题号猜押06 江苏南京中考数学6+16题（选填压轴题）（江苏南京专用） 2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押06 江苏南京中考数学6+16题（选填压轴题） 考点1 最短路线问题（轴对称） 1．（2026•鼓楼区二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（4，3），⊙C的半径为2，P为⊙C上的一点，PM⊥x轴，垂足为M，则OM+PM的最小值为　 　 ． 2．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是 　 　 ． 考点2 最值问题（胡不归） 1．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB边上的动点，点F是射线BC上的动点，且BF＝2AE，连接AF，CE，则的最小值是 　 　 ． 2．（2026•泌阳县模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，M为对角线AC上一点，且，N是对角线BD上的一个动点，连接MN，则的最小值是　 　 ． 考点3 最值问题（隐形圆） 1．（2026•南京一模）如图，分别经过原点O和点A（8，0）的动直线a，b，其夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则AM的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 2．（2026•南京模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，若E在三角形ABC外部，则的最小值是　 　 ． 3．（2026•南京一模）如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为　 　 ． 考点4 最值问题（三边之间关系） 1．（2026•南京一模）如图，四边形ABCD为正方形，点P为平面内一点，已知PA＝2，PB＝4，则PC的最大值为　 　 ． 2．（2026•台儿庄区一模）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是　 　 ． 3．（2026•威远县校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝8，D是平面上一动点，连接AD，DC，E是DC的中点，连接BE，当AD＝2，BE的最小值为　 　 ． 考点5 正方形综合 1．（2026•鼓楼区一模）在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C、D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G，若AD＝10，BF＝6，线段FD的长是　 　 ． 2．（2026•玄武区一模）如图，已知正方形ABCD的边长为a，点E是AB边上一动点，连接ED，△DEF为等腰直角三角形，连接CF，则当CF+DF之和取最小值时，△DCF的周长为　 　 ．（用含a的代数式表示） 考点6 圆综合 1．（2026•玄武区一模）如图，点A，B是⊙O上两点，连接AB，直径CD与AB垂直于点E，点F在⊙O上，连接AF，BF，过点A作AG⊥BF交⊙O于点G，过点D作⊙O的切线交FG的延长线于点H，若，CD＝8，∠H＝60°，则DE＝　 　 ，AF＝　 　 ． 2．（2026•建邺区一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AB＝5，点E、F分别是BC、AD上的点，连接AE、BF交于点M，以AE为直径的圆O交BM于点G，且，∠DAE+∠C＝180°，则GE＝　 　 ；若BE＝6，BG＝　 　 ． 考点7 多函数图象的结合 1．（2025•秦淮区二模）函数y＝|x|﹣2的图象如图所示．类似地，函数y＝﹣x2+4|x|﹣2的图象是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•鼓楼区校级模拟）已知反比例函数y（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•南京一模）如图，在平面直角坐标系中，经过（﹣1，0）、（3，0）的二次函数y1的图象交y轴于点A，经过（﹣1，0）的一次函数y2的图象交y轴于点B．若OA＝OB，则函数的图象是（　　） A． B． C． D． 考点8 路径长问题 1．（2026•鼓楼区一模）正六边形ABCDEF和⊙O的位置如图所示，其中点A，B在⊙O上，且．将正六边形ABCDEF绕点A顺时针旋转，当点F第一次落在⊙O上时，点E的运动轨迹长为　 　 （结果保留π）． 2．（2025•鼓楼区一模）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AC＝6，⊙O是△ABC的外接圆，D为上一动点，过A作直线OD的垂线，垂足为E．在D从A沿运动到C的过程中，点E经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•鼓楼区校级三模）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若AC＝4，则点C运动的路径长为 　 　 ． 考点9 图形的变换 1．（2026•南京一模）如图，长方形纸片ABCD，AB＝6，AD＝10，将这张长方形纸片翻折，点D落到BC边点H处，点C落到点G处，折痕交边AD，BC于点E，F，若BH＝1，则AE的长为　 　 ． 2．（2026•南京一模）如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，连接EF，BD，则BM，MN，ND之间的数量关系为　 　 ． 考点10 找规律 1．（2026•南京一模）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切……按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为 　 　 ． 2．（2026•溧水区一模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，⋯，照此规律作下去，则C2027＝　 　 ． 考点11 二次函数与系数 1．（2026•建邺区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论中，正确的有（　　）①abc＞0；②2a+b＝0；③b2＞4ac；④4a+2b+c＞0；⑤3a+c＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026•玄武区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＜0，②2a+b＝0，③m≠1时，a+b＜am2+bm，④a﹣b+c＜0，⑤当且x1≠x2时，x1+x2＝2，⑥当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②④⑥ C．②⑤⑥ D．②③⑤ 3．（2026•鼓楼区一模）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1，给出五个结论：①b＞0；②当x＜1时，y随着x的增大而增大；③a﹣b+c＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤am2+bm﹣a﹣b≤0．其中正确结论是（　　） A．①②⑤ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 考点12 几何与函数图象 1．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＜AD．点P从点A出发沿折线A﹣D﹣C运动到点C停止，过P作PF⊥BD于点F，连接BP．设点P运动路径长为x，△BPF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 1．（2026•南京模拟）如图，在矩形ABCD中，AB，BC＝5，P是AD上一点，将△CDP绕点C逆时针旋转45°时，点P的对应点P'恰好落在AB上，则PD的长为（　　） A．1 B． C． D．1或 2．（2026•溧水区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①abc＞0；②2a+c＞0；③am2+bm≤﹣a（m为任意实数）；④若，则﹣2＜a+b+c＜﹣1，其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026•建邺区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2026•玄武区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论： ①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2026•南京一模）如图，直线交坐标轴于点A，B，将△AOB向x轴负半轴平移4个单位长度得△CDE，则图中阴影部分面积为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 6．（2025•栖霞区校级三模）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在BC上，将▱ABCD沿AE翻折，点B恰好落在DE上的点F处，若AE＝AB，则BE的长为（　　） A． B．3 C． D．4 7．（2025•鼓楼区校级三模）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AB、BC上的动点，且BD＝2CE．以DE为边作等边△DEF，使点A与点F在直线DE同侧，DF交AC于点G，EF交AC于点H．给出下面四个结论： ①∠BED＝∠AHF； ②AD•DF＝BE•DG； ③若ED⊥AB，则DF⊥AC； ④若CE：BE＝1：2，则四边形DBEF是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 8．（2025•建邺区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，若P为AB上一动点，旋转后点P的对应点为点P'，则线段PP'长度的最小值是（　　） A． B．