第八章 单元1 基本立体图形、立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积 B卷 能力提升-【金试卷】2025-2026学年高一数学必修第二册同步单元双测卷（人教A版）

第八章立体几何初步 单元1基本立体图形、立体图形的直观图、 简单几何体的表面积与体积 欢 B卷 能力提升 密 建议用时：70分钟满分90分 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给 的 出的四个选项，中只有一项是符合题目要求的) 封 1.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的 线 深 内 不 如 准 2.水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B'O'=CO'=1,A 0'-3 2 那么原△ABC是一个 答 A.等边三角形 B.直角三角形 B 0' C.三边中只有两边相等的等腰三角形 题 D.三边互不相等的三角形 3.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径和高均 为12cm,现有体积为96πcm3的细沙全部漏人下圆锥后，恰好 堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高度为 () 丝 邻 A.3 cm B.6 cm C.8 cm D.9 cm 4.体积相等的正方体、球、等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）表面 积分别为S1、S2、S3,那么它们的大小关系为 () A.S<S<Sa B.S1<S3<S2 C.S2<S1<S3 D.S2<S3<S1 5.已知直三棱柱ABC-AB,C1的6个顶点都在球O的球面上，若 AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的表面积为() A.153π B.160π C.169π D.360π 6.如图，一个盛满溶液的玻璃杯.其形状为一个倒置的圆锥，现放一 个球状物体完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯 口所在平面相切，则溢出溶液的体积为 () A.83x B.43x 27 27 C.163x D.323x 27 27 二、多项选择题（本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分) 7.如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形A'B'C'D',已 知A'B′=2CD'=4,则 D 0'(4') A.A'D'=2 B.BC=2√2 C.四边形ABCD的周长为6+2√2+2√3 D.四边形ABCD的面积为6√2 8.如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D 为B'C'的中点，且A'D'∥y轴，BC∥x'轴，那么在原平面图形 ABC中 () B'D' A.AB与AC相等 B.AD的长度大于AC的长度 C.AB的长度大于AD的长度 D.BC的长度大于AD的长度 9.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A,C 的点，SO=OC=2,则下列结论正确的是 () 0 A.圆锥SO的侧面积为8√2π B.三校维S-ABC体积的最大值为 C.∠SAB的取值范围是（年，） D.若AB=BC,E为线段AB上的动点，则SE十CE的最小值为 2(3+1) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 10.在棱长为2的正方体ABCD一A1B1C1D1中，三棱锥A一B1CD 的表面积和正方体的表面积之和为 11.正四棱台的上、下底面边长分别为8cm和18cm,侧棱长为13 cm,则其表面积为 cm2. 12.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=60°，AC=AA1,若三棱 锥A1一ABC的外接球的半径为√7.则三棱锥A1一ABC体积的 最大值为 第一部分单元、阶段检测卷15 四、解答题（本题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤) 13.