第8章 立体几何初步 习题课(2)-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课时卷

即点B到平面ADB,的距离为号 【能力提升】 1.BD[解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可 以平行于另一个平面，故A错误；由平面与平面垂直的判定可 知B正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或 者异面，故C错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们 的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故D正确.故选BD.】 2.BC[解析：如图所示，因为BC∥ AD,AD与DF相交，不垂直，所以BC 与DF不垂直，则A错误；设点D在平 面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF 时，有BD⊥FC,而AD:BC:AB= 2:3:4,可使条件满足，所以B正确；B 当点P落在BF上时，DPC平面BDF,从而平面BDF⊥平面 BFC,所以C正确：因为点D的投影不可能在FC上，所以D错 误.故选BC.】 3.B[解析：取BD的中点O,连接A'O,OC,:A'B=A'D, .A'O⊥BD.又平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面 BCD=BD,.A'O⊥平面BCD,.A'O⊥BD.,CD⊥BD,.OC 不垂直于BD.假设A'C⊥BD,又A'C∩A'O=A',.BD⊥平面 A'OC,BD⊥OC,与OC不垂直于BD矛盾，∴A'C不垂直于 BD,A错误；'CD⊥BD,平面A'BD⊥平面BCD,∴.CD⊥平面 A'BD,∴.CD⊥A'D,A'C=√2.A'B=1,BC= √BD+CD=√3，∴.A'B2+A'C2=BC,A'B⊥A'C,B正确； ∠CA'D为直线CA'与平面A'BD所成的角，易知∠CA'D= 45,C错误V-m=号Sm·CD=合，D错误放选B】 4.ABC[解析：选项A中，连接AC,取AC的中点O,BE的中 点M,连接MO,MR,MO∥DE且MO=合DE,面AF∥DE且 AF=合DE,所以AF∥MO且AF=MO,所以四边形AOMF是 平行四边形，所以AC∥FM.而AC寸平面BEF,FMC平面 BEF,所以AC∥平面BEF,所以A正确；选项B中，设B,C,E, F四点共面，因为BC∥AD,BC寸平面ADEF,ADC平面 ADEF,所以BC∥平面ADEF,而BCC平面BCEF,平面 BCEF∩平面ADEF=EF,所以BC∥EF,所以AD∥EF,这与 已知相矛盾，故B,C,E,F四点不可能共面，所以B正确；选项C 中，连接CF,DF,在梯形ADEF中，易得EF⊥FD.又EF⊥CF, FD,CFC平面CDF,FD∩CF=F,所以EF⊥平面CDF.而 CDC平面CDF,所以CD⊥EF.而CD⊥AD,EF,ADC平面 ADEF,且EF与AD必有交点，所以CD⊥平面ADEF.因为 CDC平面ABCD,所以平面ADEF⊥平面ABCD,所以C正确； 选项D中，延长AF至G,使得AF=FG,连接BG,EG,AD⊥ AF,AD⊥AB,AF,ABC平面ABF,AF∩AB=A,所以AD⊥平 面ABF,而BC∥AD,所以BC⊥平面ABF.因为BCC平面 BCE,所以平面BCE⊥平面ABF,过F作FN⊥BG于N,FNC 平面ABF,平面BCE∩平面ABF=BG,所以FN⊥平面BCE. 若平面BCE⊥平面BEF,则过F作直线与平面BCE垂直，其垂 足在BE上，故前后矛盾，所以D错误.故选ABC.】 5.13[解析：取AB的中点E,连接PE,EC.因为∠ACB=90° AC=8,BC=6,所以CE=5.因为PA=PB=13,E是AB的中 点，所以PE⊥AB,PE=12.因为平面PAB⊥平面ABC,平面 98无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 P PAB∩平面ABC=AB,PEC平面PAB,所 以PE⊥平面ABC.因为CEC平面ABC,所 以PE⊥CE.在Rt△PEC中，PC= /PE+CE=13.】 6.2[解析：取AB的中点E,连接DE, CE.因为△ADB是等边三角形，所以 DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC=AB,且 DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,故 DE⊥CE.由已知可得DE=√3，EC=1. B 在Rt△DEC中，CD=√DE2+CE2=2.] 