7.2 复数的四则运算&7.3 复数的三角表示-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课时卷

7.2复数的四则运算 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 ■ 基础过关) 1.已知之+5-6i=3十4i,则复数之为 A.-4+20i B.-2+10i C.-8+20i D.-2+20i 2.复数(3+mi)一(2十i)对应的点在第四象限内，则实数m的取值范围是 Am<号 B.m<1 c<m< D.m>1 3.已知复数之对应的向量如图所示，则复数之十1所对应的向量正确的是 C 4.若=2十i,x2=3十ai(a∈R),且1十2所对应的点在实轴上，则a的值为 地 A.3 B.2 C.1 D.-1 5.如果一个复数与它的模的和为5十√3i,那么这个复数是 ( ) A号 B./3i c.号+i D.号+23 6.已知1=(3x十y)+(y-4x)i(x,y∈R),x2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设之=1-22，且 之=13一2i,则1= 7.已知|z=4,且之+2i是实数，则复数x= 8.计算： (1)(2-2)+(3-2): (2)(3+2i)+(wW3-2)i; (3)(1+2i)+(i+)+|3+4il; (4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i). ■能力提升) 1.在复平面内点A,B,C所对应的复数分别为1+3i,一i,2+i,若AD=BC,则点D对应的复数是 () A.1-3i B.-3-i C.3+5i D.5+3i 2.复数1=1十icos0,x2=sin0-i,则|1一2|的最大值为 () A.3-2√2 B.√2-1 C.3+2√2 D.√2+1 3.在复平面内，O是原点，OA,O心，AB对应的复数分别为一2+i,3+2i,1+5i,那么BC对应的复数 为 4.设实数x,y,0满足以下关系：x十yi=3+5cos0+i(-4+5sin0),则x2+y2的最大值是 5.已知复数|z=1,则复数3十4i十x的模的最大值为，最小值为 6.已知复平面内□ABCD,A点对应的复数为2+i,向量BA对应的复数为1十2i,向量BC对应的复数 为3-i,O为坐标原点. (1)求点C,D对应的复数； (2)求□ABCD的面积. 23 数学 7.2.2复数的乘、除运算 、 基础过关) 1.等于 A.5 B.- c n去 2.若复数之满足之·(i一1)=2i(i是虚数单位)，则下列说法正确的是 A.之的虚部是一i B.x是实数 C.|z|=√2 D.之+z=2i 3.若复数：满足千=2i,则。等于 A.2+2i B.2-2i C.-2-2i D.-2+2i 4.将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为 A 以当 c n月 5.复数之满足：(1一i)x=1+i,其中i为虚数单位，则x的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A.(0,-1) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,0) 6.若复数之满足(3十√3)z=一6(i是虚数单位)，则复数之等于 A-+吗 B. C. D- 7,若复数=，十21(a∈R)是纯虚数，则：等于 2-i A.-2i B.2i C.-i D.i 8.已知a,b∈R,(a十bi)2=3+4i(i是虚数单位)，则a2+b2= ,ab- 9.在复数范围内方程2x2十3x十4=0的解为 10.计算： (1)-1+iD(2+边」 (2)1+2)2+3(1-iD 3 2+i √5-√2i 24无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 。能力提升) 1.（多选)已知m∈R,若(m十mi)6=-64i,则m等于 ( A.-√2 B.-1 C.2 D.1 2.(多选)已知复数z=cos0叶isin0-受<<受)（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是 ( A.复数之在复平面上对应的点可能落在第二象限 B.之可能为实数 C.|x=1 D.是的虚部为sin0 3.（多选)已知非零复数之1，之2满足之1之2∈R,则下列判断一定正确的是 A.1+x2∈R B.12∈R C.∈R D.∈R 2 4.(多选)已知复数x=(a一i)(3十2i)(a∈R)的实部为一1，则下列说法正确的是 A.复数之的虚部为一5 B.复数之的共轭复数=1一5i C.|z=√26 D.之在复平面内对应的点位于第三象限 5.(多选)已知i为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A.3+4i>2+i B.a2一4十(a+2)i(a∈R)为纯虚数的充要条件为a=2 交 C.z=(1十i)2(1+2i)的共轭复数对应的点为第三象限内的点 D:一的虑都为时 贼 6.（多选)早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一 元四次方程的解法.此后数学家发现一元次方程有n个复数根（重根按重数计）.下列选项中属于 三 方程z3一1=0的根的是 ( A. B. -3 C.-2 D.1 2 7.若复数之满足方程z2十4=0，则x= 8已知复数：为纯虚数，且为实数。 (1)求复数z; (2)设m∈R,若复数(m十)2在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 7.3*复数的三角表示 7.3.1复数的三角表示式 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 基础过关) 1.复数一停的三角形式是 A.cos(-3）+isin(-牙） B.cos +isin C.cos- -si 3 D.cos +isi 5π 2.复数sin50°-isin140°的辐角的主值是 A.1509 B.40 C.-40° D.320° 3.复数sin45°一icos45°的辐角主值是 C.225° 数 A.45° B.1359 D.315° 4.计算 3(cos270°+isin270°) 的结果是 3 [cos(-90°)+isin(-90°)] A.-9 B.9 C.-1 D.1 纶 动 5.复数sin4+icos4的辐角的主值为 ( 邻 帘 A.4 B受-4 C.2π-4 D.-4 6.若复数cos0+isin0和sin0+icos0相等，则0的值为 长 A.开 B或野 C.2kx+平(k∈Z) D.kx十平(k∈2Z) = 7.如果∈（受，x,那么复数(1+iD(os isin 0)的三角形式是 A./2[cos(-0)+isin(0) B.√2cos(2π-0)+isin(2π-0)] 染 C./2cos(+0)+isin(+0) D./2[cos)+isin()] 8.把复数1十i对应的向量按顺时针方向旋转 受，所得到的向量对应的复数是 9.设复数之=1十3i,x2=√3+i,则兰的辐角的主值是 10.设复数1=√3+i,复数x2满足|x2|=2,已知之1号的对应点在虚轴的负半轴上，且arg2∈(0， 求之2的代数形式. 。能力提升〕 1.复数x=cos需十isin需是方程-a=0的一个根，那么a的值为 () A号+ R c D-合-9 2.(多选)下列复数不是三角形式的是 () ) A.2(cos5--isin） B.2(cos5+isin） C.-2(cosisin D.2(cos+isn】 3.(多选)下列各角是复数3√3一3i的辐角的是 ) A.-8 g C.4π D.35x 6 4复数=号+停的三角形式为 —'3(cos120°-isin300) 5复数=-1+（告） 】的辐角主值为 6.若复数满足-arg(②）子则的代数形式是2= 7.把复数与：对应的向量0,0分别按逆时针方向旋转平和后，与向量OM重合且模相等，已 3 知2=一1一√3i,求复数1的代数式和它的辐角主值. ) ) 8.欧拉公式er=cosx十isin x(e为自然对数的底数，i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉 提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论 里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式： (1)判断复数e2在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由； (2)若er<0,求cosx的值. r), 252.A[解析：因为=一1，所以3=i2·i=一i.故选A.] 3.A[解析：021=i×05+1=()05i=i.故选A.】 4.A[解析：z=20+21=+i=1十i,故选A.】 5.C[解析：若x=(a2-1)-(a-1)i(i为虚数单位)为纯虚数， 则：10解得a=-1.放选C.】 a-1≠0， 6.B【解析：由a2-3a十2=0得a=1或a=2,且a-1≠0，解 得a≠1，则a=2.故选B.] 7.B[解析：若复数z=a十bi是纯虚数，则a=0,b≠0，则a=0 不能证得之为纯虚数，之为纯虚数可以证得a=0,故“a=0”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件.故选B.] 8.1一i[解析：一3+i的虚部为1,3i+=一1+3i的实部为 一1，故所求复数为1-i.] 9.2【解析：(z-2)+i=-1+i.工-2=-1：=1， y=1, y=1, .x十y=2,故答案为2.] 10.4-2020i【解析：因为a十2020i=2-bi,所以a=2,-b= 2020,即a=2,b=-2020,所以a2+bi=4-2020i.】 【能力提升】 1.C【解析：：复数x=(cos0-号)+(sin0-号)i是纯虚 数，cos0-专=0，sm0-号≠0，sn0=-是，ang m0-), =一7.故选C.] 2.BCD[解析：由复数相等的定义知A正确；实数的虚部为0， 故B错误；对于C,只有当，之2，∈R时，才有=2=，否 则不成立，故C错误；对于D,当a=0时，ai=0,故D错误.故 选BCD.] 3.充要【解析：当a=一2时，x=一4i为纯虚数，充分性成立， 若：纯虚数，则口-4=0， 得a=一2，必要性成立，所以“a= a-2≠0， 一2”是“：为纯虚数”的充要条件.故答案为充要.] 4.1【解析：由题意得十y=2, 所以x=y=1,所以xy=1.] x-y=0, 5.kx+受(k∈Z)【解析：由题意知sin2a=0,1-cos2a≠0， 2a=2kx十xk∈2Z)a=kx+受(k∈Z.】 1m2-2m=0, 6.2[解析：由题意得 解得m=2.】 m2-1>1, 7.解：由m2十5m十6=0，得m=一2或m=一3，由m2一2m一 15=0,得m=5或m=-3. (1)当m2一2m一15=0时，复数x为实数，∴.m=5或m=一3. (2)当m2-2m一15≠0时，复数2为虚数，∴.m≠5且m≠一3. （m2-2m-15≠0， (3)当 时，复数z是纯虚数，m=一2. 1m2+5m+6=0 4-m2=0, 8.解：(1)1为纯虚数，.《 解得m=一2. m-2≠0， (2)由=，得/4-m-X+2sin0, .λ=4-c0s20-2sin0= m-2=cos0-2, sin0-2sin0+3=(sin0-1)2+2.,-1≤sin0≤1，.∴.当sin0= 1时，入im=2,当sin0=一1时，入max=6,.实数入的取值范围是 84无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 [2,6]. 7.1.2复数的几何意义 【基础过关】 1.C【解析：复数之在复平面上对应的点为(1，一1)，.之= 1一i..z+i=1一i+i=1,∴.x十i是实数.故选C.] 2.B[解析：在复平面内对应于复数a一bi,一a一bi的两个点分 别为(a,一b)和（一a,一b),关于虚轴对称.故选B.] 3.AB【解析：在复平面内，复数a一2i对应的点的坐标为 (a,一2)，因为复数对应的点位于第四象限，所以a>0.故 选AB.】 4.C[解析：由题意可知，点A的坐标为（一1，一2），则点B的 坐标为(1，一2)，故向量O对应的复数为1-2.故选C.】 5.B[解析：若复数x=(a一3a一4)十(a一4)i是纯虚数，则 |a2-3a-4=0, =0解得a二4或a=-1即a=-1,则复数a a一4≠0， a≠4， ai=一1十i对应的点为（一1,1），位于第二象限.