(10分)如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方 体，E,F分别为AA1,CC1的中点，求四棱锥A1一EBFD1的 体积. --B D 16第一部分单元、阶段检测卷 14.(10分)在长方体ABCD-ABC1D1中，AB=6,BC=8,AA =6. (1)求三棱锥D1一ABC的体积； (2)在三棱柱ABC一A1B1C1内放一个体积为V的球，求V的 最大值. 15.(10分)如图所示，圆锥S0的底面半径为2，P为母线SA的中 点，侧面展开图是一个圆心角为的扇形. (1)求圆锥SO的表面积和体积； (2)若圆锥SO的底面圆周和顶点S都在球O'的球面上，求球 O的表面积； (3)若一只蚂蚁从A点出发沿着圆锥侧面爬行，穿过母线SB, 绕圆锥侧面爬行一周后来到母线SA的中点P,试求蚂蚁爬行 的最短路程. S -.0 B(2)设∠QBA=a,则∠PBC=吾-a,ee[0,] 由(1)得AB=2005m,AC=4005m 3 3 m, 在△QBA中，2-n20ABQ- AB 100 -m, 、在△PBC中，smC-sin /CPB::BP=10 BC 100 sin(a) m. 2500V3 2500√3 即·Q·子迪a伶-a计w 3 2500√3 =25005（单位：m2). 子cosg2a-7sin2。cos2a- 3 1 ae[o]osoe[9,]oa。e[2], ∴S∈[100003,5000V3](单位：m2). 3 .训练场地面积S的取值范国是[100005,50003]（单位：m2). 第八章立体几何初步 单元1基本立体图形、立体图形的直观图、 简单几何体的表面积与体积 A卷基础巩固 1.B棱柱的侧面都是四边形，A不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B正确； 所有的几何体的表面都能展成平面图形，球不能展开为平面图形，C不正确；棱柱的 各条侧棱都相等，但各条棱不一定相等，所以D不正确.故选B. 2.D已知直观图是面积为4的等边三角形，所以原三角形的面积S=告=8区。故 2 4 选D. 3.B由斜二测画法的规则可知(1)正确，(2)错误；(3)中梯形两底平行且长度不相等， 故其直观图中一组对边平行且长度不相等，故不可能为平行四边形，(3)错误；(4)中 由斜二测画法的规则易知菱形的直观图为平行四边形，(4)错误，故选B. 4.B因为BC垂直于x轴，所以在直观图中BC′的长度是1，且与Ox'轴的夹角是 45,所以B到0x'轴的距离是昙故选B 5.B由题易知折后的几何体为直三棱柱，且底面为等边三角形， 底而外块题的直径2的一合 5=召，直三棱柱的高h=2,设几何体的外接球的半径 为R,剥R气P+√写十1=2，故外接球0的体积为=号 3 27元.故 选B. 6.B设球的半径为rcm,依题意得三个球的体积和水的体积之和等于高度为6rcm 的圆柱体的体积，3X号r3+x2X6=2X6r,解得，=3.故选B. 7.AD由题知，该圆柱的底面圆半径为R,高为2R,该圆锥的底面圆半径为R.高为 2R,圆柱的侧面积为2πRX2R=4πR2,球的表面积为4πR2,故选项A正确；若圆锥 的侧面展开图的圆心角为元，则其母线1满足号×2=2xR,所以1=2R,而母线长 应大于圆锥的高2R,故矛盾，故选项B错误；圆柱的表面积为2元R2十2πR×2R= 6xR2,故选项C错误：国柱的体积为R2X2R=2xR3,球与国维的体积之和为号xR 十号R2X2R=2R3,故造项D正确，故选AD 8.AC设周柱的高度为h厘来，则S=2BR2+2RA,则xh= 一R2,由题意知酒杯 的客积V=号R3+(气-)R=-名R+R≤专R】 21 又R=号-R>0,所以R<≤号R,解得/≤R< E.故选AC. 9.BD依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台， 所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1：3，高之比为1：3， 所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1：9，体积之比为1：27， 即小棱锥与棱台的侧面积之比为1：8，体积之比为1：26.故选BD 10.答案1；5π 解析设圆锥的底面半径为，由母线长为4，可得侧面展开扇形 的圆心角为T-受 将圆锥侧面沿AB展开成一个扇形，如图，则BM=2√5，在 B △ABM中， 由余孩定理可得BM气4+22-2×4×2c0s受√20-16cs罗-25， 2 解得c0s哥-0，又0<受≤x,所以7=1， 所以此圆锥的表面积为π×12十π×1×4=5π 11,答案23 3 解析如图，取BC中点O,连接AO. B :正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，AC=2,OC =1,则AO=√3. .