2 C．3 D．2 9．（2025•南京模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边AB、AD上运动，且满足BE＝AF，连接EF，过点O作OG⊥EF交AB点G，则下列结论：①连接FG，则△AFG的周长不变；②若BE＝1，则；③连接OF，则；④DF•FG＝OF2.其中正确的为（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 10．（2025•江宁区校级二模）如图，二次函数y＝2x2与yx2的图象与过（0，10）且平行于x轴的直线分别交于A，B两点和C，D两点，则AB：CD的值为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 11．（2025•玄武区一模）如图①，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF；如图②，展开纸片，连接BD，EC交于点G；如图③，再沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为AH，则（　　） A．2 B． C． D． 12．（2026•建邺区校级模拟）在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它主要研究如何安全地传递和存储保密信息．如图，现制定一种密码规则，这种规则在正整数和字母、字符之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文．例如，密文“22”翻译成明文为“N”，密文“22﹣50”翻译成明文为“NJ”．密文“12﹣1﹣50﹣28”翻译成明文为　 　 ． 13．（2026•建邺区校级模拟）用电阻值分别为R1、R2、R3、R4（R1＞R2＞R3＞R4）的电阻组装成一个如图的组件，要使该组件总电阻值最小，则？处应该安装的电阻的阻值为　 　 ． 14．（2026•南京一模）如图，已知点O是等腰直角三角形ABC的重心，过点O作OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，则的值是　 　 ． 15．（2026•建邺区一模）如图，已知矩形ABCD的一边AB长为12，点P为边AD上一动点，且满足∠BPC＝30°，则BC的取值范围是　 　 ． 16．（2026•南京一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，连接CE，CF．若，∠ECF＝∠B＝45°，则四边形AECF的面积是　 　 ． 17．（2026•南京一模）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC的延长线上，点E在边BC上，连接AE，DE，∠AED＝90°，且AE＝DE，以EC的中点F为圆心，FE长为半径画圆，交边AC于点G，交ED于点H． （1）连接CH，∠ECH＝　 　 度； （2）若BF＝2，则AE的长为　 　 ． 18．（2026•建邺区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，AD是边BC的中线，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE并延长交AC于点F，则EF的长是 　 　 ． 19．（2025•栖霞区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．D是BC上一点，且CD＝3BD．CE⊥AD于点F，交AB于点E．若AC＝6，BC＝8，则AE的长为　 　 ． 20．（2026•平房区一模）如图，大正方形ABCD的边长为6，小正方形CEFG的顶点E在BC的延长线上，点M为BC边上一动点，且BM＝CE，连接AM、MF，MF交CG于点P，过点A作AN⊥AM交CD的延长线于点N，连接NF．下列结论： ①∠MAD＝∠GPF； ②EF＝3PC； ③△ABM≌△NGF； ④点M在运动过程中，CP的最大值是． 正确的是　 　 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押06 江苏南京中考数学6+16题（选填压轴题） 考点1 最短路线问题（轴对称） 1．（2026•鼓楼区二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C的坐标为（4，3），⊙C的半径为2，P为⊙C上的一点，PM⊥x轴，垂足为M，则OM+PM的最小值为　7﹣2　 ． 【答案】7﹣2． 【分析】作MP′＝MP交x轴于点P′，则∠OP′P＝45°，OM+PM的长为OP′的长，那么PP′与⊙C相切，连接CP，作CN⊥x轴于点N，交PP′于点E，分别判断出0N和NP′的长，相加即可． 【解答】解：作MP′＝MP交x轴于点P′，则∠OP′P＝45°，OM+PM的长为OP′的长，此时PP′与⊙C相切， 连接CP，则CP⊥PP′， ∴∠CPP′＝90°， 作CN⊥x轴于点N，交PP′于点E，则∠ENP′＝90°， ∴∠NEP′＝45°， ∴EN＝NP′，∠PEC＝45°， ∵PC＝2， ∴CE＝2， ∵C（4，3）， ∴ON＝4，CN＝3， ∴EN＝3﹣2， ∴NP′＝3﹣2， ∴OP′＝ON+NP′＝7﹣2， ∴OM+PM的最小值为7﹣2． 2．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值是 　22　 ． 【答案】22 【分析】AP+PQ中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段DC上，想到将军饮马，Q在以BC为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题． 【解答】解：连接CQ，以CD为一条边在右侧作正方形CDEF，则∠MQC＝90°， ∴∠BQC＝90°， ∴点Q在以BC为直径的圆上运动， ∵AD＝DE，∠ADP＝∠EDP，DP＝DP， ∴△ADP≌△EDP（SAS）， ∴AP＝EP， ∴AP+PQ＝EP+PQ≥EQ≥EO﹣ON22， ∴AP+PQ的最小值为， 故答案为：． 考点2 最值问题（胡不归） 1．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB边上的动点，点F是射线BC上的动点，且BF＝2AE，连接AF，CE，则的最小值是 　　 ． 【答案】． 【分析】延长DA到G，使AG＝DA＝3，连接GE、GC，则可证明△GAE∽△ABF，从而得；则，当点E在线段GC上时，取得最小值，在Rt△DGC中，由勾股定理即可求得最小值． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3， ∴DA＝BC＝3，CD＝AB＝6，∠D＝90°， 如图，延长DA到G，使AG＝DA＝3，连接GE、GC， 则； ∵BF＝2AE， ∴， ∴； ∵∠GAE＝∠B＝90°， ∴△GAE∽△ABF， ∴， 即； ∴， 当点E在线段GC上时，GE+GC取得最小值，从而取得最小值； ∵DC＝DG＝6，∠D＝90°， ∴在Rt△DGC中，由勾股定理得， ∴取得最小值为； 故答案为：． 2．（2026•泌阳县模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝4，M为对角线AC上一点，且，N是对角线BD上的一个动点，连接MN，则的最小值是　3　 ． 【答案】3． 【分析】过点M作ME⊥AB于点E，过点N作NE′⊥AB于点E′，利用正方形的性质及等腰直角三角形的性质得出，当M，N，E′三点共线且垂直于AB时，有最小值，最小值为EM的长，证明△AEM∽△ABC，利用相似三角形的性质得出，即可得解． 【解答】解：如图，过点N作NE′⊥AB于点E′，过点M作ME⊥AB于点E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC＝∠ABD＝45°，AB＝BC＝4，， ∵∠BE′N＝90°， ∴， ∴， ∴当M，N，E′三点共线且垂直于AB时，有最小值，最小值为EM的长， ∵， ∴， ∵AB⊥BC，ME⊥AB， ∴EM∥BC， ∴△AEM∽△ABC， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 考点3 最值问题（隐形圆） 1．（2026•南京一模）如图，分别经过原点O和点A（8，0）的动直线a，b，其夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则AM的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】OA＝8，∠OBA＝30°，则点B在以△AOB的外接圆⊙N上运动，在x轴上截取AE＝OC，则AMBE，所以当BE取最小值时，AM取最小值，连接NE，与x轴的交点为B′，此时AM的长度最小． 【解答】解：如图所示， ∵OA＝8，∠OBA＝30°， ∴点B在以△AOB的外接圆⊙N上运动， 在x轴上截取AE＝OA， 则AMBE， 所以当BE取最小值时，AM取最小值， 连接NE，与x轴的交点为B′，此时AM的长度最小， ∵OA＝8，∠OBA＝30°， ∴∠ONA＝60°， ∴△ONA为等边三角形， 过点N作NC⊥OA， ∴∠ANC＝30°， ∴NC＝AN×cos30°＝84， 在Rt△NCE中， NE8， B′E＝NE﹣NB′＝88， ∴AM的最小值为（88）＝44． 故选：C． 2．（2026•南京模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，若E在三角形ABC外部，则的最小值是　3　 ． 【答案】3． 【分析】作CF⊥AB于点F，作EK⊥AB于点K，利用勾股定理求出AB，证明△EDK∽△CDF，得到EK取最大值时，取最小值，进而得到当点E，K，O共线时，即点E在E'位置时，EK取最大值，证明△K'AO∽△CAB，求出E'K'，即求出EK的最大值，利用比例式求解即可． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， 如图，作CF⊥AB于点F，作EK⊥AB于点K， 由勾股定理得AB， ∵， ∴， ∵CF⊥AB，EK⊥AB， ∴∠EKD＝∠CFD＝90°， 又∵∠EDK＝∠CDF， ∴△EDK∽△CDF， ∴， ∵是定值， ∴EK取最大值时，取最小值， ∵点D运动过程中，始终保持AE⊥CD， ∴点E在以AC中点O为圆心，长为半径的圆上， ∴当点E，K，O共线时，即点E在E'位置时，EK取最大值， ∵∠AK'O＝∠ACB＝90°，∠K'AO＝∠CAB， ∴△K'AO∽△CAB， ∴， 即， 解得， ∴E'K'， 即EK的最大值为， 此时， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 3．（2026•南京一模）如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 　1　 ． 【答案】1． 【分析】连接OB，OA，取OA的中点E，连接DE，CE，取CE的中点G，连接GM，AG，证DE为△AOB的中位线得DE＝2，由此得随着点B在⊙O上运动，点D在以E为圆心以2为半径的圆上运动，再证GM为△CED的中位线得GM＝1，由此随着点E的运动，点M在以点G为圆心以1为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得AM≤AG+GM，进而得当A，G，M在同一条直线上时，AM为最大，最大值为AG+GM，取OE的中点F，连接GF，OC，先证△AOC为直角三角形，再证GF为△EOC的中位线，则GF＝2，OF＝1，GF∥OC，进而得∠AFG＝∠AOC＝90°，AF＝OA﹣OF＝3，然后在Rt△AGF中，由勾股定理求出AG，进而可求出AG+GM，据此可得AM的最大值． 【解答】解：连接OB，OA，取OA的中点E，连接DE，CE，取CE的中点G，连接GM，AG，如图1所示： ∵⊙O的半径为4， ∴OA＝OB＝4， ∵点D为CD的中点，点E为OA的中点， ∴DE为△AOB的中位线， ∴DEOB＝2， ∴随着点B在⊙O上运动， 点D在以E为圆心以2为半径的圆上运动， ∵点M为CD的中点，点G为CE的中点， ∴GM为△CED的中位线， ∴GMED＝1， ∴随着点E的运动，点M在以点G为圆心以1为半径 的圆上运动， 根据“两点之间线段最短”得：AM≤AG+GM， ∴当AM＝AG+GM时，AM为最大， 即当A，G，M在同一条直线上时，AM为最大， 最大值为AG+GM， 如图2所示，取OE的中点F，连接GF，OC， ∵⊙O的半径为4， ∴OA＝OC＝4， ∴OA2+OC2＝42+42＝32， 又∵AC， ∴AC232， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴△AOC为直角三角形，即∠AOC＝90°， ∵点F是OE的中点，点G是CE的中点， ∴GF为△EOC的中位线， ∴GFOC＝2，OFOE＝1，GF∥OC， ∴∠AFG＝∠AOC＝90°， ∴AF＝OA﹣OF＝3， 在Rt△AGF中，AF＝3，GF＝2， 由勾股定理得：AG， ∴AG+GM1． ∴AM的最大值为1． 故答案为：1． 考点4 最值问题（三边之间关系） 1．（2026•南京一模）如图，四边形ABCD为正方形，点P为平面内一点，已知PA＝2，PB＝4，则PC的最大值为　2+4　 ． 【答案】． 【分析】过点B作BE⊥BP，且BE＝PB，连接AE、PE、PC，求出PE，证明△ABE和△CBP全等，可得AE＝PC，把求PC的最大值转换为求AE的最大值即可． 【解答】解：过点B作BE⊥BP，且BE＝PB，连接AE、PE、PC， ∵BE＝PB，PB＝4，BE2+PB2＝PE2， ∴， ∵四边形是ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵∠ABE＝∠ABP+90°，∠CBP＝∠ABP+90°， ∴∠ABE＝∠CBP， 在△ABE和△CBP中， ， ∴△ABE≌△CBP（SAS）， ∴AE＝PC， ∵AE≤PE+AP， ∴当点A、P、E三点共线时，AE最大，此时AE＝AP+PE， ∵PA＝2， ∴， 即PC的最大值为， 故答案为：2+4． 2．（2026•台儿庄区一模）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是　6　 ． 【答案】6． 【分析】延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，EP，根据垂径定理推得，求得∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，进而得∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF，点F关于AB的对称点为点M，根据两点之间线段最短得出当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，再利用直角三角形的性质求出OA和OE的长，即可求解． 【解答】解：延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，EP，如图， ∵AF⊥OD，F为弧BC的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF， ∵∠AOC+∠COF+∠BOF＝180°（平角的定义）， ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°， ∴∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF， ∴点F关于AB的对称点为点M， ∴PM＝PF（轴对称的性质）， ∴PE+PF＝PE+PM≥EM， 当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长， ∵∠AOC＝60°，AD⊥AB， ∴∠D＝90°﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°， 故在Rt△ACD中，OD＝2OA， ∵CD＝4， ∴OD＝OC+4＝2OA＝2OC，即OC＝4， ∴OC＝OA＝OB＝OM＝OF＝4， ∵AF⊥OC，∠AOC＝60°， ∴∠OAE＝90°﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°， ∴OEOA4＝2， ∴EM＝OE+OM＝2+4＝6，即PE+PF的最小值为6， 故答案为：6． 3．（2026•威远县校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝8，D是平面上一动点，连接AD，DC，E是DC的中点，连接BE，当AD＝2，BE的最小值为　　 ． 【答案】． 【分析】取AC的中点F，连接BF，EF，利用三角形的中位线性质得到，再利用勾股定理和直角三角形的中线性质求得，然后利用三角形三边关系得到，当B，F，E共线时取等号，进而得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝8， 取AC的中点F，连接BF，EF，如图， ∵EF是△ADC的中位线， 又AD＝2， ∴， ∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8， ∴， ∴， ∵， 当B，F，E共线时取等号，如图 ∴BE的最小值为． 故答案为：． 考点5 正方形综合 1．（2026•鼓楼区一模）在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C、D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G，若AD＝10，BF＝6，线段FD的长是 　　 ． 【答案】． 【分析】过点F分别作AB，AD的垂线，分别交AB，AD于 点H，N，求得AF的长度，根据 求得FH的长度，根据勾股定理，进而求得AH的长度，进而可求得答案． 【解答】解：如图所示，过点F分别作AB，AD的垂线，分 别交AB，AD于点H，N． ∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴四边形AHFN是矩形． ∵AF⊥BE，AB＝AD＝10，BF＝6， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴线段DF的长是， 故答案为：． 2．（2026•玄武区一模）如图，已知正方形ABCD的边长为a，点E是AB边上一动点，连接ED，△DEF为等腰直角三角形，连接CF，则当CF+DF之和取最小值时，△DCF的周长为　　 ．（用含a的代数式表示） 【答案】． 【分析】连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，则∠EGF＝90°，由△DEF为等腰直角三角形，则∠DEF＝90°，EF＝DE，所以∠AED+∠GEF＝90°，又四边形ABCD是正方形，则∠A＝∠EGF＝90，即有∠AED+∠ADE＝90°，然后下面△AED≌△GFE（AAS），故有FG＝AE，EG＝DA，F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C′，然后通过BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动，则C′点在AB的延长线上，当D、F、C′三点共线时，DF+CF＝DC′最小，最后通过勾股定理即可求解． 【解答】解：连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，则∠EGF＝90°， ∵△DEF为等腰直角三角形， ∴∠DEF＝90°，EF＝DE， ∴∠AED+∠GEF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠EGF＝90°，AB＝AD， ∴∠AED+∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠GEF， 在△AED和△GFE中， ， ∴△AED≌△GFE（AAS）， ∴FG＝AE，EG＝DA， ∴AB＝AD＝EG， ∴AE＝BG， ∴F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C′， ∴BC＝BC′＝a， ∴BG＝FG， ∴∠FBG＝45°， ∴∠CBF＝45°， ∴∠CBF＝∠FBG＝45°， ∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动， ∴C′点在AB的延长线上， 当D、F、C′三点共线时，DF+CF＝DC′最小， 在Rt△ADC'中，AD＝a，AC′＝2a， ∴， ∴DF+CF的最小值为， ∴此时的周长为， 故答案为：． 