精品解析：内蒙古赤峰第四中学2025-2026学年第二学期4月月考试题高一数学试题

赤峰第四中学2025-2026学年第二学期月考试题 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合是不大于的偶数，，则 =（      ） A. B. C. D. 2. 圆心角为，半径为1的扇形，则扇形面积为（      ） A. B. C. D. 3. 在下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角对应的边分别为，，则此三角形有（ ） A. 无解 B. 1个解 C. 2个解 D. 1或2个解 5. 若 则 A. B. C. D. 6. 在等腰梯形ABCD中，，M为BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别是，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知函数满足：对任意的，有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知 P，Q是单位圆O上不同的两点，且向量与的夹角为，则正确的有（ ） A. 为单位向量 B. 为单位向量 C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则该函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列关于函数的说法不正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 为奇函数 C. 在区间上单调递减 D. 的图象关于直线对称 11. 设 O为所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若满足，则 O 是 的垂心 B. 若满足，则 O 是 的外心 C. 若满足，则 P的轨迹过的内心 D. 若满足，则 P 是 的重心 三、填空题：本题共三小题，每小题5分，共15分，把答案写在答题卡中的横线上. 12. 复数 ，则 __________. 13. ___________． 14. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设 （1）求和； （2）若 ，求 的值； （3）求 的值. 16. 已知平面向量，满足，且与的夹角为120°. （1）求及； （2）若，求实数k的值； （3）求向量在方向上的投影向量的模长 . 17. 中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，外接圆半径． （1）求角A和a； （2）若，求的面积． 18. 如图，在正方形中，P，Q分别在上，且，设． （1）利用两角和（差）的正切公式证明：； （2）当正方形边长为2，时，求的面积． 19. 已知向量，，且函数． （1）求图象的对称轴方程； （2）若函数在区间上有两个零点和，求的值； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰第四中学2025-2026学年第二学期月考试题 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合是不大于的偶数，，则 =（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，集合是不大于8的偶数组成的集合,在集合中，元素是不大于8的偶数，元素是奇数，故. 2. 圆心角为，半径为1的扇形，则扇形面积为（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式求解即可. 【详解】圆心角为，半径为1的扇形， 扇形面积为 3. 在下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据偶函数的定义及简单幂函数的性质判断可得. 【详解】对于A，设，函数的定义域为，关于原点对称， 由可知函数是偶函数， 因，所以函数在区间内单调递减，故A不合题意； 对于B，因为函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C不合题意； 对于D，，函数的定义域为，关于原点对称， 由可知函数是偶函数， 又因为，所以函数在区间内单调递增，故D符合题意. 4. 在中，角对应的边分别为，，则此三角形有（ ） A. 无解 B. 1个解 C. 2个解 D. 1或2个解 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理即可判定三角形解的个数． 【详解】由正弦定理得，，即， 因为，所以， 所以，即， 所以角有2解（锐角或钝角）， 又，所以钝角解也符合构成三角形的条件， 所以此三角形有2解． 5. 若 则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】；所以 故选C 6. 在等腰梯形ABCD中，，M为BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 因为在等腰梯形ABCD中，，所以, 因为M为BC的中点，所以 , 故选:B. 7. 在中，角的对边分别是，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边化角和二倍角正弦公式化简，可得或，从而判断三角形的形状； 【详解】由正弦定理得，， 解得或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形， 故选：C. 8. 已知函数满足：对任意的，有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性的定义，可得在R上单调递增，根据解析式，结合单调性，分析求解，即可得答案. 【详解】因为对任意的，有， 所以在R上单调递增， 因为， 所以，解得， 则实数的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知 P，Q是单位圆O上不同的两点，且向量与的夹角为，则正确的有（ ） A. 为单位向量 B. 为单位向量 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】由已知得， 所以，故A错误； 由 ，故，故 B正确； 由，故C正确； 由已知得，故 D 正确. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则该函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列关于函数的说法不正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 为奇函数 C. 在区间上单调递减 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由五点作图法可得，再由平移变换得，再根据余弦函数的性质判断可得. 【详解】由图可得，且函数的最小正周期满足，即，则， 又因，则得，因，则可得， 所以， 又因函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象， 即. 所以的最小正周期为，故A错误； 又因为，函数的定义域为，且， 而与不能恒成立，即与不能恒相等，故不是奇函数，所以B错误； 当时，则，因在上无单调性，故C错误； 又因为， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 11. 设 O为所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若满足，则 O 是 的垂心 B. 若满足，则 O 是 的外心 C. 若满足，则 P的轨迹过的内心 D. 若满足，则 P 是 的重心 【答案】BC 【解析】 【详解】记边的中点为，则， 由，得，所以点在中线上，且， 所以是的重心，所以A错误； 若满足，则 O到 各顶点距离相等，所以O 是  的外心，所以B正确； 若满足，则， 即，所以点的轨迹为角的平分线，所以经过的内心，所以C正确； 由，得，所以， 同理可得，， 即 ，所以 P 是 的垂心，所以D错误. 三、填空题：本题共三小题，每小题5分，共15分，把答案写在答题卡中的横线上. 12. 复数 ，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数运算、复数共轭的定义及模的定义即可求值. 【详解】依题意， 所以，所以， 因此：. 13. ___________． 【答案】 【解析】 【详解】由于， 故． 14. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设点的坐标，用向量的坐标运算求解即可. 【详解】 由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分， 以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知，，， 由任意角的三角函数的定义，设，， 则，，， ∴， ∴ 令，，则， 当时，， ， ， ∴存在，使，即， ∴当时，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设 （1）求和； （2）若 ，求 的值； （3）求 的值. 【答案】（1）, （2） （3） 【解析】 【分析】(1)代值计算即可求解； (2)化简，即可求得 的值； (3)结合即可求解. 【小问1详解】 由于，则, 【小问2详解】 由题可得，, 所以 . 【小问3详解】 由(2)可得当时，  ， 设  , 则， 所以, 所以. 16. 已知平面向量，满足，且与的夹角为120°. （1）求及； （2）若，求实数k的值； （3）求向量在方向上的投影向量的模长 . 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义求，根据及数量积的运算律可求得； （2）根据，得，利用数量积的定义及其运算律求得； （3）先求出向量在方向上的投影向量，再根据模长的定义求得其模长 . 【小问1详解】 由题意得，. 所以， 所以. 【小问2详解】 若，则， 所以， 即，解得. 【小问3详解】 向量在方向上的投影向量为， 所以向量在方向上的投影向量的模长为. 17. 中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，外接圆半径． （1）求角A和a； （2）若，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换，求出A的大小，再根据正弦定理求出a的值即可； （2）利用正弦定理求出B的大小，进一步得到C的大小，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 中，已知， 由正弦定理可得， 因为，有，所以，解得， 又因为，所以， 由正弦定理得，则． 【小问2详解】 由正弦定理得，所以， 因为，所以，故，则， ． 18. 如图，在正方形中，P，Q分别在上，且，设． （1）利用两角和（差）的正切公式证明：； （2）当正方形边长为2，时，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和的正切公式及勾股定理即可证明； （2）由两角差的余弦公式求得，再由三角函数分别求得，根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 设正方形边长为，则， 所以， 又，， 由得，， 整理得， 所以，又是锐角， 所以，所以． 【小问2详解】 在中，， 因为，所以， 则， 在中，， 因为，所以， 所以． 19. 已知向量，，且函数． （1）求图象的对称轴方程； （2）若函数在区间上有两个零点和，求的值； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由和差角公式，二倍角公式，辅助角公式化简得函数解析式，由正弦函数的对称轴求得函数的对称轴； （2）由取值范围，求得范围，由正弦函数图象作出函数在区间上的大致图象，由对称性求得，即可求得结果； （3）通过取值范围，求得范围，设，即求得的取值范围，通过二次函数开口方向得到函数最大值点，根据题意建立不等式组，解得实数的取值范围即可． 【小问1详解】 ， 令，解得， 即图象的对称轴为直线． 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 作出函数在区间上的大致图象如下， 由函数在区间上有两个零点和， 得，则． 【小问3详解】 设，因为，则，， 即，对任意，不等式恒成立， 等价于：对任意，不等式恒成立， 令，其图象为开口向上的抛物线， 故其在区间上的最大值在端点处取得，所以要使在区间上恒成立， 只需，即，解得，即实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $