数学真题重组（全国二卷01）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

■■■■ 2026年高考真题重组卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][CD] 5[A][B][C][D] 2[A][B][CD] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C[D] 7[A[B][C][D] 謀 4[A][B][CD] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C[D] 10[AJ[B][C[D] 11 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 縈 12 射 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考真题重组卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）（2024.全国一卷）已知,则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．（2025.全国一卷）已知集合,,则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 3．（2024.全国二卷）已知向量满足,且,则（    ） A． B． C． D．1 4．（新情景）（2024.全国二卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900,950） [950,1000） [1000,1050） [1050,1100） [1100,1150） [1150,1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据,下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 5．（2025.全国二卷）在中,,,,则（   ） A． B． C． D． 6．（2025.全国二卷）设抛物线的焦点为点A在C上,过A作的准线的垂线,垂足为B．若直线BF的方程为,则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2024.全国一卷）当时,曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．（2024.全国二卷）设函数,若,则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025.全国一卷）在正三棱柱中,D为BC的中点,则（    ） A． B．平面 C． D．平面 10．（2025.全国二卷）已知是定义在R上的奇函数,且当时,,则（   ） A． B．当时, C．当且仅当 D．是的极大值点 11．（2025全国二卷）双曲线的左、右焦点分别为,左、右顶点分别为,以为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且,则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时,四边形的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024.全国甲卷）的展开式中,各项系数中的最大值为______． 13．（2025·全国二卷）一个底面半径为,高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为 ． 14．（创新题）（2025·北京高考）关于定义域为的函数,给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （2025.全国甲卷）记为数列的前项和,已知． (1)求的通项公式； (2)设,求数列的前项和． 16．（15分） （2024.全国一卷）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B,且的面积为9,求的方程． 17．（15分） （2025.全国一卷）如图,在四棱锥中,底面,． (1)证明：平面平面； (2)设,且点,,,均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 18．（17分） （2024·新课标二卷）某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分；若至少投中一次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立． (1)若,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设, （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛？ 19．（17分） （2024.全国一卷）已知函数 (1)若,且,求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当,求的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考真题重组卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．（热点）（2024.全国一卷）已知,则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．（2025.全国一卷）已知集合,,则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 3．（2024.全国二卷）已知向量满足,且,则（    ） A． B． C． D．1 4．（新情景）（2024.全国二卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900,950） [950,1000） [1000,1050） [1050,1100） [1100,1150） [1150,1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据,下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 5．（2025.全国二卷）在中,,,,则（   ） A． B． C． D． 6．（2025.全国二卷）设抛物线的焦点为点A在C上,过A作的准线的垂线,垂足为B．若直线BF的方程为,则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2024.全国一卷）当时,曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．（2024.全国二卷）设函数,若,则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分． 9．（2025.全国一卷）在正三棱柱中,D为BC的中点,则（    ） A． B．平面 C． D．平面 10．（2025.全国二卷）已知是定义在R上的奇函数,且当时,,则（   ） A． B．当时, C．当且仅当 D．是的极大值点 11．（2025全国二卷）双曲线的左、右焦点分别为,左、右顶点分别为,以为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且,则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时,四边形的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．（2024.全国甲卷）的展开式中,各项系数中的最大值为______． 13．（2025·全国二卷）一个底面半径为,高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为 ． 14．