考点6 圆综合 1．（2026•玄武区一模）如图，点A，B是⊙O上两点，连接AB，直径CD与AB垂直于点E，点F在⊙O上，连接AF，BF，过点A作AG⊥BF交⊙O于点G，过点D作⊙O的切线交FG的延长线于点H，若，CD＝8，∠H＝60°，则DE＝　2　 ，AF＝　　 ． 【答案】2；． 【分析】根据圆的基本性质及垂径定理得∠AEO＝90°，OD＝AO＝4，，，继而得到，，可求得DE的长；根据正切的定义得，求得∠AOE＝60°，的度数为120°，根据圆周角定理得，根据同弧所对的圆周角相等得∠AGB＝∠AFB＝60°，进一步得∠FBG＝90°﹣∠BGN＝30°，继而得∠FAG＝∠FBG＝30°，证明△OFG为等边三角形，同时根据切线的性质得∠CDH＝90°，推出OG∥DH，∠DOG＝180°﹣∠CDH＝90°，再结合圆周角定理及同弧所对的圆周角相等得，∠BAG＝∠BFG＝15°，然后在△ABF中，利用三角函数的定义分别求出AM、MF的长即可． 【解答】解：如图，连接AO、BO、OG、OF、BG，过点B作BM⊥AF于点M，设BF交AG于点N， ∵直径CD与AB垂直于点E，，CD＝8， ∴∠AEO＝90°，，，， ∴，， ∴，DE＝OD﹣EO＝4﹣2＝2， ∴∠AOE＝60°， ∴和的度数为60°，即的度数为120°， ∴∠AOB＝60°+60°＝120°， ∴， ∵， ∴∠AGB＝∠AFB＝60°， ∵AG⊥BF， ∴∠BNG＝90°， ∴∠FBG＝90°﹣∠BGN＝90°﹣60°＝30°， ∵，且所对的圆心角为∠FOG， ∴∠FAG＝∠FBG＝30°， ∴∠FOG＝2∠FAG＝2×30°＝60°， ∵OG＝OF，∠H＝60°，DH切⊙O于点H， ∴△OFG为等边三角形，∠CDH＝90°， ∴∠OGF＝60°＝∠H， ∴OG∥DH， ∴∠DOG＝180°﹣∠CDH＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AOG＝∠AOD+∠DOG＝60°+90°＝150°，即的度数为150°， ∴， ∴∠BFG＝∠AFG﹣∠AFB＝75°﹣60°＝15°， ∵， ∴∠BAG＝∠BFG＝15°， ∴∠BAF＝∠BAG+∠GAF＝15°+30°＝45°， 在△ABF中，BM⊥AF，，∠BAF＝45°，∠AFB＝60°， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2；． 2．（2026•建邺区一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AB＝5，点E、F分别是BC、AD上的点，连接AE、BF交于点M，以AE为直径的圆O交BM于点G，且，∠DAE+∠C＝180°，则GE＝　　 ；若BE＝6，BG＝　　 ． 【答案】，． 【分析】由平行四边形的性质和∠DAE+∠C＝180°易证∠ABE＝∠AEB，所以AB＝AE＝5，再解RtAGE即可求出GE和AG，连接AK，由三线合一可知BG＝EK，证△AGT∽△EKT，可得，设AT＝3x，，则TK＝4﹣3x，在Rt△TKE中利用勾股定理建立方程求x，从而可知，已知两边和一角，所以解△BGE即可得解． 【解答】解：∵∠DAE+∠C＝180°， ∴∠D+∠AEC＝180°， 在平行四边形ABCD中，∠D＝∠ABC， ∴∠ABC+∠AEC＝180°， 又∵∠AEB+∠AEC＝180°， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE＝5． 设圆O与BE交于点K，连接AG、AK． ∵AE是直径， ∴∠AGE＝∠AKE＝90°， 在Rt△AGE中，， ∴AG：GE：AE＝9：13：5， ∴，． 在等腰三角形ABE中，AK⊥BE， ∴． 在Rt△AKE中，． ∵△AGT∽△EKT， ∴， 设AT＝3x，，则TK＝4﹣3x， 在Rt△TKE中，， 解得x＝1或x＝﹣25（舍）， ∴AT＝3，TK＝1，TE， ∴． 过G作GL⊥BE于点L， 则EL＝GE•cos∠BEG，GL＝GE•sin∠BEG， ∴BL＝BE﹣EL， 在Rt△BGL中，BG； 故答案为：，． 考点7 多函数图象的结合 1．（2025•秦淮区二模）函数y＝|x|﹣2的图象如图所示．类似地，函数y＝﹣x2+4|x|﹣2的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象判断出k＜0，然后确定出抛物线的对称轴和开口方向以及与y轴的交点，再选择答案即可． 【解答】解：由函数y＝|x|﹣2的图象可知x为任意实数， ∴当x＞0时，函数为y＝﹣x2+4x﹣2， 当x＜0时，函数为y＝﹣x2﹣4x﹣2， 当x＝0时，函数为y＝﹣2， 纵观各选项，只有D选项图形符合． 故选：D． 2．（2025•鼓楼区校级模拟）已知反比例函数y（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象，可知k＞0，b＞0，所以函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x0，根据两个交点为（1，k）和（k，1），可得k﹣b＝﹣1，b＝k+1，可得函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），不过原点，即可判断函数y＝x2﹣bx+k﹣1的大致图象． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y的图象经过第一、三象限，则k＞0， ∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x0， 由图象可知，反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1）， ∴﹣1+b＝k， ∴k﹣b＝﹣1， ∴b＝k+1， ∴对于函数y＝x2﹣bx+k﹣1，当x＝1时，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1， ∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1）， ∵反比例函数y与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点， ∴方程x+b有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0， ∴k﹣1≠0， ∴当x＝0时，y＝k﹣1≠0， ∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象不过原点， ∴符合以上条件的只有A选项． 故选：A． 3．（2025•南京一模）如图，在平面直角坐标系中，经过（﹣1，0）、（3，0）的二次函数y1的图象交y轴于点A，经过（﹣1，0）的一次函数y2的图象交y轴于点B．若OA＝OB，则函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线的交点式求得A（0，﹣3a），得到B（0，3a），即可求得y2＝3ax+3a，则函数 ，由函数y是直线，且过点（3，0），（0，﹣1）判断即可． 【解答】解：由题意可知二次函数y1＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴A（0，﹣3a）， ∴OA＝﹣3a， ∵OA＝OB， ∴B（0，3a）， 设一次函数y2＝kx+3a， ∵经过（﹣1，0）， ∴﹣k+3a＝0， ∴k＝3a， ∴y2＝3ax+3a， ∴函数 ， ∵函数y是直线，且过点（3，0），（0，﹣1）， ∴函数的图象是A， 故选：A． 考点8 路径长问题 1．（2026•鼓楼区一模）正六边形ABCDEF和⊙O的位置如图所示，其中点A，B在⊙O上，且．将正六边形ABCDEF绕点A顺时针旋转，当点F第一次落在⊙O上时，点E的运动轨迹长为　　 （结果保留π）． 【分析】延长EF，BA交于点H，连接AE交⊙O于点G，连接BG，根据几何关系判断AG＝AF即可． 【解答】解：如图，正六边形ABCDEF和⊙O，．延长EF，BA交于点H，连接AE交⊙O于点G，连接BG， ∴， ∴， ∴AH＝FH， ∴△HAF是等边三角形， ∴， ∴， 在直角三角形AEH中，∠EAH＝∠FAE+∠HAF＝90°， 由勾股定理得：， ∵∠BAG＝180°﹣∠EAH＝90°， ∴BG是⊙O的直径， ∴BG经过点O， ∴∠AOG＝∠AOB＝90°， ∴AG＝AB， ∴AG＝AF， ∴将正六边形ABCDEF绕点A顺时针旋转，则点F第一次落在⊙O上的点G处，旋转角为30°， ∴点E的运动轨迹为以点A为圆心，AE长为半径，且圆心角等于30°的一段弧， ∴点E的运动轨迹长， 故答案为：． 2．（2025•鼓楼区一模）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AC＝6，⊙O是△ABC的外接圆，D为上一动点，过A作直线OD的垂线，垂足为E．在D从A沿运动到C的过程中，点E经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得∠AEO＝90°，先确定点E在以AO为直径的圆上运动，当D与C重合时，连接AO，取AO的中点G，连接EG，求得E点最终位置，根据已知条件得出点E旋转240°，进而最后根据弧长公式求解即可． 【解答】解：∵AE⊥OD，则∠AEO＝90°， ∴点E在以AO为直径的圆上运动． 如图，当D与C重合时，连接AO，取AO的中点G，连接EG． ∵∠B＝60°， ∴∠AOC＝2∠B＝120°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∴∠AOE＝60°， ∵GO＝GE， ∴△GEO是等边三角形， ∴∠EGO＝60°， ∴180°+60°＝240°，即点E旋转240°， ∵AC＝6，∠ACE＝30°， ∴AEAC＝3， 在Rt△AEO中，∠EAO∠EGO＝30° ∴AO2， ∴点E经过的路径长为π×2． 故选：B． 3．（2025•鼓楼区校级三模）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若AC＝4，则点C运动的路径长为 　π　 ． 【分析】根据弧长公式即可求出点C经过的路径长． 【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C'，AC＝4， ∴点C经过的路径长为：， 故答案为：π． 考点9 图形的变换 1．（2026•南京一模）如图，长方形纸片ABCD，AB＝6，AD＝10，将这张长方形纸片翻折，点D落到BC边点H处，点C落到点G处，折痕交边AD，BC于点E，F，若BH＝1，则AE的长为　3.5　 ． 【分析】设AE长x，分别表示出HF，FG，HG的大小，根据勾股定理进行求解． 【解答】解：设AE长x，则DE＝10﹣x， ∵四边形ABCD是长方形， ∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝10，AD∥BC，∠D＝90°， ∴∠DEF＝∠EFB， 由翻折可得EH＝DE＝10﹣x，HG＝CD＝6，GF＝CF，∠G＝∠D＝90°，∠DEF＝∠HEF， ∴∠EFB＝∠HEF， ∴HF＝HE＝10﹣x， ∵BH＝1， ∴CF＝10﹣1﹣（10﹣x）＝x﹣1， ∴FG＝x﹣1， 由题意得：FG2+HG2＝HF2， ∴（x﹣1）2+62＝（10﹣x）2， 解得：x＝3.5， ∴AE＝3.5， 故答案为：3.5． 2．（2026•南京一模）如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，连接EF，BD，则BM，MN，ND之间的数量关系为MN2＝BM2+ND2 ． 【答案】MN2＝BM2+ND2． 【分析】将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．在△NM′D中依据勾股定理可证明NM′2＝ND2+DM′2，接下来证明△ANM≌△ANM′得到MN＝NM′，再由BM＝DM′，然后代入NM′2＝ND2+DM′2即可解答． 【解答】解：如图：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴∠NDM′＝90°， ∴NM′2＝ND2+DM′2， ∵∠BAD＝∠MAD+∠BAM＝90°， ∴∠EAM′＝∠BAM+∠MAD＝∠DAM′+∠MAD＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠FAM′＝∠EAF＝45°， 在△ANM′和△AMN中， ， ∴△ANM′≌△AMN（SAS）， ∴MN＝NM′． ∵BM＝DM′， ∴MN2＝ND2+BM2． 故答案为：MN2＝ND2+BM2． 考点10 找规律 1．（2026•南京一模）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切……按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为 　　 ． 【分析】连接OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1＝60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2E1D12，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长＝（）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长＝（）9×2，然后化简即可． 【解答】解：连接OE1，OD1，OD2，如图， ∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形， ∴∠E1OD1＝60°， ∴△E1OD1为等边三角形， ∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切， ∴OD2⊥E1D1， ∴OD2E1D12， ∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长2， 同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长＝（）2×2， 则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长＝（）9×2． 故答案为：． 2．（2026•溧水区一模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，⋯，照此规律作下去，则C2027＝　　 ． 【分析】根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解． 【解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝1， ∵E是BC边中点，ED∥AB， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， ∵EF∥AC， ∴四边形EDAF是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴． 考点11 二次函数与系数 1．（2026•建邺区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论中，正确的有（　　）①abc＞0；②2a+b＝0；③b2＞4ac；④4a+2b+c＞0；⑤3a+c＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置来判断即可； ②根据对称轴求解即可； ③根据抛物线与x轴的交点个数求解即可； ④根据轴对称性求出当x＝2时的函数值大小即可； ⑤由图可知，当x＝﹣1时的函数值为0，所以a﹣b+c＝0，再结合b＝﹣2a，可求得3a+c＝0，即可判断． 【解答】解：∵图象开口向下，图象交y轴于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵对称轴是直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错，不符合题意； ∵b＝﹣2a， ∴b+2a＝0，故②对，符合题意； ∵图象与x轴两个交点， ∴△b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故③对，符合题意； 根据图象可知（﹣1，0）关于x＝1对称的点为（3，0）， 故开口向下，图象与x轴交点在﹣1和3之间， ∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故④对，符合题意； 由图象知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a+c＜0，故⑤错，不符合题意；共三个对， 故选：C． 2．（2026•玄武区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＜0，②2a+b＝0，③m≠1时，a+b＜am2+bm，④a﹣b+c＜0，⑤当且x1≠x2时，x1+x2＝2，⑥当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的有（　　） A．①②③ B．②④⑥ C．②⑤⑥ D．②③⑤ 【答案】D 【分析】①只需根据抛物线的开口、对称轴的位置、与y轴的交点位置就可得到a、b、c的符号，从而得到abc的符号；②只需利用抛物线对称轴方程x1就可得到2a与b的关系；③只需结合图象就可得到当x＝1时y＝a+b+c最小，从而解决问题；④根据抛物线x＝﹣1图象在x轴上方，即可得到x＝﹣1所对应的函数值的符号；⑤由可得，然后利用抛物线的对称性即可解决问题；⑥根据函数图像，即可解决问题． 【解答】解：①由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下可得a＞0， 由对称轴在y轴的右边可得x0，从而有b＜0， 由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点在y轴的负半轴上可得c＜0， 则abc＞0，故①错误； ②由对称轴方程x1得b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确； ③由图可知，当x＝1时，y＝a+b+c最小，则对于任意实数m（m≠1），都满足a+b+c＜am2+bm+c，即a+b＜am2+bm，故③正确； ④由图像可知，x＝﹣1所对应的函数值为正， ∴x＝﹣1时，有a﹣b+c＞0，故④错误； ⑤若，且x1≠x2， 则， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上的点（x1，y1）与（x2，y2）关于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴对称， ∴1﹣x1＝x2﹣1，即x1+x2＝2，故⑤正确． ⑥由图可知，当﹣1＜x＜3时，函数值有正数，也有负数，故⑥错误； 故选：D． 3．（2026•鼓楼区一模）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1，给出五个结论：①b＞0；②当x＜1时，y随着x的增大而增大；③a﹣b+c＜0；④4a﹣2b+c＞0；⑤am2+bm﹣a﹣b≤0．其中正确结论是（　　） A．①②⑤ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 【答案】A 【分析】先根据二次函数图象的开口向下可得a＜0，再根据对称轴可得b的符号，由此可判断①；根据二次函数的对称轴可判断②；根据x＝﹣1，x＝﹣2，x＝1时，结合图形分别判断③④⑤． 【解答】解：由图象可知a＜0， ∵二次函数的对称轴为， ∴b＝﹣2a＞0，故结论①正确，符合题意； 由函数图象可知，当x＜1时，y随着x的增大而增大；故结论②正确，符合题意； 图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1， ∴抛物线经过（﹣1，0）， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故结论③错误，不符合题意； ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故结论④错误，不符合题意； 二次函数图象对称轴为直线x＝1， ∴y＝a+b+c是最大值， ∴am2+bm+c≤a+b+c， ∴am2+bm﹣a﹣b≤0，故结论⑤正确，符合题意； 故选：A． 考点12 几何与函数图象 1．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＜AD．点P从点A出发沿折线A﹣D﹣C运动到点C停止，过P作PF⊥BD于点F，连接BP．设点P运动路径长为x，△BPF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为动点P按沿折线A﹣D﹣C的路径运动，因此，y关于x的函数图象分为两部分：A→D，D→C，逐一分析每一部分即可得解． 【解答】解：设AB＝a，AD＝b，∠ADB＝α， 当点P在AD上运动时（0≤x≤AD）， 则PD＝b﹣x，PF＝（b﹣x）sinα， ， ∵， 且， 这是关于x的二次函数，二次项系数小于0，图象开口向下； 当x＝AD时，y＝0， 当点P在DC上运动时（AD＜x≤AD+DC），如图， ∴PD＝x﹣b，∠DPE＝90°﹣∠PDF＝∠ADB＝α， 则PF＝cosa（x﹣b），DF＝sinα（x﹣b）， ， ， 即， 这是关于x的二次函数，二次项系数小于0，图象开口向下， 综上，y关于x的函数图象先下降到0（开口向下的抛物线部分），再上升（开口向下的抛物线部分），符合选项的只有A； 故选：A． 1．（2026•南京模拟）如图，在矩形ABCD中，AB，BC＝5，P是AD上一点，将△CDP绕点C逆时针旋转45°时，点P的对应点P'恰好落在AB上，则PD的长为（　　） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【分析】过点D'作CD的垂线分别交AB、CD于点M、N，可得△CND'是等腰直角三角形，则CN＝D'N，根据旋转的性质，得CD'＝CD＝4，设MP'＝x，则BP'＝AB﹣AM﹣MP'＝4﹣x，P'D'2＝MP'2+MD'2＝x2+1，利用勾股定理得52+（4﹣x）2＝（4）2+x2+1，解得：x＝1，则P'D'2＝12+1＝2，从而得出答案． 【解答】解：过点D'作CD的垂线分别交AB、CD于点M、N，如图， 则∠CND'＝∠P'MD'＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形BCNM、四边形ADNM都是矩形， ∴MN＝BC＝AD＝5，BM＝CN，AM＝DN， ∵∠DCD'＝45°， ∴△CND'是等腰直角三角形， ∴CN＝D'N， 根据旋转的性质，得CD'＝CD＝4， ∵CN2+ND'2＝CD'2， ∴CN2+CN2＝（4） 2， D'N＝CN＝4． ∴AM＝DN＝CD﹣CN＝44，D'M＝MN﹣ND'＝1， 设MP'＝x， 则BP'＝AB﹣AM﹣MP'＝4﹣x，P'D'2＝MP'2+MD'2＝x2+1， ∵BC2+BP'2＝CP'2， CD'2+P'D'2＝CP'2， ∴BC2+BP'2＝CD'2+P'D'2， ∴52+（4﹣x）2＝（4）2+x2+1， 解得：x＝1， ∴P'D'2＝12+1＝2， ∴PD＝P'D'， 故选：C． 2．（2026•溧水区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①abc＞0；②2a+c＞0；③am2+bm≤﹣a（m为任意实数）；④若，则﹣2＜a+b+c＜﹣1，其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①由图象得a＞0，c＜0，由对称轴可判断b的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点（﹣1，0），，可得3a+c＝0，将3a+c化为a+2a+c，即可判断；③由二次函数的最值得y最小＝a+b+c，可得am2+bm+c≥a+b+c，即可判断；④由②可求，，代入a+b+c，即可判断． 【解答】解：①由图象得：a＞0，c＜0， ∵对称轴为直线， ∴b＝﹣2a， ∴b＜0， ∴abc＞0，故①正确； ②∵对称轴为直线x＝1，图象与x轴交于点A（3，0）， ∴图象与x轴交于另一点（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∴a﹣（﹣2a）+c＝0， ∴3a+c＝0， ∴﹣a＝2a+c， ∵a＞0， ∴﹣a＝2a+c＜0，故②错误； ③∵a＜0，对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，y最小＝a+b+c， ∴ax2+bx+c≥a+b+c，即am2+bm+c≥a+b+c（m为任意实数）， ∴am2+bm≥a+b， ∵b＝﹣2a， ∴am2+bm≥﹣a，故③错误； ④由②得，3a+c＝0，b＝﹣2a， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴﹣2＜a+b+c＜﹣1，故④正确； 故正确的结论有2个， 故选：B． 3．（2026•建邺区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】依据题意，由二次函数为y＝ax2+bx+1（a≠0），又a+b＝﹣1．则b＝﹣a﹣1，从而y＝ax2﹣（a+1）x+1，再结合二次函数的性质逐个判断即可得解． 【解答】解：由题意，∵a+b＝﹣1， ∴b＝﹣1﹣a． 把b＝﹣1﹣a代入y＝ax2+bx+1， ∴y＝ax2﹣（a+1）x+1． 又∵图象过点（﹣1，0）， ∴a•（﹣1）2﹣（a+1）•（﹣1）+1＝0，则a+a+1+1＝0． ∴a＝﹣1＜0． ∴二次函数图象开口向下，必有最大值，故①正确； ∵二次函数为y＝ax2﹣（a+1）x+1， ∴对称轴是直线x， 又∵当0＜x＜1时，y随x增大而减小， ∴分两种情况讨论： 当a＞0时， ∵0＜x＜1时，y随x的增大而减小， ∴对称轴直线x， ∴0＜a≤1； 当a＜0时， ∵0＜x＜1时，y随x的增大而减小， ∴对称轴是直线x0， ∴a≥﹣1． ∵a＜0， ∴﹣1≤a＜0． 综上，﹣1≤a＜0或0＜a≤1，故②错误； 由题意，∵函数图象过点（4，1）， ∴16a﹣4（a+1）+1＝1． ∴a，则b＝﹣1， ∴不等式ax2+bx＞0化为：x2﹣4x＞0． ∴x＜0或x＞4，故③正确； 由题意，方程ax2+bx+1＝0可化为ax2﹣（a+1）x+1＝0， ∴（ax﹣1）（x﹣1）＝0． ∴x1，x2＝1． 又∵一根x1满足﹣2＜x1＜﹣1，即﹣2， ∴a＜0． ∴﹣1， ∴﹣1＜2a+1＜0． 又∵b＝﹣1﹣a，则a﹣b＝a﹣（﹣1﹣a）＝2a+1， ∴a﹣b＜0，则a＜b，故④错误． 故选：B． 4．（2026•玄武区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论： ①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向以及与y轴的交点可知a＞0，c＜0，根据对称轴为直线x＝1得出b＝﹣2a＜0，即可判断①；由对称轴为直线x＝1得出2a+b＝0，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由x＝﹣1时，y＞0，得出a﹣b+c＞0，由b＝﹣2a得出3a+c＞0即可判断⑤． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称， ∴1， ∵a＞0， ∴b＝﹣2a＜0， ∵c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ∵b＝﹣2a， ∴2a+b＝0， 故②正确； ∵x＝0时，y＜0，对称轴为直线x＝1， ∴x＝2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故③错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b， 故④错误； ∵x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∵b＝﹣2a， ∴3a+c＞0． 故⑤正确． 故选：B． 5．（2026•南京一模）如图，直线交坐标轴于点A，B，将△AOB向x轴负半轴平移4个单位长度得△CDE，则图中阴影部分面积为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】根据一次函数图象分别求出OA，OB，的长，根据平移可算出OD的长，根据点在一次函数图象上可算出点F的坐标，即求出DF的长，再根据S四边形ACEF+S△ADF＝S△ADF+S梯形DFBO，可得S四边形ACEF＝S梯形DFBO，求出梯形的面积即可． 【解答】解：直线交坐标轴于点A，B， ∴令x＝0，y＝6；令y＝0，x＝﹣8； ∴A（﹣8，0），B（0，6），即OA＝8，OB＝6， ∵△AOB向x轴负半轴平移4个单位长度得△CDE， ∴OD＝4，AD＝4，D（﹣4，0）， ∴点F在直线的图象上，且点F的横坐标与点D的横坐标相同， ∴当x＝﹣4时，y＝3， ∴F（﹣4，3），即DF＝3， ∵S四边形ACEF＝S梯形DFBO， ∴18． 即图中阴影部分面积为18， 故选：C． 6．（2025•栖霞区校级三模）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在BC上，将▱ABCD沿AE翻折，点B恰好落在DE上的点F处，若AE＝AB，则BE的长为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】由AD∥BC，得∠DAE＝∠BEA，由翻折得∠DEA＝∠BEA，∠AFE＝∠B，所以∠DAE＝∠DEA，则DE＝AD＝6，因为AE＝AB＝4，所以∠AFE＝∠B＝∠BEA，则∠AFE＝∠DAE，而∠AEF＝∠DEA，所以△AEF∽△DEA，则，求得BE＝FE，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，AD＝6，点E在BC上， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵将▱ABCD沿AE翻折，点B恰好落在DE上的点F处， ∴∠DEA＝∠BEA，∠AFE＝∠B， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴DE＝AD＝6， ∵AE＝AB＝4， ∴∠AFE＝∠B＝∠BEA， ∴∠AFE＝∠DAE， ∵∠AEF＝∠DEA， ∴△AEF∽△DEA， ∴， ∴BE＝FE， 故选：A． 7．（2025•鼓楼区校级三模）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AB、BC上的动点，且BD＝2CE．以DE为边作等边△DEF，使点A与点F在直线DE同侧，DF交AC于点G，EF交AC于点H．给出下面四个结论： ①∠BED＝∠AHF； ②AD•DF＝BE•DG； ③若ED⊥AB，则DF⊥AC； ④若CE：BE＝1：2，则四边形DBEF是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①正确．利用等边三角形的性质以及三角形外角的性质证明即可； ②正确．证明△EDB∽△DGA，可得结论； ③正确．证明∠AGD＝90°即可； ④正确．证明四边形四边相等即可． 【解答】解：∵△ABC，△DEF都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DEF＝60°， ∵∠BEF＝∠BED+∠DEF＝∠ACB+∠CHE， ∴∠BED＝∠CHE， ∵∠AHF＝∠CHE， ∴∠BED＝∠AHF，故①正确； ∵∠B＝∠BAC＝∠EDF＝60°， ∴∠BDE+∠BED＝120°，∠BDE+∠ADG＝120°， ∴∠BED＝∠ADG， ∴△EDB∽△DGA， ∴，即AD•DE＝BE•DG， ∵DE＝DF， ∴AD•DF＝BE•DG；故②正确； ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝60°， ∵ED⊥AB， ∴∠ADE＝90°， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠EDF＝60°， ∴∠ADG＝30°， ∴∠ADE＝90°， ∴∠AGD＝90°，即DF⊥AC，故③正确； ∵CE：BE＝1：2， ∴BE＝2CE， ∵BD＝2CE， ∴BD＝BE， ∵∠B＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴BE＝BD＝DE＝EF＝DF， ∴四边形DBEF是菱形，故④正确． 故选：D． 8．（2025•建邺区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，若P为AB上一动点，旋转后点P的对应点为点P'，则线段PP'长度的最小值是（　　） A． B．2 C．3 D．2 【答案】C 【分析】过点C作CH⊥PP'于H，由等腰三角形和直角三角形可得PP'PC，则当PC⊥AB时，PC有最小值，即PP'有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥PP'于H， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转120°， ∴∠PCP'＝120°，CP＝CP'， ∴∠CPP'＝30°， ∵CH⊥PP'， ∴CHPC，PH＝P'HCHPC， ∴PP'PC， ∴当PC⊥AB时，PC有最小值，即PP'有最小值， 此时，PCPBBC， ∴线段PP'长度的最小值3， 故选：C． 9．（2025•南京模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边AB、AD上运动，且满足BE＝AF，连接EF，过点O作OG⊥EF交AB点G，则下列结论：①连接FG，则△AFG的周长不变；②若BE＝1，则；③连接OF，则；④DF•FG＝OF2.其中正确的为（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】证明△EBO≌△FAO（SAS），推出△EOF是等腰直角三角形，OG是线段EF的垂直平分线，再证明△DFO∽△OEG，△DOF∽△BGO，据此求解即可． 【解答】解：点O是正方形的中心，连接BD，则BD经过点O，连接OA，FG，OF，如图， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴∠EBO＝∠FAO，BO＝AO， 又∵BE＝AF， ∴△EBO≌△FAO（SAS）， ∴∠BOE＝∠AOF，OE＝OF， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOB＝∠BOE+∠EOA＝∠AOF+∠EOA＝∠EOF＝90°， ∴△EOF是等腰直角三角形， ∵OG⊥EF， ∴OG是线段EF的垂直平分线， ∴GE＝GF， ∵△AFG的周长为AF+AG+FG＝BE+AG+EG＝AB＝4， ∴△AFG的周长不变，故①正确； ∵BE＝1， ∴BE＝AF＝1， 设FG＝a，则EG＝a，AG＝4﹣1﹣a＝3﹣a， 在Rt△AFG中，由勾股定理得12+（3﹣a）2＝a2 解得，即，故②正确； ∵△EOF是等腰直角三角形，OG⊥EF， ∴ ∵∠DFO＝∠AOF+∠FAO＝∠AOF+45°，∠GEO＝∠BOE+∠EBO＝∠BOE+45° 又∵∠BOE＝∠AOF， ∴∠DFO＝∠GEO， ∴△DFO∽△OEG， ∴， ∵OE＝OF，GE＝GF， ∴DF•FG＝OF2，故④正确； ∵△DFO∽△OEG， ∴∠DOF＝∠BGO， 又∵∠FDO＝∠OGB＝45° ∴△DOF∽△BGO， ∴， ∵DO≠DF，，故③错误； 综上，①②④正确， 故选：C． 10．（2025•江宁区校级二模）如图，二次函数y＝2x2与yx2的图象与过（0，10）且平行于x轴的直线分别交于A，B两点和C，D两点，则AB：CD的值为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 【答案】A 【分析】根据题意分别求出A，B，C，D的坐标，从而求得AB和CD的长，即可求得AB与CD的比值． 【解答】解：根据题意：分别求出A，B，C，D的坐标为： 2x2＝10， 解得：， ∴， ∴， 根据题意得：， 解得：， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 11．（2025•玄武区一模）如图①，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF；如图②，展开纸片，连接BD，EC交于点G；如图③，再沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为AH，则（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由图①、图②，根据折叠的性质得AE＝DE，在图③中，设AH交BD于点P，延长CG交AD于点E，由矩形的性质得AD＝BC，则DEADBC，可证明△DEG∽△BCG，得，则DGBG，因为AB垂直平分BG，所以PG＝PBBG，则DG＝PG＝PB，设DG＝PG＝PB＝m，则PD＝2m，由tan∠ABD＝tan∠PAD，得PA2＝PD•PB＝2m2，则PAm，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：由图①、图②，根据折叠的性质得AE＝DE， 如图③，设AH交BD于点P，延长CG交AD于点E，则AE＝DE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝90°， ∴DEADBC， ∵DE∥BC， ∴△DEG∽△BCG， ∴， ∴DGBG， ∵沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为AH， ∴点G与点B关于直线AH对称， ∴AB垂直平分BG， ∴∠APB＝∠DPA＝90°，PG＝PBBG， ∴DG＝PG＝PB， ∴设DG＝PG＝PB＝m，则PD＝2m， ∵∠ABD＝∠PAD＝90°﹣∠ADB， ∴tan∠ABD＝tan∠PAD， ∴PA2＝PD•PB＝2m2， ∴PAm或PAm（不符合题意，舍去）， ∴， 故选：B． 12．（2026•建邺区校级模拟）在生活中，密码的应用随处可见，密码学是一门既古老又新兴的学科，它主要研究如何安全地传递和存储保密信息．如图，现制定一种密码规则，这种规则在正整数和字母、字符之间建立了一种对应关系，其中正整数为密文，字母、字符为明文．例如，密文“22”翻译成明文为“N”，密文“22﹣50”翻译成明文为“NJ”．密文“12﹣1﹣50﹣28”翻译成明文为“WAJZ ”． 【分析】根据题中所给密文与明文之间的转换关系即可解决问题． 【解答】解：由题意知，密文“22”翻译成明文为“N”，密文“22﹣50”翻译成明文为“NJ”， 由此得出：密文翻译成明文就是这个密文对应的同一条线上的字母， ∴密文“12﹣1﹣50﹣28”翻译成明文为“WAJZ”， 故答案为：WAJZ． 13．（2026•建邺区校级模拟）用电阻值分别为R1、R2、R3、R4（R1＞R2＞R3＞R4）的电阻组装成一个如图的组件，要使该组件总电阻值最小，则？处应该安装的电阻的阻值为R3 ． 【答案】R3． 【分析】根据电阻越并越小，越串越大，可得R1和R2的位置，根据最小电阻优化关键支路可得R4的位置，即可判断出？处应该安装的电阻的阻值． 【解答】解：∵最小电阻优化关键支路，电阻越并越小，要使该组件总电阻值最小， ∴电阻最小的R4应该放在最下面， 设并联电路处的两个电阻为a，b，？处电阻为c， ∵R上c， ∴a和b的电阻越大，最上面的支路的电阻越小， ∴电阻较大的R1和R2应放在并联电阻处， ∴应将电阻 R3 放在？处． 故答案为：R3． 14．（2026•南京一模）如图，已知点O是等腰直角三角形ABC的重心，过点O作OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，则的值是　　 ． 【答案】 【分析】根据三角形的重心和等腰直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：延长BO交AC于H，连接AO， 则A、O、D在同一条直线上， 设AB＝x，则AC＝x， 由勾股定理得，BCx， ∵点O是等腰直角三角形ABC的重心，过点O作OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E， ∴ADBCx， ∴ODADx， ∵OE⊥AC，∠BAC＝90°， ∴OE∥AB， ∴， ∴OEABx， 则， 故答案为：． 15．（2026•建邺区一模）如图，已知矩形ABCD的一边AB长为12，点P为边AD上一动点，且满足∠BPC＝30°，则BC的取值范围是　　 ． 【答案】． 【分析】经分析可知，当点P与点A重合时，此时BC有最大值；当点P是AD的中点时，此时BC有最小最小值，然后分别求得BC的最大值和最小值即可解答． 【解答】解：①如图1，四边形ABCD是矩形，当点P与点A重合时， ∴∠B＝90°， ∵AB＝12，∠BPC＝30°， ∴，即， 解得：，此时BC是满足题意的最大值； ②当点P是AD的中点时，此时BC最小，如图2，过点B作BE⊥CP于E， 设BE＝a，AP＝x，则BC＝2x， ∵∠BPC＝30°， ∴PC＝BP＝2BE＝2a， 在直角三角形BPE中，由勾股定理得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴． ∴此时BC是满足题意的最小值． 