8.5 空间直线、平面的平行-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课时卷

8.5空间直线、平面的平行 8.5.1直线与直线平行 。基础过关) 1.如图所示，在长方体ABCD一A1B1CD,中，E,F分别是B1O和C1O的中点， D 0 则长方体的各棱中与EF平行的有 ( B A.3条 B.4条 D C.5条 D.6条 2.两等角的一组边平行，则 A.另一组边平行 B.另一组边不平行 C.另一组边不可能垂直 D.以上都不对 3.如图所示，a∩B=l,aCa,bCB,且a,b为异面直线，则以下结论中正确的是 A.a,b都与l平行 B.a,b中至多有一条与l平行 C.a,b都与l相交 D.a,b中至多有一条与l相交 4.若∠AOB=∠AOB1且OA∥OA1,OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是 A.OB∥OB1且方向相同 B.OB∥O1B C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行 A 5.如图所示，在三棱柱ABC一A1B1C1中，E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点， 则∠EFG与∠ABC A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不确定 6.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°，则∠PQR等于 A.30° B.30°或150 C.150° D.大小无法确定 7.(多选)下列命题中，正确的结论有 A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等 C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 D.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 40 无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 8.如图所示，在三棱锥P一ABC中，E,F,G,H,I,J分别为线段PA,PB,PC,AB, BC,CA的中点，则下列说法正确的是 ( A.PH∥BG B.IE∥CP C.FH∥GJ D.GI∥JH 9.若AB∥A'B',AC∥A'C',则下列结论： ①∠BAC=∠BA'C;②∠BAC+∠BA'C'=180°；③∠BAC=∠B'A'C'或∠BAC+∠B'A'C'= 180°.其中一定成立的是 10.已知棱长为a的正方体ABCD一A'B'C'D'中，M,N分别为CD,AD的中点，则MN与A'C'的位 置关系是 1如图所示，在空间四边形ABCD巾能铝，器品号则EH与G的位 置关系是 B D 12.如图所示，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的 G 中点 (1)求证：GB∥D1F; (2)求证：∠BGC=∠FD1E. D G ·D 能力提升) 1.如图所示，在四面体A-BCD中，M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC 的中点，则下列说法不正确的是 A.M,N,P,Q四点共面 B.∠QME=∠CBD C.△BCDp△MEQ D.四边形MNPQ为矩形 2.下列结论中正确的是 ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条 直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b, c∥d,且a∥d,那么b∥c. A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③ 3.已知点E,E分别是正方体ABCD一A'BC'D'的棱AD,A'D'的中点，则四边形BBEE的形状为 ,∠BEC与∠B'E'C'的大小 4.如图所示，E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，若 BD=2,AC=4,则四边形EFGH的周长为 地 5.如图所示，在空间四边形ABCD中，E,H分别是AB,AD的中点，F,G分别是CB 翠 解 CD上的点，且器-品-号者BD=6m,梯形EFGH的商积为28，求半行线 EH,FG间的距离. 长 6.如图所示，在平行六面体ABCD一AB1C1D1中，M,N,P分别是CC1,BC1,C1D1的中点.求证： ∠NMP=∠BA1D. D B D P B1 7如图所示，E,PG,H分别是三棱维A-BCD的边AB,BC,CD,DA上的点，且能-部-， CF CG FB GDM. (1)若λ=，判断四边形EFGH的形状； (2)若λ≠4，判断四边形EFGH的形状； (3)若X=H=司，且EGLHF,求S的值 D G B 41 数学 8.5.2直线与平面平行 第1课时直线与平面平行的判定定理 。基础过关) 1.设b是一条直线，a是一个平面，则由下列条件不能得出b∥α的是 A.b与a内一条直线平行 B.b与α内所有直线都无公共点 C.b与a无公共点 D.b不在a内，且与a内的一条直线平行 2.下面说法中正确的有 ①如果一条直线和一个平面平行，那么这个平面内只有一条直线与已知直线平行；②如果直线1∥ 平面a,经过直线l的一组平面分别与a相交于直线a,b,c,d,…,则直线a,b,c,d,…是一组平行 线；③平行于同一个平面的两条直线平行；④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知a,b是两条相交直线，a∥a,则b与a的位置关系是 A.b∥a B.b与a相交 C.bCa D.b∥a或b与a相交 4.若1是平面α外的一条直线，则下列条件中可推出l∥α的是 A.1与a内的一条直线不相交 B.l与α内的两条直线不相交 C.l与a内的无数条直线不相交 D.l与a内的任意一条直线不相交 5.一条直线1上有相异三个点A,B,C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是 ( A.l∥a B.l⊥a C.l与a相交但不垂直 D.l∥a或lCa 6.在正方体ABCD一A1B1CD1中，下面四条直线中与平面AB,C平行的直线是 ( A.DB B.A D C.CD D.A D 7.点E,F,G,H分别是空间四面体A一BCD的棱AB,BC,CD,DA的中点，则空间四面体的六条棱 中与平面EFGH平行的条数有 ( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 8.已知直线a∥平面&，P∈a,那么过点P且平行于直线a的直线 A.只有一条，不在平面a内 B.有无数条，不一定在平面α内 C.只有一条，且在平面α内 D.有无数条，一定在平面α内 9.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O,M为PB的 中点，给出五个结论：①OM∥PD;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④ OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.其中正确结论的个数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 42无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 10.如图所示，在正方体ABCD一AB1C1D中，E为DD1的中点，则BD1与过点 D C A,E,C的平面的位置关系是 E 11.如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点.求 'D C 证：PD∥平面MAC. ◇ M B 12.如图所示，在三棱台DEF一ABC中，AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.求证：BD∥平 面FGH. E B 能力提升) 1.如图所示，已知三棱柱ABC一A1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的动点，且 AD DA =m,若AE∥平面DB1C,则m的值为 B.1 C. 3 D.2 2.下列四个正方体图形中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥ 平面MNP的图形的是 ① ② ③ A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 3.