精品解析：内蒙古赤峰二中2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

赤峰二中2025级高一下学期第一次月考 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且向量与向量垂直，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个可能取值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题求的，全部选对的得6分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若非零向量，满足，则，，三点共线 C. 若，则向量与的夹角为钝角 D. 若向量，不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数对，，使 10. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 11. 如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为4 D. 若，则的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 已知向量，若，则______． 13. 在中，已知，点在线段上，且满足，则的长度为__________. 14. 若，函数恰有4个零点，则实数的取值范围是__________.（结果用区间表示） 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和的面积. 17. 已知向量，．设． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，，三角形ABC的面积为，求边a的长． （3）若，求的值． 18. 已知函数且为奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）解不等式； （3）求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 19. 《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，经测量，． （1）霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； （2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值； （3）霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线BD的长度平方成正比，比例系数为k，而总收益与成正比，比例系数为m（其中，）若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的BD长度，并写出此时的最大净收益表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰二中2025级高一下学期第一次月考 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求得. 【详解】,,所以. 2. 若实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于ABC，当时，满足，此时，，故A错误，B错误，C错误； 对于D，因为，故D正确. 3. 已知，且向量与向量垂直，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量垂直数量积为零建立方程解出即可. 【详解】因为， 所以， 又， 即，解得：. 4. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用余弦定理结合条件与三角函数值即可求解. 【详解】由余弦定理得. 因为，所以. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，， 因为函数在上单调递增， 则，则，则，则B正确. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个可能取值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平移后的函数解析式，进而根据函数性质求得，再依次讨论值即可. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度后， 对应的函数解析式为， 因为的图象关于轴对称， 则，即. 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的一个可能取值为. 7. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知， 则，解得， 在方向上的投影向量为：． 8. 已知，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， ，故， ． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题求的，全部选对的得6分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若非零向量，满足，则，，三点共线 C. 若，则向量与的夹角为钝角 D. 若向量，不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数对，，使 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，当时，满足，，但不一定得到，A错误； 对于B，由，得与为平行向量，又向量与有公共点，因此三点共线，B正确； 对于C，当两个非零向量与反向时，满足，C错误； 对于D，向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数对，使，D正确. 10. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，若，则， 根据正弦定理（是外接圆半径）， 可得， 所以，即，A正确； 对于B，由正弦定理， 代入得， 因为，且，（即）， 所以可以是锐角或钝角，两种情况均符合三角形内角和为， 所以有两解，B正确； 对于C，由余弦定理得，， 所以， 由基本不等式得，， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积，C正确； 对于D，若为钝角，则由余弦定理得，， 所以，即，D错误. 11. 如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为4 D. 若，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【详解】对A：因为为的中点，所以，故A正确； 对B：因为是边长为2的等边三角形，所以，，， 所以，故B错误； 对C：因为，所以的最大值为2，故C错误； 对D：因为，， 由， 所以. 又， 由，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上） 12. 已知向量，若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以有. 13. 在中，已知，点在线段上，且满足，则的长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】在中，由余弦定理可得，,从而可得，在中，由余弦定理求解即可. 【详解】如图所示： 由余弦定理可得 , 所以，又因为， 所以，在中，, 在中，由余弦定理可得：, 所以. 14. 若，函数恰有4个零点，则实数的取值范围是__________.（结果用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】由初等函数单调性得函数在上单调性，由零点存在性原理可知函数在上零点个数，从而可知函数在上零点个数，由取值范围得的范围，由余弦函数的性质得到的取值范围，从而求得答案. 【详解】函数在上单调递增，且， 所以，使得，函数在上只有1个零点， 要使函数恰有4个零点，则函数在上只有3个零点， 由，得， 则，解得. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． 【小问2详解】 设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和的面积. 【答案】（1） （2），面积 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 已知，由余弦定理得：， 所以， 化简可得：. 又，故 【小问2详解】 ， 由正弦定理，代入，，： 所以. 因为， 所以. 17. 已知向量，．设． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，，三角形ABC的面积为，求边a的长． （3）若，求的值． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标公式与和差倍角的三角函数公式计算并化简，然后根据正弦函数的单调性求出函数的单调增区间. （2）先根据已知条件求出，然后根据三角形面积公式求出，最后根据余弦定理求出. （3）先化简出，再根据余弦的二倍角公式即可求出. 【小问1详解】 因为，， 则， 令，，得，， 故函数的单调递增区间为，． 【小问2详解】 因为， 所以，又，则， 所以，则，又， ∵，所以， 由余弦定理可得：，故． 【小问3详解】 因为，所以， 所以． 18. 已知函数且为奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）解不等式； （3）求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解； （2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解； （3）根据条件，将问题转化成在上有两个不等根，令，利用二次函数根的分布建立方程组，即可求解. 【小问1详解】 因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，令，即，整理得到， 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根， 令，得到，又在区间上单调递增，所以， 则在上有两个不等根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，经测量，． （1）霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； （2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值； （3）霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线BD的长度平方成正比，比例系数为k，而总收益与成正比，比例系数为m（其中，）若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的BD长度，并写出此时的最大净收益表达式． 【答案】（1） 在△ABD中，由余弦定理得， 即. 在△BCD中，由余弦定理得， 即，所以， 即，所以无论BD多长，． （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理表示出，再化简即可. （2）根据三角形的面积公式以及（1）结论，利用二次函数的最值求解. （3）根据题意列出解析式，再根据（1）（2）问的结论化简，利用二次函数的最值求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 则， 由（1）知，，即，代入上式， 得， 配方得， 当时，取到最大值为． 【小问3详解】 设，净收益为y，则， 由（1）知，， 则. 由（2）知， 所以， 令，则， 所以， 即当时，净收益最大，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $