8.6 空间直线、平面的垂直-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课时卷

R器NP∥CD∥AB.:NPt平面AA,BB,ABC平面 AA1B1B,∴.NP∥平面AA1B1B.,MP∥BB1,MP丈平面 AA1B1B,BB1C平面AA1B1B,∴.MP∥平面AA1B1B.又 :MPC平面MNP,NPC平面MNP,MP∩NP=P,.平面 MNP∥平面AA1B1B.,MNC平面MNP,.MN∥平 面AAB1B. 13.证明：如图所示，取CD的中点K, D 连接MK,NK.因为M,N,K分别是 AE,CD,CD的中点，所以MK∥A1 D------ AD,NK∥DD.又MK正平面 ADD1A1,ADC平面ADDA,所以A MK∥平面ADD1A1.同理NK∥平面ADD1A1.又MK∩NK= K,所以平面MNK∥平面ADD1A:,又MNC平面MNK,所以 MN∥平面ADD1A. 【能力提升】 1.BD【解析：因为a∥B,所以AB∥CD.若P在a,B的同侧时， 则有PC=PA+AC=15.因为隐-器所以PB=吕，所以 BD=PD-PB=号；若点P在a,P之间时，则有PC=AC PA=3,因为院-器所以PB=16,所以BD=PB+PD=24 综上，BD=24或BD=24.故选BD.】 5 2.D[解析：如图所示，A',B分别是A, A A' B两点在a,B上运动后的两点，此时AB 中点C变成A'B'的中点C',连接A'B,取 A'B的中点E.连接CE,CE,AA',BB, CC,则CE∥AA',.CE∥a.又.CE∥ BB',.CE∥B.又a∥B,∴.CE∥a.CEC平面CCE,CEC 平面CCE,CE∩CE=E,∴.平面CCE∥平面a,∴CC∥平面 a,.不论A,B如何移动，所有的动点C都在过C点且与a,B平 行的平面上.故选D.】 3.A【解析：取DG的中点为M,连接 AM,FM,如图所示.则由已知条件易证 四边形DEFM是平行四边形，∴DEL FM.平面ABC∥平面DEFG,平面 ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩ 平面ADEB=DE,·AB∥DE,∴AB∥E FM又：AB=DE,∴AB=FM,∴.四边形ABFM是平行四边形， ∴.BF∥AM又.BF丈平面ACGD,.BF∥平面ACGD.故选A.】 4.C【解析：因为平面BDM∥平面A,C,平面BDM∩平面 A1B1C1=DM,平面AC∩平面A,B1C=A1C1,所以DM∥ AC1,过D作DE1∥AC1交B1C于点E,则点M的轨迹是线 段DE(不包括D点).故选C.】 5.6cm[解析：如图所示，连接AF交平面B于点G,连接CF, BG,EG,AD.因为AC∩AF=A,所以直线AC和AF确定一个 平面AFC,则平面AFC∩B=BG,平面AFC∩Y=CF.又B∥y, 所以BG/CR,所以瓷-架同理可证票-架，即瓷-票。 即号-=示，所以EF=6em放答案为6cm】 94无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 6.解：存在点E,且E为AB的中点时， DE∥平面AB1C.证明如下：如图所 示，取BB的中点F,连接DF,则 DF∥BC.因为AB的中点为E,连接 EF,则EF∥AB1,B1C∩AB:=B, EF∩DF=F,所以平面DEF∥平面 AB1C.又因为DEC平面DEF,所以 DE∥平面ABC. 7.证明：如图所示，取OB的中点G,连接 Q GN,GM.M为OA的中点，∴MG∥AB. :AB∥CD,∴.MG∥CD.MG中平面 G OCD,CDC平面OCD,.MG∥平面OCD. 又：G,N分别为OB,BC的中点，∴GN∥ OC.:GN丈平面OCD,OCC平面OCD, B N '.GN∥平面OCD.又.'MGC平面MNG,GNC平面MNG, MGnGN=G,∴.平面MNG∥平面OCD.MNC平面MNG, .MN∥平面OCD. 8.(1)证明：因为PB∩PD=P,所以直线PB和PD确定一个平 面Y,则a∩Y=AC,B∩y=BD.又因为a∥B,所以AC∥BD. （8解：由得AC∥BD,则器-品告-品cD-与em,所 以PD=PC+CD=2? 8.6空间直线、平面的垂直 8.6.1直线与直线垂直 【基础过关】 1.C【解析：①若两条直线与两条异面直线的交点有4个，如图 所示，直线AB与异面直线a,b分别相交于点A,B,直线CD与 异面直线a,b分别相交于点C,D,则A,B,C,D四点不可能共 面，否则与a,b异面矛盾，故直线AB与CD异面；②若两条直线 与两条异面直线的交点有3个，如图所示，则两条直线相交.故 选C.】 D 2.A[解析：①不正确如图所示；②不正确，有可能相交也有可 能异面：③不正确.可能平行，可能相交也可能异面.故选A.】 3.C【解析：如图所示，连接AE,BE,在正方体ABCD一 9.①③[解析：把正方体平面展开图 AB,C,D,中，CD∥AB,所以异面直线AE与CD所成角为 还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥ M ∠EAB,设正方体边长为2a,则由E为棱CC1的中点，可得 EF,EF与MN是异面直线，AB∥CM, CE=a,所以BE=5a,则am∠EAB=器=层-号故 MN⊥CD,只有①③正确.】 10.解：如图所示，取BD的中点G,连 选C.】 接EG,FG.:E,F分别为BC,AD的 D 中点，AB=CD,.EG∥CD,GF∥AB, B 且EG=CD,GF=之AB,∠GFE就 E 是EF与AB所成的角，EG=GF. 'AB⊥CD,.EG⊥GF,∠EGF= D D 90°，∴.△EFG为等腰直角三角形，则 ∠GFE=45°，即EF与AB所成的角为45. 4.C[解析：由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故CC1与 11.解：如图所示，取CD1的中点G,连 接EG,DG.:E是BD1的中点， BE是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而 AE与平面CB,BC相交于E点，点E不在C1C上，故CC与 ∴EG/BC,EG=合BC.F是AD的 AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确； 中点，且AD∥BC,AD=BC,.DF∥ AE与B,C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点， BC,DF=ZBC,∴EG∥DF,BG=DF, △ABC为正三角形，所以AE⊥BC,D错误.故选C.】 则四边形EFDG是平行四边形， 5.C[解析：如图所示，补成 D C ∴.EF∥DG,.∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成 直四棱柱ABCD一 A 的角.又，A1A=AB,四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是 A1B1C1D1,则所求角为 正方形.G为CD1的中点，.DG⊥CD,∠DGD=90°，异 ∠BC1D.,BC1=√2，BD= 面直线CD,EF所成的角为90°，∴.CD1⊥EF. √2+1-2X2X1Xcos60=√3，C1D=AB1=√5，易得C1D= 12.解：设G为AC的中点，连接EG,FG, 如图所示.：E,F分别是AB,CD的中点 BD+BC,∠ABC=90°，因此cos∠BCD=CD-后 BG/BC且EG=合BC=-1,PG∥AD 四放选C】 且FG=之AD=1,∠EGF为异面直线BL 6.C【解析：如图所示，在正方体 AD,BC所成的角（或其补角）.：EF=√3， C ABCD-A1B,CD,中，△ADB,是等边A ÷△EGF中，cos∠EGF=2 1+1-3」 之，∠EGF=120°，即 三角形，故BD,AB1与AD1所成的角 异面直线AD,BC所成的角为60°. 是60°，同理△ACD1也是等边三角形， D ””” 【能力提升】 AC,CD1与AD1也成60°角，则在面对角 1.CD[解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也 线中，与AC,CD1,B1D1,AB1分别平行 是异面直线，故A,B错误；直线BN与MB1是异面直线，直线 的对角线与AD1也成60°角.故选C.] AM与DD1是异面直线，故C,D正确.故选CD.】 7.C[解析：设BB1=1,如图所示，延长 C 2.BCD【解析：如图所示，把平面展 A(B,C) CC1至C1,使CC2=CC1=1,连接B1C2, 开图还原成正四面体，知GH与EF为 则B1C2∥BC1,所以∠AB1C1为AB1与 异面直线，A不正确；BD与MN为异 BC所成的角（或其补角）.连接AC2,因 面直线，B正确；GH∥AD,MN∥AF, H(N 而∠DAF=60°，.∠GHM=60°， 为AB1=√3，B1C2=√3，AC2=√6，所以 AC=AB+B1C,则∠AB1C2=90°.故 GH与MN成60角，C正确：连接D AG,FG,AG⊥DE,FG⊥DE,.DE⊥ 选C.】 平面AFG,∴.DE⊥AF.又MN∥AF, 8.5[解析：如图所示，取AD的中点P, .DE与MN垂直，D正确.故选BCD.】 连接PM,PN,则BD∥PM,AC∥PN, 3.D[解析：如图所示，连接CD,AC, D M C ∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的 因为CD∥BA1,所以CP与BA:所成 角，∠MPN=90.:PN=子AC=4 B 的角就是CP与CD1所成的角，即O=A ∠DCP.当点P从D1向A运动时， PM=BD=3,∴MN=5.1 ∠DCP从0°增大到60°，但当点P与 D1重合时，CP∥BA1,与CP与BA1A 为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA:所成的角0的取值 范围是0°<≤60°.故选D.] 4.AD[解析：如图所示，取AC的中点G 连接EG,FG,则EG∥AB,且EG=号AB, FG/CD,且FG=合CD,由AB=CD知 B G EG=FG,易知∠GEF(或它的补角)为EF 与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为 AB与CD所成的角.，AB与CD所成的角为30°，.∠EGF= 30°或150°.由EG=FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF=30° 时，∠GEF=75°；当∠EGF=150°时，∠GEF=15°.故EF与AB 所成的角为15°或75°.故选AD.】 ,【解析：如图所示，连接DE,设 D E AD=2,易知AD∥BC,∴.∠DAE就是 异面直线AE与BC所成的角.在A, B Rt△ADE中，由于DE=√5，AD=2,可 得AE=3m∠DAE-是号】 6细 【解析：如图所示，连接AB C E 交AB于点D,取BC的中点E,连 A 接DE,则DE∥AC1,连接A1E, ∴∠ADE为异面直线A,B与AC所 成角.在Rt△AC1B1中，A,C1=1, GE=合CA=合，“AE=9,同 理可得AD= ,DE=a∠ADE ()+()-() /30 ,.异面直线AB与AC,所成 2x9×号 10 角的余弦值是故答案为】 7.解：连接CD,AC.