在空间四边形ABCD中，E,F分别为边AB,AD上的点，且AE:EB=AF:FD=1:4,又H,G分别为BC, CD的中点，则 () A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是矩形 B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形 C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形 女 D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形 4.如图所示，四棱锥S一ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C,D,E 三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为 D 长 A.2+√3 B.3+√3 C.3+2√3 D.2+2√3 5.如图所示，ABCD一A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M,N分别是下底面的棱 P AB,B,C的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=号，过点P,M,N的平面 B D C 交上底面于PQ,Q在CD上，则PQ= 6.如图所示，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N分别是SA,BD上的点， B 且兴R器求证：MN∥平面SBC 7.如图所示，已知长方体ABCD一AB1C1D. (1)求证：BC1∥平面AB1D1; (2)若E,F分别是D1C,BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1. D C E B 8.(2022·青海)如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E,F,G分别是BC,DC, SC的中点，求证： (1)EG∥平面BDD1B1; D S (2)平面EFG∥平面BDD1B1. B A D B 数 8.5.2直线与平面平行 第2课时直线与平面平行的性质定理 ,基础过关) 1.如图所示，已知S为四边形ABCD外一点，G,H分别为SB,BD上的点，若GH∥ 平面SCD,则 A.GH∥SA B.GH∥SD C.GH∥SC D.以上均有可能 2.如图所示，在三棱柱ABC一A1BC中，AM=2MA,BN=2NB,过MN作一平面交底 A 面三角形ABC的边BC,AC于点E,F,则 ( A.MF∥NE B.四边形MNEF为梯形 B C.四边形MNEF为平行四边形 D.AB1∥NE 3.已知正方体AC1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是平面A1B1C1D, 0 的对角线BD1上一点，且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ的长为 ( A A.1 B.2 c号 D. 2 4.如图所示，平面a∩3=l1,a∩y=l2,3∩Y=l3,l1∥l2,下列说法正确的是 A.11平行于l3,且l2平行于3 B.11平行于l3,但l2不平行于l3 B C.1不平行于13，且2不平行于3 D.1不平行于l3,但l2平行于l3 5.如图所示，四棱锥S一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为SA上的点， 要使SC∥平面EBD,则E需满足的条件是 A.SE-号SA B.SE-7SA c.sE=号sA D.SE-ISA 6.如图所示，在三棱柱ABC一ABC中，D是BC的中点，E是A1C1上一点，若 A,B/平面品DE,则会芒的值为 7.正方体ABCD一A1B1C1D1中，AB=2,点E为AD的中点，点F在CC1上，若EF∥平面AB1C, 则EF= 8.如图所示，在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是四边上的点，它们共面，并且 AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,当四边形EFGH是菱形时， B AE:EB= 44无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 9.如图所示，已知E,F分别是菱形ABCD中边BC,CD的中点，EF与AC交于点 P O,点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF,试求 PM:MA的值 B E C 10.求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行 能力提升) 1.如图所示，在直三棱柱ABC一A'B'C'中，E和F分别是线段A'C和BC'的中 C 点.下列结论错误的是 A.EF⊥AA B.EF∥A'B1 C.EF∥CB D.EF∥平面ABC 2.(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD,ABC平面a,CD过平面a,则直线CD与平面a内的直线的位 置关系可能是 A.平行 B.异面 C.相交 D.共面 3.（多选)在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点，当BD∥平面EFGH 时，下面结论正确的是 A.E,F,G,H一定是各边的中点 B.G,H一定是CD,DA的中点 A C.AE:EB=AH:HD,H BF:FC=DG:GC E B C D.四边形EFGH是平行四边形或梯形 P 4.如图所示，长方体ABCD一A1B1C1D1中，DD1=8,E,F分别是侧棱AA1,CC 上的动点，AE十CF=8,点P在棱AA1上，且AP=2,若EF∥平面PBD,则 地 CF= 5.如图所示，在四面体A一BCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中正 确的有 .(填上所有正确命题的序号) ①AC⊥BD;②AC=BD;③AC∥截面PQMN;④异面直线PM与BD所成的角 长 为45°. 室 三 6.如图所示，正方体ABCD一AB1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面 D AADD内一点，若EF∥平面BBDD,则EF长度的范围为 A 7.如图所示，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，E,H分别是棱A1B1,DC1上的 点，且EH∥AD,过EH的平面与棱BB1,CC1分别交于F,G.求证：FG∥平 面ADD1A1 H 8.如图所示，已知正三棱柱ABC一A'B'C中，D是AA'上的点，E是B'C的中点，且A'E∥平面 DBC.试判断D点在AA'上的位置，并给出证明. E B 9.如图所示，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，点M在侧 棱PC上，且PM=tPC,若PA∥平面MQB,试确定实数t的值. D D 45 8.5.3平面与平面平行 第1课时平面与平面平行的判定定理 。基础过关) 1.平面a与平面3平行的充分条件可以是 A.a内有无穷多条直线都与B平行 B.直线a∥a,a∥B,且直线a不在&内，也不在3内 C.直线aCa,直线bC3,且a∥B,b∥a D.α内的任何一条直线都与B平行 2.已知直线l,m,平面a,B,下列命题正确的是 A.l∥B,lCa→a∥3 B.l∥3，m∥3，lCa,mCa→a∥β C.l∥m,lCa,mC3→a∥3 D.l∥β，m∥B,lCa,mCa,l∩m=M→a∥β 3.直线l∥平面a,直线m∥平面a,直线l与m相交于点P,且l与m确定的平面为3，则a与3的位 置关系是 () A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定 4.a,3是两个不重合的平面，a,b是两条不同的直线，则在下列条件下，可判定α∥3的是 () A.a,3都平行于直线a,b B.α内有三个不共线的点到3的距离相等 C.a,b是a内两条直线，且a∥B,b∥B D.a,b是两条异面直线，且a∥a,b∥a,a∥B,b∥B 5.