故选B.】 6.1+2i或-1-2i【解析：依题意可设复数z=a+2ai(a∈R), 由|z=√5，得√a2+4a2=√5，解得a=士1，故x=1十2i或x= -1-2i.] 7.5[解析：复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点分 别为(3，一5)，(1，一1)，（一2，a),所以由三点共线的条件可得 1号50-=解得a=5】 1-3 8.(3,十∞)[解析：：复数之在复平面内对应的点在第四象 限心任881 9.解：(1)设向量O对应的复数为z1=x1十yi(x1,y∈R),则 点B的坐标为(x,),由题意可知，点A的坐标为(2,1).根据 对称性可知，x1=2,y=一1，故=2-i. (2)设点C对应的复数为z2=x2十y2i(x2,y∈R),则点C的坐 标为(x2,y2),由对称性可知，x2=一2，y2=一1，故2=一2-i. 10.解：|w=√(x+y)2+(x-y)=√2(x2+y)=√21x|,而 1≤|z|≤√2，故√2≤|w|≤2.所以w对应点的集合是以原点为 圆心，半径为√2和2的圆所夹圆环内点的集合（含内外圆周），其 面积为S=π[22一(W2)2]=2π. 【能力提升】 1.BD[解析：选项A中，十2=0只能说明之=一2，错误； 选项B中，|之|+|2|=0，说明|x1|=|z2|=0,即1=2=0，正 确；选项C中，a1=|2l,说明10Z1=10Z1,但0Z与0Z方 向不一定相同，错误；选项D中，1一2|=0，则1=2，故1 2,正确.故选BD.】 2.D【解析：由复数的几何意义知z一1川=1，即复数之是以 (1,0)为圆心，半径为1的圆上的点，而引z表示复数之表示的动 点与原点之间的距离，结合图象，易见|x|的最大值为2.故 选D.】 2 3.AB[解析：对于选项A,因为x,y∈R,且x十yi=1十i,根据 复数相等的性质，则x=y=1,故正确；对于选项B,虚数不能比 (-2)]+[-3+2-(-4)-1]i=8+2i. 较大小，故正确；对于选项C,因为复数=1,2=1满足号十 【能力提升》 好=0，但1≠z2≠0，故不正确；对于选项D,因为复数（一）2= 1.C[解析：点A,B,C所对应的复数分别为1+3i,一i,2+i, 一1，故不正确.故选AB.】 .BC对应的复数为2十i-(-i)=2+2i.设点D对应的复数为 4子+i【解析：设复数：=a十i(a,6ER),则 x十yi(x,y∈R),∴.AD对应的复数为x-1十(y-3)i,又AD= B心，.x-1+(y一3)i=2+2i,由复数相等得 7 a=V云+7-3所以可'所以=名+红】 2产点D对应的复数为3十5就故选C b=-4, y-3=2,1 (b=-4, 5.(-2,-1)U(2,十∞)[解析：根据题意得出 2.D[解析：lz1-2|=|(1-sin)十(cos0+1)il= 1m十2>0， /(1-sin0)2+(1+cos0)2=√/3+2(cos0-sin0)= 解得-2<m<一1或m>2,所以实数m的取值范 m2-m-2>0, √3+2os(0+牙).-1≤cos(+于)≤1…l-alm= 围是(-2，-1)U(2,十∞).故答案为(-2，-1)U(2,+∞).]】 6.解：(1)由题意得|z|=√(x-2)2+(x+2)7=√/2x2+8≥ √3+2√2=√2+1.故选D.】 2√2，显然当x=0时，复数之的模最小，最小值为2√2 3.4-4i【解析：因为OA,O心，AB对应的复数分别为-2+i,3+ (2)由(1)知当x=0时，复数x的模最小，则Z(一2,2).因为点Z 2i,1+5i,且BC=O心-Oi=O心-(oA+AB),所以BC对应的复 在一次函数y=一mx十n的图象上，所以2m十n=2.又mn>0, 数为3+2i-[(-2+i)+(1+5i)]=4-4i.] 4.100[解析：因为x+yi=(3+5cos0)+i(-4+5sin0),所以 所以品+日-（品+）(m+受)=是+兴+”>≥号+E x2+y2=(3+5cos0)2+(-4+5sin0)2=50+30cos0- 当且仅当=元，即=2m时等号成立.又2m十n=2且 40sin0=50+50cos(0+p,其中sng=号，cosg=号.