综上所述，． 故答案为：． 16．（2026•南京一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，连接CE，CF．若，∠ECF＝∠B＝45°，则四边形AECF的面积是　　 ． 【答案】． 【分析】如图，过点C分别作CM⊥AB于点M，作CN⊥AD于点N，连接AC，证明△CMB≌△CND（AAS）得CM＝CN，证明△CME≌△CNF（ASA）得S△CME＝S△CNF，证明△ACM≌△ACF（HL）得S△ACM＝S△ACF，继而得到S四边形AECF＝S四边形AECF﹣S△CME+S△CNF＝2S△ACM，然后根据锐角三角函数的定义得MC＝BC•sinB＝1，BM＝BC•cosB＝1，求出S△ABCAB•MC，S△BCMBM•MC，S△ACM＝S△ABC﹣S△BCM，可得结论． 【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，过点C分别作CM⊥AB于点M，作CN⊥AD于点N， ∴∠B＝∠D，BC＝DC，∠CMA＝∠CMB＝∠CND＝∠CNA＝90°， 在△CMB和△CND中， ， ∴△CMB≌△CND（AAS）， ∴CM＝CN， 在菱形ABCD中，∠ECF＝∠B＝45°， ∴∠D＝∠B＝45°，∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣45°＝135°， 在Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠B＝90°﹣45°＝45°， 在Rt△CDN中，∠DCN＝90°﹣∠D＝90°﹣45°＝45°， ∴∠MCN＝∠BCD﹣∠BCM﹣∠DCN＝135°﹣45°﹣45°＝45°， ∴∠ECF＝∠MCN， ∴∠ECF﹣∠MCF＝∠MCN﹣∠MCF， ∴∠ECM＝∠FCN， 在△CME和△CNF中， ， ∴△CME≌△CNF（ASA）， ∴S△CME＝S△CNF， 在Rt△ACM和Rt△ACF中， ， ∴△ACM≌△ACF（HL）， ∴S△ACM＝S△ACF， ∴S四边形AECF＝S四边形AECF﹣S△CME+S△CNF ＝S△ACM+S△ACF ＝2S△ACM， 在菱形ABCD中，∠B＝45°，，∠CMB＝90°， ∴， ∴BM＝BC•cosBcos45°1，MC＝BC•sinBsin45°1， ∴S△ABCAB•MC1，S△BCMBM•MC1×1， ∴S△ACM＝S△ABC﹣S△BCM， ∴S四边形AECF＝2S△ACM， ∴四边形AECF的面积是． 故答案为：． 17．（2026•南京一模）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC的延长线上，点E在边BC上，连接AE，DE，∠AED＝90°，且AE＝DE，以EC的中点F为圆心，FE长为半径画圆，交边AC于点G，交ED于点H． （1）连接CH，∠ECH＝　75　 度； （2）若BF＝2，则AE的长为　　 ． 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求出∠D＝45°，再利用直径所对圆周角为直角得到∠EHC＝90°，从而求出∠HCD＝45°，最后结合等边三角形的外角∠ECD＝120°，计算出∠ECH的度数． （2）连接EG，利用直径所对圆周角为直角得到∠EGC＝90°，在Rt△EGC中求出CG的表达式，再根据AG＝AC﹣CG求出AG，最后在Rt△AEG中计算AE的长度． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠ECD＝180°﹣60°＝120°， ∵AE＝DE，∠AED＝90°， ∴∠D＝45°， ∵EC是圆的直径， ∴∠EHC＝90°， 在△EHC中，∠EHC＝90°，∠D＝45°， ∴∠HCD＝45°， ∴∠ECH＝∠ECD﹣∠HCD＝120°﹣45°＝75°； （2）连接EG，设△ABC是等边三角形，边长为x， ∵EC是圆的直径， ∴∠EGC＝90°， ∵△ABC是等边三角形，边长为x， ∴AC＝BC＝x，∠ACB＝60°（等边三角形的性质）， ∴∠GEC＝90°﹣∠ECG＝90°﹣60°＝30°， ∵BF＝2，EF＝CF， ∴EC＝2（BC﹣BF）＝2x﹣4， ∵∠ECG＝60°， ∴， ∵AE＝DE，∠AED＝90°， ∴∠EAD＝45°， ∵∠AGE＝180°﹣∠EGC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AEG＝90°﹣45°＝45°＝∠EAG， ∴EG＝AG（等角对等边）， ∵AG＝AC﹣CG＝x﹣（x﹣2）＝2， ∴EG＝AG＝2， 在Rt△AEG中， 根据勾股定理得，AE2＝AG2+EG2， ∴， 故答案为：①75；②． 18．（2026•建邺区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，AD是边BC的中线，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE并延长交AC于点F，则EF的长是 　　 ． 【分析】过点D作DG∥AC，交BF于点G，根据勾股定理和三角函数的有关知识，求出AE＝12，DE＝4，根据平行线分线段成比例定理，得出，设DG＝x，则CF＝2x，，证明△DEG∽△AEF，得出，从而求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【解答】解：过点D作DG∥AC，交BF于点G，如图所示： ∵D为BC的中点，BC＝16， ∴BD＝CD＝8， ∵，∠ACB＝90°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴DE＝AD﹣AE＝4， ∵GD∥AC， ∴， 设DG＝x，则CF＝2x，， ∵GD∥AC， ∴∠DGE＝∠AFE，∠EDG＝∠EAF， ∴△DEG∽△AEF， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 19．（2025•栖霞区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．D是BC上一点，且CD＝3BD．CE⊥AD于点F，交AB于点E．若AC＝6，BC＝8，则AE的长为　　 ． 【分析】作AH∥BC交CE的延长线于点H，则△AEH∽△BEC，由∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，求得∠CAH＝90°，AB10，因为CD＝3BD，所以3BD+BD＝8，求得BD＝2，则CD＝6＝AC，因为CE⊥AD于点F，所以∠ACF＝∠DCF＝45°，则∠H＝∠ACF＝45°，所以AH＝AC＝6，则，求得AEAB，于是得到问题的答案． 【解答】解：作AH∥BC交CE的延长线于点H， ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴∠CAH＝180°﹣∠ACB＝90°，AB10， ∵CD+BD＝BC＝8，CD＝3BD， ∴3BD+BD＝8， ∴BD＝2， ∴CD＝6＝AC， ∵CE⊥AD于点F，交AB于点E， ∴∠ACF＝∠DCF∠ACB＝45°， ∴∠H＝∠ACF＝45°， ∴AH＝AC＝6， ∵AH∥BC， ∴△AEH∽△BEC， ∴， ∴， ∴AEAB10， 故答案为：． 20．（2026•平房区一模）如图，大正方形ABCD的边长为6，小正方形CEFG的顶点E在BC的延长线上，点M为BC边上一动点，且BM＝CE，连接AM、MF，MF交CG于点P，过点A作AN⊥AM交CD的延长线于点N，连接NF．下列结论： ①∠MAD＝∠GPF； ②EF＝3PC； ③△ABM≌△NGF； ④点M在运动过程中，CP的最大值是． 正确的是　①③④　 ． 【答案】①③④． 【分析】根据条件推导△ABM≌△ADN，利用全等得出的结论再推导△ABM≌△NGF，推导出四边形AMFN是正方形．设BM＝t，推导③④是否成立． 【解答】解：∵正方形ABCD与正方形CEFG，BM＝CE，AN⊥AM， ∴∠BAM+∠DAM＝∠DAM+∠NAD＝90°，∠ADC＝∠B＝90°， ∴∠ADN＝∠B＝90°，∵AD＝AB， ∴△ABM≌△ADN（ASA）， ∴AM＝AN，∠AMB＝∠AND，BM＝DN， ∴DN＝CE＝CG＝EF，∴DN+DG＝DG+CG＝AB， ∵∠NGF＝∠CGF＝90°， ∴∠B＝∠NGF， ∴△ABM≌△NGF（SAS）， ∴AB＝NF，∠AMB＝∠NFG，∠BAM＝∠GNF， ∴∠FNG＝∠NAD， ∴∠FNG+∠AND＝90°， 同理可证△ABM≌△MEF，可以得出四边形AMFN是正方形， ∴MF∥AN，∠AND＝∠GPF， ∵∠NAD+∠MAD＝∠NAD+∠AND＝90°， ∴∠MAD＝∠AND， ∴∠MAD＝∠GPF， 故①③正确， 设BM＝a，得到MC＝6﹣a，CE＝EF＝a， ∴ME＝6，∵CP∥EF， ∴△MPC∽△MFE， ∴， ∴CP， ∴6CP＝EF（6﹣EF），EF＝3PC错误， 故②错误， ∵CP， ∴它是一个开口向下的抛物线，当a＝3时，CP有最大值，CP， 故④正确， 故答案为：①③④． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxx k com 题号猜押06江苏南京中考数学6 题) 押题预测 考点1最短路线问题（轴对称） 1.7-252.213-2 考点2最值问题（胡不利归） 1.622.3 ◆考点3最值直问题（隐形圆） 1.C2.3 3.13+1 考点4最值问题（三边之间关系） 1.2422.63.42-1 >考点5正方形综合 1.2W72.(5+1)a 考点6圆综合 1.2-2V6+2V22.13w10;y610 10 10 考点7多函数图像的结合 1.D 2.A 3.A 考点8路径长问题 1.晋2.B3.亚 考点9图形的变换 1.3.52.MW2=BMP+ND2 1/3 上好每一堂课 +16题（选填压轴 函学科网·上好课 考点10找规律 1.815 28 2 ◆考点11二次函数与系数 1.C 2.D 3.A 考点12几何与函数图像 1.A 1.C 2.B 3.B 4.B 5.C 6.A 7.D 8.C 9.C 10.A 11.B 12.WAJZ 13.3 49 15.48-243≤BC≤43 16.2-1 17.75:-2N2 1 www zxxk.com 上好每一堂课 通关特训 2/3 而学科网·上好课 19.9 20.①③④ www zxxk com 3/3 卷系一每并丁