如图所示，设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD一A1B1CD1的棱AB,CD, D AB1,CD1的中点，则平面EFD1A1与平面BCFE1的位置关系是 A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不确定 6.已知a是平面&外的一条直线，过a作平面3使3∥a,这样的3 A.只有一个 B.至少有一个 C.不存在 D.至多有一个 7.已知m,n是两条直线，a,β是两个平面，有以下命题，其中正确命题的个数有 ①m,n相交且都在平面a,3外，m∥a,m∥B,n∥a,n∥B,则a∥B;②若m∥a,m∥3，则a∥3；③若 m∥a,n∥B,m∥n,则a∥B. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8.在正方体ABCD一A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E,F分别是 A1B1,CD1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是 () A.平面ABB1A B.平面BCCB, C.平面BCFE D.平面DCC1D1 46 无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 9.如图所示是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E,F,G,H分别为 G PA,PD,PC,PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论，其中正确的有( P ①平面EFGH∥平面ABCD;②平面PAD∥BC;③平面PCD∥AB;④平面 PAD∥平面PAB. A.①③ B.①④ C.①②③ D.②③ 10.已知平面a和B,在平面a内任取一条直线a,在3内总存在直线b∥a,则a与3的位置关系 是 11.已知a和b是异面直线，且aC平面a,bC平面B,a∥B,b∥a,则平面与3的位置关系 是 12.如图所示，在三棱柱ABC一ABC中，点D,E分别是BC与B,C的中点.求证：平面A1EB∥ 平面ADC1. E A 13.已知四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M,N,Q分别在PA,BD,PD上，且 PM:MA=BN:ND=PQ:QD.求证：平面MNQ∥平面PBC. 能力提升) 1.(多选)设a,b是两条不同的直线，a,3,Y是三个不同的平面，则a∥3的一个充分条件是 A.存在一条直线a,a∥a,a∥g B.存在一条直线a,aCa,a∥3 C.存在一个平面Y,满足a∥y,B∥y D.存在两条异面直线a,b,aCa,bCB,a∥B,b∥a 2.(多选)如图所示是正方体的平面展开图，关于这个正方体，下列命题中，正确 的有 ( A.BM∥平面ADNE B.CN∥平面ABFE C.平面BDM∥平面AFN D.平面BDE∥平面NCF 3.已知1，m是两条不同的直线，α，3是两个不同的平面，有下面四个命题，其中所有真命题的序号 是 ①若lCa,mCa,l∥B,m∥3，则a∥B;②若lCa&,l∥B,a∩B=m,则l∥m;③若a∥B,l∥a,则l∥3；④若 l∥a,m∥l,则m∥a. 4.如图所示，四棱锥P一ABCD的底面是平行四边形，PA=PB=AB=2,E,F分别 是AB,CD的中点，平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,ED与AF相交于 点H,则GH 5.如图所示，在三棱柱ABC一AB1C中，E,F,G,H分别是AB,AC,AB1,AC的中点 则与平面BCHG平行的平面为 6.a,b表示直线，a,B表示平面，若 则α∥3.（在横线上添加适当条件，使之成立） 长 7.如图所示，正方体ABCD一A1B1CD1中，AB=2√2，点E为A1D1的中点，点F 在C1D1上，点H在DD1上，若EF∥平面ACB1,则EF= ,当H为A B H DD1的 时，平面EFH∥平面ACB. D 8.如图所示，在直四棱柱ABCD一A1B1CD1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥ CD,且AB=2CD,在棱AB上是否存在一点F,使平面C1CF∥ADD1A?若存在，求点F的位置， 若不存在，请说明理由。 B 9.如图所示，四边形ABCD为矩形，A,E,B,F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形， ∠BAE=∠AFB=90°.求证：平面BCE∥平面ADF. 10.如图所示，四棱锥P一ABCD中，AB∥CD,AB=2CD,E,F分别为PB,AB的中点. (1)求证：CE∥平面PAD; (2)求证：平面PAD∥平面CEF. D 少 学 8.5.3平面与平面平行 第2课时平面与平面平行的性质定理 ,基础过关) 1.若a∥a,b∥B,a∥B,则a与b的位置关系是 ( A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面或相交 2.如果平面α平行于平面3，那么 A.平面α内任意直线都平行于平面3 B.平面α内有两条相交直线平行于平面3 C.平面α内任意直线都平行于平面β内的任意直线 D.平面α内的直线与平面B内的直线不能垂直 3.(多选)已知直线a,两个不重合的平面a,R.若a∥B,aCa,则下列四个结论中正确的是（( A.a与B内的所有直线平行 B.a与B内的无数条直线平行 C.a与β内任何一条直线都不垂直 D.a与B没有公共点 4.下列命题中正确的个数有 ( ①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于 两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等， A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 5.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面a∥平面ABC,a分别交线段PA, PB,PC于A',B,C,若PA':AA'=2:3,则SAAB'C:SAABC等于 ( A.2:25 B.4:25 C.2:5 D.4:5 6.a,B,y为三个不重合的平面，a,b,c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是 ( a∥cl a∥y a∥ ∥y →a∥b; →a∥b: →a∥β： ④ →a∥B; b∥c b∥y B∥c ∥ a∥c ∥y →a∥a; ⑥ →a∥a. a∥c ∥y A.④⑥ B.②③⑥ C.②③⑤⑥ D.②③ 7.平面a∥平面B,直线aCa,直线bC3,下面三种情形，其中可能出现的情形有 ①a∥b;②a与b异面；③a与b相交. A.1种 B.2种 C.3种 D.0种 8.给出下列三种说法，其中正确说法的序号是 ①若平面a∥平面B,平面B∥平面y,则平面a∥平面y;②若平面a∥平面B,直线a与a相交，则a D 与3相交；③若平面a∥平面3，P∈a,PQ∥B,则PQCa. 9.如图所示，在长方体ABCD一A1B1CD中，过BB1的中点E作一个与平面A1 B ACB,平行的平面交AB于M,交BC于N,则MN AC M 48 无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 10.如图所示，已知a∥B,GH,GD,EH分别交a,B于A,B,C,D,E,F,且GA=9, AB=12,5H=16,则S DB 11.如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在平行四边形A'BCD 所确定的一个平面a外，且AA',BB',CC,DD'互相平行.求证：四边形ABCD是 平行四边形. a 12.如图所示，在正方体ABCD一AB,CD1中，点N在BD上，点M在B,C上，且CM=DN.求证： MN∥平面AA1B1B. D A B D 辨 13.如图所示，在长方体ABCD一A1BC1D1中，E是BC上一点，M,N分别是AE,CD1的中点，求 证：MN∥平面ADD1A1. D B M 能力提升) 1.(多选)已知平面a∥平面3，P是a,3外一点，过点P的直线m与a,3分别交于A,C两点，过点P 的直线n与a,3分别交于B,D两点，且PA=6,PD=8,AC=9,则BD的长为 () A.16 B.24 C.14 n号 2.设a∥B,A∈a,B∈B,C是AB的中点，当A,B分别在平面a,B内运动时，得到无数个AB的中点 C,那么所有的动点C () A.不共面 B.当且仅当A,B分别在两条直线上移动时才共面 C.当且仅当A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D.不论A,B如何移动，都共面 3.如图所示，在多面体ABC一DEFG中，平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB DE,DG=2EF,则 ( A.BF∥平面ACGD B.CF∥平面ABED C.BC∥FG D.平面ABED∥平面CGF E F 4.如图所示，在三棱台ABC一ABC中，点D在AB上，且AA1∥BD,点M是 △ABC1内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是 地 ( A.平面 B.直线 C.线段，但只含1个端点 D.圆 5.如图所示，平面α∥平面β∥平面Y,两条异面直线l,m分别与平面α，β，Y相交于 长 点A,B,C和点D,E,F,已知AB=2cm,BC=3cm,DE=4cm,则 EF= BB 6.如图所示，在三棱柱ABC一A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否 存在一点E,使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说 C 明理由， 7.如图所示，在四棱锥O一ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点.证明： 直线MN∥平面OCD. M B N 8.如图所示，已知a∥B,点P是平面a,B外的一点（不在a与B之间），直线PB,PD分别与a,3相交于 点A,B和C,D (1)求证：AC∥BD; (2)已知PA-4cm,AB-5cm,PC-3cm,求PD的长. 49否a→k=吾；V2=元Ra=x(号)a=平a3→k=平；V, a→k,=1,故：k:k=吾：年：1，故选D】 4.B[解析：如图所示，设面AB CD,面A'B'C'D'的中心分别为O O,AB,A'B的中点分别为H, H',连接PO,PH,OH,OH',由 A'10 题意知，正四棱锥P一ABCD的下 D 底边长为二丈，高三丈，即AB 20尺，P0=30尺，截去一段后，得 H B 正四棱台ABCD-A'B'C'D',且上 底边长为A'B=6尺，易知△PHO'∽△PHO,所以 PO H品，即000 1 ，解得O0=21,所以该正四棱台的 30 ×20 体积是V=号×21×(202+20×6+6)=3892（立方尺）.枚 选B.] 5.D[解析：将该多面体放入正方体 中，如图所示.由于多面体的棱长为 √2，则正方体的棱长为2.该多面体是 由棱长为2的正方体沿各棱中点截去 8个三棱锥所得的，所以该多面体的 体积为2-8×号×（侵×1×1）× 1-29故选D.】 6.(2)(3)(4)【解析：(1)错误，如图①所示，点A平面 CC1B1B,所以直线AC1￠平面CC1B1B;(2)正确，如图②所示， 因为O∈直线AC,直线ACC平面AA1CC,O∈直线BD,直线 BDC平面BBDD,O∈直线A1C,直线A1C1C平面 AA1C1C,O∈直线B1D1,直线B1D1C平面BB1D1D,所以平面 AA1C1C与平面BB,D1D的交线为OO1;(3)(4)都正确，如图③ 所示，因为AD∥BC且AD=B1C,所以四边形AB1CD是平 行四边形，所以A,B1,C1,D四点共面.所以正确的是(2)(3) (4).故答案为(2)(3)(4).] D ① ② ③ 7.解：EB=BF=FD,=D,E=√+（号）-号四梭锥 A1一EBFD,的底面是菱形.连接EF,则△EFB≌△FED1. ,三棱锥A1一EFB与三棱锥A1一EFD等底同高， .VA-EFB VA -EFDI.VAL-EBFDI =2 VA -EFB.VA-EFB VF-BA1VA-BFD,=2Vr-BA1·CC∥平面ABB,A,三 棱锥F-EBA,的高就是CC到平面ABBA的距离，即棱长 a.又△EBA,边EA:上的高为a,V-mn,=2X弓× 54,Xa=日c. 8.解：很明显，点S是平面SBD和平面 SAC的一个公共点，即点S在交线上， 由于AB>CD,则分别延长AC和BD A 交于点E,如图所示.E∈AC,ACC平 面SAC,.E∈平面SAC.同理，可证 D E∈平面SBD,∴.点E在平面SBD和E4 平面SAC的交线上，连接SE,直线SE是平面SBD和平面 SAC的交线. 8.5空间直线、平面的平行 8.5.1直线与直线平行 【基础过关】 1.B[解析：由于E,F分别是B1O,C1O的中点，故EF∥B1C, 因为和棱BC1平行的棱还有3条，分别为AD,BC,A1D1,所以 共有4条.故选B.】 2.D[解析：另一组边可能平行，也可能不平行，也可能垂直. 注意和等角定理的区别.故选D.] 3.B[解析：如果a,b都与l平行，根据基本事实4，有a∥b,这 与a,b为异面直线矛盾，故a,b中至多有一条与l平行.故 选B.] 4.D[解析：OB与O1B1不一定平行，反 B 例如图所示.故选D.】 02 A 5.B[解析：由于E,F,G分别为A1C1, BC,BB的中点，所以EF∥A:B1∥AB,O1 A FG∥BC,所以∠EFG与∠ABC的两条 对应边分别对应平行，一组边方向相同，另 一组边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补.故选B.] 6.B[解析：∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向 不能确定是否相同，∴.∠PQR=30°或150°.故选B.】 7.BCD[解析：由等角定理得B,C正确，A错误，由基本事实4 得D正确.故选BCD.] 8.C[解析：由题意结合三角形中位线的性质，可得FH∥PA, GJ∥PA,由基本事实4可得FH∥GJ.故选C.】 9.③[解析：：AB∥A'B',AC∥A'C',∠BAC=∠BA'C'或 ∠BAC+∠B'A'C'=180°.] 10.平行[解析：因为AN=DN,DM=MC,所以MN∥AC.因 为AC∥A'C',所以MN∥A'C'.] 11.平行【解析：连接BD,如图所示，在 △ABD中~福-A错EH/BD,在△CBD E H 中同理可证FG∥BD.故EH∥FG.故答案为 平行.】 B 12.证明：(1)因为E,F,G分别是正方体的棱 CC1,BB1,DD1的中点，所以CE LGD1,BFL GD,所以四边形CEDG与四边形BFDG均 为平行四边形，所以GC∥DE,GB∥D1F. (2)因为∠BGC与∠FD1E两边的方向都相同，且分别对应平 行，所以∠BGC=∠FD1E. 【能力提升】 1.D[解析：由条件易得MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥ BD,所以MQ∥NP.对于A,由MQ∥NP,得M,N,P,Q四点共 面，故A正确；对于B,根据等角定理，得∠QME=∠CBD,故B 正确；对于C,由等角定理知∠QME=∠CBD,∠MEQ= ∠BCD,则△BCDp△MEQ,故C正确；对于D,没有充分理由 2.A[解析：对于①，平面内有无数条直线与已知直线平行，故 推证四边形MNPQ为矩形，故D不正确.故选D.】 ①不正确；由线面平行的性质定理可知②正确；对于③，平行于 2.B[解析：①错，可能异面；②正确，依据基本事实4；③错误， 同一个平面的两条直线可能平行、相交，也可能异面，故③不正 和另一条可以异面：④正确，依据平行直线的传递性.故选B.】 确：对于④，过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，故④ 3.平行四边形相等 D' 不正确.故选A.】 [解析：如图所示，因为点E,E分别是 E 3.D[解析：当a,b所在平面与平面a平行时，b与平面a平 AD,A'D'的中点，所以AE∥A'E',且 A 行.当a,b所在平面与平面a相交时，b与平面a相交.故选D.】 AE=A'E'.所以四边形AEEA'是平行 4.D[解析：根据直线与平面的位置关系易判断选项D正确. 四边形.所以AA'∥EE,且AA'= 故选D.] EE.又因为AA'∥BB,且AA'=BB. 5.D【解析：l∥α时，直线l上任意一点到a的距离都相等.lC 所以EE∥BB',且EE=BB'.所以四 α时，直线l上所有的点到a的距离都相等；l⊥a时，直线l上有 边形BBE'E是平行四边形.所以BE∥B'E',同理可证CE∥ 两个点到a的距离相等；l与α斜交时，也只有两个点到α的距 CE'.又因为∠BEC与∠BEC'的两边方向相同，所以 离相等.故选D.] ∠BEC=∠BE'C'.J 6.D【解析：如图所示，易知 D 4.6[解析：因为E,H分别是空间四边形ABCD的边AB,DA A1B:∥DC且A1B,=DC,.四边 形A1B,CD是平行四边形， A 的中点，所以EH∥BD,且EH=令BD,同理FG∥BD,且FG= .A1D∥BC.