由题意得四棱柱AB D CD-ABCD中，A1D∥BC,AD= BC,∴四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD1,∴∠ADC(或其补角)为 A1B和AD1所成的角.异面直线A1B D 和AD1所成的角为90°，∴.∠AD1C=90 :四棱柱ABCD-A1BCD中，AB=BC=2W3,∴△ACD是 等腰直角三角形，AD,-号AC:底面四边形ABCD是菱 形，且AB=BC=2√3，∠ABC=120°，∴.AC=2√3×sin60°X &=6,AD,=9AC=3区，AM=VaD-AD= √(3√2)2-(2√3)2=√6. 8.解：：AD与BC成60°角，∴∠HGF=60°或120°.设AE: AB=,则既-船=x又：C=a,EF=a由器-器 1-x,得EH=a(I-x).∴S四边形rGH=EFX EH X sin60°= axxa1-x)×9=9。(-t+x)=。× [-(-名）'+]当x=时，S-。,即当E为AB 的中点时，截面的面积最大，最大面积为得。. 8.6.2直线与平面垂直 第1课时直线与平面垂直的判定定理 【基础过关】 1.B[解析：根据定理，两条平行线中一条直线垂直于一个平 面，则另一条直线也垂直于这个平面.故选B】 2.D[解析：结合正方体模型，直线l与平面α的位置关系是平 行或在平面内.故选D.】 3.A[解析：由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形 所在的平面.而②④图形中的两边不一定相交，故该直线与它们 所在的平面不一定垂直.故选A.] 4.C[解析：，OA⊥OB,OA⊥OC,OBC平面OBC,OCC平面 OBC,OB∩OC=O,∴.OA⊥平面OBC.故选C.】 5.A【解析：如图所示，连接B1D1, BD.:几何体ABCD-AB,CD1是正A 方体，∴.底面ABCD是正方形，∴.AC⊥ H BD.又BB⊥AC,BDC平面 BDD1B1,BB1C平面BDD1B1,BD∩ BB1=B,.AC⊥平面BDD1B1. B1HC平面BDD1B1,.AC⊥B1H.B1H⊥D1O,ACC平面 AD1C,D1OC平面AD1C,AC∩D1O=O,.B1H⊥平面AD1C. 故选A.】 6.A[解析：如图所示，作点A在平面 a上的射影O,连接OA,OB,则∠ABO 即是斜线AB与平面a所成的角，且 △ABO为直角三角形.因为AB= B4 /0 2B0,所以c0s∠AB0-=8=,所以∠AB0=60.故选A] 7.A[解析：如图所示，连接BC交 C BC1于点E,连接AE,在正方体中，证 B 得B,C⊥平面ABCD,所以AB,与 平面ABCD,所成的角为∠B1AE.设 D 正方体的边长为a,在△BAE中，求得 AB=Ea,BE=m∠BAE= AB2,所以∠BAE=30.故选A.】 BE 1 8.C[解析：如图所示，当DO⊥平面 ABC时，三棱锥D一ABC的体积最 大，.∠DBO为直线BD和平面 ABC所成的角.，'在Rt△DOB中， OD=OB,∴.直线BD和平面ABC所 B 成的角的大小为45°.故选C.】 9.2[解析：因为PA⊥平面ABC,所以AC为斜线PC在平面 ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角.在 △PAC中，AC=号AB=号PA,所以tan∠PCA-0-2.】 10.气[解析：取BC的中点E,连接AE,CE,如图所示，因为 正三棱柱ABC一A:B1C1,所以AE⊥BC.因为CC1⊥平面 ABC,AEC平面ABC,所以CC1⊥AE,而 .'AB∥CD,AB￠平面SCD,∴.AB∥平面SCD,故B正确；对于 CC1C平面BB1C1C,BCC平面BB1C,C, 选项C,由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面 CC∩BC=C,则AE⊥平面BB,CC,则B SBD所成的角相等，故C正确.故选D.】 ∠ACE即为AC:与平面BB,CC所成的 4.a或2a【解析：由已知得△AB,C是等腰直角三角形， 角.因为AB=AA1,所以sin∠ACE= A1B1=BC1,D是A1C1的中点，.B1D⊥AC1.,AA1⊥平面 ABC1,BDC平面AB1C1,.AA1⊥B1D.AA1C平面 C,2AC4.] B AACC,ACC平面AACC,AA∩AC=A1,∴.BD⊥平面 11.90°[解析：B1C1⊥平面ABB1A1,.B1C1⊥MN.又 A1ACC.又，CFC平面AACC,.BD⊥CF.若CF⊥平面 ,MN⊥B1M,B1MC平面C1B1M,B1C1C平面C1B1M,B1M∩ B1DF,则CF⊥DF.设AF=x(0<x<3a),则CF2=x2+4a2, B1C=B1,.MN⊥平面CB1M.又'C1MC平面C1B1M, DF2=a2+(3a-x)2,CD2=a2+9a2=10a2,∴.10a2=x2+ ∴.MN⊥CM,∴∠CMN=90.] 4a2+a2+(3a-x)2,解得x=a或2a.] 12.证明：在△PAD中，由PA=2,AD=2,PD=2√2，可得 5.2千【解析：如图所示，作PD,PE PA2十AD=PD,即AD⊥PA.因为四边形为ABCD为矩形，所 以AD⊥AB,因为PAC平面PAB,ABC平面PAB,PA∩AB= 分别垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.连 A,所以AD⊥平面PAB. 接CO,OD,知CD⊥PD,CD⊥PO,PDC 13.(1)证明：方法一如图所示，连接CO,由 平面PDO,POC平面PDO,PD∩PO= C 0 3AD=DB知，点D为AO的中点.因为AB P,∴CD⊥平面PDO.:ODC平面 为圆O的直径，所以AC⊥CB.由√3AC=BC PDO,.CD⊥OD.PD=PE=√3， 知，∠CAB=60°，所以△ACO为等边三角A{ D O PC=2,.CD=1..CO为∠ACB的平分线，.∠OCD=45°， 形，故CD⊥AO.因为点P在圆O所在平面 .△OCD为等腰直角三角形，∴OD=CD=1,OC=√2.又 C 上的正投影为点D,所以PD⊥平面ABC,又因为CDC平面 PC=2.PO-sin ZPCo 2 ABC,所以PD⊥CD.由PDC平面PAB,AOC平面PAB,且 PD∩AO=D,得CD⊥平面PAB. ∠PC0=F.1 方法二因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.在Rt△ABC 6.(1)解：如图所示，由已知AD∥BC,故∠DAP或其补角即为 中，由AB=4,3AD=DB,W3AC=BC,得DB=3,BC=2√5，所以 异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC,所以ADI C-答-号，则△BDCn△BCA,所以∠BCA=∠BDC,即 PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP=√AD+PD=√5，故 CD⊥AO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D,所以 cos∠DAP=AP-5.所以异面直线AP与BC所成角的余弦 AP 5 PD⊥平面ABC.又CDC平面ABC,所以PD⊥CD.由PDC平 面PAB,AOC平面PAB,且PD∩AO=D,得CD⊥平面PAB. 值为汽 (2)解：由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，因为 (2)证明：因为AD⊥平面PDC,直线PDC平面PDC,所以 △AOC是边长为2的正三角形，所以CD=√3.在Rt△PCD中， AD⊥PD.又因为BC∥AD,所以PD⊥BC.又PD⊥PB,BC∩ PD=DB=8,CD=,所以am∠CPD-器-号，所以 PB=B,所以PD⊥平面PBC (3)解：如图所示，过点D作AB ∠CPD=30°，即直线PC与平面PAB所成的角为30°. 的平行线交BC于点F,连接 【能力提升】 D PF,则DF与平面PBC所成的 1.C【解析：如图所示，设点P在平面 角等于AB与平面PBC所成的 ABC内的射影为O,连接OA,OB,OC. 角.因为PD⊥平面PBC,故PFD A :三棱锥的三条侧棱两两相等，∴PA 为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面 PB=PC.,PO⊥底面ABC,.PO⊥OA,A PBC所成的角.因为AD∥BC,DF∥AB,所以四边形ABFD为 PO⊥OB,PO⊥OC,.Rt△POA≌ 平行四边形，故BF=AD=1,由已知，得CF=BC=BF=2.又 Rt△POB≌Rt△POC,∴.OA=OB=OC,故顶点P在底面的射 AD⊥DC,所以BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF= 影为底面三角形的外心.故选C.] 2.A[解析：由题意：SG⊥FG,SG⊥EG,FG∩EG=G,FG, VCD+C=25.在R△DPF中，可得s∠DFP-品 EGC平面EFG,所以SG⊥平面EFG,A正确，D不正确；又若 EG⊥平面SEF,则EG⊥EF,由平面图形可知显然不成立，B不 怎所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为写 正确；同理GF⊥平面SEF不正确，C不正确.故选A.】 7.(1)证明：由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1⊥AB,BB1⊥AB 3.D[解析：对于选项A,由题意得SD⊥AC,AC⊥BD,SD∩ 易得AB1=A1B1=2√2，所以A1B十AB=AA,故AB1⊥ BD=D,∴.AC⊥平面SBD,故AC⊥SB,故A正确；对于选项B, A1B1.由BC=2,BB1=2,CC1=1,BB1⊥BC,CC1⊥BC得 95 B1C1=√5.由AB=BC=2,∠ABC=120°得AC=2√3，由CC1⊥ AC,得AC1=√I3,所以AB+B1C=AC,故AB1⊥BC1.又 A1B1∩B1C1=B1,因此AB1⊥平面A1B1C1 (2)解：如图所示，过点C作CD⊥AB,A 交直线A1B于点D,连接AD.由AB,⊥平 面A1B1C1得平面A1B1C1⊥平面ABB1,由 CD⊥AB,得CD⊥平面ABB,所以 ∠CAD是AC1与平面ABB,所成的角.由 BC=√5，AB=2√2，A1C=√2I得 以 os∠CAB1=6,sin∠CA,B,=1 疗所以CD=,故 m∠GAD思=得因比，直线AG与平面AB所成 的角的正弦值是僧 8.6.2直线与平面垂直 第2课时直线与平面垂直的性质定理 【基础过关】 1.B[解析：由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它 们平行.故选B.] 2.D[解析：①②③均正确.故选D.] 3.D[解析：如下图所示，直线1和平面a相互平行，或直线l 和平面a相互垂直或直线L在平面α内都有可能.故选D.】 /a- 4.C[解析：，BA⊥a,a∩B=l,lCa,.BA⊥l.同理BC⊥l.又 BA∩BC=B,∴.L⊥平面ABC..ACC平面ABC,∴.L⊥AC.故 选C.】 5.B[解析：易知①④正确.故选B.] 6.C[解析：因为平面a与平面B相交，直线m⊥a,所以m垂直 于两平面的交线，3内不一定存在直线与m平行，必存在直线与 m垂直.故选C.】 7.C[解析：因为L⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面 ABC.同理可证m⊥平面ABC,所以l∥m.故选C.】 8.D【解析：因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE. 因为AF⊥平面ABCD,所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC 因为AF=2,所以DE=2.又CD=3,所以CE= √CD十DE=√9+4=√/13.故选D.】 9.ABCD[解析：因为PA⊥圆O所在的平面，BCC圆O所在 的平面，所以PA⊥BC,而BC⊥AC,PA∩AC=A,所以BC⊥平 面PAC,而PCC平面PAC,所以BC⊥PC,故A正确：因为点 M为线段PB的中点，点O为AB的中点，所以OM∥PA,而 OM￠平面PAC,PAC平面PAC,所以OM∥平面APC,故B正 确；因为BC⊥平面PAC,所以点B到平面PAC的距离等于线 段BC的长，故C正确；三棱锥M一PAC和三棱锥P一ABC均 可以平面PAC为底面，此时M到底面的距离是B到底面距离 的一半，故三棱锥M一PAC的体积等于三棱锥P一ABC体积 的一半，故D正确.故选ABCD.】 10.平行【解析：如图所示，易知AB⊥平面BCCB1.又 96无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 ,MNC平面BCCB1,∴.AB⊥ MN.又.'MN⊥BC,AB∩BC=B, B ∴.MN⊥平面ABCD,易知AA1⊥平 D 面ABCD,故AA1∥MN.] 11.解：(1)，A1A∥平面B1BCC1, A A1B1⊥平面B1BCC1,.直线A1A到平 D 面B1BCC,的距离等于线段AB的长.A1 AB,=a,.直线A1A到平面 B1BCC1的距离等于a. (2)连接A1C1,B1D1,BD,设A1C1与 D BD交于点O,如图所示，A1A∥平面 DDBB1.AO⊥平面DDBB,∴直线A1A到平面D1DBB 的距离等于线段A.0的长，AQ-号。 12.(1)证明：，PD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,∴.PD⊥ BC.,∠BCD=90°，.BC⊥CD.PD∩CD=D,.BC⊥平面 PCD.又PCC平面PCD,∴.PC⊥BC. (2)解：“PDL平面ABCD,VA-Pe=Vp-Ac=方·SaAc· PD.,AB∥DC,∠BCD=90°，.△ABC为直角三角形且 ∠ABC为直角.PD=DC=BC=2,AB=2DC,VA-PC= 号·Sae·PD=号×号·AB~BC.PD=号×号X4X2X 2- 【能力提升】 1.AC[解析：取BD的中点O,连接AO, A CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,.BD⊥平面 AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面，所以不相 D 交.故选AC.】 B0、 2.BD【解析：A正确；B中，bCa有可能成 立，故B不正确；C正确；D中，aCB有可能成 C 立，故D不正确.故选BD.】 3.B【解析：因为BB⊥平面AC,又因为⊥平面A1C,所以 l∥B1B.故选B.】 4.D【解析：若a∥B,则由m⊥平面a,n⊥平面B,可得m∥n,这 与m,n是异面直线矛盾，故a与B相交.设a∩B=直线a,过空 间内一点P,作m∥m,n∥n,则m'与n'相交，m与n'确定的平 面为Y.因为l⊥m,⊥n,所以l⊥m,⊥n,所以l⊥Y.因为m⊥ 平面a,n⊥平面β，所以m'⊥平面a,n⊥平面B,所以a⊥m',a⊥ n',所以a⊥×.又因为l中a,l寸B,所以l与a不重合.所以l∥a. 故选D.】 5.①②③【解析：①为直线与平面垂直的性质定理的应用， ②为面面平行的性质，③为基本事实4的应用，故①②③正确.] 6.平行号【解析：ABCD-AB,CD为正方体，CDL 平面AA:D1D,.CD⊥AD1.又，四边形AA1D1D为正方形， .AD⊥AD,∴AD⊥平面ADC.又MN⊥平面ADC, .AD1∥MN,连接ON,则四边形AMNO为平行四边形， AM=ON=2AB,故X=2.1 7.号3后【解析：如图所示，延伸平面a,交AC所在的平面 ABCD于RS,即平面a∩平面ABCD=RS.又B∈平面a∩平面 ABCD,∴.B∈RS,即R,S,B三点共线.又AC∥a,由线面平行 ∴.BC⊥平面PAC,∴.∠PCA为二面角P一BC一A的平面角.在 Rt△PAC中，由PA=AC得∠PCA=45°.故选C.】 2.D【解析：如图所示，在正方体 D ABCD-A1BC1D1中，平面A1B1CD 内的直线A1B1垂直于平面ABCD内 A R 的一条直线BC,但平面A1B1CD与平 面ABCD显然不垂直.故选D.】 3.D[解析：A中，当直线a,b都在一 个平面上相交，且这个平面与M平行，可推断出A不一定成立； B中，可能存在aCM的情况，故B的结论不一定成立；C中，可 的性质定理可得AC∥RS,则∠ARB=∠ABR=至，即AR= 能存在a∥M的情况，故C项错误；D中，若a⊥M,aCN,由面 面垂直的判定定理可知MLN,故D项中说法正确.故选D.】 AB,∴.点A为RD的中点，又E为PD的中点，则PD=RD=6, 4.B【解析：因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥ DA=DE=3,∠PDA=∠ADP=,∴△PAD≌△RED, BC.又AD⊥圆柱的底面，所以AD LBC.因为AC∩AD=A,所 以BC⊥平面ACD.又BCC平面BCD,所以平面BCD⊥平面 ∴∠MPE=∠MRA.又∠PME=∠RMA,PE=RA, ACD.故选B.] ∴.△PME≌△RMA,则ME=MA.过M作MK⊥PD交PD于 5.C[解析：因为AB=BC,且E是AC的中点，所以BE⊥AC. 点K,路=答=2×资=2×E=2×册，则PM= 同理DE⊥AC.又BE∩DE=E,所以AC⊥平面BDE.因为 2MA欲-欲-号在接MN,BD,由兴-号同理可得 ACC平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.因为ACC平面 PA ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.】 -号MN∥AC义PDL平面ABGD,ACC平面ABCD, 6.C[解析：由已知得BD=2CD.翻折后，在Rt△BCD中， ∠BDC=60°，而AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC是二面角B一 .PD⊥AC.又BD⊥AC,BD∩PD=D,.AC⊥面PBD.又 AD一C的平面角，其大小为60°.故选C.】 BEC面PBD,ACL BE,.∴MNLBE.:C-兴-号 7.C[解析：如图所示，BC∥DF, .BC∥平面PDF,.A正确.由BC⊥ ∴MN=号AC=号×3=2E,又EB=VED+BD- PE,BC⊥AE,得BC⊥平面PAE, V√3+(3V2=3,所以四边形EMBN的面积为2MN· .DF⊥平面PAE,.B正确，.平面 ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE),A EB=号×3×2E=36,故答案为号；36.】 D正确.故选C.] D E 8.B[解析：，PA⊥圆O所在平面 8.(1)证明：由题知，AB=1,BC=√3，AC=2,则AB2+BC= ABC,∴.平面PAB⊥平面ABC,同理可得平面PAC⊥平面 AC2,所以AB⊥BC.又因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,因 ABC.:AB是圆O的直径，BC⊥AC.又，PA⊥圆O所在平 为PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB. 面ABC,BCC平面ABC,∴.PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA, (2)解：在线段PC上存在点D,当PD=时，使得ACLBD..理 ACC平面PAC,∴.BC⊥平面PAC.又，BCC平面PBC,∴.平 面PBCL平面PAC.综上，相互垂直的平面共有3对.故选B.】 由如下：如图所示，在平面ABC内，过点B作BE⊥AC,垂足为 9.D【解析：对于A,因为点E,F分别是AB,AP的中点，所以 EF∥PB.又EF丈平面PBC,PBC平面PBC,所以EF∥平面 PBC.同理EG∥平面PBC,又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平 面PBC.因此A正确.对于B,因为PC⊥BC,PC⊥AC,BC∩ AC=C,所以PC⊥平面ABC.又FG∥PC,所以FG⊥平面 ABC.又FGC平面FGE,所以平面FGE⊥平面ABC.因此B正 E,在平面PAC内，过点E作DE∥PA,交PC于点D,连接 确.对于C,由于平面EFG∥平面PBC,且与平面PAB交于 BD,由PA⊥平面ABC,知DE⊥平面ABC,所以DE⊥AC,所以 EF,PB,∴.EF∥PB,所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的 AC⊥平面DBE.又因为BDC平面DBE,所以AC⊥BD.在 角.因此C正确.对于D,由于FE,GE与AB不垂直，所以 △ABC中，BE=ABBC-号，所以AE=合，CE=是，所以 ∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此 AC D不正确.综上，选项D不正确.故选D.] 需-品所以cD-3Y,Pn- 10.①②→③【解析：由1∥B可在平面B内作1'∥L.又1⊥a, 4 .1⊥a.CB,∴aLB,故①②→③.] 8.6.3平面与平面垂直 11.1[解析：由题意知EF LBC.CC1⊥ 第1课时平面与平面垂直的判定定理 平面ABCD,.CC1⊥EF,又BC∩CC1=C,.EF⊥平面CC1F, .EF⊥CF.故∠CFC为二面角C,一EF-C的平面角，即 【基础过关】 ∠C1FC=45°.，AA1=1,.CF=1.又BC=2,.BF=1.】 1.C[解析：由条件得PA⊥BC,AC⊥BC.又PA∩AC=C, 12.DM⊥PC(或BM⊥PC)[解析：如图所示，连接AC,因为 PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.因 为四边形ABCD的各边相等，所以 AC⊥BD,且PA∩AC=A,所以BDI D 平面PAC,即BD⊥PC,要使平面 MBD⊥平面PCD,只需PC垂直于面 A MBD上的与BD相交的直线即可，所以可填DM⊥PC(或 BM⊥PC).】 13.(1)证明：因为D,E分别是AB,PB的中点，所以DE∥PA 又因为PAC平面PAC,DE丈平面PAC,所以DE∥平面PAC (2)证明：因为PC⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以PC⊥AB. 又因为AB⊥BC,PC∩BC=C,所以AB⊥平面PBC.又因为 PBC平面PBC,所以AB⊥PB (3)解：由(2)知，AB⊥PB,AB⊥BC,所以∠PBC即为二面角 P-AB-C的平面角.因为PC=BC,∠PCB=90°，所以 ∠PBC=45°，所以二面角P-AB-C的大小为45° 【能力提升】 1.A[解析：由题意，作出长方体ABCD一A1B1C1D1,取BD 的中点为O,连接CO,CO.