第八章 单元2 空间点、直线、平面之间的位置关系、空间直线、平面的平行 A卷 基础观固-【金试卷】2025-2026学年高一数学必修第二册同步单元双测卷（人教A版）

9.BD易知SC=2√2，则圆锥SO的侧面积S=π×OC ·SC=π×2X2√2=4√2π，A错误； 易得(SABc)mx=合X4X2=4,故(V9Bc)x= 子X4X2=号，B正确， ew<sB- =AB,又△ABC中，0<AB<4, SA421 所以0<cos∠SAB<号，所以受<∠SAB<受，C错误； 4 当AB=BC时，把△SAB展开至与△ABC所在平面共面，如图， AB=BC=22=SA=SB,AB⊥BC,∠SBC=150°，易知SE+CE的最小值是SC, 在△SBC中，SC=√SB2+BC-2SB·BCcos∠SBC=√8+8-2X2√2X2V2cos150° =2(√+1)，D正确.故选BD. 10.答案24+8√3 解析正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，所 A 以B1D1=2W2, 如图所示，三棱锥A一B1CD1是棱长为2√2的正四 面体， B S△AB,c=2AB1XB1Csin60°=2√3，所以三棱锥A 一B1CD1的表面积为8√3， A D 正方体的表面积为2×2×6=24， 所以三棱锥A一B1CD1的表面积和正方体的表面 B 积之和为24+8√5. 11.答案1012 解析易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为√132一52=12， 所以正四棱台的表面积S=4×号×(8+18)×12+82+182=1012(cm2). 12.答案6 解析设直三棱柱ABC一A1B1C1的上、下底面三角形的 B 0 外接圆圆心分别为O1,O2,外接圆半径为r,外接球球心为 O,连接OO1,则0为O1O2的中点，连接OB,O1B,由题意 知OO2=AA1=AC. O 设O1O2=AC=AA1=2x,则OO1=x,OB=√7，在 △ABC中， B 易知m2ABc=2r→2爱-2→z= AC 2, 2 在△0,0中，向为度定理得+r-7,中（停}+=7。 则r=2,x=√3，AC=AA1=2√3， 易知当且仅当AB=BC时，△ABC的面积取得最大值，为×(23)2=35，所以 三棱锥A1-ABC体积的最大值为子X33XAA1=√3X23=6。 18.解，周为EB=BF-FD=D,E-2+(号}-D,F/EB, 所以四边形EBFD1是菱形. 连接EF,则△EFB≌△EFD1, 易知三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1的高相等， VA -EBFD,=2VA -EFB =2VR-EBA. 又周为SABA,=号EA1·AB=子a2,则VFBA=c, 所以VAD,=2VAs=2YrA,=名o】 62参考答案 14.解(1)由长方体的几何特征知D1到平面ABC a. B 的距离为DD1=AA1=6, 又S△ABC= 2AB·BC=24,所以Vn,-ABc=3 D 9 SAAC·DD,=3×24X6=48, (2)设R为△ABC的内切国的半径，则号×RX A --B (AB+AC+BC)=24, 易知AC=/AB2+BC2=10, D 所以AB+AC+BC=6+10+8=24,所以R=2. 又2R=4<AA1=6, 所以在三棱柱ABC一A1B1C1内放一个体积为V的球，该球半径最大为2， Vm=青x×29-32 31 15.解(1)依题意，圆锥的底面半径r=2, 设圆雏的母线长为1，则2x·,=2.1>1=6.所以圆锥的高S0=√62-22=42， 3 所以国维的表面积为x·2十元·7…1=16，体积为号×x×2XS0=16 3 (2)易知点O在线段SO上.设球O的半径为R, 则(42-R)2+22=R2→R=92, 4, 所以球O的表面积为4rR2=81r 2 (3)如图，已知圆维的倒面展开图是一个圆心角为号 的扇形，则∠ASP=2r, 3 又SA=6,SP=3.所以蚂蚁爬行的最短路程为AP= 82π=37. √62+32-2×6×3×os 第八章立体几何初步 单元2空间点、直线、平面之间的位置关系、 空间直线、平面的平行 A卷基础巩固 1.D若直线a和b共面，则由题意可知a∥b: 若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.故选D. 2.B对于选项A,由图1可知MN∥DE∥AC,MN中平面ABC,ACC平面ABC,所 以MN∥平面ABC,故选项A不符合题意. B N E N- 图1 图2 图3 1图4 对于选项B,设H是EG的中点，由图2.结合正方体的性质可知AB∥NH,MN∥ AH∥BC,AM∥CH.所以A,B,C,H,N,M六点共面，故MNC平面ABC,故选项B 符合题意. 对于选项C,由图3可知MN∥DE∥BC,MNC平面ABC,BCC平面ABC,所以 MN∥平面ABC,故选项C不符合题意. 对于选项D,如图4，AC∩NE=D,因为四边形AECN是矩形，所以D是NE的中 点，又B是ME的中点，所以MN∥BD,又MN寸平面ABC,BDC平面ABC,所以 MN∥平面ABC,故选项D不符合题意.故选B. 3.C在空间四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，有E∈平面ABC,F∈平 面ABC,则直线EFC平面ABC,同理，直线GHC平面ADC.因为EF、GH能相交 于点P,所以P∈EF,P∈GH,因此P∈平面ABC,P∈平面ADC,又平面ABC∩平 面ADC=AC,所以P∈AC,A不正确，C正确，D不正确.又直线AC与BD没有公 共点，所以点P不在直线BD上，B不正确.故选C. 4.C设平面BED1交棱AD于点F,由正方体的性质及平 D 面与平面平行的性质定理得ED1∥BF,D1F∥BE, M 由勾股定理可得四边形D1FBE所有边长的长度为√5，所 A 以四边形D1FBE是菱形，且F为AD的中，点， 取A1D1的中，点M,连接FM,ME则EF=√FMP+ME =√22+22=2N2.易知D1B=√DD?十BD2= √DD+AB2+AD2=√22+22+22=2W, B 故S支形D,FBE DB·EF_2BX2E=26.故选C 2 5.A由长方体性质知：EF∥平面ABCD,EFC平面EFGH,平面EFGH∩平面 ABCD=GH,∴.EF∥GH.又EF∥AB,∴.GH∥AB.故选A. 6.D如图，绘出三棱柱ABC-A1B1C, 取AC的中点G,BC的中点H,A1C1的中点J,B1C1的中点 G I,连接GJ、JI、IH、HG, 又E是AC1的中点，F是B1C的中点， 所以E在GJ上，F在HI上， E、 因为P为该三棱柱表面上的一动，点，三棱柱恰好有5条棱与 平面PEF平行， 所以点P在线段GJ(除去点E)、JI、IH(除去点F)、HG上， 此时平面PEF即为平面GHIJ,AA1、AB、A1B1、BB1、CC1都 A B 平行于平面GHIJ, 故动，点P的轨迹为除去E、F两，点的平行四边形， 易知AA1∥平面GHIJ,AB∥平面GHIJ.AA1∩AB=A, 所以平面GHIJ∥平面AA1B1B.故选D. 7.BCD由题意知PQ=?DE,且DE≠MN,所以PQ≠？MN,故A不正确； 又PQ∥DE,DE∥MN,所以PQ∥MN,又PQ≠MN,所以B,C,D正确. 8.CD由题图易知直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故 A、B错误.直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1也是异面直线，故C、D正 确.故选CD. 9.ABC对于A,AA1∥BB1且AA1=BB1,E、H分别为AA1、BB1的中点， .A1E∥B1H且A1E=B1H,.四边形A1B1HE为平行四边形，则A1B1∥EH, F、G分别为A1C1、B1C1的中点，.FG∥A1B1,.FG∥EH,故E、F、G、H四点共 面，A对； 对于B,:E、F分别为AA1、A1C1的中点，.EF∥AC, 又EF寸平面ABC1,AC1C平面ABC1,.EF∥平面ABC1, ,四边形AA1B1B为平行四边形，A1B1∥AB,又EH∥A1B1,∴.EH∥AB,又EH 中平面ABC1,ABC平面ABC1, ∴.EH∥平面ABC1,又EF∩EH=E,.平面EGH∥平面ABC1,B对； 对于C,由题图易知FH不与AA1相交，若FH∥AA1,又BB1∥AA1,.FH∥BB1, 这与FH∩BB1=H矛盾，故FH与AA1异面，C对； 对于D,延长AH、A1B1交于点N,连接FN交B1C于点P,连接PH,若BC∥平面 AFH,又BCC平面BB1C1C,平面BB1C1C∩平面AFH=PH,∴.PH∥BC,事实 上，PH与BC相交，故假设不成立，D错.故选ABC. 10.答案1或4 解析如果这四，点在同一平面内，那么能确定1个平面；如果这四，点不共面，那么 任意三，点能确定1个平面，所以能确定4个平面. 11.答案平行 解析如图，延长AG交BC于F,连接SF, 则由G为△ABC的重心知AG：GF=2, 又AE:ES=2, .EG∥SF, 又SFC平面SBC,EG中平面SBC, ∴.EG∥平面SBC. 12.答案1；1 解析如图，取D,为线段A1C的中点，此时AD=1, 2 DiCI 连接A1B交AB1于点O,连接OD1, 由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以 B 点O为A1B的中点 在△A1BC1中，点O,D1分别为A1B,A1C1的中点，所以 OD1∥BC1, A 又因为OD1C平面AB1D1,BC1寸平面AB1D1, 所以BC1∥平面AB1D1.易知点D1在其他位置时BC1∥ 平面ABD,均不成立，所以若BG∥平面ABD1,则号=1.