又-1≤ 4 mn>0,所以取等号时，m=2一√2，n=2√2一2. cos(0+p)≤1，所以(x2+y2)mx=50+50=100.】 7.2复数的四则运算 5.64[解析：令w=3+4i+z,则z=w-(3+4i).:1z|=1, |w一(3十4i)|=1,∴复数w在复平面内对应的点表示以 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 (3,4)为圆心，1为半径的圆，如图所示，容易看出，圆上的点A 【基础过关】 所对应的复数wA的模最大，为√32十4+1=6：圆上的点B所 1.B【解析：2=3+4i-(5-6i)=(3-5)+(4+6)i=-2+10i. 对应的复数wB的模最小，为√32+4一1=4，.复数3十4i十z 故选B.】 的模的最大值和最小值分别为6和4.] 2.B[解析：.(3+mi)-(2+i)=3+mi-2-i=1+(m-1)i, .m-1<0,.m<1.故选B.] 3.A[解析：由图可知之=-2十i,所以z+1=-1十i,则复数 之十1所对应的向量的坐标为（一1,1）.故选A.】 4.D[解析：x1+x2=2十i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+ (1十a)i.十2所对应的点在实轴上，∴1十a=0,∴a=-1. 0 3 故选D.】 6.解：(1)：向量B才对应的复数为1+2i,向量BC对应的复数为 5.C【解析：设这个复数为a十bi(a,b∈R),则|a十bi|= 3-i,AC=BC-BA,.向量AC对应的复数为(3-i)- √a+.由题意知a+bi十√a+=5+√3i,即a十 (1+2i)=2-3i.又O心=Oi+AC,∴.点C对应的复数为(2+ 11 Va+G+i=5+3,a+Va+G=5 i)+(2-3i)=4-2i.AD=BC,∴向量AD对应的复数为3-i, 解得 a=5’所 :A市=O市-O,.O市=Oi+AD,点D对应的复数为2+ b=5, 6=3. i+3-i=5. 求复数为号+i故选C】 BA.BC (2):Bi·BC=|BA1|BC1cosB,∴.cosB= 6.5-9i-8-7i[解析：z=31-2=(3x十y-4y+2x)+(y IBAIIBCI -4x+5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i. 3-2=1=ginB=75 √5×√105210 16.SaD=|BA1·IBC 小千得仁 y=-1. .x=5-9i,22=-8-7i.】 sin B=7. 7.士2√3一2i[解析：因为2十2i是实数，所以可设之=a 7.2.2复数的乘、除运算 2i(a∈R),由|x=4得a2+4=16,所以a2=12,所以a= 【基础过关】 士23，所以x=土2√3-2i] 8解：1)原式=(2+宁）-（分+2）i=亨-号1 1A【解析：由复数的运算法则，可得云-.-=2列 2i·i 2 故选A.】 (2)(3+2i)+(√3-2)i=3+(2+√3-2)i=3+√3i 2C【解析-2-1-i选项A: 2i (3)(1+2i)+(i+)+|3+4i=1+2i+i-1+5=5+3i. -2 (4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i)=[6+3-3 的虚部是一1，故A错误.选项B,z=1一i为虚数，故B错误.选 项C,|z=√+(-1)7=√2，故C正确.选项D,z十=1-i十 1+i=2,故D错误.故选C.] 3.C[解析：z=2i(1+i)=一2+2i,故z=一2-2i.故选C.】 4.A【解析：由+i-1一i,其在复平面内所对应的点在第四象 限.故选A.] (1+i)2 5.A[解析：由(1-i)x=1+i,得x=产D+D 1+i 号=i,所以=-，所以其在复平面对应的点为(0，-1)，故 选A.] 6.A【解析：复数之满足(3十√3i)z=一6，之= -6 3+W3i -6(3-√3i) (3+√3i)(3-√3i) 18-3生=-是+9故 12 2 2 选A.] 7.D【解析：因为之=号+21=2+D(a+2D-2a-2+(a+4 2-i(2+i)(2-i) 5 是纯虚数，所以/2a-2=0, a=1,x=i故选D.】 4十a≠0， 8.52【解析：由已知(a十i)2=3+4i,得a2-+2abi=3+ 1a2-b=3, a2=4, 4i.