7.解：平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：假设平面 EBD垂直于平面ABCD,过E作EO⊥BD于O,连接AO,CO. ,'EOC平面EBD,EO⊥BD,平面EBD∩平面ABCD=BD, .EO⊥平面ABCD.又.PA⊥平面ABCD,.EO∥PA..A, O,C是PC上三点P,E,C在平面ABCD上的投影，.P,E,C 三点的投影均在直线AC上，.A,O,C三点共线.又'E是PC 的中点，.O是AC的中点.又'AB∥CD,∴.△ABO∽△CDO ,AO=OC,AB=CD,这与CD=2AB矛盾，∴.假设不成立. 故平面EBD不能垂直于平面ABCD. 8.(1)证明：在三棱锥P一ABC中，BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩ PA=A,所以BC⊥平面PAB.因为ADC平面PAB,所以BC⊥ AD.又因为AD⊥PB,PB∩BC=B,所以AD⊥平面PBC.又因 为PCC平面PBC,所以PC⊥AD.因为AE⊥PC且AE∩AD= A,所以PC⊥平面ADE.因为PCC平面PAC,所以平面ADE⊥ 平面PAC. (2)解：作图（如图所示）.在平面PBCP 中，记DE∩BC=F,连接AF,则AF为 所求的1.证明如下：因为PC⊥平面 AED,lC平面ADE,所以PC⊥L.因为 PA⊥平面ABC,IC平面ABC,所以A B PA⊥L.又PA∩PC=P,所以I⊥平面 PAC.又AEC平面PAC且AC二平面PAC,所以AE⊥I,AC⊥ l,所以∠EAC就是二面角E一l一C的一个平面角. 习题课(2) 【基础过关】 1.C[解析：过点P分别作BD,AB的平行线，这两条直线都符 合题意.故选C.】 2.C[解析：在△ACD中，，G,F分别为AD,CD的中点， ∴.GF∥AC.而GFC平面EFG,AC寸平面EFG,∴.AC∥平面 EFG.同理，BD∥平面EFG.故选C.】 3.C[解析：如图所示，由题设知， D C A1B1⊥平面BCC1B1,从而A1B1⊥ BC.又BC⊥BC,且A1B,∩BC= B1,所以BC1⊥平面A1B1CD.又AEC 平面AB,CD,所以AE⊥BC.故 E D 选C.】 4.ABC[解析：因为m∥a,m∥3，a∩ B 3=l,所以m∥L.又AB∥L,所以AB∥m,故A正确；因为AC⊥ l,m∥l,所以AC⊥m,故B正确；因为A∈a,AB∥l,lCa,所以 B∈a,AB￠B,lCB,所以AB∥3，故C正确；因为AC⊥l,当点C 在a内时，AC⊥3成立，当点C不在a内时，AC⊥3不成立，故D A,=3,所以an∠EFH-器-，所以∠BFH=60.放ER 不正确.故选ABC.] 5.①②[解析：由面面平行的判定可知①正确：由线面平行的 与平面ABC所成的角为60° 判定可知②正确；显然，③错误.] 3.证明：(1)：AD∥BC,BCC平面PBC,AD中平面PBC, ∴.AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC=MN,∴.AD∥ 6.36π[解析：.PA=4,PC=2,AC=2√5，B ∴.在△PAC中，PA2+PC=20=AC,可得 MN.又，AD∥BC,∴.MN∥BC.又，N为PB的中点，∴.M为 AP⊥PC.又，PB⊥平面PAC,PA,PCC平 PC的中点，MN=子BC.:E为AD的中点，DE= 面PAC,.PB⊥PA,PA⊥PC.以PA,PB, PC为长、宽、高，作长方体如图所示，则该长 AD=号BC=MN.又：DELMN,∴四边形DENM为平行 方体的外接球就是四面体P一ABC的外接球.，长方体的体对 四边形，∴.EN∥DM.又'EN吐平面PDC,DMC平面PDC, 角线长为√42+4+2严=6，∴长方体外接球的直径2R=6,得 .EN∥平面PDC. R=3,因此，四面体P一ABC的外接球的体积为V (2),四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，E为 号R-36】 AD的中点，∴.BE⊥AD.又PE⊥AD,PE∩BE=E,PE,BEC 平面PEB,∴.AD⊥平面PEB.'AD∥BC,BC⊥平面PEB. 7.2√390°[解析：如图所示，分别 (3)由(2)知AD⊥PB.又，PA=AB,且N为PB的中点， 作QA⊥a于点A,AC⊥I于点C,PB⊥3 ∴.AN⊥PB..'AD∩AN=A,AD,ANC平面ADMN,∴.PB⊥ 于点B,PD⊥L于点D,连接CQ,BD,则 平面ADMN.又，PBC平面PBC,.平面PBC⊥平面ADMN. ∠ACQ=∠PDB=60°，AQ=2√3， 4.(1)证明：如图所示，连接BD,四边 BP=√3，∴.AC=PD=2.又PQ= 形ABCD是正方形，.AC⊥BD.