点D到平面BCC1B1的距离为√3. 又Sa腮，6=号×2×2=2， D B Vn-题6=3×2xw5-25, 3。 A,9 12.答案 32V2 解析如图连接AC,BD,设AC和BD交于O,则O为点P在 平面ABCD内的投影，即PO为正四棱锥的高， 在△POC中，PC=4,OC=2√2， D 则P0=√42-(2√2)2=2√2， 故V=子s=子×4×22-2 -0 3 A 13.解(1)易知原图形△ABC是平行四边形，如图所示， OA=OA'=2,OB=2OB'=2X2W2=4√2，SGOABC=OA ·OB=8√2. (2)由题意得得到的几何体是一个组合体，其形状是一个内 部挖去一个同底等高的圆锥的圆柱和一个圆锥（与挖去的 圆锥相同)， .几何体体积V=π×(4√2)2X2=64π， 几何体表面积S=2π×4√2×2十2Xπ×4√2× √/(4√2)2+22=64√2元. 14.解如图，连接EB,EC,AC. Va度E-AaD=号×42X3=16, ,AB=2EF,EF∥AB,.S△EAB=2S△BEF, .V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-EFB D =号V三成0-ABE=号三装#E-ABC =×V线#E-版c0=4 ∴.多面体的体积V=V四棱银E-ABCD十V三棱锥F-EBC=16十4=20. 15.解(1)因为AB=3,BC=4,AC=5.所以AB2+BC2=AC2.所以△ABC为直角三 角形。 设数#ABC-ABC的侧棱长为x,则SE形Aa,=3,剥V6Aa,A=子X3z X4=24,所以x=6, 所以堑堵ABC-A1B1C1的侧棱长为6. （2)因为SaAc=号X3X4=6,所以Ve-Ac=号×6X6=12.所以整路C-ABC 的体积为12. (3)易知SMIG=合×3X4=6,SA，照C=号×6X4=12, 号×6×5=15，SaAc,=号X3X+6=3V1B. SAM,C=2> S矩形A,ABB,=3×6=18,所以阳马C1-ABB1A1的表面积为6+12+15十18+3 w/13=51+3√/13. B卷能力提升 1.A此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面 图形旋转而形成的.故选A. 2.A由圈形，知在原AABC中，A01BC.AO=A0=E :B'O=CO=1,∴.BC=2,AB=AC=2,∴△ABC为等边三角形.故选A. 3.C细沙漏入下圆锥后，堆成的圆锥形沙堆的底面半径为6cm,设高为hcm, 由题意得了·62·h=96x,解得A=8.所以此围维形沙推的高度为8cm故选C 4.D设球的半径为R,正方体的棱长为a,圆柱的底面半径为r, 则球的体积为号元R3,正方体的体积为a3,圆柱的体积为2m3, 由题意得a-音R=2r,所以a=(2xr,R=(是)，S=6a2,5=4R2,S =4πx2+2πr2=6πr2, S1-S3=6a2-6r2=6(2m)号r2-6πr2=6r2(W4π2-元)>0，所以S1>S3, S-s,=4R2-6m2=4(侵)，2-6r2=4r2·[(2)）-是]<0，所以S <S3· 综上，S2<S3<S1.故选D. 5.C由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角 线就是外接琅的直径，所以球0的丰径R=/尽十4华+12-号。 所以球0的表西叔5=4红×（停》产-1G9故适C 6.D由题意，设球的半径为.作出球与圆锥的组合体的轴截面，可得一个半径为r的 圆内切于一个边长为4的等边三角形，且等边三角形的高h=2√3， 所以球的*经=宁=2，片以球的体软V-专-号×(2)-32 3 27 即溢出溶液的体积为32，，故选D. 27 7.ACD在等腰梯形中，∠DA'B'=45°，A'B'=2CD'=4,易知B'C'=A'D'=√2， 由斜二测画法可知在原图直角梯形ABCD中，AB=2CD=4,AD=2√2，∠BAD= 受，则BC=√22+(4-22=2，所以四边形ABCD的周长为6+2E+2, 面叔为2告×2巨-6反.故选ACD 8.AC由直观图易知A'D'∥y轴，根据斜二测画法规则，在△ABC中有AD⊥BC, 又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形， 则AB与AC相等，且长度都大于AD的长度， 但BC与AD的长度大小不确定，故选AC. 