因为平面BGD∥甲 面AB1D,平面A1BC1∩平面BDC1=BC,平面A1BC1∩平面AB1D1=OD1, 所以BC1∥OD1,同理AD1∥DC1, 易知没-品品-器又因为品-1，所以器-1，瓷-1 13.解如图，连接BD交AC于点O1,连接OM P 因为PC∥平面MEF,平面PAC∩平面MEF=OM,PCC平 M 西PAC片以PC/OM,片以号兴光 在菱形ABCD中，因为E,F分别是边BC,CD的中点， D-0 所以8器- 又A0=C0,所以号-8=子，PM:MA=I:8,即PM:MA的位为分 14.解(1)证明：，四边形EFGH为平行四边形，.EF∥HG .HGC平面ABD,EF丈平面ABD,.EF∥平面ABD. 又EFC平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,.EF∥AB, 又.AB吨平面EFGH,EFC平面EFGH,.AB∥平面EFGH. 同理可证CD∥平面EFGH. (2)设EF=x(0<x<4),由(1)知EF∥AB,CD∥FG. 能-器-9-腮-Ccr-1-…FG=6- 3 BC 2x. :四边形EFGH的周长1=2(e+6-是)=12-x 又"0<x<4,.8<l<12, 故四边形EFGH周长的取值范围是(8,12). 15.解(1)证明：连接BM,在△BCM中，E,F分别是BC,CM的中点，.EF∥BM. 又BMC平面BDD1B1,EFt平面BDD1B1,∴.EF∥平面BDD1B1, (2)在棱CD上存在点G,使得平面GEF∥平面BDD1B1, D 此时，点G为CD的中点 理由如下： 连接EG,GF,,点E是BC的中点，点G是CD的中，点， .EG∥BD, 又BDC平面BDD1B1,EG寸平面BDD1B1, ∴.EG∥平面BDD1B1. D 由(1)知EF∥平面BDD1B1,且EG∩EF=E, ∴.平面GEF∥平面BDD1B1. .棱CD上存在点G,使得平面GEF∥平面BDD1B,且 CG-1. GD B卷能力提升 1.B对于①，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另 一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三 D 点不共线，所以①正确；对于②.如图，两个相交平面有三 B/C 个公共点A,B,C,但A,B,C,D,E不共面，所以②不正确； A ·E 对于③，若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c共面 或异面，所以③不正确；对于④，所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空 间四边形，所以④不正确，故选B. 2.C当过P,Q的直线与平面a,B相交时，过P,Q的平面一定与平面a,B都相交，排 除选项B,D,当过P,Q的直线与平面α，B平行时，过点P,Q可作唯一的一个平面与 a,B都平行，排除选项A.故选C. 3.D设H,I分别为棱CC1,C1D1的中点， A 连接B1I,B1H,HI,CD1,则AB∥CD1∥HI, 因为B1H∥A1E,A1E丈平面B1HI,B1HC平面B1HI,B C 所以A1E∥平面B1HI,同理A1B∥平面B1HI, 又A1B∩A1E=A1,所以平面A1BE∥平面B1HI, 又F是侧面CDD1C1上的动点，BF∥平面A1BE,所以 F落在线段HI上， 因为正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为a, 所以HI=吉CD,=号，中F在侧西CDD,G上的载莲的长度是.放选D 4.A假设L∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,知L∥B1C1, 这与1与B1C1不平行矛盾，l与AD不平行.故选A: 5.B平面a∥平面ABC,平面PAB与它们的交线分别为A'B',AB,AB∥A'B', 同理B'C'∥BC,易得△ABC∽△A'BC', Sae·S度-（器）-（阴）广-去选B 6.C延展平面EFG,连接AC,AD1,CD1,BD如图，可得 D H 截面EFGHQR,其中H、Q、R分别是所在棱的中点， Q 直线D1P与平面EFG不存在公共，点，所以D1P∥平面 B EFGHQR,在△ABC中，由中位线定理可得AC∥EF, 又EFC平面EFGHQR,AC寸平面EFGHQR,所以AC ∥平面EFGHQR, D 又D1P∩AC=P,所以平面D1AC∥平面EFGHQR, 所以P在AC上时，直线D1P与平面EFG不存在公 共点， E B 设BD与AC的交，点为O,易知BO⊥AC,所以P与O重合时BP最小，此时三角形 PBB1的面积最小， 最小值为号×2×巨=厄.故选C 7.ACD对于A,若a∩B=m,nCa,则m、n平行或相交，A中推理不正确； 对于B,若a∩B=m,m∥n,则nCa且n∥B或n∥a且nCB或n∥a且n∥B,B中推理 不正确； 对于C,若m∥B,n∥B,mCa,nCa,则a、B平行或相交，C中推理正确； 对于D,若a、B、y分别是三棱柱的三个侧面，则满足a∩Y=m,B∩y=n,m∥n,但a与 B相交，D中推理不正确.故选ACD. 8.AB由题意知PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,所以AC⊥BD,故A正确； 由PQ∥AC可得AC∥平面PQMN,故B正确； 由题设AC与BD无法比较大小，M,N不一定是DC,AD中，点，则C,D不正确.故选 AB. 9.BD当平面ABE∥平面CDF时，如图1所示，假设AE∥CD,则四边形AEDC为平 面图形.在矩形ABCD中，AB=10,AD=10√2，E、F分别为AD,BC的中，点，则AC ⊥BE,ACLDF.且AG=GH=CH=10,5,易知BE⊥AG,BE⊥GH,又AG∩GH 3 =G,AG,GHC平面AGH,所以BE⊥平面AGH,同理DF⊥平面CHG. 由BE∥DF,可得平面AGH与平面CHG重合，即四边形AGHC为平面四边形， 又平面ABE∥平面CDF,所以AG∥CH,又AG=CH,故四边形AGHC为平行四边形， 所以GH∥AC,得GH∥平面AEDC, 由线面平行的性质定理知GH∥ED, 所以四边形GHDE为平行四边形，所以GH=ED, 这与GH≠ED矛盾，所以假设不成立，故A错误. 图 图2 由AC∥GH,GHC平面BFDE,AC￠平面BFDE,得AC∥平面BFDE,故B正确」 当A,C重合于点P时，知图2所示，连接EF,GD,易知PG=105,PD=GD=10, 3 不满足PG+PD2=GD2,所以PG与PD不垂直，故C错误. 在三棱锥P-DEF中，PE=PF=5√2，EF=10,所以PE2+PF2=EF2,所以 △EPF为直角三角形， 因为PE=ED=5√2，PD=10,所以PE2+ED2=PD2,所以△PED为直角三角形， 易知△FPD为直角三角形， 由补形法可知，三棱锥P一DEF外接球的直径为√PF2十PE2+ED2=√I50, 所以三故维P-DBP外提球的表面款为红X(四)=150，故D正确故 选BD. 10.答案M在线段FH上 解析连接HN,FH,FN. :HN∥DB,FH∥DD,HN∩HF=H,BD∩DD1=D,HN,HFC平面FHN, DB,DD1C平面B1BDD1, .平面FHN∥平面B1BDD1. 点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，.M∈FH. 11.答案√2 解析在正方体ABCD一A1B1C1D1中，AB=2,.AC=2√2.又E为AD的中点， EF∥平面AB1C,EFC平面ADC,平面ADC∩平面AB1C=AC,.EF∥AC,.F 为DC的中点，EF=号AC=E. 12.答案 [35) 解析在正方体ABCD一A1B1C1D1中，取B1C1,BB1 D 的中点M,N,连接A1M,MN,A1N,ME,BC1,如图， M 则MN∥BC1,因为点E、F分别是棱BC,CC1的中点， A 所以BC1∥EF,所以MN∥EF,又EFC平面AEF,MN 中平面AEF,所以MN∥平面AEF,显然四边形BE MB1为矩形，所以ME∥BB1∥AA1,ME=BB1=AA1, D 所以四边形AEMA1为平行四边形，所以A1M∥AE,又 AEC平面AEF,A1M￠平面AEF,所以A1M∥平 面AEF, 又A1M∩MN=M,A1M,MNC平面A1MN,所以平面A1MN∥平面AEF,又A1P ∥平面AEF,所以A1PC平面A1MN,又点P在侧面BCC1B1内（不含边界），平面 A1MN∩平面BCC1B1=MN, 所以点P在线段MN上（不含端，点），在△A1MN中，A1M=A1N=√5，MN=√2， 等△AN底边MN上的高A,-(合MN-3盟，所以2≤AP <√5， 所以线段AP长度的取值范周是[2局小， 13.解证明：(1)连接BC1,C1D,因为四边形BB1C1C为正方形，P为B1C的中点，所 以P为BC1的中点， 又因为N为BD的中点，所以NP∥C1D. 又因为NP中平面CC1D1D,C1DC平面CC1D1D,所以NP∥平面CC1D1D. (2)连接AC,CD1,因为四边形ABCD为正方形，N为 D C BD的中点，所以N为AC的中点. 又因为M为AD1的中点，所以MN∥CD1. 又因为MN中平面CC1D1D,CD1C平面CC1D1D,所 以MN∥平面CCD1D. 由(1)知NP∥平面CC1D1D,又MN∩PN=N,MN、 D PNC平面MNP, 所以平面MNP/平面CCD1D. 14.解(1)MN∥BD. 理由如下：连接AM,AN并延长分别与BC,CD交于点E,F, 参考答案63第八章立体几何初步 单元2空间点、直线、平面之间的位置 关系、空间直线、平面的平行 欢 A卷 基础巩固 密 建议用时：70分钟满分90分 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给 p 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 封 1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是 ( ) A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 2.已知点A,B,C,M,N是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列 内 各图中不能满足MN∥平面ABC的是 不 蚁 准 B 答 警 题 3.在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、 H四点，如果EF与GH能相交于点P,那么 () A.点P不在直线AC上 B.点P必在直线BD上 C.点P必在平面ABC内 D.点P必在平面ABC外 丝 4.在棱长为2的正方体ABCD一A1B1C1D1中，E是棱B,C1的中 邻 点，则过B、E、D,三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为 A.5 B.√6 C.2√6 D.4√6 5.如图，在长方体ABCD一AB1C1D1中，点E,F分别是棱AA1和 BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H, 则GH与AB的位置关系是 () C B A D E H A A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 6.在三棱柱ABC-ABC1中，E、F分别是AC1、B1C的中点，P为 该三棱柱表面上的一动点，若此三棱柱恰好有5条棱与平面 PEF平行，则动点P的轨迹为除去E、F两点的 () A.线段 B.三角形，且其所在平面平行于平面AA,C,C C.梯形，且其所在平面平行于平面BB,C,C D.平行四边形，且其所在平面平行于平面AA1B1B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分) 7.在四棱锥A一BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE. 设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,则 () A.PQ-7MN B.PQ∥MN C.M,N,P,Q四点共面 D.四边形MNPQ是梯形 8.如图所示，在正方体ABCD一ABCD1中，M,N分别为棱 C1D1,CC的中点，则以下四个结论正确的是 () D D A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线 9.在三棱柱ABC-A1B1C中，E、F、G、H分别为线段AA1、AC、 BC1、BB1的中点，下列说法正确的是 () A.E、F、G、H四点共面 B.平面EGH∥平面ABC1 C.直线AA1与FH异面 D.直线BC与平面AFH平行 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 10.若平面a,B相交，在Q,3内各取两点，这四点都不在交线上，这 四点能确定 个平面， 11.三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE =2ES,则EG与平面SBC的关系为 12.如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中， D 点D,D1分别为AC,AC1上的点.若 B BC,半面ABD,则2 -若平面BCD∥平面AB,D,则把 D 第一部分单元、阶段检测卷17 四、解答题（本题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤) 13.(10分)如图，已知E,F分别是菱形ABCD中边BC,CD的中 点，EF与AC交于点O,点P在平面ABCD之外，M是线段 PA上一动点，若PC∥平面MEF,试求PM:MA的值. P B EC 18第一部分单元、阶段检测卷 14.(10分)如图所示，四边形EFGH为三棱锥A-BCD的一个截 面，若截面为平行四边形 (1)求证：AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH; (2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围. H E B←- 15.（10分)如图，在直四棱柱ABCD一 D C M A1BC1D1中，点M是线段B,D1上的一个 B 动点，E,F分别是BC,CM的中点. (1)求证：EF∥平面BDD1B1; (2)在棱CD上是否存在点G.使得平面 6EF∥平面BDDB,?若存在，求出8品的 值；若不存在，请说明理由.