又A1D克平面 合BD.所以EH=FG=合BD=1,同理EF=GH=合AC=2, AB1C,B1CC平面AB1C,.A1D∥ 所以四边形EFGH的周长为6.] 平面ABC.故选D.】 5解：在△BCD中，因为器-品=号，所以GF∥BD,品 7.C[解析：如图所示，由线面平 行的判定定理可知BD∥平面EFGH, 号所以PG=4cm在△ABD中，因为点E,H分别是AB,AD AC∥平面EFGH.故选C.】 8.C【解析：由平行公理知过点P作与直 的中点，所以EH=合BD-3cm设EH,FG间的距离为dcm 线a平行的直线有且只有一条，又由线面 B 平行的判定定理得，该直线一定在平面α 则受×(4+3)×d=28,所以d=8.即平行线EH和FG间的距 内.故选C.] C 离为8cm. 9.C[解析：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,所以O 6.证明：如图所示，连接CB:,CD. D 为BD的中点.在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是 CD∥AB1,∴四边形AB,CD是 B △PBD的中位线，故OM∥PD.又OM￠平面PCD,OM￠平面 平行四边形，.A1D∥BC.,M,N PDA,所以OM∥平面PCD,且OM∥平面PDA.因为点M在 分别是CC1,BC1的中点，.MN∥ PB上，所以OM与平面PBA、平面PBC相交，所以④⑤错误. BC,∴MN∥AD.BC∥AD, 故正确的结论为①②③，共有3个.故选C.] 1 D ∴四边形ABCD是平行四边形，∴A1B∥CD.:M,P分别是 10.平行[解析：如图所示，连接BD, C CC1,CD1的中点，∴.MP∥CD1,.MP∥A1B.,∠NMP和 与AC交于点O,连接OE.OE为A B ∠BAD的两边分别平行且方向都相反，∴·∠NMP=∠BA1D. △BDD1的中位线，.BD∥OE.又 7解：图为器品-A所以EH/BD,且EH=产BD. BD丈平面AEC,OEC平面AEC, ∴BD∥平面AEC.】 D ①又因为器-8品=化所以PG/BD,且PG= L-BD.② 11.证明：如图所示，连接BD,AC交 于点O,连接MO,则MO为△BDP的中 又A=u,所以EHLFG.因此A=u时，四边形EFGH为平行四 位线，∴.PD∥MO..PD正平面MAC, 边形. MOC平面MAC,∴.PD∥平面MAC. (2)若A≠μ，由①②，知EH∥FG,但EH≠FG,因此A≠u时，四 12.证明：如图所示，连接DG,CD,设 边形EFGH为梯形. CD∩GF=O,连接OH.在三棱台DEF一 B (3)因为A=4,所以四边形EFGH为平行四边形.又因为EG⊥ ABC中，AB=2DE,G为AC的中点，可 c4---0 HF,所以四边形EFGH为菱形.所以FG=HG.所以 得DFLGC,所以四边形DFCG为平行 D AC=G+1DHG=号HG=2PG,又BD-中FG=3FG,所以 四边形，则O为CD的中点.又H为BC的中点，所以OH∥ AC 1 BD.又OHC平面FGH,BD平面FGH,所以BD∥平 BD=2· 面FGH. 8.5.2直线与平面平行 第1课时直线与平面平行的判定定理 【基础过关】 1.A[解析：A中b可能在a内；B,C显然能得出b∥a;D是线 面平行的判定定理.故选A.】 91 【能力提升】 1.B[解析：如图所示，取CB1的中点G, C 连接GE,DG,当m=1时，AD=GE 合BB且AD∥GE,四边形ADGE为平 B 行四边形，则AE∥DG,可得AE∥平面D DB1C.故选B.] 2.B[解析：①如图(i)所示，连接BC,则A B 平面ABC∥平面MNP,所以AB∥平面MNP,所以①满足题 意；②如图(i)所示，连接底面正方形对角线，并取其中点O,连 图0 图) 接ON,则ON∥AB,所以AB与平面PMN相交，不平行，所以 ②不满足题意；③AB与平面PMN相交，不平行，所以③不满足 题意；④因为AB∥NP,NPC平面MNP,AB丈平面MNP,所 以AB∥平面MNP,所以④满足题意.故选B.] 3.B[解析：因为AE：EB=AF:FD=1:4,所以EF∥BD EF=号BD.因为BDC平面BCD,EF丈平面BCD,所以EF∥ 平面BCD.又因为H,G分别为BC,CD的中点，所以HG∥BD, HG=之BD,则EF∥HG,EF=号HG,所以四边形EFGH为 梯形.] 4.C[解析：由AB=BC=CD=DA=2得AB∥CD,易知AB∥ 平面DCFE.平面SAB∩平面DCFE=EF,∴AB∥EF.E 是SA的中点，.EF=1,DE=CF=V3,∴.四边形DEFC的周长 为3十2√3.故选C.] 52。【解析：由题易知MN∥平面ABCD,平面PMNn平 面ABCD=PQ,∴.MN∥PQ..MN∥AC1∥AC,.PQ∥AC :AP=号DP=DQ=号，∴PQ=2x号-2】 3 3 6.证明：如图所示，连接AN并延长 交BC于P,连接SP.因为AD∥BC M 所以R器=器又因为兴=器 所以能-，所以NMN/SP,又因 为MN丈平面SBC,SPC平面SBC,所以MN∥平面SBC. 7.证明：(1)，BC1丈平面AB1D1,AD1C平面AB1D1,BC1∥ AD1,.BC1∥平面AB1D (2)点F为BD的中点，.点F为AC的中点.又，点E为 D1C的中点，.EF∥AD1.EF中平面ADD1A1,AD1C平面 ADD1A1,.EF∥平面ADD1A1. 8.证明：(I)如图，连接SB,:E,G分别是BC,SC的中点， ∴.EG∥SB.又，SB二平面BDD1B1,EG止平面BDD1B1, ∴.EG∥平面BDD1B. (2)如图，连接SD,F,G分别是DC,SC的中点，.FG∥SD. 又，SD二平面BDD1B1,FG￠平面BDD1B1,.FG∥平面 92无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 BDD1B1,由(1)知EG∥平面BDDB1,且EG二平面EFG, FGC平面EFG,EG∩FG=G,'.平面EFG∥平面BDD1B1. D B A G B 8.5.2直线与平面平行 第2课时直线与平面平行的性质定理 (基础过关】 1.B[解析：因为GH∥平面SCD,GHC平面SBD,平面 SBD∩平面SCD=SD,所以GH∥SD,显然GH与SA,SC均 不平行.故选B.】 2.B[解析：.在□AA1B1B中，AM=2MA1,BN=2NB1, .AMIBN,.四边形MNBA为平行四边形，.N LAB.又 .'MN屯平面ABC,ABC平面ABC,.MN∥平面ABC.又 ,'MNC平面MNEF,平面MNEF∩平面ABC=EF,∴.MN∥ EF,∴.EF∥AB,显然在△ABC中EF≠AB,∴.EF≠MN,∴.四 边形MNEF为梯形.故选B.] 3.C[解析：如图所示，连接AD1,AB. D C ,PQ∥平面AAB1B,平面AB1D1∩平 Q 面AA1B,B=AB,PQC平面ABD，A1 PQ∥AB,PQ=合AB= 、D 2 +下-故选C】 4.A[解析：.l1∥l2,l2Cy,l1在Y,∴.l1∥Y.又.l1C3,β∩Y= l3,.l1∥l3,∴.l1∥l3∥l2.故选A.】 5.B[解析：设AC,BD的交点为O,连接OE.SC∥平面 EBD,SCC平面SAC,平面SAC∩平面EBD=OE,∴.SC∥OE. 又：底面ABCD为平行四边形，O为对角线AC与BD的交点， 故O为AC的中点，.E为SA的中点.故选B.] 6 [解析：如图所示，连接BC1交 A E C BD于点F,连接EF.在三棱柱 ABC-ABC中，BC∥BC, .△BDF∽△CBF.:D为BC的中 点BD=合BC=8G腮 肥-之：AB∥平面BDE,ABC平面ABC,平面 ABCn平面DE=EFAB/EF会能-=宁故 答案为号1 7.√6[解析：取AA的中点M,连接EM,MF,因为E为AD 的中点，M为AA1的中点，所以EM∥A1D,所以EM∥BC,所 以EM∥平面AB,C.又因为EF∥平面ABC,所以平面EMF∥ 平面ABC,所以MF∥平面ABC.因为MFC平面AA:C1C, 平面AA:CC∩平面AB1C=AC,所以MF∥AC,所以F为CC 中点.在Rt△ECF中，计算知，EF=√6.故答案为√6.】 8.m:n[解析：.'AC∥平面EFGH,∴.EF∥AC,GH∥AC, AC.综上可知，①③④都正确.故答案为①③④.】 BE EF=HG=m·B新，同理EH=FG=n·A总： ,AS.:四边形EF 6.[√2，W6[解析：如图所示，取AD H C 的中点N,A1D1的中点M,连接MN, M BE AE GH是菱形m·新=n·指AE:EB=m:n】 A NE,ME,则NE∥BD,MN∥DD, D 9.解：如图所示，连接BD交AC于点 .平面MNE∥平面BBDD,∴当F O1,连接OM.因为PC∥平面MEF,M 在线段MN上时，EF始终与平面 B 平面PAC∩平面MEF=OM,所以 BB1DD平行，故EF的最小值为 PM OC NE=√2，最大值为ME=√4+2=√6.故答案为[2W.】 PC/OM,所以开AC.在菱形AB 7.证明：，EH∥A1D1,A1D1∥BC1,.EH∥B1C.又 CD中，因为E,F分别是边BC,CD的 B E ,B1CC平面BCC1B1,.EH∥平面BCC1B.又，平面EH 中点，所以=子又A0=C0,所以兴- PM OC. =年，故 GF∩平面BCCB,=FG,.EH∥FG,.FG∥AD.又：FG中 平面ADDA1,ADC平面ADDA,.FG∥平面ADD1A. PM:MA=1:3. 8.解：点D为AA'的中点.证明如下：取 10.证明：如图所示，直线a,l,平面a,B满足 a∩B=l,a∥a,a∥R.过a作平面y交平面a于 BC的中点F,连接AF,EF,如图所示.设 0 EF与BC'交于点O,易证A'E∥AF, b.a∥a,.a∥b.同理过a作平面8交平面B D A'E=AF,易知A',E,F,A共面于平面 于c,a∥B,∴a∥c,则b∥c.又btB,cCB, A'EFA.因为A'E∥平面DBC,A'EC平 ∴b∥R.又bCa,a∩B=l,∴.b∥l.又a∥b, 面A'EFA,且平面DBC∩平面 B ∴.a∥1. A'EFA=DO,所以A'E∥DO.在平行四边形A'EFA中，因为O 【能力提升】 是EF的中点（因为EC∥BF,且EC'=BF),所以点D为AA' 1.C[解析：连接AC'.在△ACB中， 的中点。 E,F分别为AC'和C'B的中点，所以A 9.解：如图所示，连接BD,AC,AC EF∥AB.因为AA'⊥底面ABC, 交BQ于点N,交BD于点O,连接 ABC底面ABC,所以AA'⊥AB.又 MN,易知O为BD的中点.，BQ, EF∥AB,所以EF⊥AA',故A正确； AO分别为正三角形ABD的边AD, 因为在三棱柱ABC一A'B'C中，AB∥ BD上的中线，∴N为正三角形 A'B',又EF∥AB,所以EF∥A'B',故B正确：因为AB∩BC= ABD的中心.设菱形ABCD的边长A B,EF∥AB,故C错误：因为EF∥AB,ABC底面ABC,EF过底 面ABC,所以EF∥平面ABC,故D正确.故选C.】 为a,则AN=号。，AC=5a.:PA∥平面MQB,PAC平面 2.AB[解析：AB∥CD,ABC平面a,CD￠平面a,.CD∥平 面a,∴直线CD与平面a内的直线没有公共点，直线CD与平 PAC,平面PACn平面MQB=MN,∴PA∥MN,兴 面a内的直线的位置关系可能平行，也可能异面.故选AB.】 3.CD[解析：因为BD∥平面EFGH,所以由线面平行的性质 应PMPC,实数：的值为号 定理，得BD∥EH,BD∥FG,则AE:EB=AH:HD,且BF: AC 3a FC=DG:GC,且EH∥FG,四边形EFGH是平行四边形或梯 8.5.3平面与平面平行 形.故选CD.】 4.2[解析：如图所示，连接AC,交 第1课时平面与平面平行的判定定理 A BD于点O,连接PO.因为EF∥平面B1 【基础过关】 PBD,EFC平面EACF,平面EACF∩ C 1.D【解析：A选项，a内有无穷多条直线都与B平行，并不能 平面PBD=PO,所以EF∥PO.在PA1 Q 保证平面α内有两条相交直线与平面B平行，这无穷多条直线 上截取PQ=AP=2,连接QC,则QC∥ 可以是一组平行线，故A错误；B选项，直线a∥a,a∥B,且直线 PO,所以EF∥QC,所以易知四边形 A a不在a内，也不在B内，直线a可以是平行于平面a与平面B D EFCQ为平行四边形，则CF=EQ.又 B 相交直线的直线，故不能保证平面α与平面β平行，故B错误；C AE+CF=8,AE+A1E=8,所以 选项，直线aCa,直线bCB,且a∥B,b∥a,当直线a∥b时，同样 AE=CF=EQ=合AQ=2,故CF=2.故答案为2.】 不能保证平面a与平面B平行，故C错误；D选项，a内的任何 一条直线都与B平行，则α内至少有两条相交直线与平面3平 5.①③④[解析：在四面体A-BCD中，截面PQMN是正 行，故平面a与平面B平行.故选D.】 方形，∴.PQ∥MN,PQ庄平面ACD,MNC平面ACD,∴.PQ∥ 2.D[解析：对于A选项，一个面内一条线平行于另一个平面， 平面ACD..'平面ACB∩平面ACD=AC,∴.PQ∥AC,可得 不能推出两个平面平行，故错误；对于B选项，没有说明两条直 AC∥平面PQMN.同理可得BD∥平面PQMN,BD∥PN. :PN⊥PQ,∴AC⊥BD.由BD∥PN,∠MPN是异面直线 线是相交直线，故错误；对于C选项，同样没有明确两条直线的 PM与BD所成的角，且为45°.由上面可知：BD∥PN,PQ∥ 位置关系，故错误；对于D选项，两条直线是相交直线，正确.故 AC,器8e器而AN≠DN,PN=MNBD≠ 选D.】 3.B【解析：因为l∩m=P,所以过1与m确定一个平面B.又 因为l∥a,m∥a,l∩m=P,所以B∥a.故选B.】 4.D[解析：A错，若a∥b,则不能断定a∥β；B错，若三点不在3 的同一侧，a与3相交；C错，若a∥b,则不能断定a∥3.故选D.】 5.A【解析：：E和F分别是AB和DC的中点，.AD∥ EF.又：AD,丈平面BCFE,EFC平面BCFE, .A1D1∥平面BCFE1.又E和E分别是A1B1和AB的中 点，A1E1∥BE,且A1E1=BE,.四边形A1EBE1是平行四边 形，.AE∥BE.又：AE寸平面BCFE,BEC平面 BCF1E1,∴.AE∥平面BCFE.,A:EC平面EFD1A:, A1D1C平面EFD1A1,A1E∩A1D1=A1,∴.平面EFD1A1∥平 面BCFE.故选A.】 6.D[解析：，a是平面a外的一条直线，∴.a∥a或a与a相 交.当a∥α时，平面B只有一个；当a与a相交时，平面3不存 在.故选D.」 7.B[解析：设m∩n=P,记m与n确定的平面为y.由题意知： Y∥α，Y∥β，则a∥3.故①正确.②③均错误.故选B.】 8.C[解析：取AB,DC的中点分别 M 为E1和F1,OM扫过的平面即为平 A1 面A1E1FD1(如图所示)，故平面 A1E1FD1∥平面BCFE.故选C.] 9.C【解析：把平面展开图还原为 四棱锥如图所示，则EH∥AB,所以 EH∥平面ABCD.同理可证EF∥ 平面ABCD,所以平面EFGH∥平面 ABCD;平面PAD,平面PBC,平面 PAB,平面PDC均是四棱锥的四个侧 面，则它们两两相交.：AB∥CD,∴.平 面PCD∥AB.同理平面PAD∥BC.故 选C.】 10.平行【解析：设a∩B=l,则在平面a内与l相交的直线为 a,设a∩l=A,对于B内的任意直线b,若b过点A,则a与b相交， 若b不过点A,则a与b异面，即B内不存在直线b∥a.故a∥R】 11.平行[解析：在b上任取一点O,则直线a与点O确定一个 平面y,设y∩B=l,则lCR.:a∥B,∴a与l无公共点，∴a∥l, ∴l∥a.又：b∥a,根据面面平行的判定定理可得a∥R.] 12.证明：由棱柱的性质知B1C∥BC, CI B1C1=BC,又因为D,E分别为BC,B1C 的中点，所以CE∥DB,CE=DB.则四A B 边形CDBE为平行四边形，因此EB∥ CD.又因为CDC平面ADC,EB￠平 面ADC,所以EB∥平面ADC.连接 DE,如图所示，同理，EB1∥BD,EB1= A BD,所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B,ED= B1B.因为BB∥A1A,B1B=A1A(棱柱的性质)，所以ED∥ AA,ED=AA,则四边形EDAA1为平行四边形，所以AE∥ AD.又因为A1E中平面ADC1,ADC平面ADC1,所以AE∥平 面ADC.因为A1EC平面A1EB,EBC平面A1EB,且A1E∩ EB=E,所以平面A:EB∥平面ADC1. 13.证明：，PM:MA=BN：ND=PQ：QD,.MQ∥AD, NQ∥BP,而BPC平面PBC,NQ中平面PBC,∴.NQ∥平面 PBC.又四边形ABCD为平行四边形，.BC∥AD,.MQ∥ BC,而BCC平面PBC,MQ丈平面PBC,∴.MQ∥平面PBC.易 知MQC平面MNQ,NQC平面MNQ,MQ∩NQ=Q,根据平面 与平面平行的判定定理，可知平面MNQ∥平面PBC. 【能力提升】 1.CD[解析：对于选项A,若存在一条直线a,a∥a,a∥3，则 a∥B或a与B相交.若a∥B,则存在一条直线a,使得a∥a,a∥ B,所以选项A的内容是a∥B的一个必要条件而不是充分条件； 对于选项B,存在一条直线a,aCa,a∥B,则a∥B或a与B相交. 