参考答案61 9.BD易知SC=2√2，则圆锥SO的侧面积S=π×OC ·SC=π×2X2√2=4√2π，A错误； 易得(SABc)mx=合X4X2=4,故(V9Bc)x= 子X4X2=号，B正确， ew<sB- =AB,又△ABC中，0<AB<4, SA421 所以0<cos∠SAB<号，所以受<∠SAB<受，C错误； 4 当AB=BC时，把△SAB展开至与△ABC所在平面共面，如图， AB=BC=22=SA=SB,AB⊥BC,∠SBC=150°，易知SE+CE的最小值是SC, 在△SBC中，SC=√SB2+BC-2SB·BCcos∠SBC=√8+8-2X2√2X2V2cos150° =2(√+1)，D正确.故选BD. 10.答案24+8√3 解析正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，所 A 以B1D1=2W2, 如图所示，三棱锥A一B1CD1是棱长为2√2的正四 面体， B S△AB,c=2AB1XB1Csin60°=2√3，所以三棱锥A 一B1CD1的表面积为8√3， A D 正方体的表面积为2×2×6=24， 所以三棱锥A一B1CD1的表面积和正方体的表面 B 积之和为24+8√5. 11.答案1012 解析易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为√132一52=12， 所以正四棱台的表面积S=4×号×(8+18)×12+82+182=1012(cm2). 12.答案6 解析设直三棱柱ABC一A1B1C1的上、下底面三角形的 B 0 外接圆圆心分别为O1,O2,外接圆半径为r,外接球球心为 O,连接OO1,则0为O1O2的中点，连接OB,O1B,由题意 知OO2=AA1=AC. O 设O1O2=AC=AA1=2x,则OO1=x,OB=√7，在 △ABC中， B 易知m2ABc=2r→2爱-2→z= AC 2, 2 在△0,0中，向为度定理得+r-7,中（停}+=7。 则r=2,x=√3，AC=AA1=2√3， 易知当且仅当AB=BC时，△ABC的面积取得最大值，为×(23)2=35，所以 三棱锥A1-ABC体积的最大值为子X33XAA1=√3X23=6。 18.解，周为EB=BF-FD=D,E-2+(号}-D,F/EB, 所以四边形EBFD1是菱形. 连接EF,则△EFB≌△EFD1, 易知三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1的高相等， VA -EBFD,=2VA -EFB =2VR-EBA. 又周为SABA,=号EA1·AB=子a2,则VFBA=c, 所以VAD,=2VAs=2YrA,=名o】 62参考答案 14.解(1)由长方体的几何特征知D1到平面ABC a. B 的距离为DD1=AA1=6, 又S△ABC= 2AB·BC=24,所以Vn,-ABc=3 D 9 SAAC·DD,=3×24X6=48, (2)设R为△ABC的内切国的半径，则号×RX A --B (AB+AC+BC)=24, 易知AC=/AB2+BC2=10, D 所以AB+AC+BC=6+10+8=24,所以R=2. 又2R=4<AA1=6, 所以在三棱柱ABC一A1B1C1内放一个体积为V的球，该球半径最大为2， Vm=青x×29-32 31 15.解(1)依题意，圆锥的底面半径r=2, 设圆雏的母线长为1，则2x·,=2.1>1=6.所以圆锥的高S0=√62-22=42， 3 所以国维的表面积为x·2十元·7…1=16，体积为号×x×2XS0=16 3 (2)易知点O在线段SO上.设球O的半径为R, 则(42-R)2+22=R2→R=92, 4, 所以球O的表面积为4rR2=81r 2 (3)如图，已知圆维的倒面展开图是一个圆心角为号 的扇形，则∠ASP=2r, 3 又SA=6,SP=3.所以蚂蚁爬行的最短路程为AP= 82π=37. √62+32-2×6×3×os 第八章立体几何初步 单元2空间点、直线、平面之间的位置关系、 空间直线、平面的平行 A卷基础巩固 1.D若直线a和b共面，则由题意可知a∥b: 若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.故选D. 2.B对于选项A,由图1可知MN∥DE∥AC,MN中平面ABC,ACC平面ABC,所 以MN∥平面ABC,故选项A不符合题意. B N E N- 图1 图2 图3 1图4 对于选项B,设H是EG的中点，由图2.