因 D 为CC⊥平面ABCD,所以C即 C,在平面ABCD上的投影，又 A BDC平面ABCD,所以CC1⊥ D BD.因为AB=AD=2√3，所以 09 四边形ABCD是正方形，O为 BD的中点，所以CO⊥BD.又 A CO∩CC1=C,所以BD⊥平面COC1.又COC平面COC,所以 BD⊥CO,∠COC1即二面角C一BD一C1的平面角.又CC= 2,c0=23+23》-6,所以am∠C0C==5, 2 631 ∠COC1=30°.故选A.] 2.D[解析：P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA= PB=PC,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，∴DF∥BC.又 DFC平面PDF,BC寸平面PDF,∴.BC∥平面PDF,故A正 确.，PA=PB=PC,△ABC为等边三角形，E是BC的中点， ∴.PE⊥BC,AE⊥BC.PE∩AE=E,∴.BC⊥平面PAE. :DF∥BC,.DF⊥平面PAE,故B正确.：BC⊥平面PAE, BCC平面ABC,∴.平面PAE⊥平面ABC,故C正确.设AE∩ DF=O,连接PO..O不是等边三角形ABC的重心，∴.PO与平 面ABC不垂直，∴.平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误. 故选D.】 3.D【解析：如图所示，：AB⊥B, AB⊥L.,BC⊥a,∴.BC⊥l,∴.L⊥平面 ABC.设平面ABC∩I=D,则∠ADB为 二面角a一l一B的平面角（或其补角）. AB=6,BC=3,.∠BAC=30°， ∴∠ADB=60°，∴二面角的平面角的大 小为60°或120°.故选D.] 4.ABC[解析：如图所示，对于A,取AD的中点M,连接PM, BM,AC,BD,且设交于O.,侧面PAD为正三角形，.PM1 AD.又底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角 形，∴.AD⊥BM.又PM∩BM=M,PM,BMC平面PMB, ∴AD⊥平面PBM,故A正确.对于B,:AD⊥平面PBM, AD⊥PB,即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确. 对于C,,平面PBC∩平面ABCD=BC,BC∥AD,∴.BC⊥平面 PBM,.BC⊥PB,BC⊥BM, ∠PBM是二面角P-BC-A 的平面角.设AB=1,则BM= 气，PM=在R△PBM中， D)----- M tan∠PBM= P1,即AB ∠PBM=45°，故二面角P-BC-A的大小为45°，故C正确.对 于D,因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故 D错误.故选ABC.】 5.③④[解析：如图所示，.'AB=√3a BE=a,.AE=√2a,.AD= E D √AE-DE=a,∴.AC= √CD+AD=√2a,'BC∥DE,Bf ∠ABC是异面直线AB,DE所成的角.在Rt△ABC中， tan∠ABC-瓷-E,放①不正确：连接BD,CE,则CE⊥BD, 又AD⊥平面BCDE,CEC平面BCDE,∴.CE⊥AD.又BD∩ AD=D,BDC平面ABD,ADC平面ABD,∴.CE⊥平面ABD. 又ABC平面ABD,∴.CE⊥AB,故②错误，三棱锥B-ACE的 体积V-=V-e=号SE·AD=合×号X。· a=a3,故③正确.AD⊥平面BCDE,BCC平面BCDE, .BC⊥AD.又BC⊥CD,∴.BC⊥平面ACD.,BCC平面ABC, ∴.平面ABC⊥平面ACD.故答案为③④.] 6.(1)证明：PD=a,DC=a,PC=√2a,∴.PC=PD2+DC, ∴.PD⊥DC.同理可证PD⊥AD,又AD∩DC=D,.PD⊥平面 ABCD. (2)证明：由(1)知PD⊥平面ABCD,,PD⊥AC,而四边形 ABCD是正方形，∴.AC⊥BD.又BD∩PD=D,.AC⊥平面 PDB.又ACC平面PAC,∴.平面PAC⊥平面PBD. (3)解：设AC∩BD=O,如图所示，连接 PO.由PA=PC,知PO⊥AC.又由DO⊥ AC,故∠POD为二面角P一AC-D的平 面角，易知OD=号a.在R△PD0巾， D PD_a=2. tan∠POD=O元- √2 7.(1)证明：'D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB=20, ∴PD=AB=10,则△PAB为直角三角形且∠APB=90, AP⊥PB.又AP⊥PC,PB∩PC=P,∴AP⊥平面PBC.又 BCC平面PBC,∴.AP⊥BC.又AC⊥BC,AP∩AC=A,∴.BC⊥ 平面PAC.又BCC平面ABC,∴.平面PAC⊥平面ABC. (2)解：：PA⊥PC,且PA⊥PB,∠BPC是二面角D-AP-C 的平面角.由(1)知BC⊥平面PAC,则BC⊥PC,∴.sin∠BPC= % (3)解：D为AB的中点，M为PB的中点，DML2PA,故 DM=5√5.由(I)知PA⊥平面PBC,∴.DML平面PBC.·SAM= 25m=2VaVm=Vn-aw=号×5Bx2Va=107. 8.(1)证明：由于AD=CD,E是AC的中点，所以AC⊥DE.由 ABC.故选B.] (AD-CD, 8.A[解析：连接AC,如图所示， B 于BD=BD 所以△ADB≌△CDB,所以AB=CB,故 ∠BAC=90°，∴AB⊥AC.BC⊥ ∠ADB=∠CDB, AC,AB∩BC=B,∴AC⊥平面ABC. AC⊥BD.由于DE∩BD=D,DE,BDC平面BED,所以AC⊥ 又：ACC平面ABC,∴.平面ABC⊥平 B 平面BED.由于ACC平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD. 面ABC.又，'平面ABC1∩平面ABC= (2)解：：AB=BC,∠ACB=60°，AB=2.∴△ABC是边长为2 AB,∴点C在底面ABC上的射影点H必在AB上.故选A.】 的等边三角形，∴.BE=√3.如图，连接EF,△ADB≌△CDB 9.A【解析：由已知条件可知∠BAB=,∠ABA'=否设 ∴.AF=CF,.EF⊥AC,∴.在△BED中，当EF⊥BD时，△AFC 的面积最小.：AD⊥CD,AD=CD,AC=2,E为AC的中点， AB=2a,则BB-2asin令-V2a,A'B=2acos若=3a, ∴DE=1.:DE+BE=BD,∴BE⊥ED.若EF⊥BD,在 .在Rt△BBA'中，得A'B'=a,.AB:A'B′=2：1.故选A.] △ED中，F=EE=号，BF=√E-EF= 3 10.m∥n[解析：因为平面a⊥平面B,a∩B=l,nCB,n⊥l,由面 BD 面垂直的性质可得n⊥a.又m⊥a,所以m∥n.故答案为m∥n.】 11.5[解析：.PA⊥平面ABCD,.平面PAB⊥ABCD,平面 PAD⊥平面ABCD.又CD⊥AD,平面PAD∩平面ABCD= VA-BEF +VC-BEF 5AXAC=×3Ex2=5 3 8 AD,.CD⊥平面PAD,.平面PCD⊥平面PAD,同理，平面 PAB⊥PAD,平面PBC⊥平面PAB,所以互相垂直的平面共有 5对.】 12.3平面ADC与平面BDC(答案不唯一)[解析：由已知 得CD⊥AB,所以平面ADC⊥平面ABD,平面ADB⊥平面 BDC.又因为平面ADCL平面BDC,综上可知，互相垂直的平面 有3对.] 13.证明：连接BD,:四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°， 8.6.3平面与平面垂直 △ABD是正三角形.：G是AD的中点，BG⊥AD. 第2课时 平面与平面垂直的性质定理 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴.BG⊥平面PAD. 〖基础过关】 14.证明：(1)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这两 1.A[解析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一 个平面的交线AD,所以PA⊥平面ABCD. 平面的一条垂线，则两面垂直，可得l⊥B,lCa,可得a⊥B.故 (2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点，所以AB∥DE, 选A.】 且AB=DE,所以四边形ABED为平行四边形，BE∥AD.又因 2.B【解析：由面面垂直的性质定理知，要使n⊥3，应有n与交 为BE丈平面PAD,ADC平面PAD,所以BE∥平面PAD. 线m垂直，∴.应增加条件n⊥m.故选B.】 (3)因为AB⊥AD,而且四边形ABED为平行四边形，所以 3.D【解析：由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错 BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD 误.故选D.」 又AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.因为E 4.C[解析：平面ABD⊥平面BCD,AB⊥BD,∴AB⊥平面 和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF,所以CD⊥EF. BCD.又ABC平面ABC,.平面ABC⊥平面BCD,同理，平面 又EF∩BE-E,所以CD⊥平面BEF.又CDC平面PCD,所以 ACD⊥平面ABD.故四面体ABCD中互相垂直的平面有3对. 平面BEF⊥平面PCD. 故选C.】 15.(1)证明：，AB=AC,D为BC的中 5.D[解析：因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩ 点，∴ADLBC..又BB⊥平面ABC,B 平面PBC=PC,ACC平面PAC,所以AC⊥平面PBC.又因为 ADC平面ABC,.BB1⊥AD.又BCn BCC平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°，所以动点C BB1=B,BC,BB1C平面BB,CC, 的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.故选D.] .ADL平面BB,C,C.又ADC平面 6.D[解析：如图所示，由于 ADB,∴.平面ADB:⊥平面BBCC m m∥a,m∥B,a∩B=n,所以 (2)解：由(1)知，AD⊥平面BBCC, D m∥n.又因为AB∥n,所以 B1DC平面BB1C1C,∴.AD⊥B1D.因为AA1=BB1=√3，BD AB∥m,故A正确；由于AC⊥ n,m∥n,所以AC⊥m,故B正 1,所以BD=2.:AD=5,SAa,=号·BD·AD=号X 确；由于AB∥n,nCB,AB在B 外，所以AB∥B,故C正确；对于D,虽然AC⊥n,但AC不一定 2X5=F,Sam=·BD·AD=号×1×5-9设点B到 在平面α内，故它可以与平面B相交、平行，不一定垂直，所以D 不正确.故选D.】 平面ADB,的距离为d,由V-m,=V-AD,得号·SaD%,· 7.B[解析：PA=PB,AD=DB,.PD⊥AB.又平面 ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,.PD⊥平面 d=子·5am·BB,即号×5×d=子×号x,d=9, 97 即点B到平面ADB,的距离为号 【能力提升】 1.BD[解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可 以平行于另一个平面，故A错误；由平面与平面垂直的判定可 知B正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或 者异面，故C错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们 的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故D正确.故选BD.】 2.BC[解析：如图所示，因为BC∥ AD,AD与DF相交，不垂直，所以BC 与DF不垂直，则A错误；设点D在平 面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF 时，有BD⊥FC,而AD:BC:AB= 2:3:4,可使条件满足，所以B正确；B 当点P落在BF上时，DPC平面BDF,从而平面BDF⊥平面 BFC,所以C正确：因为点D的投影不可能在FC上，所以D错 误.故选BC.】 3.B[解析：取BD的中点O,连接A'O,OC,:A'B=A'D, .A'O⊥BD.又平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面 BCD=BD,.A'O⊥平面BCD,.A'O⊥BD.,CD⊥BD,.OC 不垂直于BD.假设A'C⊥BD,又A'C∩A'O=A',.BD⊥平面 A'OC,BD⊥OC,与OC不垂直于BD矛盾，∴A'C不垂直于 BD,A错误；'CD⊥BD,平面A'BD⊥平面BCD,∴.CD⊥平面 A'BD,∴.CD⊥A'D,A'C=√2.A'B=1,BC= √BD+CD=√3，∴.A'B2+A'C2=BC,A'B⊥A'C,B正确； ∠CA'D为直线CA'与平面A'BD所成的角，易知∠CA'D= 45,C错误V-m=号Sm·CD=合，D错误放选B】 4.ABC[解析：选项A中，连接AC,取AC的中点O,BE的中 点M,连接MO,MR,MO∥DE且MO=合DE,面AF∥DE且 AF=合DE,所以AF∥MO且AF=MO,所以四边形AOMF是 平行四边形，所以AC∥FM.而AC寸平面BEF,FMC平面 BEF,所以AC∥平面BEF,所以A正确；选项B中，设B,C,E, F四点共面，因为BC∥AD,BC寸平面ADEF,ADC平面 ADEF,所以BC∥平面ADEF,而BCC平面BCEF,平面 BCEF∩平面ADEF=EF,所以BC∥EF,所以AD∥EF,这与 已知相矛盾，故B,C,E,F四点不可能共面，所以B正确；选项C 中，连接CF,DF,在梯形ADEF中，易得EF⊥FD.又EF⊥CF, FD,CFC平面CDF,FD∩CF=F,所以EF⊥平面CDF.而 CDC平面CDF,所以CD⊥EF.而CD⊥AD,EF,ADC平面 ADEF,且EF与AD必有交点，所以CD⊥平面ADEF.因为 CDC平面ABCD,所以平面ADEF⊥平面ABCD,所以C正确； 选项D中，延长AF至G,使得AF=FG,连接BG,EG,AD⊥ AF,AD⊥AB,AF,ABC平面ABF,AF∩AB=A,所以AD⊥平 面ABF,而BC∥AD,所以BC⊥平面ABF.因为BCC平面 BCE,所以平面BCE⊥平面ABF,过F作FN⊥BG于N,FNC 平面ABF,平面BCE∩平面ABF=BG,所以FN⊥平面BCE. 若平面BCE⊥平面BEF,则过F作直线与平面BCE垂直，其垂 足在BE上，故前后矛盾，所以D错误.故选ABC.】 5.13[解析：取AB的中点E,连接PE,EC.因为∠ACB=90° AC=8,BC=6,所以CE=5.因为PA=PB=13,E是AB的中 点，所以PE⊥AB,PE=12.因为平面PAB⊥平面ABC,平面 98无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 P PAB∩平面ABC=AB,PEC平面PAB,所 以PE⊥平面ABC.因为CEC平面ABC,所 以PE⊥CE.在Rt△PEC中，PC= /PE+CE=13.】 6.2[解析：取AB的中点E,连接DE, CE.因为△ADB是等边三角形，所以 DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC=AB,且 DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,故 DE⊥CE.由已知可得DE=√3，EC=1. B 在Rt△DEC中，CD=√DE2+CE2=2.] 7.解：平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：假设平面 EBD垂直于平面ABCD,过E作EO⊥BD于O,连接AO,CO. ,'EOC平面EBD,EO⊥BD,平面EBD∩平面ABCD=BD, .EO⊥平面ABCD.又.PA⊥平面ABCD,.EO∥PA..A, O,C是PC上三点P,E,C在平面ABCD上的投影，.P,E,C 三点的投影均在直线AC上，.A,O,C三点共线.又'E是PC 的中点，.O是AC的中点.又'AB∥CD,∴.△ABO∽△CDO ,AO=OC,AB=CD,这与CD=2AB矛盾，∴.假设不成立. 故平面EBD不能垂直于平面ABCD. 8.(1)证明：在三棱锥P一ABC中，BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩ PA=A,所以BC⊥平面PAB.因为ADC平面PAB,所以BC⊥ AD.又因为AD⊥PB,PB∩BC=B,所以AD⊥平面PBC.又因 为PCC平面PBC,所以PC⊥AD.因为AE⊥PC且AE∩AD= A,所以PC⊥平面ADE.因为PCC平面PAC,所以平面ADE⊥ 平面PAC. (2)解：作图（如图所示）.在平面PBCP 中，记DE∩BC=F,连接AF,则AF为 所求的1.证明如下：因为PC⊥平面 AED,lC平面ADE,所以PC⊥L.因为 PA⊥平面ABC,IC平面ABC,所以A B PA⊥L.又PA∩PC=P,所以I⊥平面 PAC.又AEC平面PAC且AC二平面PAC,所以AE⊥I,AC⊥ l,所以∠EAC就是二面角E一l一C的一个平面角. 习题课(2) 【基础过关】 1.C[解析：过点P分别作BD,AB的平行线，这两条直线都符 合题意.故选C.】 2.C[解析：在△ACD中，，G,F分别为AD,CD的中点， ∴.GF∥AC.而GFC平面EFG,AC寸平面EFG,∴.AC∥平面 EFG.同理，BD∥平面EFG.故选C.】 3.C[解析：如图所示，由题设知， D C A1B1⊥平面BCC1B1,从而A1B1⊥ BC.又BC⊥BC,且A1B,∩BC= B1,所以BC1⊥平面A1B1CD.又AEC 平面AB,CD,所以AE⊥BC.故 E D 选C.】 4.ABC[解析：因为m∥a,m∥3，a∩ B 3=l,所以m∥L.又AB∥L,所以AB∥m,故A正确；因为AC⊥ l,m∥l,所以AC⊥m,故B正确；因为A∈a,AB∥l,lCa,所以 B∈a,AB￠B,lCB,所以AB∥3，故C正确；因为AC⊥l,当点C 在a内时，AC⊥3成立，当点C不在a内时，AC⊥3不成立，故D A,=3,所以an∠EFH-器-，所以∠BFH=60.放ER 不正确.故选ABC.] 5.①②[解析：由面面平行的判定可知①正确：由线面平行的 与平面ABC所成的角为60° 判定可知②正确；显然，③错误.] 3.证明：(1)：AD∥BC,BCC平面PBC,AD中平面PBC, ∴.AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC=MN,∴.AD∥ 6.36π[解析：.PA=4,PC=2,AC=2√5，B ∴.在△PAC中，PA2+PC=20=AC,可得 MN.又，AD∥BC,∴.MN∥BC.又，N为PB的中点，∴.M为 AP⊥PC.又，PB⊥平面PAC,PA,PCC平 PC的中点，MN=子BC.:E为AD的中点，DE= 面PAC,.PB⊥PA,PA⊥PC.以PA,PB, PC为长、宽、高，作长方体如图所示，则该长 AD=号BC=MN.又：DELMN,∴四边形DENM为平行 方体的外接球就是四面体P一ABC的外接球.，长方体的体对 四边形，∴.EN∥DM.又'EN吐平面PDC,DMC平面PDC, 角线长为√42+4+2严=6，∴长方体外接球的直径2R=6,得 .EN∥平面PDC. R=3,因此，四面体P一ABC的外接球的体积为V (2),四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，E为 号R-36】 AD的中点，∴.BE⊥AD.又PE⊥AD,PE∩BE=E,PE,BEC 平面PEB,∴.AD⊥平面PEB.'AD∥BC,BC⊥平面PEB. 7.2√390°[解析：如图所示，分别 (3)由(2)知AD⊥PB.又，PA=AB,且N为PB的中点， 作QA⊥a于点A,AC⊥I于点C,PB⊥3 ∴.AN⊥PB..'AD∩AN=A,AD,ANC平面ADMN,∴.PB⊥ 于点B,PD⊥L于点D,连接CQ,BD,则 平面ADMN.又，PBC平面PBC,.平面PBC⊥平面ADMN. ∠ACQ=∠PDB=60°，AQ=2√3， 4.(1)证明：如图所示，连接BD,四边 BP=√3，∴.AC=PD=2.又PQ= 形ABCD是正方形，.AC⊥BD.四 棱柱ABCD一A1B1CD1是直棱柱，A B √AQ+AP=√/12+AP>2√3，当 ∴.B1B⊥平面ABCD.,ACC平面AB 且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值，此时，PQ⊥平 CD,.B1B⊥AC.,BD∩B1B=B,BD, 面a,故PQ与平面a所成的角为90°.] BBC平面BBDD,.AC⊥平面 D 【能力提升】 B1BDD1.DEC平面BBDD, 1.(1)证明：：底面ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，.BC∥ ∴.AC⊥D1E. AD.又ADC平面PAD,BC在平面PAD,∴.BC∥平面PAD. (2)解：如图，取AD的中点M,连接 (2)解：VB-AD,E=VE-ABD,EB⊥平面ABCD, D PM,CM,由AB=BC=AD及 VE-44B=子5A马B·EB.:S=合AB· BC∥AD,∠ABC=90°，得四边形 AD,=1,V-A=号EB,=号EB,=2.AD/AD, ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为 D ∴∠ADE为异面直线AD,DE所成的角或其补角.在 侧面PAD为等边三角形且垂直于底 B c Rt△EB,D1中，求得ED=2√2.D1A1⊥平面AABB, 面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PMC平面PAD,所 AEC平面A1ABB1,∴.D1A1⊥A,E.在Rt△EA1D1中，得 以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.因为CMC底面ABCD,所以 PM⊥CM.设BC=x,则CM=x,CD=√2x,PM=√3x,PC= m∠AaE品-宁∠ADE=0,六异面直线A0 PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,所以PN= D1E所成的角为60°. ，因为△PCD的面积为2，所以号×，z×平x 5.(1)证明：如图所示，连接DE, D 2 2 D1E..AB∥CD,AB=2CD,E是 2W7,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4, A AB的中点，∴.BE∥CD,BE=CD, PM=2反.所以四棱锥P-ABCD的体积V=言×22× 四边形BCDE是平行四边形， 2 .DE∥BC.又DE中平面 H 2√3=4√3. BCCB,BCC平面BCCB,.DE∥平面BCCB1.DD1∥ 2.(1)证明：如图所示，取AB的中点D,连A1 CC,DD中平面BCCB,,CC1C平面BCC1B1,.DD∥平面 接DE,BD.因为E是A1C的中点，所以 BCCB.又DD∩DE=D,DE,DDC平面DED1,.平面 DE=BC.又因为BC L B.C,BF= DED1∥平面BCCB1.:EFC平面DED,∴EF∥平 面BCC1B1. 号BC所以DELBF,所以四边形BDEF为 A (2)解：如图所示，连接BD.设CD=1,则AB=BC=CC=2. 平行四边形，则BD∥EF.又因为BDC平面 :∠BCD=60°，.BD=V√BC+CD-2BC·CD·cos60= AA1B1B,EF平面AA1B1B,所以EF∥平面AA1B1B. √3，∴.CD2+BD=BC,∴.BD⊥CD.同理可得，CD⊥CD..平 (2)解：如图所示，取AC的中点H,连接HF,EH.因为EH∥ 面DCCD⊥平面ABCD,平面DC1CD∩平面ABCD=CD, AA1,AA1⊥平面ABC,所以EH⊥平面ABC,所以∠EFH就是 C1DC平面D1C1CD,∴.C1D⊥平面ABCD.,BCC平面AB EF与平面ABC所成的角.在Rt△EHF中，FH=√3，EH= CD,.CD⊥BC,.CD⊥BC1.在平面ABCD中，过 点D作DH⊥BC,垂足为H,连接CH,如图所示.，'CD∩收学 8.6空间直线、平面的垂直 8.6.1直线与直线垂直 。基础过关) 1.分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是 A.相交 B.异面 C.异面或相交 D.平行 2.已知直线a,b,c,下列三个命题，其中正确命题的个数有 ( ①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b,a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b,a⊥ c,则b∥c. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.在正方体ABCD一A1BC,D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为 () A号 B号 C5 2 D分 2 4.如图所示，三棱柱ABC一A1B1C1中，底面三角形A1BC1是正三角形，E是BC的 中点，则下列叙述正确的是 A.CC1与B1E是异面直线 B.C1C与AE共面 C.AE,B1C1是异面直线 D.AE与B1C1所成的角为60° 5.已知直三棱柱ABC一A1B,C中，∠ABC=120°，AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成 角的余弦值为 ( A号 B C.①o 5 D.3 3 6.在正方体ABCD一A1B1C1D1的面对角线中与AD1成60°角的有 A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 7.在正三棱柱ABC一A1B1C1中，若AB=√2BB1,则AB1与BC1所成的角的大小是 A.60° B.75° C.90 D.105° 8.如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的 中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于 M 9.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方休纸盒中有如下结论，其中正确结论 的序号为 ①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD. 50 无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 10.如图所示，空间四边形ABCD中，AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点，求EF和AB 所成的角。 B 11.如图所示，已知长方体ABCD一A1B1CD1中，A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点.求证： CD1⊥EF C D B E D B 12.空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF=√3，求异面直线AD,BC 所成的角. h 春 能力提升) 脚 1.(多选)如图所示，在正方体ABCD一ABCD中，M,N分别为棱C1D1,C1C的中 D M 世 点，则以下四个结论中正确的是 )Ai B A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB,是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线 D 2.(多选)如图所示是正四面体的平面展开图，G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC 的中点，在这个正四面体中，下列命题正确的是 A.GH与EF平行 GM 剂 B.BD与MN为异面直线 C.GH与MN成60°角 D.DE与MN垂直 3.在正方体ABCD一A1B1CD1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角0的 取值范围是 ) A.0°<0<60° B.0°≤0<60° C.0°≤0≤60° D.0°<0≤60 4.(多选)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=CD,且AB与CD所成的角为 30°，E,F分别为BC,AD的中点，则EF与AB所成角的大小可以是 A.159 B.30° C.609 D.759 5.已知正方体ABCD一A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成 角的余弦值为 6.在直三棱柱ABC一A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC1所成 角的余弦值是 7.如图所示，在四棱柱ABCD一A1B1CD1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB= 2√3，∠ABC=120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1的长. D C D 8.如图所示，空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角，且AD=BC=a,平行于AD与BC的截 面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.则E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大 面积是多少？ E B之- 〉D G 51 8.6.2直线与平面垂直 第1课时直线与平面垂直的判定定理 ,基础过关) 1.设l,m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的是 A.若l⊥m,mCa&,则l⊥a B.若l⊥a,l∥m,则m⊥a C.若l∥a,mCa,则l∥m D.若l∥a,m∥a,则l∥m 2.如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线1与平面a的位置关系是 A.ICa B.l⊥a C.l∥a D.lCa或l∥a 3.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是 ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边， A.①③ B.② C.②④ D.①②④ 4.若三条直线OA,OB,OC两两垂直，则直线OA垂直于 A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC 5.如图所示，在正方体ABCD一A1B1CD,中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥ D A D1O,H为垂足，则B,H与平面AD1C的位置关系是 、B1 H A.垂直 B.平行 -0 C.斜交 D.以上都不对 6.若斜线段AB是它在平面α上的射影长的2倍，则AB与平面α所成的角是 A.60° B.45° C.30° D.120° 7.正方体ABCD一A1B1C1D1中，AB1与平面ABC1D1所成的角为 A.30 B.45° C.60 D.90° 8.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A,B,C,D四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD和平 面ABC所成的角的大小为 ( A.90 B.609 C.45 D.30° 9.如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC= 30°，PA=AB,则直线PC与平面ABC所成角的正切值为 10.如图所示，正三棱柱ABC一A1B1C1中，AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角 的正弦值 52无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 11.如图所示，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，M,N分别是棱AA1和AB上的 D 点，若∠BMN是直角，则∠C1MN= 夕 12.如图所示，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AD=2,PA=2, M A PD=2√2，求证：AD⊥平面PAB. N D B----- 13.如图所示，已知AB为圆0的直径，且AB=4,点D为线段AB上一点，且AD=号DB,点C为圆 必 O上一点，且BC=√3AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=DB. 辨 (1)求证：CD⊥平面PAB; (2)求直线PC与平面PAB所成的角 D O 能力提升) 1.三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的 A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心 2.如图所示，在正方形SG1G2G3中，E,F分别是G1G2,G2G3的中点，现沿SE,SF,EF把这个正方形 折成一个四面体，使G1,G2,G3重合为点G,则有 A.SG⊥平面EFG B.EG⊥平面SEF 数 C.GF⊥平面SEF D.SG⊥平面SEF 3.如图所示，四棱锥S一ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD,则下列结论中 地 不正确的是 剂 布 A.AC⊥SB ▣ 世 B.AB∥平面SCD 长 C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 4.如图所示，在直三棱柱ABC一A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a, BB1=3a,D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF= 时，CF⊥平面B1DF B C 5.已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为√3，那么 P到平面ABC的距离为 ,直线PC与平面ABC所成的角为 6.如图所示，在四棱锥P一ABCD中，AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4, PD=2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； (2)求证：PD⊥平面PBC; (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 7.如图所示，已知多面体ABC一A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°，A1A= 4,C1C=1,AB=BC=B1B=2. (1)求证：AB1⊥平面A1BC; (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. C 53 8.6.2直线与平面垂直 第2课时直线与平面垂直的性质定理 。基础过关) 1.在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线 与圆柱的母线所在直线的位置关系是 () A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或平行 2.下列命题中正确的个数有 () ①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③一条直 线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.直线l与平面a内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是 A.l和平面α相互平行 B.l和平面a相互垂直 C.l在平面a内 D.不能确定 4.如图所示，a∩B=l,点A,C∈a,点B∈3，且BA⊥a,BC⊥B,那么直线L与直线AC 的关系是 ( A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定 5.在空间中，下列命题中正确的是 ①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于 同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行 A.①③④ B.①④ C.① D.②③④ 6.已知平面a与平面3相交，直线m⊥a,则 A.B内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直 B.3内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 C.3内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直 D.3内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 7.△ABC所在的平面为a,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是 A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 54无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 8.如图所示，□ADEF的边AF⊥平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE等于 E A.2 B.3 C.√5 D.√13 9.(多选)如图所示，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O,且AB M 为圆O的直径，点M为线段PB的中点.以下各命题中，真命题为 4 0B A.BC⊥PC C B.OM∥平面APC C.点B到平面PAC的距离等于线段BC的长 D.三棱锥M一PAC的体积等于三棱锥P一ABC体积的一半 10.长方体ABCD一A1BCD1中，MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC于点M,则MN与AA1的 位置关系是 11.正方体ABCD一A1B1C1C1,棱长为a. (1)求直线A1A到平面B1BCC1的距离； (2)求直线A1A到平面D1DBB1的距离. 12.如图所示，在四棱锥P一ABCD中，PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=2,AB=2DC,AB∥DC, ∠BCD=90°. (1)求证：PC⊥BC; (2)求多面体A一PBC的体积. D 能力提升) 1.(多选)空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC,BD的关系是 A.垂直 B.相交 C.不相交 D.不垂直 剂 2.(多选)已知a,b,c为三条不同的直线，a,B为两个不重合的平面，下列四个命题，其中不正确的有 A.a⊥&，b∥B,且a∥B→a⊥b B.a⊥b,a⊥a→b∥a C.a⊥a,b⊥a,a∥c→b∥c D.a⊥a,3⊥a→a∥3 3.在正方体ABCD一A1B1C1D1中，若直线（与直线BB:不重合）⊥平面A1C1,则 A.B1B⊥l B.B1B∥1 C.B1B与l异面但不垂直 D.B1B与l相交但不垂直 4.已知m,n为异面直线，m⊥平面a,n⊥平面3，直线l满足l⊥m,l⊥n,l￠a,l中3，则 A.a∥B且l∥a B.a⊥3且l⊥3 C.a与3相交，且交线垂直于l D.a与B相交，且交线平行于L 5.直线a和b在正方体ABCD一A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是 .(只 填序号即可) ①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同 一条棱；④α和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直. 6.如图所示，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中 D 点，MN⊥平面ADC,则MN与AD1的位置关系为；若AM=λAB, Ai.N B 则入= 7.已知四棱锥P一ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，PD⊥平面AB D CD,PD=6,E为PD的中点，过EB作平面a分别与线段PA,PC交于点M, A M B N,且AC/e,则 ;四边形EMBN的面积为 8.如图所示，在四面体P一ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=1,BC=√3，AC=2. (1)求证：BC⊥平面PAB; (2)在线段PC上是否存在点D,使得AC⊥BD,若存在，求PD的值，若不存在，请说明理由. B 55 学 8.6.3平面与平面垂直 第1课时平面与平面垂直的判定定理 。基础过关) 1.如图所示，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于 A,B)且PA=AC,则二面角P-BC一A的大小为 () A.60° B.30 C.45 D.15° 2.下列不能确定两个平面垂直的是 ( A.两个平面相交，所成二面角是直二面角 B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 C.一个平面经过另一个平面的一条垂线 D.平面a内的直线a垂直于平面B内的直线b 3.关于直线a,b以及平面M,N,下列命题中正确的是 ( A.若a∥M,b∥M,则a∥b B.若b∥M,a⊥b,则a⊥M C.若bCM,a⊥b,则a⊥M D.若a⊥M,aCN,则M⊥N 4.已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A,B的一点，D为下底面圆周上一点， 且AD⊥圆柱的底面，则必有 () A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACD C.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD 5.如图所示，在四面体D一ABC中，若AB=BC,AD=CD,E是AC的中点，则下列命 D 题中正确的是 A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE 6.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍.沿AD将△ABC翻折， 使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B一AD一C的大小为 () D A.30° B.459 C.60 D.90° 7.在正四面体P一ABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，下面四个结论中不成立的是() A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC 56无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 8.如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面ABC,点C是圆上的任 P 意一点，图中互相垂直的平面的对数为 ) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 9.如图所示，在三棱锥P一ABC中，已知PC⊥BC,PC⊥AC,点E,F,G分别是所在 0 棱的中点，则下面结论中错误的是 ( A.平面EFG∥平面PBC B.平面EFG⊥平面ABC C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角 D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角 10.已知a,3是两个不同的平面，l是平面α与3之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥a,②l∥3， ③α⊥3以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .(用序号表示) 11.如图所示，在长方体ABCD一A1B1CD1中，BC=2,AA1=1,E,F分别在 D AD和BC上，且EF∥AB,若二面角C1一EF-C等于45°，则A B BF= 12.如图所示，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥底面ABCD且底面各边都相等，M 是PC上一点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写P 一个你认为正确的条件即可) D C 13.如图所示，在三棱锥P一ABC中，PC⊥平面ABC,AB⊥BC,D,E分别是AB,PB 的中点. (1)求证：DE∥平面PAC: (2)求证：AB⊥PB; (3)若PC=BC,求二面角P一AB-C的大小. 能力提升) 1.在长方体ABCD一A1B1CD1中，AB=AD=2√3，CC1=√2，则二面角C一BD一C1的大小是 A.30 B.45 C.60° D.90 2.若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点， 则下列结论中不正确的是 ( A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PAE⊥平面ABC D.平面PDF⊥平面ABC 3.在二面角a一I-3中，A∈a,AB⊥平面3于B,BC⊥平面a于C,若AB=6,BC=3,则二面角a一l-3的 平面角的大小为 () A.30° B.609 C.30°或1509 D.60°或120° 4.(多选)如图所示，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，侧面PAD为正三角 形，且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是 A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMB B.异面直线AD与PB所成的角为90° C.二面角P-BC-A的大小为45 D.BD⊥平面PAC 5.如图所示，正方形BCDE的边长为a,已知AB=√3BC,将△ABE沿BE边折起，折起后A点在平 面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值为√3； ②AB/CE:③Va-=名a;④平面ABC1平面ADC,其中正确的命题序号为 6.如图所示，在四棱锥P一ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a,PA=PC=√2a, (1)求证：PD⊥平面ABCD; (2)求证：平面PAC⊥平面PBD: (3)求二面角P一AC一D的正切值. 7.如图所示，已知三棱锥P一ABC,∠ACB=90°，CB=4,AB=20,D为AB的中点，且△PDB是正 三角形，PA⊥PC (1)求证：平面PAC⊥平面ABC; (2)求二面角D一AP一C的正弦值； (3)若M为PB的中点，求三棱锥M一BCD的体积. M D 8.(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的 中点 (1)证明：平面BED⊥平面ACD; D (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时， 求三棱锥F-ABC的体积. B E 57 数 8.6.3平面与平面垂直 第2课时平面与平面垂直的性质定理 ,基础过关) 1.设a,B是两个不同的平面，l,m是两条不同的直线，且lCa,mCβ，则下列说法正确的是 ( A.若l⊥3，则a⊥3 B.若a⊥β，则l⊥m C.若l∥3，则a∥3 D.若a∥B,则l∥m 2.已知直线m,n和平面a,3,若a⊥B,a∩B=m,nCa,要使n⊥3，则应增加的条件是 A.m∥n B.n⊥m C.n∥a D.n⊥a 3.下列命题中错误的是 A.如果平面&⊥平面B,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面B,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面B C.如果平面a⊥平面Y,平面B⊥平面y,a∩B=l,那么l⊥平面Y D.如果平面a⊥平面β，那么平面a内所有直线都垂直于平面B 4.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD,沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD,连 接AC,则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为 () A A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 5.如图所示，三棱锥P一ABC的底面在平面a内，且AC⊥PC,平面PAC⊥平面 PBC,点P,A,B是定点，则动点C的轨迹是 ( ) A.一条线段 B.一条直线 AB C.一个圆 D.一个圆，但要去掉两个点 a 6.已知平面a⊥平面B,a∩B=n,点A∈a,A庄n,直线AB∥n,直线AC⊥n,直线m∥a,m∥B,则下列四 种位置关系中，不一定成立的是 A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥3 D.AC⊥3 7.如图所示，三棱锥P一ABC中，平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则 ( A.PDC平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC 8.如图所示，在斜三棱柱ABC一ABC1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC,则点C1在平面 ABC上的射影H必在 B A.直线AB上 B.直线BC上 A C.直线AC上 D.△ABC内部 B 58 无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 9.如图所示，平面a⊥平面B,A∈a,B∈B,AB与两平面a,B所成的角分别为T和 否过A,B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A',B,则AB:AB'等于 B'4 BB) ( A A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3 10.平面a⊥平面B,a∩B=l,nCB,n⊥l,直线m⊥a(m,n是两条不同的直线)，则直线m与n的位置关 系是 11.已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A,连接PB,PC,PD,则平面 PAB,平面PAD,平面PCD,平面PBC,平面ABCD中，互相垂直的平面有 对. 12.如图所示，把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起，使平面ADC⊥平面BDC,如图B 所示，互相垂直的平面有 对，其中1对是 13.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB=60° 的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的 中点，求证：BG⊥平面PAD. 2----D D 单 14.如图所示，在四棱锥P一ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥平面ABCD, PA⊥AD,E和F分别为CD和PC的中点， (1)求证：PA⊥平面ABCD; (2)求证：BE∥平面PAD; (3)求证：平面BEF⊥平面PCD. D B 15.如图所示，在三棱柱ABC一A1B1C1中（底面△ABC为正三角形），A1A⊥平面ABC,AB=AC= 2,AA1=√3，D是BC边的中点 (1)求证：平面ADB1⊥平面BB1C1C; (2)求点B到平面ADB1的距离. 能力提升〕 1.(多选)给定下列四个命题，其中为真命题的是 三三 A.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行 B.若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直 h C.垂直于同一直线的两条直线相互平行 剂 D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 2.(多选)如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AD:BC:AB=2: 牧 3:4,E,F分别是AB,CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四 个结论，在翻折过程中，可能成立的结论为 ( A.DF⊥BC B.BD⊥FC C.平面DBF⊥平面BFC D.平面DCF⊥平面BFC 3.如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1,BD=√2，BD⊥ CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'一BCD,使平面 丝 A'BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是 A.AC⊥BD B.∠BA'C=90° C.CA'与平面A'BD所成的角为30° D.四面体A'-BCD的体积为3 4.(多选)如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A,D分别是BF,CE上的点，AD∥ BC,且AB=DE=2BC=2AF(如图①所示).将四边形ADEF沿AD折起，连接BE,BF,CE(如图 ②所示).在折起的过程中，下列说法中正确的是 ( ② A.AC∥平面BEF B.B,C,E,F四点不可能共面 C.若EF⊥CF,则平面ADEF⊥平面ABCD D.平面BCE与平面BEF可能垂直 5.如图所示，四面体P一ABC中，PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ACB= 90°，AC=8,BC=6,则PC= 6.如图所示，A,B,C,D为空间四点，在△ABC中，AB=2,AC=BC=√2，等边三角形 A ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD= 7.如图所示，四棱锥P一ABCD的底面是一个直角梯形，AB∥CD,BA⊥AD,CD= 2AB,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点，则平面EBD能垂直于平面ABCD吗？ 请说明理由. 8.如图所示，已知PA⊥平面ABC,AD⊥PB,垂足为D,AE⊥PC,垂足为E,∠ABC=90°. (1)求证：平面ADE⊥平面PAC; (2)作出平面ADE与平面ABC的交线l,并证明∠EAC是二面角E一l一C的平面角.（在图中体 现作图过程不必写出画法) 59