8.3 简单几何体的表面积与体积-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课时卷

14.解：以边AD所在直线为轴旋转，形成的几何体是一个圆台 如图(1)所示.以边AB所在直线为轴旋转，形成的几何体可以 看作是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的组合体，如图(2)所 示.以边CD所在直线为轴旋转，形成的几何体可以看作是由一 个圆柱挖去一个同底圆锥形成的组合体，如图(3)所示.以边BC 所在直线为轴旋转，形成的几何体可以看作是由一个圆台挖去 一个同底（上底面）圆锥后再和一个同底（下底面）圆锥拼接而成 的组合体，如图(4)所示. A (1) (2) D B (3) (4)》 15.解：如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱 挖去两个圆锥后剩余部分构成的. 【能力提升】 1.D[解析：结合几何体的实物图，从截面最低点 开始高度缓慢增加，然后逐渐变快，最后逐渐变慢， 所以A,B,C错误.故选D.】 2.A[解析：由题意知，当P在A'处，Q在AB上运动时，M的 轨迹为过AA'的中点，在平面AA'B'B内平行于AB的线段（靠 近AA'):当P在A'处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA' 的中点，在平面AA'D'D内平行于AD的线段（靠近AA);当Q 在B处，P在AA'上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面 AA'B'B内平行于AA'的线段（靠近AB);当Q在D处，P在 AA'上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA'D'D内平 行于AA'的线段（靠近AB);当P在A处，Q在BC上运动时，M 的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段（靠 近AB)；当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的 中点，在平面ABCD内平行于AB的线段（靠近AD).同理得到 P在A'处，Q在BC上运动；P在A'处，Q在CD上运动：Q在C 处，P在AA'上运动；P,Q都在AB,AD,AA'上运动的轨迹.进 一步分析其他情形即可得到M的轨迹为棱柱体.故选A.】 3.ABC[解析：半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫 做球面，球面围成的几何体叫做球，故A错误；当以直角三角形 的斜边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成的 几何体不是圆锥，是由两个同底面的圆锥组成的几何体，故B错 误；当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面 间的几何体不是旋转体，故C错误；将圆锥截去一个小圆锥，则 截面必须与底面平行，因而剩余的部分是圆台，故D正确.故 选ABC.】 4.B【解析：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面 体内接于圆锥的内切球，设球心为P,球的半径为，轴截面上球 与圆锥母线的切点为Q,圆锥的轴截面如图所示，则OA=OB= R=》,0S=3y5,则an∠SA0=5,则△SAB为等边三角形. 故P是△SAB的中心，连接BP,则BP平 分∠SBA,所以∠PBO=30°，所以tan30°= 京，即，号，即四面体的外接球的半径 3 为r=R另外正四面体可以从正方体中A 截得，如图所示，从图中可以得到， 当正四面体的棱长为a时，截得它 D 的正方体的棱长为号。，面正因面 体的四个顶点都在正方体上，故正 四面体的外接球即为截得它的正 D 方体的外接球，所以2r=√3AA1= 4 B x号a=,所以r=。,又 ,-所以。-2R=2×号-区放选】 3 3 5.x2+16(0≤x≤4)[解析：将圆锥的 侧面沿SA展开，如图所示，则该图为扇 M 形，且弧AA'的长度L就是圆O的周 长，所以L=2πr=2π，所以∠ASM= A A 二-受·由题意知绳子长度的最小值为 展开图中的AM的长度，其值为AM=√x2十16(0≤x≤4).所 以f(x)=AM=x2+16(0≤x≤4).] 6.1[解析：命题①正确；命题②错误，圆台的母线需要与轴共 面；命题③错误，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以， 故正确的命题个数为1.故答案为1.] 7.解：圆台的轴截面如图所示，O, D O1 C O2,O3分别为上底面、下底面、截面 圆心.过点D作DF⊥AB于点F,交 GH于点E.由题意知DO=1, E O3 AO=4,.'AF=3.'DE 2EF, DF=3EF,票-器=号，则 B F02 GE=2,∴.⊙O3的半径为3，.这个截面的面积为9π. 8.解：(1)如图所示，将侧面展开，绳 0 子的最短长度为侧面展开图中AM 、B 的长度，设OB=1,则0·1=2π×5， >A' 0·(1+20)=2x×10,解得0=受， l=20cm,∴.OA=40cm,OM=30cm.∴.AM=√OA2+OM2= 50(cm).即绳子最短长度为50cm. (2)作OQ⊥AM于点Q,交弧BB'于点P,则PQ为所求的最短 距离..OA·OM=AM·OQ,∴.OQ=24cm.故PQ=OQ-OP= 24一20=4(cm),即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4cm. 8.2立体图形的直观图 【基础过关】 1.A【解析：正三角形ABC的边长为a,故面积为。