19.1 二次根式及其性质 讲义 2025-2026学年人教版 数学八年级下册

19.1 二次根式及其性质 1．了解二次根式的概念，发展抽象能力． 2．理解二次根式中被开方数的非负性，会求使形如a的式子有意义时字母的取值范围． 3．理解二次根式的性质，会运用二次根式的性质化简二次根式，提升运算能力． 4．知道二次根式也是代数式，会用含有根号的式子表示具体问题中的数量和数量关系． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 01 02 新知探究 知识梳理1 二次根式 2 知识梳理2 形如的式子有无意义的条件 3 知识梳理3 二次根式非负性的应用 4 知识梳理4 利用二次根式的性质化简 5 知识梳理1 二次根式 一般地，我们把形如（）的式子叫作二次根式．二次根式也是代数式． 说明： （1）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （2）式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． （3）判断二次根式时，是对式子本身进行判断，而不是对计算后的结果判断． 【例1】　（2025秋•邓州市期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【例2】　（2025秋•甘谷县期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【例3】　（2025春•思明区校级期中）下列各式中是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【例4】　（2025秋•冷水滩区校级期中）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 知识梳理2 形如的式子有无意义的条件 类型 条件 字母表示 有意义 被开方数（式）为非负数 有意义a≥0 无意义 被开方数（式）为负数 无意义a<0 【例5】　（2025秋•晋江市期末）要使有意义，则x的值可以是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3 【例6】　（2025秋•郴州期末）若代数式有意义，则a的取值范围是（　　） A．a≥0 B．a≥3 C．a≥﹣3 D．a≤3 【例7】　（2025秋•高平市期末）要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x＝1 D．全体实数 【例8】　（2025秋•夏津县期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．x≥0且x≠7 B．x＞0且x≠7 C．x＜7且x≠0 D．x≤7且x≠0 知识梳理3 二次根式非负性的应用 （1）； （2）； （3）． 说明：中的可以是任意实数，但计算结果不一定是． （计算结果依据的符号而定）． 【例9】　（2025秋•娄星区期末）化简的结果是（　　） A．﹣6 B．6 C．±6 D． 【例10】　（2025秋•宝山区校级期末）若，则xy的值为　 　 ． 【例11】　（2025秋•锦江区校级期末）已知，则a+b＝　 　 ． 【例12】　（2025秋•临淄区期末）已知，则a2026﹣b2026的值是　 　 ． 知识梳理4 利用二次根式的性质化简 1．结合数轴进行化简 由“形”到“数”的转化步骤 （1）观察数轴，确定表示数的点的位置及各点到原点的距离． （2）确定字母的值与0之间的大小关系． （3）确定代数式的符号． （4）化简． 2．结合三角形三边关系进行化简 三角形的两边之和大于第三边． 【例13】　（2025秋•石家庄校级期末）已知1≤x≤3，则化简后的结果是（　　） A．2 B．4﹣2x C．﹣2 D．2x﹣4 【例14】　（2025秋•桥东区期末）若，则a的值可以是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【例15】　（2025秋•嘉峪关校级期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 【例16】　（2025秋•广安区校级期末）当2＜x＜3时，化简：　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1 二次根式及其性质 1．了解二次根式的概念，发展抽象能力． 2．理解二次根式中被开方数的非负性，会求使形如a的式子有意义时字母的取值范围． 3．理解二次根式的性质，会运用二次根式的性质化简二次根式，提升运算能力． 4．知道二次根式也是代数式，会用含有根号的式子表示具体问题中的数量和数量关系． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 01 02 新知探究 知识梳理1 二次根式 2 知识梳理2 形如的式子有无意义的条件 4 知识梳理3 二次根式非负性的应用 5 知识梳理4 利用二次根式的性质化简 7 知识梳理1 二次根式 一般地，我们把形如（）的式子叫作二次根式．二次根式也是代数式． 说明： （1）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子． （2）式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性． （3）判断二次根式时，是对式子本身进行判断，而不是对计算后的结果判断． 【例1】　（2025秋•邓州市期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义逐项分析即可． 【解答】解：A．当a＜0时，不是二次根式； B．∵﹣2＜0，∴不是二次根式； C．是二次根式； D．的根指数是3，不是二次根式； 故选：C． 【例2】　（2025秋•甘谷县期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】形如的式子叫二次根式，根据定义逐项分析即可． 【解答】解：根据二次根式定义逐项分析判断如下： A．∵﹣2＜0， ∴不是二次根式，故此选项不符合题意； B．