四 棱柱ABCD一A1B1CD1是直棱柱，A B √AQ+AP=√/12+AP>2√3，当 ∴.B1B⊥平面ABCD.,ACC平面AB 且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值，此时，PQ⊥平 CD,.B1B⊥AC.,BD∩B1B=B,BD, 面a,故PQ与平面a所成的角为90°.] BBC平面BBDD,.AC⊥平面 D 【能力提升】 B1BDD1.DEC平面BBDD, 1.(1)证明：：底面ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，.BC∥ ∴.AC⊥D1E. AD.又ADC平面PAD,BC在平面PAD,∴.BC∥平面PAD. (2)解：如图，取AD的中点M,连接 (2)解：VB-AD,E=VE-ABD,EB⊥平面ABCD, D PM,CM,由AB=BC=AD及 VE-44B=子5A马B·EB.:S=合AB· BC∥AD,∠ABC=90°，得四边形 AD,=1,V-A=号EB,=号EB,=2.AD/AD, ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为 D ∴∠ADE为异面直线AD,DE所成的角或其补角.在 侧面PAD为等边三角形且垂直于底 B c Rt△EB,D1中，求得ED=2√2.D1A1⊥平面AABB, 面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PMC平面PAD,所 AEC平面A1ABB1,∴.D1A1⊥A,E.在Rt△EA1D1中，得 以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.因为CMC底面ABCD,所以 PM⊥CM.设BC=x,则CM=x,CD=√2x,PM=√3x,PC= m∠AaE品-宁∠ADE=0,六异面直线A0 PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,所以PN= D1E所成的角为60°. ，因为△PCD的面积为2，所以号×，z×平x 5.(1)证明：如图所示，连接DE, D 2 2 D1E..AB∥CD,AB=2CD,E是 2W7,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4, A AB的中点，∴.BE∥CD,BE=CD, PM=2反.所以四棱锥P-ABCD的体积V=言×22× 四边形BCDE是平行四边形， 2 .DE∥BC.又DE中平面 H 2√3=4√3. BCCB,BCC平面BCCB,.DE∥平面BCCB1.DD1∥ 2.(1)证明：如图所示，取AB的中点D,连A1 CC,DD中平面BCCB,,CC1C平面BCC1B1,.DD∥平面 接DE,BD.因为E是A1C的中点，所以 BCCB.又DD∩DE=D,DE,DDC平面DED1,.平面 DE=BC.又因为BC L B.C,BF= DED1∥平面BCCB1.:EFC平面DED,∴EF∥平 面BCC1B1. 号BC所以DELBF,所以四边形BDEF为 A (2)解：如图所示，连接BD.设CD=1,则AB=BC=CC=2. 平行四边形，则BD∥EF.又因为BDC平面 :∠BCD=60°，.BD=V√BC+CD-2BC·CD·cos60= AA1B1B,EF平面AA1B1B,所以EF∥平面AA1B1B. √3，∴.CD2+BD=BC,∴.BD⊥CD.同理可得，CD⊥CD..平 (2)解：如图所示，取AC的中点H,连接HF,EH.因为EH∥ 面DCCD⊥平面ABCD,平面DC1CD∩平面ABCD=CD, AA1,AA1⊥平面ABC,所以EH⊥平面ABC,所以∠EFH就是 C1DC平面D1C1CD,∴.C1D⊥平面ABCD.,BCC平面AB EF与平面ABC所成的角.在Rt△EHF中，FH=√3，EH= CD,.CD⊥BC,.CD⊥BC1.在平面ABCD中，过 点D作DH⊥BC,垂足为H,连接CH,如图所示.，'CD∩ DH=D,∴.BC⊥平面C1DH.,C1HC平面CDH,.BC⊥ C1H,∴.BC⊥C1H,∴.∠DCH为平面BCC1B1与平面DCB 所成的角.，在Rt△CCD中，C1D=√3，在Rt△BCD中，DH= CD·sin60°在R△CDH中，CH=CD+DΠ 9a∠GH-器-华，：平面B0C岛与平面 CH DCA所成的角（锐角）的余弦值为5 6.(1)证明：如图所示，设A'B'的中点为E,连接EM,EN.:点 M,N分别为A'B和B'C'的中点，∴NE∥A'C',ME∥AA'. 又A'C'C平面ACCA',AA'C平面ACCA',NE丈平面ACC A',ME丈平面ACCA',∴NE∥平面ACCA',ME∥平面 ACCA'.:NEOME=E,NEC平面EMN,MEC平面EMN, ∴.