若a∥B,则存在一条直线a,aCa,a∥B,所以，选项B的内容是 a∥3的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C,平行于同一 个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥3的 个充分条件：对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到 其中一个平面y中，成为相交直线，由面面平行的判定定理可知 Y∥a,Y∥3，则a∥B,所以选项D的内容是a∥B的一个充分条 件.故选CD.】 2.ABCD【解析：展开图可以折成如图①所示的正方体.在正 方体中，连接AN,如图②所示.，AB∥MN,且AB=MN,.四 边形ABMN是平行四边形，.BM∥AN,.BM∥平面ADNE 同理可证CN∥平面ABFE,∴.AB正确：如图③所示，连接NF, BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN, 则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所 以CD正确.故选ABCD.] ② A-- ⊙ 3.②[解析：当1∥m时，平面a与平面3不一定平行，故①错 误；②正确；若a∥B,l∥a,则lCB或l∥B,故③错误；④中直线m 有可能在平面α内，故④错误.】 4.号【解析：因为ABCD是平行四边形，所以AB/CD,AB= CD.因为E,F分别是AB,CD的中点，所以AE=FD,又 ∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,所以△AEH≌△FDH, 所以EH=DH.因为平面AGF∥平面PEC,平面PED∩平面 AGF=GH,平面PED∩平面PEC=PE,所以GH∥PE,所以G 是PD的中点.因为PA=PB=AB=2,所以PE=2Xsin60°= ,所以GH=PE-】 5.平面A1EF[解析：因为E,F分别为AB,AC的中点，所以 EF∥BC.因为EF丈平面BCHG,BCC平面BCHG,可得EF∥ 平面BCHG.因为A1G=EB且A,G∥EB,所以四边形AEBG 是平行四边形，所以AE∥GB.又因为A1E中平面BCHG, GBC平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.因为A1EC平面 A1EF,EFC平面A1EF,A1E∩EF=E,所以平面A1EF∥平面 BCHG. 6.a,b是平面a内的两条相交直线，且直线a,b都平行于平面B (答案不唯一)[解析：由两个平面平行的判定定理可得，当直 2.A[解析：由两个平面平行的定义知，平面α内任意直线与平 线a,b是平面a内的两条相交直线，且直线a,b都平行于平面B 面3无公共点，所以均平行于平面B.] 时，一定可以推出a∥R.故答案为a,b是平面a内的两条相交直 3.BD[解析：由面面平行的性质知A错误；由面面平行的性质 线，且直线a,b都平行于平面B(答案不唯一).】 知B正确；α与B内的直线可能异面垂直，故C错误；由面面平 7.2中点【解析：设平面AB,C∩平面A,BCD1=m. 行的定义知D正确.故选BD.】 :EF∥平面AB1C,EFC平面AB1CD,平面ABC∩平面 4.C AB,CD=m,.EF∥m,又：平面AB,CD∥平面ABCD, 5.B[解析：，平面a∥平面ABC,平面PAB与它们的交线分 平面AB,C∩平面ABCD=m,平面AB,C∩平面ABCD= 别为A'B',AB,.AB∥A'B',同理BC∥BC,易得△ABC∽ AC,∴m∥AC.又：EF∥m,.EF∥AC.又：AC∥AC △A'B'C',S△Aa'C:S△ABc= (g)=(盼)=云故选】 EF∥A,C,又：E为AD,的中点，EF=之AG=2.当H 6.C【解析：由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例 为DD1的中点时，由平面与平面平行的判定定理可得平面 知②③⑤⑥不正确.②中a,b可以相交，还可以异面；③中a,B EFH∥平面ACB.】 可以相交；⑤中a可以在a内；⑥中a可以在a内.故选C.】 8.解：当F为AB的中点时，平面CCF∥ 7.B[解析：因为平面a∥平面B,直线aCa,直线bCβ，所以直 ADDA1.理由如下：连接AD如图所示. 线a与直线b无公共点.当直线a与直线b共面时，a∥b.综上 :在直四棱柱ABCD-AB,C,D,中，底 B 知，①②都有可能出现，共有2种情形.故选B.】 面ABCD为等腰梯形，AB∥CD,且AB= 8.①②③【解析：①正确.证明如下：如图 2CD,F为AB的中点，.CD LAFL D (1)所示，在平面a内取两条相交直线a,b, CD,AFCD是平行四边形，且 分别过a,b作平面p,6,使它们分别与平面B AFCD1是平行四边形，∴.CF∥AD 交于两相交直线a',b,因为a∥B,所以a∥ CF∥AD.又：CF∩CF=F,CF,CF都在平面CCF内， a',b∥b.又因为B∥y,同理在平面y内存在 ∴.平面CCF∥平面ADDA1. 两相交直线a”,b,使得a∥a”,b∥b,所以 9.证明：：四边形ABCD为矩形，BC∥AD,又：BC平面 a∥a”,b∥6，所以a∥y;②正确.若直线a与 (1) ADF,ADC平面ADF,∴.BC∥平面ADF.·△ABE和△ABF 平面B平行或直线aCB,则由平面a∥平面B知a与a无公共点 均为等腰直角三角形，且∠BAE=∠AFB=90°，∴∠BAF= 或aCa,这与直线a与a相交矛盾，所以a ∠ABE=45°，∴.AF∥BE.又BE中平面ADF,AFC平面 与3相交；③正确.如图(2)所示，过直线PQ ADF,∴.BE∥平面ADF.又，BCC平面BCE,BEC平面BCE, 作平面Y,y∩a=a,YnB=b,由a∥B得a∥ a BC∩BE=B,∴.平面BCE∥平面ADF b.因为PQ∥B,PQCY,所以PQ∥b.因为过 10.证明：(1)取PA的中点H,连接 直线外一点有且只有一条直线与已知直线 EH,DH.因为E为PB的中点，所以 平行，所以直线a与直线PQ重合.因为aC (2) EH∥AB,EH=合AB,又因为AB∥ a,所以PQCa.] CD,CD=子AB,所以EH4CD,因此四 9.号【解析：平面MNE∥平面ACB,由面面平行的性质定 理可得EN∥B1C,EM∥B1A.又，E为BB1的中点，∴.M,N分 边形DCEH是平行四边形，所以CE∥ DH.又因为DHC平面PAD,CE庄平面PAD,因此CE∥平 别为BA,BC的中点MN=名AC,即C安】 面PAD. 10.号【解析：因为an平面GAC=AC,Bn平面GBD=BD,且 (2)因为CDL2AB,所以CD.LAF,所以四边形ADCF是平行 a∥B,所以AC∥BD.又因为GA=9,AB=12,AC∥BD,所以 四边形，所以CF∥AD.又因为ADC平面PAD,CF￠平面 PAD,所以CF∥平面PAD.由(1)得CE∥平面PAD,因为 品器1 CEC平面CEF,CFC平面CEF,CE∩CF=C,所以平面CEF∥ 11.证明：在□A'B'C'D'中，A'B'∥CD',因为A'B'亡平面CD 平面PAD. DC,CD'C平面CD'DC,所以A'B'∥平面CD'DC.同理A'A∥ 平面CD'DC.又因为A'B'C平面AA'B'B,A'AC平面 8.5.3平面与平面平行 AA'B'B,A'A∩A'B'=A',所以平面A'B'BA∥平面CD'DC.因 第2课时平面与平面平行的性质定理 为平面ABCD∩平面A'B'BA=AB,平面ABCD∩平面 【基础过关】 CD'DC=CD,所以AB∥CD.同理AD∥BC.所以四边形AB 1.D[解析：结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关 CD是平行四边形. 系分别是平行、异面或相交.故选D.】 12.证明：如图所示，作MP∥BB,交BC D 于点P,连接NP.:MP∥BB, A ..BD=B C,DN=CM, BM=BN,六M CM DN CP D NB' PB (1) 2 93 R器NP∥CD∥AB.:NPt平面AA,BB,ABC平面 AA1B1B,∴.NP∥平面AA1B1B.,MP∥BB1,MP丈平面 AA1B1B,BB1C平面AA1B1B,∴.MP∥平面AA1B1B.又 :MPC平面MNP,NPC平面MNP,MP∩NP=P,.平面 MNP∥平面AA1B1B.,MNC平面MNP,.MN∥平 面AAB1B. 13.证明：如图所示，取CD的中点K, D 连接MK,NK.因为M,N,K分别是 AE,CD,CD的中点，所以MK∥A1 D------ AD,NK∥DD.又MK正平面 ADD1A1,ADC平面ADDA,所以A MK∥平面ADD1A1.同理NK∥平面ADD1A1.又MK∩NK= K,所以平面MNK∥平面ADD1A:,又MNC平面MNK,所以 MN∥平面ADD1A. 【能力提升】 1.BD【解析：因为a∥B,所以AB∥CD.若P在a,B的同侧时， 则有PC=PA+AC=15.