19.1 二次根式及其性质 讲义 2025--2026学年人教版八年级数学下册

人教版数学八年级下册19.1二次根式及其 性质讲义 一、知识点讲解 1.二次根式的定义 一般地，形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。 √称为二次根号（根指数2省略) a称为被开方数 核心前提：被开方数a必须是非负数(a≥0) ★双重非负性（必考） 被开方数非负：a≥0 二次根式的值非负：√a≥0 2.二次根式有意义的条件 被开方数≥0 单个根式：V公-3有意义→3≥0→×≥3 含分母：有意义→-2>0→×>2 多个根式：+1+2x有意义-{径+2≥01≤×≤2 3.二次根式的5大核心性质 性质1：双重非负性 Va≥0且a≥0(a≥0) 性质2：(a=aa≥0) 正向：(5同=5(6.8=0.8 逆向：非负数可写成算术平方根平方，如7=（⑦） 生ss-片已.8到 例：-4=-4=4V3-m=B-=π-3 性质4：积的算术平方根(a≥0，b≥0) ab=vab 例：V12=V4×3=V45=23 性质5：商的算术平方根(a≥0，b>0) 厚=得 例：层-是-号 4.最简二次根式（必须满足） 1.被开方数不含分母 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 例：V⑧（含4=22）→最简2y2 例：停（含分母）→最简 二、典型例题解析 题型1：判断二次根式&求有意义范围 例1下列式子哪些是二次根式？ ①5②N-4③V5④V2+1⑤(a<0) 解： ①是(3≥0) ②不是（-4<0) ③不是（三次根式） ④是(x2+1≥1>0) ⑤不是(a<0》 答案：①④ 例2当x取何值时， 在实数范围内有意义？ 解： {x+1≥ 0（陵开方数非负)八-2+0（分得不为0）→（低2 答案：×≥-1且×≠2 题型2：利用性质(Va=a计算 例3计算： (1)()2X-6.3353 解： aV7=7 2)(-0.3=(6.3=0.3 3)(53=52.(3=25×3=75 题型3：利用性质√孕=al化简 例4化简： 1w-可以1-)已趣<3，化简- 解： -6=-d=6 2V1-2=h-=反-1（国>1） 3区-3)=k-3=3-x(因k<3) 题型4：积与商的性质化简 例5化为最简二次根式： (1)V24(2λ48a6(a≥03λ 解： (1)V24=4×6=2V6 (2)V48a2b=V16a23b=4aV3b 倒-是渠-要 题型5：双重非负性综合应用 例6已知V公-2+y+4=0,求x、y的值 解： :x-2≥0，+4≥0，且和为0 +8 答案：x=2,y=-4 三、巩固练习题 -、选择题(10题)》 1.下列式子是二次根式的是() A5BV7CNX2 DNx-1x<1 2.若Vx一5有意义，则×的取值范围是() A.X>5B.x≥5C.X<5D.x≤5 3.计算（V3的结果是() A.169 B.13 C.V13D.±13 4.化简 V-9的结果是() A.-9B.9C.3D.-3 5.下列根式中，最简二次根式是() A.18B CN15DN4a2 6.若a-3=3-a,则a的取值范围是) A.a≥3B.a≤3C.a>3D.a<3 7.下列计算正确的是（) A.V2+V5=V5B8÷V2=4 C2×8=4D-4=-4 8.使代数式+3有意义的整数x有() A.3个B.4个C.5个D.无数个 9.已知y<0,化简Vx2y的结果为() AxVy B.-xVy Cx-y D.-xy 10.若yVa-4+b-1=0,且关于×的方程kx2++b=0 有实数根，则k的取值范围是() A.k≤4B.k≥4C.k≤4且k≠0D.k<4 二、填空题(8题) 11.当a时，3a-6是二次根式。 12.计算：（得=n-, 13.化简：54==。 14.若=5，则×=一。 15.若(（Wa=a,则a的取值范围是 16.最简二次根式V3m-1与3-4可以合并，则m= 9 17.已知2x5,化简-2+x-: 18.若Vx-2+V2-x=y+3,则y=。 三、解答题(6题) 19.当×取何值时，下列各式有意义？ (2+62-+3 20.计算： 1)(0.72以-35312-v27+v75 21.化简： 1N4ab(a≥0b≥0X2W3W-2(x<2) 2025 22.己知实数a、b满足|a-1+Vb+2=0,a+b的值。 23.己知x=V5+1,求代数式x2-2x+2的值。 24.先化简，再求值：V-4a+4+yVa2-6a+9,其中a=2.5。 四、参考答案 一、选择题 1.C2.B3.B4.B5.C 2.B7.C8.B9.B10.A 二、填空题 11.≥2 12.号；4- 13.36:号 14.±5 15.a≥0 16.2 17.3 18.-6 三、解答题 19.(1)×≥-3(2)x≥1且x≠3(3)全体实数 20.(1)0.7(2)45(3)4W3 21.2ab2} 3)2-x 22.解：a=1,b=-2,（1-2}2025=-1 23.解：原式=x-1+1=(3+1=4 24.解：原式=|a-2|+|a-3|=0.5+0.5=1