平面EMN∥平面ACCA'.:MNC平面EMN,.MN∥平 面ACCA'. (2)解：如图所示，连接BN,设AA'=a, E AB=AA'=Aa,由题意知，BC=V2Aa,B BN=CN=√CC2+CN √a+2a.:三棱柱ABC-AB'C 侧棱垂直于底面，∴.平面A'B'C'⊥平面 B BB'CC.,AB=AC,∠BAC=90°，点N为B'C的中点， ∴.A'N⊥BC.又平面A'B'C'∩平面BBCC=BC',A'NC平 面A'B'C',∴A'N⊥平面BBC'C.又CNC平面BBC'C. .CN⊥A'N.要使CN⊥平面A'MN,只需CN⊥BN即可， ∴CNe+BN=BC,即2(a2+号a2）=2xa,∴X=E,则当 λ=√2时，CN⊥平面A'MN, 第九章统计 9.1随机抽样 9.1.1简单随机抽样 【基础过关】 1.B[解析：由于总体容量相对较大，样本容量较小，故采用随 机数法较为合适.故选B.】 2.D【解析：A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总 体中的个体数有限不相符，故错误；B中，一次性轴取不符合简 单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C中，50名战士是最优秀 的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误.故选D.] 3.C【解析：了=2+4+5+7+9=5.4.故选C.】 4.200【解析：由题意可知，400十320+280-0.2，解得n=20.】 5.12.84【解析：=12X12+13X34+14X4=12.84(cm.】 50 【能力提升】 1.C【解析：设参加游戏的小孩有x人，则空-”x=织故 选C.] 2.C【解析=32X2+34X4+38×20+40×20+42X26+ 100 43×10+45×8+46×6十48×4=41.1（岁），即这100位老师的 100 样本的平均年龄为41.1岁.故选C.】 3.乙120[解析：由抽样调查的意义可以知道，增加样本量可 以提高估计效果，所以乙班同学的调查结果能更好地反映总体， 由表可知，该项指标约为120.] 4.【解析：因为简单随机轴样时每个个体被抽到的可 能性为-令，所以某一特定小球被抽到的可能性是分，因为 此抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球被抽到的可 能性均为合：第二次抽取时，剩余5个小球中每个小球被抽到的 可能性均为方；第三次抽取时，剩余4个小球中每个小球被抽到 的可能性均为子】 5.解：1))=18X2+19X4+20×4+21×6+22×12+ 50 23×10+24×8+25×2+26×2=22.12(m). 50 3x,0x≤21， (2)设月用水量为xm,则水费为f(x)= 当 4.5x-31.5,x>21, x=28时，f(28)=4.5×28-31.5=94.5(元). (3)不合理.从时间上看，物价部门是在8月份调查居民月用水 量的，而这个月，该市的居民月用水量普遍偏高，不能代表居民 全年的月用水量，从居民比例上看，仅仅有16户居民，即32% 的居民月用水量没有超过21m3,加重了大部分居民的负担. 9.1.2分层随机抽样 【基础过关】 20 1B【解析：由已知可得轴样比为0+100十20=宁抽 取植物油类与果蔬类食品种数之和为(10+20)×号=6，放 选B.] 360 2.A【解析：由题意可知90×360+270+180=40.故选A.】 n 90 3.B【解析：先求抽样比，及=3600十5400+180=20，在 各层按抽样比分别抽取，甲校抽取360X0-30(人)，乙校抽 取540×高0=45（人），丙校抽取1800×品0=15（人）.故 选B.J 4.60【解析：根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为 4 4+5+5+6×300=60.】 5.解：第一步，确定抽样比，因为100+60+40=200，所以 器 1 第二步，确定各层抽取的样本数，一级品：100×0=10（个），二 级品：60x0-6(个)，三级品：40x0=4个) 第三步：采用简单随机抽样的方法，从各层中分别抽取样本. 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本. 【能力提升】 1.C【解析：由题意，全校参加跑步的人数占总人数的子，高三 年级参加宽步的总人数为子×200×品=450，由分层轴样的 频率是d=高-0.08，颜率和e=1.0, 特征，得高三年级参加跑步的学生中应抽取200 200 ×450= (2)根据频率分布表作出频率分布直方图，如图所示. 频率/组距 45(人).