因为隐-器所以PB=吕，所以 BD=PD-PB=号；若点P在a,P之间时，则有PC=AC PA=3,因为院-器所以PB=16,所以BD=PB+PD=24 综上，BD=24或BD=24.故选BD.】 5 2.D[解析：如图所示，A',B分别是A, A A' B两点在a,B上运动后的两点，此时AB 中点C变成A'B'的中点C',连接A'B,取 A'B的中点E.连接CE,CE,AA',BB, CC,则CE∥AA',.CE∥a.又.CE∥ BB',.CE∥B.又a∥B,∴.CE∥a.CEC平面CCE,CEC 平面CCE,CE∩CE=E,∴.平面CCE∥平面a,∴CC∥平面 a,.不论A,B如何移动，所有的动点C都在过C点且与a,B平 行的平面上.故选D.】 3.A【解析：取DG的中点为M,连接 AM,FM,如图所示.则由已知条件易证 四边形DEFM是平行四边形，∴DEL FM.平面ABC∥平面DEFG,平面 ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩ 平面ADEB=DE,·AB∥DE,∴AB∥E FM又：AB=DE,∴AB=FM,∴.四边形ABFM是平行四边形， ∴.BF∥AM又.BF丈平面ACGD,.BF∥平面ACGD.故选A.】 4.C【解析：因为平面BDM∥平面A,C,平面BDM∩平面 A1B1C1=DM,平面AC∩平面A,B1C=A1C1,所以DM∥ AC1,过D作DE1∥AC1交B1C于点E,则点M的轨迹是线 段DE(不包括D点).故选C.】 5.6cm[解析：如图所示，连接AF交平面B于点G,连接CF, BG,EG,AD.因为AC∩AF=A,所以直线AC和AF确定一个 平面AFC,则平面AFC∩B=BG,平面AFC∩Y=CF.又B∥y, 所以BG/CR,所以瓷-架同理可证票-架，即瓷-票。 即号-=示，所以EF=6em放答案为6cm】 94无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 6.解：存在点E,且E为AB的中点时， DE∥平面AB1C.证明如下：如图所 示，取BB的中点F,连接DF,则 DF∥BC.因为AB的中点为E,连接 EF,则EF∥AB1,B1C∩AB:=B, EF∩DF=F,所以平面DEF∥平面 AB1C.又因为DEC平面DEF,所以 DE∥平面ABC. 7.证明：如图所示，取OB的中点G,连接 Q GN,GM.M为OA的中点，∴MG∥AB. :AB∥CD,∴.MG∥CD.MG中平面 G OCD,CDC平面OCD,.MG∥平面OCD. 又：G,N分别为OB,BC的中点，∴GN∥ OC.:GN丈平面OCD,OCC平面OCD, B N '.GN∥平面OCD.又.'MGC平面MNG,GNC平面MNG, MGnGN=G,∴.平面MNG∥平面OCD.MNC平面MNG, .MN∥平面OCD. 8.(1)证明：因为PB∩PD=P,所以直线PB和PD确定一个平 面Y,则a∩Y=AC,B∩y=BD.又因为a∥B,所以AC∥BD. （8解：由得AC∥BD,则器-品告-品cD-与em,所 以PD=PC+CD=2? 8.6空间直线、平面的垂直 8.6.1直线与直线垂直 【基础过关】 1.C【解析：①若两条直线与两条异面直线的交点有4个，如图 所示，直线AB与异面直线a,b分别相交于点A,B,直线CD与 异面直线a,b分别相交于点C,D,则A,B,C,D四点不可能共 面，否则与a,b异面矛盾，故直线AB与CD异面；②若两条直线 与两条异面直线的交点有3个，如图所示，则两条直线相交.故 选C.】 D 2.A[解析：①不正确如图所示；②不正确，有可能相交也有可 能异面：③不正确.可能平行，可能相交也可能异面.故选A.】 3.C【解析：如图所示，连接AE,BE,在正方体ABCD一 9.①③[解析：把正方体平面展开图 AB,C,D,中，CD∥AB,所以异面直线AE与CD所成角为 还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥ M ∠EAB,设正方体边长为2a,则由E为棱CC1的中点，可得 EF,EF与MN是异面直线，AB∥CM, CE=a,所以BE=5a,则am∠EAB=器=层-号故 MN⊥CD,只有①③正确.】 10.解：如图所示，取BD的中点G,连 选C.】 接EG,FG.:E,F分别为BC,AD的 D 中点，AB=CD,.EG∥CD,GF∥AB, B 且EG=CD,GF=之AB,∠GFE就 E 是EF与AB所成的角，EG=GF. 'AB⊥CD,.EG⊥GF,∠EGF= D D 90°，∴.△EFG为等腰直角三角形，则 ∠GFE=45°，即EF与AB所成的角为45. 4.C[解析：由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故CC1与 11.解：如图所示，取CD1的中点G,连 接EG,DG.:E是BD1的中点， BE是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而 AE与平面CB,BC相交于E点，点E不在C1C上，故CC与 ∴EG/BC,EG=合BC.F是AD的 AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确； 中点，且AD∥BC,AD=BC,.DF∥ AE与B,C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点， BC,DF=ZBC,∴EG∥DF,BG=DF, △ABC为正三角形，所以AE⊥BC,D错误.故选C.】 则四边形EFDG是平行四边形， 5.C[解析：如图所示，补成 D C ∴.EF∥DG,.∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成 直四棱柱ABCD一 A 的角.又，A1A=AB,四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是 A1B1C1D1,则所求角为 正方形.G为CD1的中点，.DG⊥CD,∠DGD=90°，异 ∠BC1D.,BC1=√2，BD= 面直线CD,EF所成的角为90°，∴.CD1⊥EF. √2+1-2X2X1Xcos60=√3，C1D=AB1=√5，易得C1D= 12.解：设G为AC的中点，连接EG,FG, 如图所示.：E,F分别是AB,CD的中点 BD+BC,∠ABC=90°，因此cos∠BCD=CD-后 BG/BC且EG=合BC=-1,PG∥AD 四放选C】 且FG=之AD=1,∠EGF为异面直线BL 6.C【解析：如图所示，在正方体 AD,BC所成的角（或其补角）.：EF=√3， C ABCD-A1B,CD,中，△ADB,是等边A ÷△EGF中，cos∠EGF=2 1+1-3」 之，∠EGF=120°，即 三角形，故BD,AB1与AD1所成的角 异面直线AD,BC所成的角为60°. 是60°，同理△ACD1也是等边三角形， D ””” 【能力提升】 AC,CD1与AD1也成60°角，则在面对角 1.CD[解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也 线中，与AC,CD1,B1D1,AB1分别平行 是异面直线，故A,B错误；直线BN与MB1是异面直线，直线 的对角线与AD1也成60°角.故选C.] AM与DD1是异面直线，故C,D正确.故选CD.】 7.C[解析：设BB1=1,如图所示，延长 C 2.BCD【解析：如图所示，把平面展 A(B,C) CC1至C1,使CC2=CC1=1,连接B1C2, 开图还原成正四面体，知GH与EF为 则B1C2∥BC1,所以∠AB1C1为AB1与 异面直线，A不正确；BD与MN为异 BC所成的角（或其补角）.连接AC2,因 面直线，B正确；GH∥AD,MN∥AF, H(N 而∠DAF=60°，.∠GHM=60°， 为AB1=√3，B1C2=√3，AC2=√6，所以 AC=AB+B1C,则∠AB1C2=90°.故 GH与MN成60角，C正确：连接D AG,FG,AG⊥DE,FG⊥DE,.DE⊥ 选C.】 平面AFG,∴.DE⊥AF.又MN∥AF, 8.5[解析：如图所示，取AD的中点P, .DE与MN垂直，D正确.故选BCD.】 连接PM,PN,则BD∥PM,AC∥PN, 3.D[解析：如图所示，连接CD,AC, D M C ∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的 因为CD∥BA1,所以CP与BA:所成 角，∠MPN=90.:PN=子AC=4 B 的角就是CP与CD1所成的角，即O=A ∠DCP.当点P从D1向A运动时， PM=BD=3,∴MN=5.1 ∠DCP从0°增大到60°，但当点P与 D1重合时，CP∥BA1,与CP与BA1A