，而原图 形和直观图面积之间的关系为-票，枚直观图△ABC 5原图 的面积为。，放选A】 【能力提升】 1.ACD[解析：由斜二测画法规则知AC⊥BC,即△ABC为直 2.A[解析：根据斜二测画法还原三角形 角三角形，其中AC=3,BC=8,所以AB=√73，AB边上的中线 在直角坐标系中的图形，如图所示，由图 洗A5 易得AB=BC=AC=2,故△ABC为等边 长为厘故选ACD.】 三角形.故选A.】 B 3.D[解析：由题意知正方形OA'B'C'的 -10 2.D[解析：由题意可知其直观图中两个顶点之间的距离为 5cm.故选D.] 边长为2，它是水平放置的一个平面图形 的直观图，所以B′=2√2，对应原图形平行四边形的高为 3.72【解析：根据题意可知，32=2区.又S1=18区，所 S直观图 4√2，所以原图形的面积为2×4√2=8√2.故选D.】 以S正方形=2√2×18V2=72.】 4.C[解析：：AB∥x轴，CD∥y轴，∴AB=A'B',CD= 4.矩形8[解析：由斜二测画法可知，点A',C分别在x'轴和 2CD',.A'B'=AB=2CD=2×2CD'=4CD'.故选C.】 y轴上，故在xOy坐标系中点A,C分别在x轴和y轴上，且 5.A[解析：如图所示，画出其相应的平面图易得结果.故选A] OA=2,OC=4,由平行性不变找出对应的B点，可以得到，在 YA xOy坐标系中四边形ABCD为矩形，且面积为8.故答案为矩 形；8.] 5.解：(1)如图所示，过C,B分别作y′轴的平行线交x'轴于 B 1+2 B D',E. 直观图 平面图 (2)在直角坐标系xOy中.在x轴上取两点E,D使OE=OE', 6.D[解析：△A'B'C是水平放置的△ABC的直观图，AB⊥ OD=OD',再分别过点E,D作y轴平行线，取EB=2EB', BC,AC为斜边，最长的线段是AC.故选D.】 DC=2DC'.连接OB,OC,BC即求出原平面图形△ABC 7.2+2 【解析：在直观图中，：∠ABC=45°，AB=AD=1, DCLBC,AD=1,BC=1+号，原来的平面图形上底长为 A'(OV .4E ON/ D 1,下底长为1+号，高为2，平面图形的面积为宁×(1+1+ B' B 6.解：画法如下：(1)画轴，如图①所示，画x轴，y轴，之轴，使 号)×2=2+1 ∠x0y=45°，∠xO2=90°. (2)画圆台的两底面，利用斜二测画法，画出底面⊙O,在之轴上 8.1024[解析：由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形， 截取OO',使O0等于三视图中的相应高度，过O作Ox的平行 且∠BCA=90°，AC=6,BC=4×2=8,则AB=√AC+BC= 线O'x',Oy的平行线O'y',利用Ox'与O'y'画出上底面⊙O 10.△ABC的面积为7×6×8=24.】 (画法与⊙O相同). (3)画圆锥的顶点，在Oz上截取点P,使PO等于三视图中的相 9.2.5[解析：由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且 AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,计算得AB=5,所求中线长为 应高度. 2.5.] (4)成图，连接PA',PB,A'A,BB,整理得到三视图表示的几何 10.2[解析：△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以 体的直观图，如图②所示。 BD=AD=CD.所以与BD的长相等的线段有2条.] 11.解：(1)画轴，如图1所示，画x轴，y轴，之轴，三轴相交于点 O,使∠xOy=45°，∠xOx=90°. (2)画圆柱的两底面，在x轴上取A,B两点，使AB的长度等于 3cm,且OA=OB.利用斜二测画法，画出底面⊙O,在Oz上截 取点0'，使O0=4cm,过0作Ox,Oy的平行线0'x',0y',类 似圆柱下底面的做法作出圆柱的上底面. (3)画圆锥的顶点，在Oz上截取点P,使PO等于圆锥的高为 ① ② 3cm.(4)成图，连接A'A,BB,PA',PB,擦掉辅助线，将其被遮 挡的线改为虚线，整理得到此几何体的直观图.如图2所示. 8.3简单几何体的表面积与体积 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 (基础过关】 1.B【解析：设正方体的棱长为a,有6a2=96,a=4,所以体积 为64.】 2.D[解析：设直四棱柱ABCD-AB,CD中，对角线AC= 9,BD1=15,因为A1A⊥平面ABCD,可推判出A1A⊥AC,在 图1 图2 Rt△A1AC中，A1A=5,可得AC=/A1C2-A1A=56,同理 87 可得BD=√D1B2一D1D=√200=10√2，因为四边形ABCD 为菱形，可得AC,BD互相垂直平分，所以AB= √（分AC)+(合BD)'=V+0-8,即菱形ABCD的边长 为8，因此，这个棱柱的侧面积为S=(AB+BC十CD+DA)X AA1=4×8×5=160.故选D.】 3.D【解析：，过长方体的一个顶点的三条棱长的比是1：2： 3,.设三条棱长分别为k,2k,3k,则长方体的对角线长为 +(2)2+(3k)=k√/14=2√14，.k=2,长方体的长， 宽，高为6,4,2，.这个长方体的体积为6×4×2=48.故选D.] 4.B【解析：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为号的 四棱维的体积和，-个四棱维的体积V=子×1×号-号，故 人面体体积V-2,一号放选B】 5.BC[解析：直棱柱的侧面积是底面周长乘侧棱长，选项A错 误；根据棱锥的体积公式可知选项B正确；选项C正确；等底等 高的棱锥体积是棱柱体积的三分之一，选项D错误.