结合正方体的性质可知AB∥NH,MN∥ AH∥BC,AM∥CH.所以A,B,C,H,N,M六点共面，故MNC平面ABC,故选项B 符合题意. 对于选项C,由图3可知MN∥DE∥BC,MNC平面ABC,BCC平面ABC,所以 MN∥平面ABC,故选项C不符合题意. 对于选项D,如图4，AC∩NE=D,因为四边形AECN是矩形，所以D是NE的中 点，又B是ME的中点，所以MN∥BD,又MN寸平面ABC,BDC平面ABC,所以 MN∥平面ABC,故选项D不符合题意.故选B. 3.C在空间四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，有E∈平面ABC,F∈平 面ABC,则直线EFC平面ABC,同理，直线GHC平面ADC.因为EF、GH能相交 于点P,所以P∈EF,P∈GH,因此P∈平面ABC,P∈平面ADC,又平面ABC∩平 面ADC=AC,所以P∈AC,A不正确，C正确，D不正确.又直线AC与BD没有公 共点，所以点P不在直线BD上，B不正确.故选C. 4.C设平面BED1交棱AD于点F,由正方体的性质及平 D 面与平面平行的性质定理得ED1∥BF,D1F∥BE, M 由勾股定理可得四边形D1FBE所有边长的长度为√5，所 A 以四边形D1FBE是菱形，且F为AD的中，点， 取A1D1的中，点M,连接FM,ME则EF=√FMP+ME =√22+22=2N2.易知D1B=√DD?十BD2= √DD+AB2+AD2=√22+22+22=2W, B 故S支形D,FBE DB·EF_2BX2E=26.故选C 2 5.A由长方体性质知：EF∥平面ABCD,EFC平面EFGH,平面EFGH∩平面 ABCD=GH,∴.EF∥GH.又EF∥AB,∴.GH∥AB.故选A. 6.D如图，绘出三棱柱ABC-A1B1C, 取AC的中点G,BC的中点H,A1C1的中点J,B1C1的中点 G I,连接GJ、JI、IH、HG, 又E是AC1的中点，F是B1C的中点， 所以E在GJ上，F在HI上， E、 因为P为该三棱柱表面上的一动，点，三棱柱恰好有5条棱与 平面PEF平行， 所以点P在线段GJ(除去点E)、JI、IH(除去点F)、HG上， 此时平面PEF即为平面GHIJ,AA1、AB、A1B1、BB1、CC1都 A B 平行于平面GHIJ, 故动，点P的轨迹为除去E、F两，点的平行四边形， 易知AA1∥平面GHIJ,AB∥平面GHIJ.AA1∩AB=A, 所以平面GHIJ∥平面AA1B1B.故选D. 7.BCD由题意知PQ=?DE,且DE≠MN,所以PQ≠？MN,故A不正确； 又PQ∥DE,DE∥MN,所以PQ∥MN,又PQ≠MN,所以B,C,D正确. 8.CD由题图易知直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故 A、B错误.直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1也是异面直线，故C、D正 确.故选CD. 9.ABC对于A,AA1∥BB1且AA1=BB1,E、H分别为AA1、BB1的中点， .A1E∥B1H且A1E=B1H,.四边形A1B1HE为平行四边形，则A1B1∥EH, F、G分别为A1C1、B1C1的中点，.FG∥A1B1,.FG∥EH,故E、F、G、H四点共 面，A对； 对于B,:E、F分别为AA1、A1C1的中点，.EF∥AC, 又EF寸平面ABC1,AC1C平面ABC1,.EF∥平面ABC1, ,四边形AA1B1B为平行四边形，A1B1∥AB,又EH∥A1B1,∴.EH∥AB,又EH 中平面ABC1,ABC平面ABC1, ∴.EH∥平面ABC1,又EF∩EH=E,.平面EGH∥平面ABC1,B对； 对于C,由题图易知FH不与AA1相交，若FH∥AA1,又BB1∥AA1,.FH∥BB1, 这与FH∩BB1=H矛盾，故FH与AA1异面，C对； 对于D,延长AH、A1B1交于点N,连接FN交B1C于点P,连接PH,若BC∥平面 AFH,又BCC平面BB1C1C,平面BB1C1C∩平面AFH=PH,∴.PH∥BC,事实 上，PH与BC相交，故假设不成立，D错.故选ABC. 10.答案1或4 解析如果这四，点在同一平面内，那么能确定1个平面；如果这四，点不共面，那么 任意三，点能确定1个平面，所以能确定4个平面. 11.答案平行 解析如图，延长AG交BC于F,连接SF, 则由G为△ABC的重心知AG：GF=2, 又AE:ES=2, .EG∥SF, 又SFC平面SBC,EG中平面SBC, ∴.EG∥平面SBC.