故选C.】 2.B[解析：由于总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层 0.04 随机抽样抽取，A正确；因为总体量较大，故不宜采用抽签法，所 以B错误；设三种型号的轿车依次抽取x辆、y辆、之辆，则有 0.03 x=6, J1200一60002000'解得y=30,所以三种型号的轿车依 0.02 (x+y+z=46, z=10. 0.01 次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确：由分层随机抽样的意义可 0 知D也正确.故选B.】 60.570.580.590.5100.5成绩/分 3.1800[解析：分层随机抽样中各层的抽样比相同.样本中甲 【能力提升】 设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件.在 1.A[解析：由题图可知身高大于或等于98cm且小于104cm 4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5：3，所以乙设 的儿童的频率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75，抽查的120 备生产的产品总数为1800件.] 名儿童中有120×0.75=90（名）儿童的身高大于或等于98cm 4.(1)90,70 [解析：由题意可得高一年级抽取的样本量为 且小于104cm.故选A.] 450 350 450+350×160=90,高二年级抽取的样本量为450+350× 2+3+4 2.D【解析：n·2+3千4千0千4十-27，心n=60.故选D.】 160=70.] 3.40[解析：月收入在[1500,2000)的频率为1一(0.0002+ (2)84.375[解析：高一和高二年级数学竞赛的平均分为0= 0.0005×2+0.0003+0.0001)×500=0.2,故应抽取200× 90 70 90+70×80+90十70X90=84.375(分).】 0.2=40(人).】 4.37770【解析：根据统计图，得高一人数为3000×32%= 5.解：(1)设登山组人数为x,游泳组中，青年人、中年人、老年人 所占比例分别为a,b,c,则有·406+3b=47.5%, 960,捐款960×15=14400（元）；高二人数为3000×33%= Ax 990,捐款990×13=12870（元）；高三人数为3000×35%= 10%+3xc=10%.解得b=50%,c=10%.故a=1-50%- 1050,捐款1050×10=10500（元）.所以该校学生 共捐款14400+12870+10500=37770（元）.] 10%=40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占的比例分 别为40%，50%，10%. 5解：1)依题意知第三组的颜率为2牛3十十4中行=卡又 (2)游泳组中，抽取的青年人为200×子×40%=60（人）：抽取 ·第三组频数为12，本次活动参加评比的作品数为2 1 的中年人为200××50%=75（人）：抽取的老年人为20× 6 60(件). 是×10%=16人0. (2)由频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数最多，共 6 9.2用样本估计总体 有60×2+3+4十6+4+=18（件）. 9.2.1总体取值规律的估计 (3)第四组获奖率是吕-号，第六组上交的作品数为60× 【基础过关】 2+3+4千6十4十=3（件），…第六组的获奖率为号，显然第六 1 .2 1.A[解析：x=100-(10+13+14+15+13+12+9)=100 组的获奖率较高。 86=14,第三组的频率为总=0.14.故选A.】 9.2.2总体百分位数的估计 2.C[解析：因为小长方形的面积即为对应的频率，所以时速 在[50,60)内的频率为0.3，所以有200×0.3=60（辆）.故选C.] 【基础过关】 3.B[解析：在频率分布直方图中，小长方形的面积为频率.在 1.D[解析：因为8×70%=5.6，故这组数据的第70百分位数 [3.2,3.6)内的频率为0.625×0.4=0.25，频数为0.25×100= 是第6项数据23.故选D.】 25,在[3.6,4.0)内的频率为0.375×0.4=0.15，频数为0.15× 2.A[解析：棉花纤维的长度在30mm以下的比例为(0.01+ 100=15.则这100个新生婴儿中，体重在[3.2,4.0)内的有25+ 0.01+0.04+0.06十0.05)×5=0.85=85%，在35mm以下的 15=40(人).故选B.] 比例为85%+10%=95%，因此，90%分位数一定位于[30,35) 4.0.0044[解析：，(0.0024+0.0036+0.0060+x+ 0.0024+0.0012)×50=1,.x=0.0044.】 内，由30十5×号8测83-32,5，可以估计棉花纤维的长度的 5.解：(1)根据题意，得分在[60.5,70.5)内的频数是a=50× 样本数据的90%分位数是32.5mm.故选A.] 0.26=13,在[90.5,100.5]内的频数是b=50一13-15-18=4， 3.D[解析：把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14， 在[70.5,80.5)内的频率是c=8=0.30,在[90.5,10.5]内的 14,15,15,16,17,17,17,其平均数a=0×(10+12+14+14+ 99学 习题课(2) 基础过关) 1.如图所示，在正四面体D一ABC中，P∈平面DBA,则在平面DAB内过点P与 0 直线BC成60°角的直线共有 A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 2.E,F,G分别是空间四边形ABCD的棱BC,CD,DA的中点，则此四面体中与过E,F,G的截面平 行的棱的条数有 () A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 3.在正方体ABCD一A1B1CD1中，E为棱CD的中点，则 A.A1E⊥DC B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC D.A1E⊥AC 4.已知平面a⊥平面B,a∩B=l,点A∈a,A氏l,若直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥a,m∥B,则 A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥B D.AC⊥3 5.设α和3为不重合的两个平面，给出下列命题，其中正确命题的序号是 ·①若a内的两条 相交直线分别平行于B内的两条直线，则α平行于B;②若α外的一条直线l与α内的一条直线平 行，则l和a平行；③设α和3相交于直线l,若a内有一条直线垂直于l,则α和B垂直. 6.已知四面体P-ABC中，PA=PB=4,PC=2,AC=2√5，PB⊥平面PAC,则四面体P-ABC 外接球的体积为 7.已知二面角a一l一B为60°，动点P,Q分别在平面a,β内，P到3的距离为√3，Q到α的距离为2√3， 则P,Q两点之间距离的最小值为 ,此时直线PQ与平面α所成的角为 60 无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 ■能力提升) 1.如图所示，四棱锥P一ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= 号AD,∠BAD=∠ABC=90. (1)求证：直线BC∥平面PAD; (2)若△PCD的面积为2√7，求四棱锥P一ABCD的体积. 2.如图所示，在直三棱柱ABC一AB1C1中，E,F分别为A1C1和BC的中点. (1)求证：EF∥平面AA1B1B; (2)若AA1=3,AB=2√3，求EF与平面ABC所成的角. 3.如图所示，在四棱锥P一ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直， 底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A,D,N的平面 交PC于点M. (1)求证：EN∥平面PDC; (2)求证：BC⊥平面PEB: (3)求证：平面PBC⊥平面ADMN. N 翠 知 4.如图所示，在直四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，底面是边长为√2的正方形，AA1=3,点E在棱B1B 长 上运动. (1)求证：AC⊥D1E; (2)若三棱锥B1一A1D1E的体积为 ,求异面直线AD,DE所成的角. D D 5.如图所示，在四棱柱ABCD-ABC1D1中，AB∥CD,AB=BC=CC1=2CD,E为线段AB的中 点，F是线段DD1上的动点. (1)求证：EF∥平面BCCB1; (2)若∠BCD=∠C1CD=60°，且平面D1C1CD⊥平面ABCD,求平面BCC1B1与平面DC1B1所成 角（锐角）的余弦值. D C 6.如图所示，已知三棱柱ABC一A'B'C'的侧棱垂直于底面，AB=AC,∠BAC=90°，点M,N分别为 A'B和B'C的中点. (1)求证：MN∥平面AA'C'C; (2)设AB=λAA',当入为何值时，CN⊥平面A'MN?试证明你的结论 A M 61