故选BC.] 6.B[解析：两个锥体的侧面积之比为1：9，小锥体与台体的 侧面积之比为1：8.故选B.】 7.D[解析：正四棱台的上、下底面边长分别为1cm,3cm,侧 棱长为2cm,所以棱台的斜商为√2-（受）=(cm.所 以棱台的侧面积是4X(生)×√5=8、3(cm).故选D】 8.C[解析：四棱锥S-ABCD的各 棱长均为5，底面为正方形，各侧面均 为正三角形，设E为AB的中点，则 SEL AB,.SE=√5-要=5y5, D 4 2 S=4aw=4X号×5×5y9- 2 25V5,Sk=52=25,它的表面积S=S底+S侧=25+25√3.故 选C.1 9.√6[解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a,b,c, ab=√2， 则ac=√3，三式相乘得(abc)2=6,故长方体的体积V= bc=√6， abc=√6.1 10.10[解析：因为长方体ABCD一A1B1C1D1的体积为120， 所以AB·BC·CC=120,因为E为CC,的中点，所以CE 合CC,由长方体的性质知CG⊥底面ABCD,所以CE是三棱 锥E一BCD的底面BCD上的高，所以三棱锥E-BCD的体积 V=号×2AB·BC·CE=号×2AB·BC·2CG=b× 120=10.】 1号 【解析：5=4×9×1=5.V=子×9×1× √-(9)-语1 12.解：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46m,所以底面 88无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 正六边形的边长是0.46m.所以S侧=Ch=6×0.46× 1.6=4.416(m).所以S装=S%+2S张=4.416+2×5× 4 0.462×6≈5.6(m2).故制造这个滚筒约需要5.6m2铁板. 13.解：设长方体的长、宽、高分别为am,bm,hm,水池的总造 价为y元.V=abh=16,h=2,b=2,.a=4.则有S廉= 4×2=8(m2),S=2×(2+4)×2=24(m2),y=S底×120+ S=×80=120×8+80×24=2880(元). 14.解：.OE=2cm,∠OPE=30°，∴.在Rt△POE中，PE= OE sn30=4.:PB=PC,E为BC的中点PELBC,SAc= 合·BC·PE=8(cm).:侧棱长都相等，S=4SAc 32(cm2),S全=32+16=48(cm2). 【能力提升】 1.D[解析：如图所示，连接EB,EC,AC, 则Vg-Aam=号×32X2=6.:AB=2EF, EF∥AB,·.SAEAB=2S△EF,VF-BC= V-=Ve-e=2-=合× A 6 2Ve-m=号，V=V-版m+V-x=6十名-受放选D.】 2.ACD[解析：在直三棱柱ABC一A1B1C中，AA1=2,AB= BC=1,∠ABC=90°，底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形， 侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+√+1严×2=4+ 2E,故A正确：直三棱柱的体积为V=S△C·AA=合×1× 1X2=1,故B不正确；由BB1∥平面AAC1C,且点E是侧棱 B,上的一个动点，三棱锥E-AA0的高为定值号。 So=子XBx2=号V-0=子×号×号=日，散C 正确；设BE=x∈[0,2]，则BE=2-x,在Rt△ABC和 Rt△EB1C1中，AE+EC1=√I十x十√/I十(2一x).由其几何 意义，即平面内动点(x,1)与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小 值，由对称可知，当E为BB1的中点时，其最小值为√22十22 2√2，故D正确.故选ACD.】 3.D【解析：由题意，知正三棱锥的底面周长为6，所以正三棱 锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，可知侧棱长均为√瓦， 三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为了×号X2XW②× 厄=放选D】 4.号【解析：正方体ABCD- D B A1BCD1的棱长为2，E,F,G,H分 A 别是四条棱AB,BC,CD,DA上的中 点，.EFGH是边长为√2的正方形， H 点A,到平面EFGH的距离d= A E B AA1=2,.四棱锥A1一EFGH体积 为V-man=号×dX5mm=号×2X2×E=亭.故答 案为亭】 cos∠EGM=- 根据正孩定理得而22C EG 5.3:4[解析：设三棱台的高为h,上底面的面积是S,则下底 :40 14 面的面积是4SV台=号A(S+4S+2S)=子Sh,∴V=S%, 4 n2on∠BiG=务eos∠G=誉 '.sin∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin∠EGM cos∠EMG+ 7S-产故答案为3+41 cos∠EGMsin∠EMG=号，·EN= 3 m=长- NP 5 6.2√39+43+3624√3【解析：，正三棱柱的高为6，AB= 20(cm)..玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm. 4,∴.