管长，固定夹E正好在试管靠近开口B的三等分点上，试管倾斜角为，直导管过水槽端点M．点C，D，N均在一条直线上． (1)_______，并求管口B的高度； (2)若，求铁架与水槽之间的距离．（参考数据：取0.21，取0.98） 【答案】(1)9， (2) 【详解】（1）解：∵，固定夹E正好在试管靠近开口B的三等分点上， ∴， 过B作于P， 则， ∴， 又， ∴管口B的高度为； （2）解∶过M作于G，过B作于H， 则四边形、都是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知， 又， ∴， ∴， ∴， 即铁架与水槽之间的距离为． 44．（2025·河北沧州·模拟预测）醒狮是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图，三根梅花桩、、垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知，，，． (1)在图中， ___________度； (2)醒狮少年在休息时发现，太阳光与平行，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合，计算与的高度比； (3)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)104(2)(3) 【详解】（1）解：三根梅花桩、、垂直于地面放置， ， 四边形和四边形的内角和为，，， ，， ， 故答案为：104； （2）解：如图1，连接， 太阳光与平行，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合， 点A、B、N三点共线． ，， ， ； （3）解：如图2，过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接．     图2 由题意，得， 四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形， ，，，． ，， ，， ，， ， ． 在中，，， ． 答：“采青”路径的长度为． 45．（2025·河北石家庄·一模）背景：如图1是文具店正在销售的某种文件夹，图2为该文件夹装入纸张前后的纵截面示意图，已知纸张与龙骨截线垂直，且垂直于底板，，夹纸板截线与扣板截线的夹角始终保持． 测量：如图2（甲），未装入纸张时，点B落在上，此时．如图2（乙），装满纸张时，点A落在上，此时． 计算：借助以上信息，解决下列问题：（计算结果保留根号） (1)求夹纸板截线与扣板截线的长； (2)如图2（丙），装入30张纸后测得，若每张纸厚度相等，求每张纸的厚度； (3)直接写出未装入纸张时A，H两点之间的距离． 【答案】(1)；(2)(3) 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴； （2）解：设纸张的长边缘垂直于点Q， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴每张纸的厚度为； （3）解：过作交直线于，在上取一点使，连接，， 由题意可得，，，，未装入纸张时， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，，， ∴在中，，则，解得，即（负值舍去）， 在中，，则， ∴（负值舍去） ∴未装入纸张时A，H两点之间的距离为． 专练九、用锐角三角形函数知识解决光影问题 46．（2025·河北·模拟预测）太阳能是清洁、安全和可靠的能源，当太阳光线与面板垂直时，太阳能面板吸收光能的效率最高．AB为太阳能面板，，支架CD可绕点C，D旋转调整角度，点C是AB（面板）的中点，在太阳能面板吸收光能效率最高的前提下． (1)如图1，当太阳光线与水平面的夹角为时，求支架端点C到BD的距离； (2)如图2，当太阳光线与水平面的夹角为时，，求支架CD的长． 【答案】(1)20cm； (2)． 【详解】（1）解：过点C作BD的垂线，与BD交于点F． 太阳光线与水平面夹角为，光线与面板垂直 在中，， 点C到BD的距离为20cm （2）过点C作的垂线，与交于点H， 太阳光线与水平面夹角为，光线与面板垂直， ， 在中，，， ， 在中，， ，， ， 支架的长为 47．（2025·河北唐山·二模）如图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，是太阳光线，，点在同一条直线上，经测量．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长； (2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴． （2）延长交于点H，如图， ∵碗底是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 48．（2025·河北唐山·二模）某水渠的横断面是以为直径的半圆O，图①表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，是垂直于水面线的发光物体且从点B发出光线，测得，分别为，，已知． (1)求的长； (2)如图②，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为，若弧的长为，求的长（保留根号）． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：在中，，， ． 在中，， ； （2）解：如图，连接，过点O作于点E， 则，． 设， 的长为， ， ， ． 在中，， 过点D作于点，则． 由（1）知，． ， 四边形是平行四边形， ． 49．（2025·河北邢台·三模）淇淇家想在某小区购买一套在建住宅，但拟购单元楼正南方有一栋已建好的高楼可能影响采光，淇淇想用所学知识帮家里选合适的楼层．