17.2三角形的内角和-三角形的外角及其性质（2）课件2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

第17章 三角形 17.2 三角形的内角和 三角形的外角及其性质（2） 年 级：七年级 学 科：数学（上教版） 1 例题讲解 例1 分析 如图，已知直线 AB、CD 相交于点O，∠B=∠C，∠A=40 °. 求∠D的度数. ∠A、 ∠C均为△AOC 的内角； ∠D、 ∠B均为△BOD的内角. 三角形的内角和定理 ∠C=∠B ∠A+∠C+∠AOC=180° ∠AOC=∠BOD ∠A=40° ∠A=∠D ∠D+∠B+∠BOD=180° ∠A+∠C+∠AOC=∠D+∠B+∠BOD ∠D=40° △AOC 与△BOD之间有什么关联呢？ ∠AOC和∠BOD是一组对顶角. ？ 2 例题讲解 解 ∵ ∠A+∠C+∠AOC=180°， ∠D+∠B+∠BOD=180°(三角形的内角和等于180°), ∴ ∠A+∠C+∠AOC=∠D+∠B+∠BOD. 又∵ ∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∠C=∠B， ∴ ∠A=∠D . 又∵ ∠A= 40°， ∴ ∠D= 40°. 例1 如图，已知直线 AB、CD 相交于点O，∠B=∠C，∠A=40 °. 求∠D的度数. ？ 3 可否借助“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”求出例1中∠D的度数？ 例题讲解 ∠BOC（ 或∠AOD ）既是△BOD 的外角，也是△AOC 的外角. 分析 三角形的内角和定理的推论 ∠D=∠A ∠BOC =∠D +∠B ∠BOC =∠A +∠C ∠D +∠B =∠A +∠C 例1 如图，已知直线 AB、CD 相交于点O，∠B=∠C，∠A=40 °. 求∠D的度数. ？ 4 例题讲解 如图，在△ABC 中，D 是边 BC 上一点，且∠ADE=∠B. ∠1与∠2相等吗？ 为什么？ 分析 ∠B 、∠1是△ABD 的内角； 三角形的内角和等于180° ∠ADB 、 ∠ADE 、∠2. 平角的意义 △ABD还有一个内角是∠ADB. ∠B+∠1+∠ADB=180° ∠ADE+∠2+∠ADB=180° ∠B +∠1+∠ADB=∠ADE+∠2+∠ADB ∠ADE=∠B ∠1=∠2 例2 思路一 5 例题讲解 ∠B 、∠1是△ABD 的内角，∠ADC是△ABD的外角； ∠ADE 与∠2相加可得∠ADC. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 分析 ∠ADC =∠ADE +∠2 ∠ADC =∠B +∠1 ∠ADE +∠2=∠B +∠1 ∠1=∠2 可否运用“三角形的内角和定理的推论”证明∠1=∠2呢？ 思路二 如图，在△ABC 中，D 是边 BC 上一点，且∠ADE=∠B. ∠1与∠2相等吗？ 为什么？ 例2 6 例题讲解 解 ∠1与∠2相等. 理由如下： ∵ ∠ADC=∠ADE+∠2， 又∵ ∠ADC=∠B+∠1(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)， ∴ ∠ADE+∠2=∠B+∠1 . 又∵ ∠ADE=∠B ， ∴ ∠1=∠2 . 如图，在△ABC 中，D 是边 BC 上一点，且∠ADE=∠B. ∠1与∠2相等吗？ 为什么？ 例2 方法二 7 条件 结论 三角形的内角和定理及其推论 从已知出发 从未知思考 寻找三角形 文字语言 图形语言 符号语言 三角形 归纳小结 问题探索 定义 对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和. 三角形的内角和等于180°， 那么三角形的外角和等于多少度呢？ 三角形 内角 外角 内角和 外角和 ? 9 问题探索 分析 ∠1与∠BAC、∠2与∠ABC 、 ∠3与∠ACB 是三组相邻的内角与外角； ∠BAC、∠ABC、∠ACB 是△ABC的三个内角. ∠1+∠BAC=180° ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠ACB=180° ∠1+∠2+∠3+∠BAC+∠ABC+∠ACB =3×180° ∠BAC+∠ABC+∠ACB = 180° ∠1+∠2+∠3= 360° 和为180° 如图，∠1、∠2、∠3是△ABC 的外角，求∠1+∠2+∠3. 例3 10 问题探索 解 ∵ ∠1+∠BAC=180°， ∠2+∠ABC=180°， ∠3+∠ACB=180°， ∴ ∠1+∠2+∠3+∠BAC+∠ABC+∠ACB=3× 180°= 540°. 又∵ ∠BAC+∠ABC+∠ACB= 180°(三角形的内角和等于180°) ， ∴ ∠1+∠2+∠3+180°= 540°， ∴ ∠1+∠2+∠3= 360°. 由此，我们得到： 三角形的外角和等于360°. 如图，∠1、∠2、∠3是△ABC 的外角，求∠1+∠2+∠3. 例3 11 问题探索 思考 ∠1、 ∠2、 ∠3均为△ABC的外角. 如图，∠1、∠2、∠3是△ABC 的外角，求∠1+∠2+∠3. 例3 还有其他方法证明三角形的外角和是360°吗？ 12 如何建立桥梁？ ∠OBC+∠OCB=55 ° ？ 课堂练习 练习 如图，在△ABC 中，∠A=70°，∠ABC、∠ACB 的平分线OB、OC 相交于点O. 求∠BOC 的度数. 分析 ∠A、 ∠ABC 、 ∠ACB 是△ABC 的内角； ∠BOC、 ∠OBC 、 ∠OCB 是△BOC 的内角. 三角形的内角和定理 ∠A+∠ABC+∠ACB=180° OB、OC平分∠ABC、∠ACB ∠A=70 ° ∠ABC+∠ACB= 110° ∠ABC=2∠OBC、∠ACB=2∠OCB ∠BOC +∠OBC+∠OCB= 180° ∠BOC = 125° 70 ° 13 从未知 思考 课堂练习 练习 如图，在△ABC 中，∠A=70°，∠ABC、∠ACB 的平分线OB、OC 相交于点O. 求∠BOC 的度数. ∵ ∠A+∠ABC+∠ACB= 180°(三角形的内角和等于180°) ， 又∵ ∠BOC +∠OBC+∠OCB= 180° ， ∴ ∠BOC =180°- 55°= 125°. 解 ∠A =70°， ∴ 70°+∠ABC+∠ACB= 180° ， ∵ ∠ABC、∠ACB 的平分线OB、OC 相交于点O. ∴∠ABC=2∠OBC ， ∠ACB=2∠OCB ， ∴ 2∠OBC+ 2∠OCB=110°， ∴ ∠ABC+∠ACB= 180°- 70°= 110°. 条件 结论 从 已 知 出 发 建立桥梁 寻找三角形 即∠OBC+ ∠OCB=55°， 70 ° 14 课堂练习 练习 如图，在△ABC 中，∠A=70°，∠ABC、∠ACB 的平分线OB、OC 相交于点O. 求∠BOC 的度数. 还能运用三角形的内角和定理的推论吗？ 可以换个角度思考，作辅助线，使∠BOC 成为一个三角形的外角. 70 ° 15 ∠BDC是△ABD 的一个外角. 课堂练习 练习 如图，在△ABC 中，∠A=70°，∠ABC、∠ACB 的平分线OB、OC 相交于点O. 求∠BOC 的度数. 分析 ∠BOC是△OCD 的一个外角； 延长BO 交AC 于点 D . ∠BOC=∠BDC+∠ACO ∠BDC=∠A+∠ABD ∠BOC= ∠A+∠ABD +∠ACO ° ∠BOC ∠BDC与∠A之间是否有关联？ 70 ° 16 课堂练习 练习 如图，在△ABC 中，∠A=70°，∠ABC、∠ACB 的平分线OB、OC 相交于点O. 求∠BOC 的度数. 思考 连接AO 并延长，交BC于点E. 还有其他不同的添加辅助线的方法. 70 ° 17 课堂小结 三角形的外角和等于360°. 推论 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的内角和定理 三角形的内角和等于180°. 文字语言 图形语言 符号语言 条件 结论 三角形内角和定理及其推论 从已知出发 从未知思考 寻找三角形 构造三角形 结束语 在三角形内角和与外角和的探索中，我们从动手操作到逻辑推理，从具体测量到抽象概括，其实数学就是这样一步步从生活经验走向严密体系的，数学不仅是公式定理，它更是一把打开理性思维大门的钥匙！ 19 $