四棱锥C一A1ABD的表面A1DC为等腰三角形，A1D= CD=5,AC=2√13，D到A1C的距离为√25-13=2W3, :01 Sa4e=Z×23X2W5=2√3丽，梯形AABD的面积为 F E Q G ×(6+3)X4=18,Sm=2×4X3=6,Sae=合×6× M G 4=12,Sac×16=4尽，四棱能C-AM,BD的表面积 PG 为18+6+12+4√3+2√39=2√39+4√5+36，三棱柱的体积 图1 图2 为V=5h=9×4×6=245.] 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的 4 表面积和体积 7.解：由PO=2m,知OO=4PO=8m.因为A1B,=AB= 【基础过关 6m,所以正四棱维P-AB,CD的体积Vs=号·A践· 1.C[解析：设圆锥底面半径为r,则高h=2r,∴其母线长l= P0,-子×62×2-24(m):正四棱柱ABCD-ABGD的体 √5r.∴.S侧=πrl=√5πr2,S底=πr2.故选C.】 2.B[解析：正方形绕其一边旋转一周，得到的几何体是圆柱， 积Vt=AB2·OO=62×8=288(m3),所以仓库的容积V= V+V#=24十288=312(m3).故仓库的容积是312m3. 其侧面积为S=2πrl=2π·√Q·√Q=2πQ.故选B.】 3.D[解析：圆柱的底面半径为r=1,母线长为1=2，则它的侧 8.解：设三棱锥的底面中心为O,连接PO,则PO为三棱锥的 面积为S侧=2πrl=2π×1×2=4元.故选D.】 高，设A,品，G所在的底面与P0交于0，点，则A是-沿 4.B【解析：绘制圆柱的轴截面如图所示，由 B 令A月=，P0=A,则P0,=合，于是00=A-P0,=A 题意可得：AC=1,AB=合，结合勾股定理，得 冬：=A·（1-子)，所以所求三棱柱的侧面积为S=3江· 底面半径7=√一（合）-号，由圆柱的体 a(1-舌)-a-=[号-(-号)门当x=号时， 积公式，可得圆柱的体积为V=πrh=πX S有最大值为子ah,此时O,为PO的中点. (受)×1=故选B】 5.B[解析：设圆台上底面半径为r,则其下底面半径为4r,高 9.解：(1)由题意可知，下底面正方形的边长为4 cm,上底面正 为4r,结合母线长为10，可求出r=2.然后由圆台侧面积公式， 得S=π(r1+r2)l=π×(2+8)×10=100π.故选B.] 方形的边长为6 cm,所以下底面的面积S,= 14 =98(cm2), 6.C【解析：圆台的轴截面如图所示，由题 62 上底面的面积S2= =1922(cm).又因为台体的高为 意知，1=+R),S6=x+R)·1 元·2l·1=32π，∴.l=4.故选C.】 R 32cm,所以正四棱台的体积V=号A(S十S十VS·)=子× 7.A[解析：设圆台较小底面半径为r,则另一个底面半径为 32×(98+1922+/98×1922)=26176(cm3). 3r.由S=π(r十3r)×3=84π，解得r=7.故选A.] (2)设玻璃棒在GG上的点为M,如图1，则EM=40cm,玻璃 8D[解析：由号R=亭x·6+亭x×8+亭x·10,得 棒与水面的交点为N,在平面EEGG中，过点N作NP⊥EG, 交EG于点P,过点E作EQ⊥EG,交EG于点Q. R=1728,所以R=12.故选D.] :EFGH-EFGH1为正四棱台，.EE=GG,EG∥EG, 9.B[解析：由题意，知该几何体为半球，表面积为大圆面积加 EG≠EG,∴.EEGG为等腰梯形，画出平面EEGG的平面 上半个球面积，S=xX1+号×4XxX1=3x故选B】 图如图2，：EG=62cm,EG=14cm,EQ=32cm,NP=12cm, ∴EQ=24cm.由勾股定理得E:E=√EQ十EQ=40cm, 10.罗【解析：设正方体边长为a,则62=18→d=3,外接球 ∴sin∠EEG=号，sin∠EGM=sin∠EE,G=手， 直径为2R=5a=3,V=号R=台x×智-号】 11.6π[解析：由题意，得圆柱的截面是面积为4的正方形，可 得其边长为2，可得圆柱的底面半径为r=1,母线1=2，所以该 圆柱的表面积为S=S柱十2S圆柱底=2πrl十2πr2=2πX1X2十 2πX12=6π.] 12.3[解析：圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸， 高为18寸的等腰梯形，雨水深为9寸，故雨水线直径是20寸， (102+10×6+62)×9 所以降水量为 3 -=3(寸).] π×149 13.解：设圆维的底面半径为，母线长为，则2=号x,解得 1=6r又S=+·6r=7r=15,得r=√厚，圆维的 商=√(6√停)-（√厚)=5，v=子rh=子× 9×5v5-255 7 14.解：因为AB：BC:AC=18:24: 30=3:4:5,所以△ABC是直角三角 形，∠B=90°.又球心O到截面△ABC的 投影O'为截面的圆心，也是Rt△ABC的 B 外接圆的圆心，所以斜边AC为截面圆O'A 的直径（如图所示），设OC=r,OC=R, 则球的半径为R,截面圆的半径为r,在Rt△OCO中，由题设知 sn∠0c0=82=合，所以∠01c0=80,所以京=0s30 9,即R=号，由2=AC=30,得到，=15，代人R=二中，得 √3 √3 R=10W3.所以球的表面积为S=4πR2=4π×(10W3)2=1200π. 球的体积为V=号R=÷xX(10v=400,5元 15.解：如图所示，过C作CO1⊥AB于O1, 在半圆中可得∠BCA=90°，又∠BAC= 30°，AB=2R,.AC=√5R,BC=R,CO 号R.·SaA=xX停RX万R 0 0 号R,Sm=X号R×R=9， B S=S十Sa,4十Sm有=15R,旋转所得 2 到的几何体的表面积为生5.