她收集数据并画出示意图如图1，为南面单元楼的北面墙，为未建好的拟购单元楼的南面墙，楼北面为开阔地带，过点的太阳光线落在楼的点处，楼为33层，楼规划18层，每层均为，楼间距为，该小区所在纬度为．（楼层和楼板的厚度忽略不计；参考数据：，） [知识链接：冬至日正午太阳高度角（当地纬度），即正午太阳光线与地面的夹角] (1)淇淇家如果想在冬至日正午有太阳直射光，则淇淇家可以买第几层楼？ (2)综合考虑后淇淇家买在了10层，某天正午刚好有太阳光线照在她家落地窗的下沿处，如图2，请推算此时的太阳高度角和本单元楼照在地面上的影子的长． 【答案】(1)18层(2) 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，则， 冬至日正午太阳高度角， ， ， ， ， ， ，即17层及以下没有直射光， 淇淇家可以买第18层楼． （2）解：如图2，过点作于点， 由题意得，则， ， ，即此时的太阳高度角的正切值为， ， 此时太阳高度角为， ，即， ， 即本单元楼照在地面上的影子的长为． 50．（2025·河北·模拟预测）图-1是一款可旋转的太阳能路灯，太阳能光伏板面向太阳，且随太阳的升起到落下方向旋转，图-2是其侧面示意图，线段表示路灯的灯支架，为路灯灯杆．线段为太阳能光伏板，可绕点旋转，．（图中所有点均在同一平面）（参考数据：，．结果精确到） (1)当三点共线时，，求的长度； (2)若某一时刻太阳光线与地面的夹角为时，恰好太阳能光伏板与所成夹角，求太阳能光伏板落在地面上的影子的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， 在中， ∴， 当三点共线时，在中， ∴ ∴ （2）解：如图， 连接，过点作于点，设交于点， ∵， ∴ 又， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 在中， 答：太阳能光伏板落在地面上的影子的长为． 专练十、锐角三角形在压轴问题中的应用 51．（2025·河北邯郸·二模）在中，点从点出发，沿着边进行运动．已知点的运动速度为每秒1个单位长度，设点的运动时间为秒． (1)如图1，若． ①的长为_____，的长为_____； ②在点运动的过程中，若线段时，求的值． (2)在（1）的条件下，当点在边上运动时，连接，如图2． ①尺规作图：过点作的垂线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）； ②当时，求的值． (3)如图3，若是平面内的一个动点，以为底边的等腰三角形的顶角为，连接，直接写出的最大值． 【答案】(1)①10，6；的值为4或16(2)①作图见解析；②的值为5(3)的最大值为 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴可设， ∵，， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②当点D在上时，当时，则， ∴； 当点D与点C重合时，则； 综上所述，t的值为4或16； （2）解：①如图所示，即为所求； ②∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点E作于F，过点C作于G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，将线段绕点M逆时针旋转120度得到线段，连接， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 如图所示，过点M作于H，， ∵， ∴， ∴， ∴当有最大值时，有最大值； ∵， ∴当C、A、N三点共线时，有最大值，最大值为5； ∵，， ∴，即的最大值为， ∴的最大值为． 52．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，过点A作于点H，Q为的中点．点P从点A出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点H运动，连接，以为边向下构造正方形，设点P的运动时间为t秒． (1)线段的长为______，线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当正方形的对角线所在的直线与直线重合时，求正方形的边长； (3)直接写出正方形边长的最小值，并在备用图中，用尺规作出此时的正方形；（不写作法，保留作图痕迹） (4)当点N在的内部（含边界）时，求t的取值范围． 【答案】(1)， (2)正方形的边长为 (3)正方形边长的最小值为3，图见解析 (4)当正方形的顶点N落在的内部（含边界）时，t的取值范围为 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 点P从点A出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点H运动， 设点P的运动时间为t秒， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）当正方形的对角线所在的直线与直线重合时， 连结交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴， ∴， 又Q为的中点， ∴， ∴，解得：，， ∴， ∴； （3）当时，最小，此时等于（2）中， 所以最小值是3； 作图：先作出，得到正方形的边，再在的下方截取，然后分别以、为圆心为半径作圆弧，交点就是点，顺次连结得到正方形； （4）当正方形的对角线所在的直线与直线重合时，点恰好在的边，此时由（2）可得，解得：； 点继续向下运动直到点在上时停止， 此时， 过点作，由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴，解得：， ∴当正方形的顶点N落在的内部（含边界）时，t的取值范围为． 53．（2025·河北唐山·二模）如图1和图2，在平行四边形中，，，，点是上一点，且．点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为． (1)当点恰好落在边上时，______；当点在边上运动时，长的最小值为______； (2)①当时，点到的距离为______（用含的式子表示）；②当时，求点到的距离（用含的式子表示）； (3)当射线恰好经过点时，如图3，求此时的长． 【答案】(1)4；； (2)①；②； (3) 【详解】（1）解：①过点D作于点， ∴， ∴设， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 由旋转得：， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴当点在上时，， ∴； ②∵， ∴当时，最小，即最小，如图： ∵， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：4，； 解：①当时，，而 ∴点到的距离为； ②当时，如图：过点分别作的垂线，垂足分别为，则， （2） 由题意得，此时， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：； （3）解：过点作交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， 而， ∴， 由上得：， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， 解得：， ∴， ∴由勾股定理得：； 54．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，，，点 P 从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P 不与点A，B重合时，在边上取一 点 Q，满足，过 点Q作 ，交边 于点M，以，为边作矩形，设点P 的运动时间为t秒． (1)当点P在边上时，求证：； (2)求线段的长（用含t的代数式表示）； (3)当点P从点A向点C 运动时，对于矩形与重叠部分图形的周长，嘉嘉 认为是个定值，淇淇认为越来越小，请你判断他俩谁说得正确，若嘉嘉说得正确，请直接 写出这个定值；若淇淇说得正确，请说明理由； (4)作点A关于直线的对称点，作点C关于直线的对称点，当点，这两个点中只有一个点在矩形内部时（不含边上），直接写出此时t的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)嘉嘉说得正确，定值为 (4)或 【详解】（1）证明：如图1，过点Q作于点H． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴； （2）解：当时，如图1， 在中， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 当时， 如图2，过点Q作于点K． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解：嘉嘉说得正确，定值为，理由如下： 如图3中，当时，重叠部分是四边形． 由(2)可知：，，， ∵ ∴， 又， ∴， ∴， ， ， 同理可得出， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 四边形的周长． （4）解如图5中，当点在线段上时，作于K． 由轴对称的定性可知 即， 解得， 观察图象可知：当时，点这两个点中只有一个点在矩形内部． 如图6中，当点在上时，作于K． 同理 即， 解得， 观察图象可知：时，点这两个点中只有一个点在矩形内部． 综上所述，满足条件的t的值为或． 试卷第2页，共106页 1 / 92 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 锐角三角函数 考点一、仰角、俯角的应用 1．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） (1)求的大小及的值； (2)求的长及的值． 2．（2022·河北·中考真题）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线． 嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m． (1)求∠C的大小及AB的长； (2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1） 考点二、解直角三角形的其它实际应用问题 3．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．（参考数据：，） 4．（2023·河北·中考真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中 （1） 度． （2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．    5．（2023·河北·中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点． （1）求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．    探究：在图2中 （2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小． 考点三、应用三角函数进行计算 6．（2021·河北·中考真题）如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为（为1~12的整数），过点作的切线交延长线于点． （1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长； （2）连接，则和有什么特殊位置关系？请简要说明理由； （3）求切线长的值． 7．（2021·河北·中考真题）在一平面内，线段，线段，将这四条线段顺次首尾相接．把固定，让绕点从开始逆时针旋转角到某一位置时，，将会跟随出现到相应的位置． （1）论证  如图1，当时，设与交于点，求证：； （2）发现  当旋转角时，的度数可能是多少？ （3）尝试  取线段的中点，当点与点距离最大时，求点到的距离； （4）拓展  ①如图2，设点与的距离为，若的平分线所在直线交于点，直接写出的长（用含的式子表示）； ②当点在下方，且与垂直时，直接写出的余弦值． 专练一、应用已知三角函数值进行计算 8．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在等边中，点E，F在边上，，是边上的高，若，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，，过，两点的交于点，过点作的切线交于点．连接． (1)求证：． (2)若，． ①求的长； ②直接写出的长． 10．（2025·河北邯郸·三模）已知是等边三角形，点在内，且，以为边在右侧作等边三角形． (1)如图1，若点在射线上， ①请利用无刻度的直尺和圆规作出，连接． ②求的度数． (2)如图2，延长交于点． ①求证：是的中点． ②设，交于点，若，求的值． (3)连接，若的边长是12，点是的中点，请直接写出点，之间距离的最大值． 专练二、根据题意求三角函数值 11．（2025·河北唐山·三模）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，其中点、、都在格点上，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 12．（2025·河北唐山·二模）如图，，延长，交于点P，若，，，，则的值为 . 13．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在正方形中，为上一点，点为正方形的中心，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，且与交于点． (1)试判断点是否在线段上，并说明理由； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长交的延长线于点，连接，当时，求的值． 专练三、利用锐角三角函数求解 14．（2025·河北沧州·一模）如图，在探究活动中，某小组将两张完全重合的正六边形纸片的中心用图钉固定住，保持下方正六边形纸片不动，将上方正六边形纸片绕点顺时针旋转，旋转后上方正六边形纸片的两边与边分别交于点，．该小组得到结论、，下列判断正确的是（   ） 结论：当时，阴影部分是正十二边形； 结论：连接、．在旋转过程中，的度数不变 A．结论都正确 B．结论都不正确 C．只有结论正确 D．只有结论正确 15．（2025·河北邯郸·二模）如图，正五边形的中心为，连接交对角线于点，则的值为 （参考数据：取）． 16．（2025·河北邯郸·三模）如图，在菱形中，．点E在射线上运动（不与点B，点C重合），关于的轴对称图形为．若，为的外接圆，设的半径为r．则r的取值范围为 ． 17．（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，点D在边上运动（不与点A，C重合），以为边作正方形，使点A在正方形内，连接，则： （1）当时， ； （2）点到直线的距离为 ； （3）面积的最大值是 ． 18．（2025·河北邯郸·三模）如图1，过边长为10的正六边形的顶点，作平行线，为正六边形的中心，当两平行线分别绕点，旋转时(两直线始终保持平行)，两直线之间的距离也发生变化，连接． (1)若点在，之间，且，求的度数． (2)如图2，当点落在直线上时，相比（1）中的情况，两直线之间的距离减少了多少？ (结果保留整数，参考数据：，，) 专练四、与仰角、俯角有关是实际应用问题 19．（2025·河北邢台·三模）如图，小明从点观测对面的山，下列说法正确的是（    ） A．从点观测点的仰角是 B．从点观测点的俯角是 C．从点观测点的仰角是 D．从点观测点的俯角是 20．（2025·河北邯郸·三模）太阳能光伏发电具有清洁、安全、高效的特点．嘉嘉为了解某太阳能板的相关数据，展开了测量活动．如图，为太阳能板，为支撑架，已知是的中点，垂直于水平地面．当太阳光线（视为平行光线）与水平地面的夹角为时，测得太阳能板在地面上的影长．在点处用高度为的测角仪测得点处的仰角为． (1)求太阳能板的顶端距离地面的高度； (2)测得，求太阳能板的宽度（的长）．（参考数据：，，） 21．（2025·河北沧州·模拟预测）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点 处，让无人机飞到点 处 ，与底板平行，测得米，此时在点 处又测得坡道上的点 的俯角为，接着让无人机飞到点处 ，与底板平行，测得米． （参考数据：） (1)求的值； (2)已知水平地面、顶板 在同一条直线上，且这条直线与底板平行，无人机从点飞到点，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考 虑其他因素的前提下，请通过计算说明一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库． 22．（2025·河北邯郸·二模）路灯是城市基础设施的重要组成部分，承担着夜间照明、安全保障和智慧城市功能集成等责任．酷爱数学的嘉嘉想利用数学知识测量灯臂和灯杆的长度．如图是某路灯的示意图，灯杆与水平地面垂直，两盏路灯挂在灯杆的两侧（灯臂，近似看作线段，且），直线与水平地面平行．