（创新题）（2025·北京高考）关于定义域为的函数,给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 ． 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） （2025.全国甲卷）记为数列的前项和,已知． (1)求的通项公式； (2)设,求数列的前项和． 16．（15分） （2024.全国一卷）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B,且的面积为9,求的方程． 17．（15分） （2025.全国一卷）如图,在四棱锥中,底面,． (1)证明：平面平面； (2)设,且点,,,均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 18．（17分） （2024·新课标二卷）某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分；若至少投中一次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立． (1)若,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设, （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛？ 19．（17分） （2024.全国一卷）已知函数 (1)若,且,求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当,求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考真题重组卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．（热点）（2024.全国一卷）已知,则（    ） A．0 B．1 C． D．2 1.【答案】C 【解析】若,则.故选C. 2．（2025.全国一卷）已知集合,,则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 2.【答案】C 【解析】因为,所以, 中的元素个数为,故选C． 3．（2024.全国二卷）已知向量满足,且,则（    ） A． B． C． D．1 3.【答案】B 【解析】因为,所以,即,又因为,所以,从而.故选B. 4．（新情景）（2024.全国二卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900,950） [950,1000） [1000,1050） [1050,1100） [1100,1150） [1150,1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据,下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 4.【答案】C 【解析】对于 A, 根据频数分布表可知, ,所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误；对于B,亩产量不低于的频数为,所以低于的稻田占比为,故B错误；对于C,稻田亩产量的极差最大为,最小为,故C正确； 对于D,由频数分布表可得,平均值为,故D错误.故选C. 5．（2025.全国二卷）在中,,,,则（   ） A． B． C． D． 5.【答案】A 【解析】由题意得,又,所以. 故选A. 6．（2025.全国二卷）设抛物线的焦点为点A在C上,过A作的准线的垂线,垂足为B．若直线BF的方程为,则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6.【答案】C 【解析】对,令,则,所以,即抛物线,故抛物线的准线方程为,故,则,代入抛物线得.所以.故选C. 7．（2024.全国一卷）当时,曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 7.【答案】C 【解析】因为函数的最小正周期为,函数的最小正周期为, 所以在上函数有三个周期的图象, 在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示： 由图可知,两函数图象有6个交点.故选C. 8．（2024.全国二卷）设函数,若,则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 8.【答案】D 【解析】由题意可知：的定义域为,令解得；令解得； 若,当时,可知,此时,不合题意；若,当时,可知,此时,不合题意；若,当时,可知,此时；当时,可知,此时； 可知若,符合题意；若,当时,可知,此时,不合题意；综上所述：,即,则,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为,故选D. 二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分． 9．（2025.全国一卷）在正三棱柱中,D为BC的中点,则（    ） A． B．平面 C． D．平面 9.【答案】BD 【解析】对于A,在正三棱柱中,平面, 又平面,则,则,因为是正三角形,为中点,则,则,又,所以,则不成立,故A错误； 对于B,因为在正三棱柱中,平面,又平面,则, 因为是正三角形,为中点,则,,又平面, 所以平面,故B正确；对于D,因为在正三棱柱中, 又平面平面,所以平面,故D正确；对于C,因为在正三棱柱中,,假设,则,这与矛盾, 所以不成立,故C错误；故选BD. 10．（2025.全国二卷）已知是定义在R上的奇函数,且当时,,则（   ） A． B．当时, C．当且仅当 D．是的极大值点 10.【答案】ABD 【解析】对A,因为定义在上奇函数,则,故A正确；对B,当时,,则,故B正确；对C,, 故C错误；对D,当时,,则, 令,解得或（舍去）,当时,,此时单调递增,当 时,,此时单调递减,则是极大值点,故D正确；故选ABD. 11．（2025全国二卷）双曲线的左、右焦点分别为,左、右顶点分别为,以为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且,则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时,四边形的面积为 11.【答案】ACD 【解析】不妨设渐近线为,在第一象限,在第三象限,对于A,由双曲线的对称性可得 为平行四边形,故,故A正确；对于B,因为在以为直径的圆上,故且,设,则,故,故,由A得,故即,故B错误； 对于C,因为,故,由B可知,故即,故离心率,故C正确；对于D,当时,由C可知,故,故,故四边形为,故D正确,故选ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．（2024.全国甲卷）的展开式中,各项系数中的最大值为______． 12.【答案】5 【解析】由题展开式通项公式为,且,设展开式中第项系数最大,则,,即,又,故,所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为. 13．（2025·全国二卷）一个底面半径为,高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为 ． 13.【答案】 【解析】圆柱的底面半径为,设铁球的半径为r,且,由圆柱与球的性质知,即 14．（创新题）（2025·北京高考）关于定义域为的函数,给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 ． 14.【答案】②③ 【解析】对于①,若存在在上的增函数,满足, 则,即,故时,,故,故即,矛盾,故①错误；对于②,取,该函数为上的减函数且,故该函数符合,故②正确；对于③,取,此时, 由可得有无穷多个,故③正确；对于④,若存在,使得, 令,则 ,但,矛盾,故满足的函数不存在,故④错误.故答案为②③. 四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） （2025.全国甲卷）记为数列的前项和,已知． (1)求的通项公式； (2)设,求数列的前项和． 15.解：（1）当时,,解得．