17.2.3三角形的内角和性质与外角和性质应用（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

沪教版（2024）七年级数学下册 第17章 三角形 17.2.3三角形的内角和性质与外角和性质应用 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1、掌握三角形的内角和性质及三角形的外角的性质 2、能在图形中运用三角形的内角和性质及外角的性质进行简单的几何推理和说理计算. 三角形的外角 ： 三角形一个内角的邻补角称为三角形的一个外角． 性质1 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 性质2 三角形的一个内角大于任何一个与它不相邻的内角． A D C B ∠ACD=∠A+∠B ∠ACD > ∠A（或∠B） A C B 1 2 3 ∠1+∠2+∠3=3600 A D C B 情景导入 三角形外角和等于3600． 三角形的外角的性质： 例5 如图，在△ABC中，已知点D是边BC上的一点，且∠ADE=∠B，那么∠1与∠2相等吗？为什么？ 解 因为∠ADC=∠B+∠1（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 即∠ADE+∠2=∠B+∠1 又∠ADE=∠B（已知） 所以∠1=∠2（等式性质） 例题讲解 例6 已知直线AB、CD相交于点O，∠B=∠C，∠A=40°，求∠D的度数. 方法一：解：因为∠A+∠C +∠AOC =180° ∠D+∠B+∠BOD=180°（三角形的内角和等于180°） 所以∠A+∠C +∠AOC =∠D+∠B+∠BOD （等量代换） 又∠BOD =∠AOC（对顶角相等） ∠B=∠C（已知） 所以∠D=∠A（等式性质） 由∠A=40°（已知） 得∠D=40°（等量代换） 例题讲解 方法二：解：因为∠AOD=∠A+∠C ∠AOD=∠D+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以∠A+∠C =∠D+∠B（等量代换） 又因为∠B=∠C（已知） 所以∠D=∠A（等式性质） 由∠A=40°（已知） 得∠D=40°（等量代换） 比较两种方法，哪一种更简练？ 例6 已知直线AB、CD相交于点O，∠B=∠C，∠A=40°，求∠D的度数. 例题讲解 讨论 可否借助“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”求出例6中∠D的度数？ 对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所的和，叫作三角形的外角和。 例7 如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的外角，求∠1+∠2+∠3. 解：∵∠1+∠BAC=180°， ∠2+∠ABC=180°， ∠3+∠ACB=180°， ∴∠1+∠2+∠3+BAC+∠ABC+∠ACB=3×180°=540°。 又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（三角形的内角和等于180°）， ∴∠1+∠2+∠3+180°=540°， ∴∠1+∠2+∠3=360°。 由此，我们得到： 三角形的外角和等于360°。 例题讲解 1．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，且∠1=∠B.那么，∠BAC与∠2相等吗？为什么？ 答：相等. ∵∠2=∠B+∠BAD(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和), ∠1=∠B（已知）. ∴∠2=∠1+∠BAD（等量代换）. 即∠2=∠BAC. 课堂练习 2.如图，在△ABC中，已知∠A=70°，∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于点O，求∠BOC的度数. 解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°(三角形内角和等于180°),∠A=70°， ∴∠ABC+∠ACB =180°-∠A=180°-70°=110°（等式性质）. ∵∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于点O（已知）， (角平分线意义). ∵∠1+∠2+∠BOC=180°（三角形内角和等于180°）, ∴∠BOC=180°-(∠1+∠2 )=180°-55°=125°（等式性质）. 课堂练习 分层练习 习题 1.求下列各三角形中∠C的度数： 解：（1）75° （2）40° （3）30° 2.下列命题中正确的是 （ ） A.锐角三角形的三个内角都是锐角； B.钝角三角形的三个内角都是钝角； C.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和； D.三角形中最小的两个内角的和必定大于90°. A 3.如图，求∠1、∠2、∠3的度数。 解：∠1=65° ∠2=70° ∠3=110°。 4.如图，直线DF与△ABC的两边AB、AC分别相交于D、E两点，与BC的延长线相交于点F，∠B=50°，∠1=76°，∠F=30°。求∠A的度数。 解：24°. 5.如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⟂BC,垂足为D,BF平分∠ABC,且交AD于点E，交AC于点F。求证：∠BED=∠AFB.把以下解答过程补充完整。 解：因为BF平分∠ABC,所以∠ABF= . ∠EBD 在△ABF中， ∠AFB+∠ABF+∠BAF=180°（ ）。 三角形的内角和等于180° ∠BED+∠EBD+∠BDE=180°（ ）。 在△BDE中， 三角形的内角和等于180° 由AD⊥BC,得∠BDE=90°。 又因为∠BAC=90°，所以∠BED=∠AFB. 6.如图，AD与BC相交于点O。 （1）如果∠A=∠C,那么∠B与∠D相等吗？为什么？ 解：相等理由如下： ∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°（三角形的内角和等于180°）， ∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD. ∴∠B=∠D. （2）如果∠A=∠B,∠C=∠D,那么AB与CD平行吗？为什么？ 解：平行。理由如下： ∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°（三角形的内角和等于180°）， ∠AOB=∠COD, ∴∠A+∠B=∠C+∠D. 又∵∠A=∠B，∠C=∠D， ∴2∠A=2∠D. ∴∠A=∠D. ∴AB//CD(内错角相等，两直线平行). 7.如图，P是△ABC内一点，∠ABC=85°，∠1=∠2.求∠BPC的度数。 解：∵∠ABC=85°， ∴∠1+∠PBC=85°. 又∵∠1=∠2 ∴∠2+∠PBC=85°. 又∵∠P+∠2+∠PBC=180°（三角形的内角和等于180°）， ∴∠P=180°-（∠2+∠PBC)=180°-85°=95°。 8.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，BE、CD相交于点O。如果∠A=60°，∠ACD=35°，∠ABE=25°，求∠BDC和∠COE的度数。 解：∵∠A=60°，∠ACD=35°， ∴∠BDC=∠A+∠ACD=60°+35°=95°. 又∵∠ABE=25°，且∠BDC+∠ABE+∠BOD=180°（三角形的内角和等于180°）， ∴∠BOD=180°-95°-25°=95°=60°. 又∵∠COD=∠BOD， ∴∠COE=60°。 三角形的外角 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 三角形的外角和等于 360° 课堂小结 $$