嘉嘉站在路灯前方的点处时，观测到点，在同一条直线上，且测得米．他又向后移动3米到达点，此时观测到点，恰好在同一条直线上，且测得点的仰角为．已知米．（图中所有点在同一平面内） (1)判断的形状，并说明理由； (2)求灯臂的长和灯杆的高． 23．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为，且点P与建筑物的水平距离为20米． (1)求建筑物的高度（结果精确到米）； (2)驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算，求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数．（参考数据：取，取，取4） 专练五、与方位角有关的实际应用问题 24．（2025·河北唐山·三模）如图，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米．（参考数据：） (1)求的长度（结果精确到千米）； (2)甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 25．（2025·河北·模拟预测）近年来，正定县在古城保护方面取得了显著成效，对城内古寺古木都采取了专业性的保护措施．如图，某工作人员在A处看到B，C处各有一棵被古塔隔开的古树，他在A处测得古树B在北偏西方向，古树C在北偏东方向．该工作人员从A处走了到达古树B后，又在B处测得古树C在北偏东方向上． (1)求及的度数； (2)求两棵古树B，C之间的距离（结果保留根号）． 26．（2025·河北邯郸·二模）淇淇家位于学校正东方向处，周末她和同学约好去学校附近的体育馆打篮球，已知体育馆位于学校北偏西方向，距离学校． (1)请根据描述画出淇淇家、学校和体育馆的方位示意图； (2)求体育馆到淇淇家的直线距离； (3)若淇淇步行从家出发，先以的速度匀速走到学校，但到达学校后，发现忘带篮球，于是立即以的速度原路返回家中．取到篮球后，为了赶时间，她以的速度从家直接走到体育馆，求淇淇全程所用的时长．（计算结果保留整数．参考数据：，，） 专练六、与坡度、坡脚有关的实际应用问题 27．（2025·河北石家庄·二模）某商场为了方便顾客使用购物车，将负一层超市的台阶式扶梯改为斜坡式扶梯．如图，改造前台阶式扶梯的斜坡与地面的夹角，米；改造后斜坡的坡度． (1)求的长（取1.73，结果保留一位小数）； (2)扶梯顶部距水平距离6.6米的处有一广告牌，米，身高1.9米的人乘坐改造后的扶梯，是否能碰到此广告牌？若能，需要将广告牌和点的距离调整为超过多少才能碰不到广告牌；若不能，请简要说明理由． 28．（2025·河北唐山·二模）滑梯的坡角越小，安全性越高，从安全性及适用性出发，嘉嘉同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮嘉嘉解决方案中的问题． 【方案设计】如图，将滑梯顶端拓宽为（），使，并将原来的滑梯改为（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 【测量数据】滑梯的高，滑梯的坡度为，滑梯的坡角． 【解决问题】 (1)求滑梯的长度； (2)调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （注：，，） 29．（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，界面的示意图如图1所示，一楼和二楼地面平行（即点A与点B所在的直线与平行），层高为8m，坡角． （1）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则A，B之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图2中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度i不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （2）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取0.34，取0.94，取0.36） 专练七、应用锐角三角形函数解决古代问题 30．（2025·河北保定·二模）综合与实践： 【问题情境】 如图1，投石车在春秋时期就已经开始使用，是古代战车的一种，上装机枢，弹发石块．校园科技节活动中，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在活动当天进行投石试验展示． 【实验操作】图2是投石机的侧面示意图．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．已知，木架米．杠杆的初始位置与地面成角，即．当点上升到点时甩出石头，此时、O、在同一直线上． 【问题解决】 (1)求的长度； (2)甩出石头时，杠杆顶端与地面的距离的长度． 31．（2025·河北沧州·二模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jiégāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 32．（2025·河北廊坊·一模）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究如图②，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．（结果精确到，参考数据：） (1)__________，_________； (2)求点到道路的距离． 专练八、应用锐角三角函数解决其它实际问题 33．（2025·河北石家庄·三模）图1为水平放置在地面上的穿衣镜，其支架形状固定不变，镜面可任意角度调节，侧面示意图如图2，其中为镜面，为放置物品的水平收纳架，支架为水平地面，经测量得． (1)求支架顶点A到地面的距离； (2)如图3，将镜面顺时针旋转，求此时穿衣镜顶部端点O到地面的距离．（结果精确到）（参考数据：） 34．（2025·河北邯郸·三模）如图，是起钉器在起钉时的截面示意图，起钉盒可看作矩形，点落在底座上（底座厚度忽略不计），起钉时．已知，，，且三点共线． (1)求起钉时的大小； (2)求起钉时点到底座的距离．（结果保留到小数点后一位，参考数据：取，取） 35．（2025·河北邯郸·二模）如图，是某种平板支架的侧面示意图，经测量知，，底座在桌面上不动，，可以分别绕点A，C转动．若，． (1)求的延长线与桌面的夹角的度数； (2)求点D到桌面的距离．（结果精确到）（参考数据，，，） 36．（2025·河北邢台·三模）如图2是一款台灯（如图1）的侧面示意图，底座长，灯板长，支杆的高度可调节，已知于点，连接． (1)如图2，当与平行时，求的高度由下降时减少的度数； (2)固定的高度为，当灯板从图2的位置开始绕点顺时针旋转到图3的位置，求点到底座的距离． （参考数据：．） 37．（2025·河北邯郸·二模）综合与实践 发现生活中的锐角三角函数 背景信息 2025年1月10日，哈尔滨冰雪大世界一举夺得最佳旅游项目奖、最佳景区奖等5个金奖、其中新建的室外滑雪场更是吸引了万千游客，这引发了全国滑雪场项目的一波潮流，各地都在争相模仿打造滑雪小世界 生活素材 素材1 如图-1是某滑雪场儿童滑雪项目示意图，从处乘坐电梯到达处，然后沿滑雪道滑下，再从处乘坐摆渡车返回处，其中滑雪道长为200米，，电梯的坡度为 素材2 如图-2是成人滑雪项目的示意图，电梯顶端的高度同儿童滑雪项目一样，滑雪道有两段，前半段的坡角为，后半段的坡角为 解决问题 任务一 求儿童滑雪场中电梯的长度和游客乘坐摆渡车路线的长度 结果精确到，参考数据：， 任务二 求成人滑雪场中滑雪道的总长度 38．（2025·山东威海·一模）年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 39．（2025·河北张家口·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务 探索可调节支撑架的伸缩杆的长度 素材1 图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点旋转，为液压可伸缩支撑杆 素材2 已知，， 问题解决 任务1 如图2，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度 任务2 如图3，当活动杆绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）并直接写出的值． 40．（2025·河北唐山·二模）时代召唤“工匠精神”！可时钟拨回到2000多年前，中国历史上有一位大师级匠人已用毕生成就诠释了这一精神．他，就是鲁班．如图1，云梯是古代攻城用的器械，传说由鲁班发明．梯身可以调节角度，整体形状呈三角形．已知如图2所示，，，可以绕点A逆时针旋转得到，连接． (1)若时，，求的度数； (2)当，时，计算B、D两点之间的距离． 41．（2025·河北邯郸·一模）情境 嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1，图2所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架垂直于水平面，射灯AB发出垂直于的光线，和的夹角，． 操作 嘉嘉进行了两步实验操作： ①如图1，光线投射到空水槽底部处． ②如图2，向水槽注水，光线投射到水面处，然后发生折射，最后投射到底部处． 探究 (1)请求出长（结果保留一位小数）； (2)在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以求出长．你认为谁的看法正确，并写出理由．（注：，，） 42．（2025·江西抚州·二模）如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中． (1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）； (2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 43．（2025·河北沧州·二模）下面是化学中制取氧气的常见实验，将该装置图抽象成右侧的示意图，竖直铁架上固定夹E的高度，水平放置的水槽高度，，试管长，固定夹E正好在试管靠近开口B的三等分点上，试管倾斜角为，直导管过水槽端点M．点C，D，N均在一条直线上． (1)_______，并求管口B的高度； (2)若，求铁架与水槽之间的距离．（参考数据：取0.21，取0.98） 44．（2025·河北沧州·模拟预测）醒狮是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图，三根梅花桩、、垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知，，，． (1)在图中， ___________度； (2)醒狮少年在休息时发现，太阳光与平行，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合，计算与的高度比； (3)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径的长度．（参考数据：，，） 45．（2025·河北石家庄·一模）背景：如图1是文具店正在销售的某种文件夹，图2为该文件夹装入纸张前后的纵截面示意图，已知纸张与龙骨截线垂直，且垂直于底板，，夹纸板截线与扣板截线的夹角始终保持． 