（1分） 当时,,所以即, 而,故,故,（4分） ∴数列是以4为首项,为公比的等比数列, 所以.（6分） （2）,（7分） 所以 故,（9分） 所以 , .（6分） 16．（15分） （2024.全国一卷）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B,且的面积为9,求的方程． 16.解：（1）由题意得,解得,（3分） 所以.（5分） （2）,则直线的方程为,即, ,由（1）知, 设点到直线的距离为,则, 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可, 此时该平行线与椭圆的交点即为点, 设该平行线的方程为：, 则,解得或,（8分） 当时,联立,解得或, 即或,（10分） 当时,此时,直线的方程为,即, 当时,此时,直线的方程为,即, 当时,联立得, ,此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或.（15分） 17．（15分） （2025.全国一卷）如图,在四棱锥中,底面,． (1)证明：平面平面； (2)设,且点,,,均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 17.解：（1）由题意证明如下, 在四棱锥中,⊥平面,, 平面,平面, ∴,,（2分） ∵平面,平面,, ∴平面, ∵平面, ∴平面平面.（5分） （2）（i）由题意及（1）证明如下, 在四棱锥中,,,,∥, ,, 建立空间直角坐标系如下图所示, ∴,（7分） 若,,,在同一个球面上, 则, 在平面中, ∴, ∴线段中点坐标, 直线的斜率：, 直线的垂直平分线斜率：, ∴直线的方程：, 即, 当时,,解得：, ∴, 在立体几何中,, ∵ 解得：, ∴点在平面上. （10分） （ii）由题意,（1）（2）（ii）及图得,, 设直线与直线所成角为, ∴.（15分） 18．（17分） （2024·新课标二卷）某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分；若至少投中一次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立． (1)若,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设, （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛？ 18.解：（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次, 比赛成绩不少于5分的概率. （4分） （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为, 若乙先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为,（6分） , , ,应该由甲参加第一阶段比赛. （11分） (ii)若甲先参加第一阶段比赛,比赛成绩的所有可能取值为0,5,10,15, , , , , 记乙先参加第一阶段比赛,比赛成绩的所有可能取值为0,5,10,15, 同理,（14分） , 因为,则, 则, 应该由甲参加第一阶段比赛. （17分） 19．（17分） （2024.全国一卷）已知函数 (1)若,且,求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当,求的取值范围． 19.解：（1）时,,其中, 则,（1分） 因为,当且仅当时等号成立, 故,而成立,故即, 所以的最小值为.（5分） （2）的定义域为, 设为图象上任意一点, 关于的对称点为,（7分） 因为在图象上,故, 而, , 所以也在图象上,（10分） 由的任意性可得图象为中心对称图形,且对称中心为.（10分） （3）因为当且仅当,故为的一个解, 所以即,（11分） 先考虑时,恒成立. 此时即为在上恒成立, 设,则在上恒成立, 设, 则, 当,, 故恒成立,故在上单调递增, 故即在上恒成立. 当时,, 故恒成立,故在上单调递增, 故即在上恒成立. （13分） 当,则当时, 故在上单调递减,故,不合题意,舍； 综上,在上恒成立时. 而当时, 而时,由上述过程可得在递增,故的解为, 即的解为.综上,.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考真题重组卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B C A C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．5 13．2.5 14．②③ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：（1）当时,,解得．（1分） 当时,,所以即, 而,故,故,（4分） ∴数列是以4为首项,为公比的等比数列, 所以.（6分） （2）,（7分） 所以 故,（9分） 所以 , .（6分） 16．（15分） 解：（1）由题意得,解得,（3分） 所以.（5分） （2）,则直线的方程为,即, ,由（1）知, 设点到直线的距离为,则, 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可, 此时该平行线与椭圆的交点即为点, 设该平行线的方程为：, 则,解得或,（8分） 当时,联立,解得或, 即或,（10分） 当时,此时,直线的方程为,即, 当时,此时,直线的方程为,即, 当时,联立得, ,此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或.（15分） 17．（15分） 解：（1）由题意证明如下, 在四棱锥中,⊥平面,, 平面,平面, ∴,,（2分） ∵平面,平面,, ∴平面, ∵平面, ∴平面平面.（5分） （2）（i）由题意及（1）证明如下, 在四棱锥中,,,,∥, ,, 建立空间直角坐标系如下图所示, ∴,（7分） 若,,,在同一个球面上, 则, 在平面中, ∴, ∴线段中点坐标, 直线的斜率：, 直线的垂直平分线斜率：, ∴直线的方程：, 即, 当时,,解得：, ∴, 在立体几何中,, ∵ 解得：, ∴点在平面上. （10分） （ii）由题意,（1）（2）（ii）及图得,, 设直线与直线所成角为, ∴.（15分） 18． 解：（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次, 比赛成绩不少于5分的概率. （4分） （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为, 若乙先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为,（6分） , , ,应该由甲参加第一阶段比赛. （11分） (ii)若甲先参加第一阶段比赛,比赛成绩的所有可能取值为0,5,10,15, , , , , 记乙先参加第一阶段比赛,比赛成绩的所有可能取值为0,5,10,15, 同理,（14分） , 因为,则, 则, 应该由甲参加第一阶段比赛. （17分） 19．（17分） 解：（1）时,,其中, 则,（1分） 因为,当且仅当时等号成立, 故,而成立,故即, 所以的最小值为.（5分） （2）的定义域为, 设为图象上任意一点, 关于的对称点为,（7分） 因为在图象上,故, 而, , 所以也在图象上,（10分） 由的任意性可得图象为中心对称图形,且对称中心为.（10分） （3）因为当且仅当,故为的一个解, 所以即,（11分） 先考虑时,恒成立. 此时即为在上恒成立, 设,则在上恒成立, 设, 则, 当,, 故恒成立,故在上单调递增, 故即在上恒成立. 当时,, 故恒成立,故在上单调递增, 故即在上恒成立. （13分） 当,则当时, 故在上单调递减,故,不合题意,舍； 综上,在上恒成立时. 而当时, 而时,由上述过程可得在递增,故的解为, 即的解为.综上,.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考真题重组卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $