第八章 单元3 空间直线、平面的垂直 B卷 能力提升-【金试卷】2025-2026学年高一数学必修第二册同步单元双测卷（人教A版）

第八章立体几何初步 单元3空间直线、平面的垂直 B卷 能力提升 容 建议用时：70分钟满分90分 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给 密 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)》 1.已知直线l和平面a,β，且1Ca,则“1L”是“a⊥”的 封 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 线 2.已知正四棱柱ABCD一A1B1C,D1的底面正方形边长为1，AA1 =2,则异面直线AB与AD1所成角的余弦值为 () 昂 内 A.5 B C26 5 D.、5 15 3.在等腰△ABC中，∠ABC=120°，点O为底边AC的中点，将 不 △ABO沿BO折起到△DBO的位置，使二面角D一BO-C的大 小为120°，则异面直线DO与BC所成角的余弦值为 ) 数 准 A③ 4 ·3 D. 3 答 4.将地球看作一个以O为球心的球体，地球上点P的纬度是指OP 与赤道面所成角的度数.一个地球仪，在其北半球某纬线圈上有 茶 题 A,B,C三点，其中AB=2,AC=2√3，∠ABC=60°，且三棱锥 O-ABC的体积为4V ,则这个纬线圈的纬度为 A.30° B.45° C.60° D.75° 5.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8,∠BAC=60°，PC⊥平面 丝 邻 ABC,PC=4,M是AB边上的一动点，则PM的最小值为 ( A.2√7 B.7 C.√/19 D.√5 6.如图，在正方体ABCD一ABCD1中，点P在线段BC上运动， 则 ( D B A.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是 3’2 B.二面角B,-CD-B的大小为罗 C.三棱锥P一D1C,D的体积为定值 D.BD⊥平面A1D1D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分) 7.如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC,AD=AB =1,∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿 BD折起，点A到达A'的位置，此时A'C=√3，构成三棱锥A' BCD,则 ( A.平面A'BD⊥平面BDC B.平面A'BD⊥平面A'BC C.平面A'DC⊥平面BDC D.平面A'DC⊥平面A'BC 8.如图所示，在四棱锥E一ABCD中，△CDE E 是边长为2的正三角形，点N为正方形 ABCD的中心，M为线段DE的中点，BC C ⊥DE,则下列结论正确的是 D A.平面CDE⊥平面ABCD B.直线BM与EN是异面直线 C.线段BM与EN的长度相等 D.直线EA与平面ABCD所成的角的余弦值为 4 9.如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD,沿AD 把三角形ABC折起来，则 () A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DBC B.三棱雏A一DB'C的体积的最大值为 48 C.当∠B'DC=60时，点A到B'C的距离为⑤ D.当∠B'DC=90时，点C到平面ADB'的距离为3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 10.如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3,BC= a,若PA⊥平面ABCD,在BC边上取点E,使 PE⊥DE,则满足条件的E点有两个时，a的 取值范围是 11.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异 于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平 面，点M是线段PB的中点.有以下四个 命题： ①MO∥平面PAC;②PA∥平面MOB;③OC⊥平面PAC;④平 面PAC⊥平面PBC. 其中正确的命题的序号是 12.如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD,AB= 2AD=2CD=2,将△ACD沿AC折起到△ACD'的位置，得到 图2中的三棱锥D'一ABC,其中平面ABC⊥平面ACD',则三 棱锥D一ABC的体积为 D 图1 图2 第一部分单元、阶段检测卷23 四、解答题（本题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 13.(10分)如图，在三棱台ABC一DEF中，CF⊥平面DEF,AB ⊥BC (1)设平面ACE∩平面DEF=a,求证：DF∥a; (2)若EF=CF=2BC,试问在线段BE上是否存在点G,使得平 面DFG⊥平面CDE?若存在，请确定G点的位置；若不存在， 请说明理由. 24第一部分单元、阶段检测卷 14.(10分)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC =BD=2.∠ABC=∠DBC=120°，E,F,G分别为AC,DC,AD 的中点 (1)求证：EF⊥平面BCG: (2)求三棱锥D一BCG的体积. B D 15.（10分)如图，在三棱锥P一ABC中， △PAC是边长为2的正三角形，BC= AC,∠ACB=,D为AB上靠近A 的三等分点. (1)若PB=2√2，求证：平面PCD⊥平 面PCB; (2)当三棱锥P一ABC的体积最大时，求点D到平面PBC 的距离.又BDC平面ABCD,所以CC1⊥BD. 又CC1C平面ACC1,ACC平面ACC1,且AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1, 由直四棱柱的定义可知BB1∥DD1,BB1=DD1. 因为E,F分别是棱BB1,DD1的中点，所以BE∥DF,BE=DF, 所以四边形BEFD是平行四边形，则EF∥BD. 故EF⊥平面ACC1. 又EFC平面AEF,所以平面AEF⊥平面ACC1. (2)连接A1E,A1F,过B作BH⊥AD,垂足为H. D C 由直四棱柱的定义可知AA1⊥平面ABCD, 又BHC平面ABCD, B 所以AA1⊥BH. 又AA1C平面ADD1A1,ADC平面ADD1A1,AA1∩ AD=A, 所以BH⊥平面ADD1A1. D 因为AB=AD=2,∠BAD=60°，所以BH=√3. 易得BE∥平面A1AF,所以E到平面A1AF的距离即 为B到平面A1AF的距离，该距离为BH=√3， 易得△AA1F的面积为2×4X2=4,则三棱维E-AAF的体积V,=号×4X,厅 =43 3 设点A1到平面AEF的距离为d,易得AE=AF=2V2,EF=2, 所以△AEF的面积为号×2X√2②)2-12=7，则三棱锥A1-AEF的体积V =专×d=g4 31 又因为V1=V2,所以74_4y,解得d=4y四 33 7 B卷能力提升 1.A由面面垂直的判定定理可得，若lCa,l⊥B,则a⊥B,充分性成立；若lCa,⊥B, 则1与B平行或相交，必要性不成立，所以“1⊥B”是“α⊥B”的充分不必要条件，故 选A. 2.B连接D1C,AC,如图所示， D 在正四棱柱ABCD-A1B1CD1中，易知A1B∥D1C, A ∴.∠AD1C是异面直线A1B与AD1所成的角（或补角） 在△AD1C中，易知AD1=D1C=√5，AC=√2， 由余弦定理，得AC2=AD?十D1C2-2AD1·D1C·cos∠AD1C, :co8∠AD,C-⑤)2+(52-2)2-4.故选B. 2·√5·√5 5 3.A由题设知OA⊥OB,即DO1OB,又OCLOB,所D 以二面角D一BO一C的平面角为∠COD,所以 ∠C0D=120°， 分别取OC,CD,OB的中点E,F,C,连接EF, FG,EG, 所以EF∥DO,EG∥BC, B 故异面直线DO与BC所成的角即为∠FEG或其 补角， 设EG=1,则BC=2,0C=OD=3,故EF= 2, 因为∠C0D=120°，0C=D0=-,所以0F=5, 21 易得OB⊥平面COD, 又OFC平面COD,所以OB⊥OF, 在R△G0F中，易得OG=分，又0F=9,所以GF=1, 所以在△FEG中，os∠FEG=EF2EC2-GF=5.故速A 2EF·EG 4.B在△ABC中，由正孩定理得sin∠ACB AB AC BA D C sin∠ABC' 所以n∠ACB=AB·∠ABC2X号 21 0 AC 232, 又AB<AC,所以∠ACB=30°，∠BAC=90°， 即BC为△ABC外接圆的直径，取BC的中点D,则D 为△ABC外接圆的圆心， 连接OD,则OD为三棱锥O一ABC的高. 又三棱锥0-ABC的依积为4g,所以号×号X2X2,5X0D-1,所以OD=2。 3 3 已知A,B,C是该纬线圈上的三点，而A,B,C所在平面与赤道平面平行， 所以这个纬线圈的纬度与∠OCD的大小相等. 在直角三角形0DC中，易得CD=2BC=2,又OD=2, 所以∠OCD=45°.则这个纬线圈的纬度为45°.故选B. 5.A如图所示，因为PC⊥平面ABC,CMC平面ABC,所以 P PC⊥CM,则△PCM是直角三角形， 故PM2=PC2+CMP, 所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小， C ---->B 由条件知AC=4,BC=4√3， 故CM的最小值为2√3， 又PC=4,则PM的最小值为√42+(2√3)2=2√7.故选A. 6.A因为A1D∥B1C,所以异面直线AP与A1D所成的角即为直线AP与B1C所成 的角，易知△AB1C是正三角形， 当点P与线段B1C的端，点重合时，异面直线AP与A1D所成的角取得最小值，为 子，当点P为线段B1C的中点时，异面直线AP与AD所成的角取得最大值，为登 故异面直线AP与AD所成角的取值范国是[行，受]，A正确 易得CD⊥平面BCC1B1,又B1CC平面BCC1B1.所以CD⊥B1C,又CD⊥BC,所以 二面角B-CD-B的平面角为∠BCB1,易知∠BCB1=平，B错误； 点P运动时，它到平面DC1D的距离不断变化，所以三棱锥P一DCD的体积不为 定值，C错误； 易知AB与平面A1D1D垂直，所以BD与平面A1D1D不垂直，D错误.故选A. 7.AD在三棱锥A'一BDC中，A'D=A'B=1,故BD=√2，DC=√2，又A'C=3,故 A'C2=A'D2+DC2,则CD⊥A'D, 又CD⊥BD,A'D∩BD=D,所以CD⊥平面A'BD, 故平面A'BD⊥平面BDC. 又CD⊥平面A'BD,所以CD⊥A'B,又A'B⊥A'D,A'D∩CD=D,所以A'B⊥平面 A'DC, 故平面A'DC⊥平面A'BC.故选AD. 8.AD.'BC⊥CD,BC⊥DE,CD∩DE=D,CDC平面 E CDE,DEC平面CDE,∴.BC⊥平面CDE, 又BCC平面ABCD,∴.平面ABCD⊥平面CDE,A项正 确； M 连接BD,易知BMC平面BDE,ENC平面BDE,∴.直 二B 线BM和EN共面，B项错误； 设CD的中点为F,连接EF,FN,FA,CM,则EF⊥CD, D 又.'平面ABCD⊥平面CDE,平面ABCD∩平面CDE =CD,EFC平面CDE, ∴EF⊥平面ABCD,又FNC平面ABCD,.EF⊥FN, :R,N分别为CD,BD的中点，FN=子BC=1, 又EF=√CE2-CF2=√3，∴.EN=√EF2+FN2=2, 又BM=√JBC2+CM=√7，∴.BM≠EN,C项错误； 设EA与平面ABCD所成的角为0，则0=∠EAF,易知AF=√5，EA=2√2，则cos0 _AF=0,D项正确.故选AD. EA 4 9.ABC因为AD⊥DC,AD⊥DB',且DC∩DB'=D,DC,DBC平面DBC,所以AD ⊥平面DB'C,故A正确； 当DB'⊥DC时，△DB'C的面积最大，此时三棱锥A一DB'C的体积也最大，最大值 为×××合×-得故B正确， 当∠B'DC=60°时，△DB'C是等边三角形，设BC的中，点为E,连接AE,则AE⊥B C,即AB为点A到BC的距离AE=-(合-平，故C正角： 当∠BDC=90°时，CD⊥DB,CD⊥AD,故CD⊥平面ADB',则CD就是点C到平 面ADB'的距离，则CD=号，故D不正确，故选ABC 10.答案(6，十o∞) 解析由题意知PA⊥DE,又PE⊥DE,PA∩PE=P. 所以DE⊥平面PAE,则DE⊥AE. 易证△ABE∽△ECD. 设BE=,22-器即。3。=音2-a+9=0,() 由题意方程(*)有两个不相等的实根，故△=a2一4×1X9>0,则a>6. 11.答案①④ 解析对于①，因为M,O分别为PB,AB的中点，所以MO为三角形BPA的中位 线，所以MO∥PA,又PAC平面PAC,MO寸平面PAC,所以MO∥平面PAC,所 以①正确. 对于②，因为PAC平面MOB,所以②错误， 对于③，因为BC⊥AC,所以OC不会垂直于AC,故OC不垂直于平面PAC,所以③ 错误. 对于④，因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC.又BC⊥AC,PA∩ AC=A,PA,ACC平面PAC,所以BC⊥平面PAC,又BCC平面PBC,所以平面 PAC⊥平面PBC,所以④正确. 12.答案号 解析.'AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2, D AC=√2，BC=√2，∴.AC2+BC2=AB2,.ACLBC, 取AC的中点E,连接D'E, E ,DA=D'C,∴.DE⊥AC, A 又平面D'AC∩平面ABC=AC,平面ABC⊥平面ACD', .DE⊥平面ABC, 易知DE=号期三技#D-ABC的体积为号×名×X号-号。 26 13.解(1)证明：在三棱台ABC一DEF中， AC∥DF,ACC平面ACE,DFt平面ACE,.DF∥平面ACE. 又.'DFC平面DEF,平面ACE∩平面DEF=a,.DF∥a. (2)线段BE上存在点G.使得平面DFG⊥平面CDE,此时 H B BG-专BE. 证明如下： 取CE的中，点O,连接FO并延长交BE于点G,交CB的延 长线于点H,连接GD, ,CF=EF,GF⊥CE. 在三棱台ABC-DEF中，AB⊥BC→DE⊥EF. 由CF⊥平面DEF可得CF⊥DE. 又CF∩EF=F,CF,EFC平面CBEF,∴.DE⊥平面CBEF, 又GFC平面CBEF,.DE⊥GF. ,CE∩DE=E,CEC平面CDE,DEC平面CDE,∴.GF⊥平面CDE 又GFC平面DFG,.平面DFG⊥平面CDE. 参考答案65 易证△HOC≌△FOE, ∴HC=EF,又EF=CF=2BC,HB=BC=2EF. 由△HGB△PGE,可知-提-合，中BG=号E 14.(1)证明.AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°，∴.△ABC≌△DBC,∴.AC=DC. .G为AD的中点，.CG⊥AD, 同理BG⊥AD. .'CG∩BG=G,CG,BGC平面BGC,∴.AD⊥平面BGC 又E,F分别是AC,CD的中点， ∴.EF∥AD,∴.EF⊥平面BCG. (2)解在平面ABC内，作AO⊥CB,交CB的延长线 A 于0， “.△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平 面BCD=BC,且AOC平面ABC, ∴.AO⊥平面BCD. G为AD的中点， 0 B G到平面BCD的距离h是AO长度的一半. 在△AOB中，A0=AB·sin60=3,h= D 2 在△BCD中，BF=BD·cos60=2X2=1, DF=BD·sin60°=3，∴.DC=2√3， 故Sac=BF·DC=2×1X2g=5, V-V8-m子Sh-号×5×号子 15.解析(1)证明：因为△PAC是边长为2的正三角形，所以AC=PC=2,又AC= BC,PB=2√2，所以PB2=PC2+BC2,所以PC⊥BC. 在△ACB中，BC=AC=2,∠ACB=子，由会孩定理得AB=AC+BC2-2AC, BC·o8∠ACB=2+2-2X2X2X(-2）=12,故AB=23 又因为D为AB上靠近A的三等分点， 所以BD=43 3 在△BCD中，易知∠CBD=吾，由余孩定理得CD=BC2+BD2-2·BC·BD cos∠CBD=22+ 43 3 2X2×4×9-号故cD-2g,所以cD+BC= 3 3 BD2,所以CD⊥BC. 又CD∩PC=C,CD,PCC平面PCD,所以BCL⊥平面PCD, 又BCC平面PCB,所以平面PCD⊥平面PCB. (2)易知三棱锥P一ABC的体积最大时，平面PAC ⊥平面ABC.取AC的中点O,连接PO,OB,如图 所示， 因为△PAC是正三角形，O是AC的中点，所以PO ⊥AC,又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面 二二 ABC=AC,POC平面PAC,所以PO⊥平面ABC, 易得PO=√PC2-OC=√3，在Rt△BCD中， Sam=日·BC,CD=号×2X29-2g,所以V,-m=号·Sam·P0 3 子×2g×5-号， 在△OBC中，由余孩定理得0B2=0C2+BC2-20C·BC·os-12+22-2X1 X2cos2号=7， 在Rt△POB中，PB=√PO+OB2=√/10， 66参考答案 所以在△PgC中，ms∠PCB-PCPC._2+2x22- 2·PC·BC 2×2×2 所以Sn∠PCB=-oPCB=,Samc=名Cp.CB·s∠PCB= ×2×2x压=， 4 2 设点D到平面PBC的至高为白Vne=V-D得号×四.d=号解得 2 d=415 15 所以点D到平面PBC的距离为4⑤ 15 第八章章末检测卷 1.D.Rt△OA'B′是一平面图形的直观图，斜边OB′=2，∠A'O'B′=45°， R△0A'B'的直角边长是VE,Rt△0A'B'的面积是X2X2=1, .原平面图形的面积是1X2√2=2√2.故选D. 2.B直观图ABCD还原后所得图形为直角梯形A' BCD'(知图)，其中AB=2AB=2,BC=1+受AA D' D'=AD=1. 所以平西周影的面积5=号×(1+1+号）)×2=2 +竖故选B 3.D当点Q与，点D1重合时，截面图形为等边三角 形AB1D1,如图1； 当点Q与，点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D, B(O) 如图2； 当点Q不与，点D,D1重合时，令Q,R分别为DD1,C1D1的中点，则截面图形为等腰 梯形AQRB1,如图3.故选D. (O)D 图1 图2 图3 4.B由圆锥的底面面积是4π，可知底面半径r=2,设圆锥母线长为1， 由于侧面展开图是半圆，故πl=2πX2,l=4,h=√2一r2=2√3. 故体积为号xX2×2=8V3m,故选B. 3 5.D由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O,球O的半径为 R,则OO=R-1. 由勾股定理可得R2=(R一1)2十（√3）2，.R=2, ,.球O的表面积为4πR2=16π.故选D. 6.C因为PD⊥底面ABCD, 所以PD⊥DC,PD⊥BC,PD⊥BD, 因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD, 又因为PD∩CD=D,PDC平面PCD,CDC平面PCD, 所以BC⊥平面PCD,所以BC⊥PC, 所以四面体PDBC是一个鳖糯， 因为BC⊥平面PCD,DEC平面PCD,所以BC⊥DE, 因为PD=CD,点E是PC的中点，所以DE⊥PC, 又因为PC∩BC=C,PCC平面PBC,BCC平面PBC,所以DE⊥平面PBC, 易知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，则四面体EBCD是一个鳖糯， 同理可得，四面体PABD和FABD都是鳖， 故选C. 7.B设BE=x,EC=y,则BC=AD=x十y. 因为PA⊥平面ABCD,EDC平面ABCD,所以PA⊥ED. 又AE⊥ED,PA∩AE=A,所以ED⊥平面PAE,则ED⊥PE. AE=√x2+3,ED=√Jy2+3. 在Rt△AED中，AE2+ED2=AD2, 即x2+3十y2+3=(x十y)2,化简得xy=3. 在R△PED中，PE=VPA+AE-+1,BED=+S2+8. 成，co0=7PE·ED=2%3x4十2+45. 因为3x2+108 x2会2/32.108=36，当且仅当x一√6，y三2时等号成立. 所以SA阳D≥号×V36+5=号.放选B 8.A取AD,BC的中点分别为N,M,正方形ABCD的中心 E02万 O,EF的中点O2,连接EN,MN,FM,OO2,如图， 易知OO2⊥平面ABCD,EF∥AB∥MN,点O是MN的中 点，MN=AB=4, Q 等腰△AED中.AD⊥EN,EN=√AE2-AN2=2√2，同理 M B FM=2√2， 因此，等腰梯形EFMN的高OOa气/EN2-(MN2E乎了=， 由几何体的结构特征知，该刍甍的外接球球心O在直线OO2上，连接O1E,O1A, OA,易知正方形ABCD外接圆半径OA=2√2， 1O1A2=0A2+O02, 则有 01E2=02E2+O20 而01A=0,E,0E=2EF=1, 当点O1在线段O20的延长线（含，点O)上时，视OO1为非负数，当点O1在线段O20 (不含点O)上时，视O01为负数，则有0201=020十001=√7+001，即(2√2)2+ OO=1+(√7+O01)2,解得O01=0, 因此刍甍的外接球球心为O,半径为OA=2√2， 所以刍莞的外接球的体积为暂×(2②)-64故选A 3 9.BD分两种情况：(1)以4cm的长为高，则正四棱柱底面是边长为2cm的正方形， 因此对角线长l1=√22+22+42-2√6(cm). (2)以8cm长为高，则正四棱柱底面是边长为1cm的正方形，因此对角线长l2= √12+12+82=√66(cm).故选BD. 10.ABDA.,EF∥OB,EF=OB,.四边形FEBO为平行四边形，∴.OF∥BE,又OF 丈平面BCE,BEC平面BCE,∴.OF∥平面BCE. B.,AB为直径，.BF⊥AF,由矩形ABCD⊥平面AFEB,可得AD⊥平面AFEB, AD⊥BF,又AF∩AD=A,.BF⊥平面ADF. C.△BEF外接圆圆心为点O,过点O作BC的平行线，则三棱锥C一BEF外接球的 球心位于该平行线上， 记球心为点M,过M作OB平行线交BC于点N,则四边形MOBN为矩形，设MO =BN=x,三棱锥C-BEF外接球的半径为R, R2=MB2=MO2+OB2=x2+1,R2=MC2=MN2+NC2=1+(1-x)2, -合R-ce-专R-台x,g5-55,C错说 D,由C可知，三棱锥C-BEF外接球的半径R-写， 三棱锥C-BEF外接球的表面积为4πR2=5π，D正确.故选ABD. 11.ABC对于A,因为PA⊥平面ABC,故PA⊥BC,又BC⊥AC,故BC⊥平面PAC, 从而BC⊥AF,又AF⊥PC,故AF⊥平面PBC,所以AF⊥PB,AF⊥BC,故A,C正 确； 对于B,由选项A知AF⊥PB,而AE⊥PB,从而PB⊥平面AEF,故EF⊥PB,故B 正确； 对于D,由上面过程可知，AE与平面PBC不垂直，故D不正确.故选ABC