测量：如图2（甲），未装入纸张时，点B落在上，此时．如图2（乙），装满纸张时，点A落在上，此时． 计算：借助以上信息，解决下列问题：（计算结果保留根号） (1)求夹纸板截线与扣板截线的长； (2)如图2（丙），装入30张纸后测得，若每张纸厚度相等，求每张纸的厚度； (3)直接写出未装入纸张时A，H两点之间的距离． 专练九、用锐角三角形函数知识解决光影问题 46．（2025·河北·模拟预测）太阳能是清洁、安全和可靠的能源，当太阳光线与面板垂直时，太阳能面板吸收光能的效率最高．AB为太阳能面板，，支架CD可绕点C，D旋转调整角度，点C是AB（面板）的中点，在太阳能面板吸收光能效率最高的前提下． (1)如图1，当太阳光线与水平面的夹角为时，求支架端点C到BD的距离； (2)如图2，当太阳光线与水平面的夹角为时，，求支架CD的长． 47．（2025·河北唐山·二模）如图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，是太阳光线，，点在同一条直线上，经测量．（结果精确到） (1)求“大碗”的口径的长； (2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：） 48．（2025·河北唐山·二模）某水渠的横断面是以为直径的半圆O，图①表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，是垂直于水面线的发光物体且从点B发出光线，测得，分别为，，已知． (1)求的长； (2)如图②，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为，若弧的长为，求的长（保留根号）． 49．（2025·河北邢台·三模）淇淇家想在某小区购买一套在建住宅，但拟购单元楼正南方有一栋已建好的高楼可能影响采光，淇淇想用所学知识帮家里选合适的楼层．她收集数据并画出示意图如图1，为南面单元楼的北面墙，为未建好的拟购单元楼的南面墙，楼北面为开阔地带，过点的太阳光线落在楼的点处，楼为33层，楼规划18层，每层均为，楼间距为，该小区所在纬度为．（楼层和楼板的厚度忽略不计；参考数据：，） [知识链接：冬至日正午太阳高度角（当地纬度），即正午太阳光线与地面的夹角] (1)淇淇家如果想在冬至日正午有太阳直射光，则淇淇家可以买第几层楼？ (2)综合考虑后淇淇家买在了10层，某天正午刚好有太阳光线照在她家落地窗的下沿处，如图2，请推算此时的太阳高度角和本单元楼照在地面上的影子的长． 50．（2025·河北·模拟预测）图-1是一款可旋转的太阳能路灯，太阳能光伏板面向太阳，且随太阳的升起到落下方向旋转，图-2是其侧面示意图，线段表示路灯的灯支架，为路灯灯杆．线段为太阳能光伏板，可绕点旋转，．（图中所有点均在同一平面）（参考数据：，．结果精确到） (1)当三点共线时，，求的长度； (2)若某一时刻太阳光线与地面的夹角为时，恰好太阳能光伏板与所成夹角，求太阳能光伏板落在地面上的影子的长． 专练十、锐角三角形在压轴问题中的应用 51．（2025·河北邯郸·二模）在中，点从点出发，沿着边进行运动．已知点的运动速度为每秒1个单位长度，设点的运动时间为秒． (1)如图1，若． ①的长为_____，的长为_____； ②在点运动的过程中，若线段时，求的值． (2)在（1）的条件下，当点在边上运动时，连接，如图2． ①尺规作图：过点作的垂线，与边交于点（保留作图痕迹，不写作法）； ②当时，求的值． (3)如图3，若是平面内的一个动点，以为底边的等腰三角形的顶角为，连接，直接写出的最大值． 52．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，过点A作于点H，Q为的中点．点P从点A出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点H运动，连接，以为边向下构造正方形，设点P的运动时间为t秒． (1)线段的长为______，线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当正方形的对角线所在的直线与直线重合时，求正方形的边长； (3)直接写出正方形边长的最小值，并在备用图中，用尺规作出此时的正方形；（不写作法，保留作图痕迹） (4)当点N在的内部（含边界）时，求t的取值范围． 53．（2025·河北唐山·二模）如图1和图2，在平行四边形中，，，，点是上一点，且．点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为． (1)当点恰好落在边上时，______；当点在边上运动时，长的最小值为______； (2)①当时，点到的距离为______（用含的式子表示）；②当时，求点到的距离（用含的式子表示）； (3)当射线恰好经过点时，如图3，求此时的长． 54．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，，，点 P 从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P 不与点A，B重合时，在边上取一 点 Q，满足，过 点Q作 ，交边 于点M，以，为边作矩形，设点P 的运动时间为t秒． (1)当点P在边上时，求证：； (2)求线段的长（用含t的代数式表示）； (3)当点P从点A向点C 运动时，对于矩形与重叠部分图形的周长，嘉嘉 认为是个定值，淇淇认为越来越小，请你判断他俩谁说得正确，若嘉嘉说得正确，请直接 写出这个定值；若淇淇说得正确，请说明理由； (4)作点A关于直线的对称点，作点C关于直线的对称点，当点，这两个点中只有一个点在矩形内部时（不含边上），直接写出此时t的取值范围． 试卷第2页，共106页 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$