又V=专R,V网， 2 号·A0,·C0=子R·A0,Vam=号·B0,·x CO=子BO·元R,V九每体=V华-(V装0，十V领m,)= 音 【能力提升】 1.C[解析：设正方体的棱长为a,则体积V=a3,S正=6a2= 6;设等边圆柱（轴截面是正方形）的高为2h,则体积V= π·h2·2h=2πh3,S=6πh2=32πV严；设球的半径为R,则 体积V=专R,S=4rR=36m☑.S<St<SE,故 选C.】 2.C【解析：由题意知球的半径R=4,所以球的表面积为4πR= 64红设圆柱的底面半径为一高为h,则r+(合)）=华，得4+ h2=64,即h2=64一4产，所以圆柱的侧面积S=2πrh=2π√h= 2π√/P(64-4r)=4π√2(16-)=4π√-(2-8)2+64(0<r4), 所以当2=8，即r=2√2时，圆柱的侧面积最大，最大值为32π. 此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是64π一32π=32π.故 选C.】 3.CD【解析：依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为 2πRX2R=4πR2,.A错误；圆锥的侧面积为πRX√5R=√5πR2, ∴.B错误；球面面积为4πR2,,圆柱的侧面积为4πR2,∴.C正确； :Vt=元R·2R=2R,V#=子Re·2R=号R,V 音R,Va雕Vg:Ve=2aR心：号R:亭R= 3：1：2,.D正确.故选CD.] 4.AD[解析：以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面 半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，∴.侧面积为π×3×5= 15元，体积为号×x×32X4=12x,A正确，B错误；以AC所在 直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为 3的圆锥，侧面积为x×4X5=20x,体积为了×xX华X3=16, ∴.C错误，D正确.故选AD.】 5.C【解析：作圆锥的轴截面，如图所示， A 设球半径为R,则圆锥的高h=3R,圆锥的 底面半径r=√3R,则l=√h+r=2√3R, h 所以受=器=必2感 4πR2 0' R 号故选C】 B O r C 6.D[解析：设截面与底面的距离为h,则①中截面内圆的半径 为h,则截面圆环的面积为π(R一h);②中截面圆的半径为 R一h,则截面圆的面积为π(R一h)2;③中截面圆的半径为R一 冬，则截面圆的面积为π(R-冬)：④中截面圆的半径为 √R一h,则截面圆的面积为x(R一h),所以①④中截面的面 积相等.故选D.】 7.罗【解析：当球的半径最大时，球的体积最大.在直三棱柱 内，当球和三个侧面都相切时，因为AB⊥BC,AB=6,BC=8,所 以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径r= 6十8-10=2，直径为4>侧棱，所以球的最大直径为3，半径为 2 名，此时体积V-竖】 8.解：(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1,V2. 方案一：仓库的底面直径变成16m,则其体积V=子×x× (发)×4-2x(m): 方案二：仓库的高变成8m,则其体积V,=子×x×(号)×8 96π(m3). (2)设两种方案所建的仓库的侧面积分别为S1,S2 方案一：仓库的底面直径变成16m,半径为8m,此时圆锥的母 PBC,PA,PC确定一个平面PAC.故 线长为4=√82+4=4√5(m),则仓库的侧面积S,=π×8× 选C.】 4√5=32√5π(m2)； 9.3[解析：当三条平行直线在一个平 方案二：仓库的高变成8m,此时圆锥的母线长为l2= 面内时，可以确定1个平面；当三条平行 A 直线不在同一平面内时，可以确定3个 √82+62=10(m),则仓库的侧面积S2=π×6×10=60x(m2). 平面.综上，最多可确定3个平面.] (3)因为V2>V,S2<S,所以方案二比方案一更加经济. 10.∈[解析：因为a∩b=M,aCa,bC3,所以M∈a,M∈B.又 9.解：如图所示，作出轴截面，因为 A 因为a∩B=l,所以M∈l.】 △ABC是正三角形，所以CD= 11.①③[解析：图形①中，连接MN,PQ(图略)，则由正方体 合AC=2,所以AC=4AD=号X4= 的性质得MN∥PQ,因为两条平行直线可以确定一个平面，故 图形①正确.分析可知③中四点共面，②④中四点均不共面.】 2√3，因为Rt△AOE∽Rt△ACD,所以 12.AC[解析：若EF∩GH=Q,则点Q∈平面ABC,点Q∈平 器-是设0E=R,则A0=25 D 面ACD.而平面ABC∩平面ACD=AC,所以点Q∈AC.] R所以R号所以R-2华所以V-专R 13.①③[解析：若直线与平面有两个公共点，则这条直线 4 3· 定在这个平面内，故①正确；直线1在平面α内用符号“C”表 (2)）’-2.所以球的体积等于2， 示，即lCa,②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因 27 27 此一定相交，故③正确.】 14.证明：：b∥c,.直线b,c可以确定一个平面a.设a∩b=A, 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 a∩c=B,则A∈a,B∈a,.A∈a,B∈&，即aC&,故直线a,b,c 8.4.1平面 共面. 【基础过关】 15.证明：因为D在l,所以1与D可以确定平面a,因为A∈1，所 1.C[解析：根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平 以A∈a,又D∈a,所以ADCa.