∵的根指数是3， ∴不是二次根式，故此选项不符合题意； C．∵5＞0， ∴是二次根式，故此选项符合题意； D．当a+1＜0即a＜﹣1时，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【例3】　（2025春•思明区校级期中）下列各式中是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用二次根式的定义进行逐一辨别、求解． 【解答】解：由题意得， 是二次根式， ，不是二次根式，不一定是二次根式， 故选：A． 【例4】　（2025秋•冷水滩区校级期中）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方数必须非负逐一分析各选项即可求解． 【解答】解：A、选项式子的被开方数为﹣3＜0，不符合题意； B、选项式子的根指数为3，是三次根式，不是二次根式，不符合题意； C、选项式子中a2+2≥2＞0，恒成立，一定是二次根式，符合题意； D、当|a|＜3时，a2﹣9＜0，被开方数为负，不是二次根式，不符合题意． 故选：C． 知识梳理2 形如的式子有无意义的条件 类型 条件 字母表示 有意义 被开方数（式）为非负数 有意义a≥0 无意义 被开方数（式）为负数 无意义a<0 【例5】　（2025秋•晋江市期末）要使有意义，则x的值可以是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可． 【解答】解：由题意得：x﹣2≥0， 解得：x≥2， 则x的值可以是3， 故选：D． 【例6】　（2025秋•郴州期末）若代数式有意义，则a的取值范围是（　　） A．a≥0 B．a≥3 C．a≥﹣3 D．a≤3 【答案】B 【分析】根据被开方数是非负数列式求解即可． 【解答】解：根据题意可知，2a﹣6≥0， ∴2a≥6， 解得：a≥3． 故选：B． 【例7】　（2025秋•高平市期末）要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x＝1 D．全体实数 【答案】C 【分析】需根据被开方数为非负数列出不等式组，求解不等式组的公共解即可得到x的取值范围． 【解答】解：∵有意义， ∴， 解得x＝1． 故选：C． 【例8】　（2025秋•夏津县期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．x≥0且x≠7 B．x＞0且x≠7 C．x＜7且x≠0 D．x≤7且x≠0 【答案】A 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，计算即可． 【解答】解：由题意得：x≥0且7﹣x≠0， 解得：x≥0且x≠7， 故选：A． 知识梳理3 二次根式非负性的应用 （1）； （2）； （3）． 说明：中的可以是任意实数，但计算结果不一定是． （计算结果依据的符号而定）． 【例9】　（2025秋•娄星区期末）化简的结果是（　　） A．﹣6 B．6 C．±6 D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义，，结果应为非负数． 【解答】解：根据算术平方根的定义可知： ， 故选：B． 【例10】　（2025秋•宝山区校级期末）若，则xy的值为　81　 ． 【答案】81． 【分析】根据二次根式有意义求出x的值，即可求出y的值，再计算即可． 【解答】解：∵， ∴， 解得x＝3， ∴y＝4， ∴xy＝34＝81， 故答案为：81． 【例11】　（2025秋•锦江区校级期末）已知，则a+b＝　6　 ． 【答案】6． 【分析】根据二次根式有意义的条件求出a的值，即可求出b的值，再计算即可． 【解答】解：根据题意得， 解得a＝1， ∴b＝5， ∴a+b＝1+5＝6， 故答案为：6． 【例12】　（2025秋•临淄区期末）已知，则a2026﹣b2026的值是　0　 ． 【答案】0． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组求出a，进而求出b，再根据有理数的乘方计算即可． 【解答】解：由题意得：a﹣1≥0，1﹣a≥0， 则a＝1， ∴b＝﹣1， ∴a2026﹣b2026＝12026﹣（﹣1）2026＝0， 故答案为：0． 知识梳理4 利用二次根式的性质化简 1．结合数轴进行化简 由“形”到“数”的转化步骤 （1）观察数轴，确定表示数的点的位置及各点到原点的距离． （2）确定字母的值与0之间的大小关系． （3）确定代数式的符号． （4）化简． 2．结合三角形三边关系进行化简 三角形的两边之和大于第三边． 【例13】　（2025秋•石家庄校级期末）已知1≤x≤3，则化简后的结果是（　　） A．2 B．4﹣2x C．﹣2 D．2x﹣4 【答案】A 【分析】由已知可得1﹣x≤0，3﹣x≥0，再根据二次根式的性质化简即可求解． 【解答】解：∵1≤x≤3， ∴1﹣x≤0，3﹣x≥0， ∴原式＝x﹣1+3﹣x＝2． 故选：A． 【例14】　（2025秋•桥东区期末）若，则a的值可以是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】二次根式的性质有：，据此列不等式求解即可． 【解答】解：∵， ∴a﹣1≤0， ∴a≤1， ∴若，则a的值可以是1． 故选：D． 【例15】　（2025秋•嘉峪关校级期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】﹣a． 【分析】利用数轴得到c＜a＜0＜b，再利用算术平方根的性质进行化简，然后去括号，合并同类项进行计算． 【解答】解：由数轴得：c＜a＜0＜b，则a﹣b＜0，b﹣c＞0， ∴ ＝|a﹣b|﹣（b﹣c）+|c| ＝﹣a+b﹣b+c﹣c ＝﹣a． 【例16】　（2025秋•广安区校级期末）当2＜x＜3时，化简：　1　 ． 【答案】1． 【分析】先根据x的取值范围判断x﹣3，x﹣2的正负性，再利用二次根式的性质化为绝对值，去掉绝对值符号后合并同类项即可． 【解答】解：∵2＜x＜3， ∴x﹣3＜0，x﹣2＞0， ∴原式＝|x﹣3|+|x﹣2|＝3﹣x+x﹣2＝1． 故答案为：1． 学科网（北京）股份有限公司 $