同理，BDCa,CDCa,所以AD, 面，故A错误；根据直线和直线外一点确定一个平面，故B错 BD,CD在同一平面a内，即直线AD,BD,CD共面 误；根据不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三 【能力提升】 条直线有三个不共线的交点，所以两两相交且不共点的三条直 1.CD【解析：A,B,C三点确定的平面y与直线BD和点C确 线确定一个平面，故C正确；空间四边形不能确定一个平面，故 定的平面重合，故C,D∈y,又C,DEB,故点C,D在Y和B的交 D错误.故选C.] 线上，故选CD.] 2.C[解析：由平面的基本性质及推论得：在A中，不共线的三 2.B【解析：当B,C,D三点共线时，B,C,D三点不能确定平 个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A 面.A,B,C,D所在的平面和B,C,D,E所在的平面可能不同， 错误；在B中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B错误； 所以A,B,C,D,E五点不一定共面.故选B.】 在C中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个 3.C[解析：由题意可知R∈Yy,且R∈B,又P∈Y,且P∈R.所以 平面，故C正确；在D中，四边形有空间四边形和平面四边形， R,P都在平面y与平面B的交线上，所以B∩y=PR.故选C.】 空间四边形不能确定一个平面，故D错误.故选C.】 4.B[解析：A,C,O,D1四点共面， D C 3.A[解析：，直线aC平面a,直线bC平面a,M∈a,N∈b, 显然它们在平面ACD上；D,E,G, 102 G M∈平面a,N∈平面a.M∈l,N∈l,∴lCa.故选A.J F四点不共面，因为不能由这四个点 B F 4.B[解析：因为正方体的四条体对角线相交于同一点（正方体 得到平行或相交的两条直线；对于 01 的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平 C,A,E,F,D四点共面，因为直线 D 面.故选B.] EF和直线AD平行，所以这四个点 5.B[解析：A点在直线a上，而直线a在平面a内，点B在a 共面；G,E,O,O2四点共面，因为这 A 内，表示为：A∈a,aCa,B∈&.故选B.] 四个点显然都在由AD,BC,AD:,B1C的中点所在的平面上. 6.B[解析：A,B,C,D四点共面而不共线，这四点可能有三点 故选B.】 共线，也可能任意三点不共线，A错误；如果四点中没有三点不 5.ABC[解析：因为A,M,O三点既在平面AB1D1内，又在平 共线，那么四点共线，与已知矛盾，故B正确；当任意三点不共线 面AACC内，故A,M,O三点共线，从而易知ABC均正确.故 时，也满足条件，故C错误；当其中三点共线，与第四个点不共线 选ABC.】 时，也满足条件，故D错误.故选B.] 6.A[解析：如图所示，连接AD1,BC1,因为O∈AM,AM∩面 7.B[解析：因为梯形的上下底互相平行，所以梯形是平面图 BB1D1D=O,AMC面ABC1D1,面BB1D1D∩面ABC1D1= 形，故①正确；三条平行直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱， BD1,所以O∈BD1,则O,B,D1三 D M 故②错误；若两个平面的三个公共点不共线，则两平面重合，若 点共线，由D,M∥AB且D1M= 三个公共点共线，则两平面可能相交，故③错误.故选B.】 A 8.C[解析：在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个 合AB,所以0D,=号B0,所以D, 平面，如图所示：PA,PB,PC相交于一点P,则PA,PB,PC不 O,B三点共线且OB=2OD1.故 共面，则PA,PB确定一个平面PAB,PB,PC确定一个平面 选A.] 898.3简单几何体的表面积与体积 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 基础过关) 1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为 A.48√6 B.64 C.16 D.96 2.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱 柱的侧面积是 A.130 B.140 C.150 D.160 3.过长方体的一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，对角线长为2√14，则这个长方体的体积为( A.6 B.12 C.24 D.48 4.若正方体的棱长为√2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 恕 A唱 R号 c 5.（多选)下列结论中，正确的是 约 h A.S柱侧=C(其中C为底面周长，l为棱柱侧棱长)仅适用于正棱柱 部 B.在棱柱ABC一A'B'C'中，VA-ABC=Vg-ABC C.在正棱锥P-ABC中，S侧=2Ch(其中C为底面周长，h为斜高) D.棱锥的体积是棱柱体积的三分之一 6.棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1：2（从顶点到截面与从截面到底面）两部分，那么 这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于 A.1:9 B.1:8 C.1:4 D.1:3 7.正四棱台的上、下底面边长分别为1cm,3cm,侧棱长为2cm,则棱台的侧面积为 剂 A.4 cm2 B.8 cm2 C.43 cm2 D.8√5cm 8.已知四棱锥S一ABCD的底面ABCD为正方形，各侧面均为正三角形，且AB=5,则四棱锥S一 ABCD的表面积为 A.75+25√3 B.50+25√3 C.25+25√3 D25+58 9.已知一个长方体的三个面的面积分别是√2，√3，√6，则这个长方体的体积为 10.如图所示，长方体ABCD一A1BCD1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥 D B E一BCD的体积是 11.已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是 体积 D 是 12.如图所示，有一个滚筒是正六棱柱（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高 1.6m,底面外接圆的半径是0.46m,则制造这个滚筒需要多少平方米铁板（结果精确到0.1m)? 1.6m 13.建造一个容积为16m3,深为2m,宽为2m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m,池 壁的造价为80元/m,求水池的总造价. 14.如图所示，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm,侧棱长都相等，E为BC的中点，高为 PO,且∠OPE=30°，求该四棱锥的侧面积和表面积. D .--0、 A 37 。能力提升) 1.如图所示，在多面体ABCDEF中，已知底面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB, EF-多，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为 A号 B.5 C.6 D号 2.(多选)如图所示，在直三棱柱ABC一AB1C1中，AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°，侧面AA1C1C 中心为O,点E是侧棱BB1上的一个动点，在下列判断中，正确的是 E A.直三棱柱侧面积是4十2√2 B直三棱柱体积是号 C.三棱锥E-AA1O的体积为定值 D.AE+EC1的最小值为22 3.正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为 A4② B.√2 C22 3 3 D 3 4.已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则四棱 锥A1一EFGH的体积为 5.如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边A,B,作 一个平行于棱C1C的平面A1BEF,即平面分三棱台的体积为V1（三棱柱 AB1C1一FEC),V2两部分，那么V1：V2= 6.已知正三棱柱ABC一A1B1C1的高为6，AB=4,点D为棱BB1的中点，则四棱 锥C一A1ABD的表面积为 ,三棱柱的体积为 7.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P一AB1CD1,下部分的形 状是正四棱柱ABCD一A,B,C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO是正四棱锥的高PO1的 4倍，若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少？ 0 32无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 8.一个正三棱锥P一ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1一ABC的顶点A1,B1, C1分别在三条棱上，A。,B。,C。分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？ A1∠- C B C Co Bo B 9.(2022·上海)如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为32cm,两底面对角线EG,E1G1的长分 别为14cm,62cm,水深为12cm. 恶 (1)求正四棱台的体积； 0 (2)将一根40cm长的玻璃棒1放在容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求1没 入水中部分的长度.（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计） e H G :0 F H G E F 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 ■ 基础过关) 1.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A.1:2 B.1:√3 C.1:√5 D.3:2 2.面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为 A.πQ B.2πQ C.3πQ D.4πQ 3.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为 A.2π B.3π C.π D.4π 4.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 恕 A.元 B晋 c D. 地 5.圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的侧面积为 h 剂 A.81π B.100π C.14π D.169π ▣ 6.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为 世 长 A.2 B.22 C.4 D.8 7.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面 的半径为 A.7 B.6 C.5 D.3 8.把半径分别为6cm,8cm,l0cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为 郊 三 A.3 cm B.6 cm C.8 cm D.12 cm 9.将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( A.2π B.3π C.4元 D.6π 10.已知一个正方体的有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积 为 11.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线OO2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4 的正方形，则该圆柱的表面积为 12.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水。 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降 雨量是 寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 13.若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积. 14.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=18,BC=24,AC= 30,求球的表面积和体积. 15.如图所示，在半径为R的半圆内（其中∠BAC=30°）的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一 周得到一个几何体，求该几何体的表面积及体积. 0 33 。能力提升〕 1.已知正方体、等边圆柱（轴截面是正方形）、球的体积相等，它们的表面积分别为S正，S柱，S球，则下列 不正确的是 () A.S正<S球<S柱 B.S正<S柱<S球 C.S球<S柱<S正 D.S球<S正<S柱 2.如图所示，半径为4的球O中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面 积之差为 () 0.4 A.24π B.28π C.32π D.36π 3.(多选)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的 是 () A.圆柱的侧面积为2πR B.圆锥的侧面积为2πR C.圆柱的侧面积与球面面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2 4.(多选)如图所示，△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,过点C作CD⊥AB,B 垂足为D.下列说法正确的是 A.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π B.以BC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π D.以AC所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π 5.若一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为( ) A.43 B.3:1 C.3:2 D.9:4 6.祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容 异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如 果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖 去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何 体为 () 0.5R R R R... ① ⑨ ③ ④ A.①② B.①③ C.②④ D.①④ 34无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 7.在封闭的直三棱柱ABC一A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3, 则V的最大值是 8.某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪用）.已建的仓库的底面直径为 12m,高为4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案：一是新建的 仓库的底面直径比原来大4m(高不变)；二是高度增加4m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案建的仓库的侧面积； (3)哪种方案更经济些？ 9.轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积.