从而有 解得 则a2+b=5,ab=2.] ab=2, b2=1, 9.-3±V23i 4 [解析：因为△=-4ac=32-4×2×4=9- 32=-23<0,所以方程2x2+3x十4=0的根为x= -3±(-23i--3±2.】 2×2 4 10.解： （1)-1+D2+D=-3+i=-1-3i -i (2)1+2)2+31- 2+i 2=3++3-8=六=22 2+i 5 日+ ()+=[P]+凰=+= √3-√2 √3-√2i -1+i. 〖能力提升】 1.AC[解析：因为(m十mi)5=m5·(1十i)5=-8mi=-64i, 所以m=8,所以m=士√2.故选AC.] 2.BC【解析：对于A,B选项，当-受<0<0时，cos0>0, sin0<0,此时复数z在复平面内的点在第四象限；当0=0时， 之=1∈R;当0<0<时，cos0>0,sin>0,此时复数z在复平 面内的点在第一象限，A选项错误，B选项正确；对于C选项， 1=V6os0叶m0=1,C选项正确：对于D选项，是 cos 0-isin 0 cos isin(cos 0isin (cos isin -cos isin0 所以复数.的虚部为一sin0,D选项错误.故选BC.】 3.BD【解析：设a1=a+bi,22=c十di(a,b,c,d∈R),则2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,ad+bc=0, 于选项A中，x1十2=a十bi+c+di=(a十c)十(b十d)i,则1+ 2∈R不一定成立，所以不正确；对于选项B中，=(ac一 bd)一(ad+bc)i∈R一定成立，所以B正确；对于选项C中， =a+i=a+bn(e-n-ac+bd)-（ad-bc)ieR不一 22 c+di (c+di)(c-di) c2+d2 定成立，所以不正确；对于选项D中，兰=十= c-di (a+bi(c+dn=(ac-bd)+(ad+bc)i∈R一定成立，所以正 (c-di)(c+di) c2+d2 确.故选BD.] 4.ACD[解析：x=(a-i)(3+2i)=3a+2ai-3i-2=(3a+ 2)+(2a一3)i,因为复数的实部是一1，所以3a十2=一1，解得 a=一1，所以z=一1一5i,A.复数x的虚部是一5，正确；B.复数 z的共轭复数z=一1十5i,不正确；C.|z|=√/(-1)2十（一5）2= √26，正确；D.z在复平面内对应的点是（一1，一5），位于第三象 限，正确.故选ACD.] 5.BC【解析：对于选项A,因为虚数不能比较大小，故A错误； 对于选项B,若&-4十(a+2i为纯虚数，则口40解得 a+2≠0， a=2,故B正确；对于选项C,x=(1+i)2(1十2i)=2i(1+2i)= 一4十2i,所以乏=一4一2i对应的点为（一4，一2），位于第三象限 内，故C正：对于选项D--名+侣昌-3当，虚部 为三，故D错误.故选BC.】 6,BCD【解析：对于选项A,当：=号+号i时，-1 (号+)°-1-（合+）·（分+）-1=(+号+ ）·(2+)-1=(-3+9)·(3+)-1 -子+()°-1=--是-1=-2放-1=-2≠0，A 错误：对于选项B,当=一号+号时，-1=（一之+） -1=(-3+)·(←+)-1=(}-+) (-2+)-1=(-2-)·(-2+)-1= ()-1-子+子-1=0，故2-1=0，B正确：对于选项C, 当=-合-号时，÷-1=(-是-)-1 (-2-)”·(--)-1=(片++)· (-3-)-1=(-+)·(-名-)-1=其 (停)’-1=+-1=0，放-1=0，C正确：对于选项D, 显然当z=1时，满足z3=1,故D正确.故选BCD.】 7.±2i【解析：设x=a十bi,则z2=a2-b2十2abi=一4，则 0-公=一4，解得a-0,所以=士2i放答案为士21】 ab=0, b=2 8.解：(1)因为复数x为纯虚数，所以设=i(6≠0)，则 二2士_6-2+2+i,又：号为实数，所以2+6=0→6 1+i 一2，即x=-2i. (0,),所以a-牙所以=2(os号+isin牙）=-1+i (2)因为m∈R,z=一2i,所以有(m十z)2=(m一2i)2=m2一4一 4mi,因为复数(m十z)2在复平面内对应的点位于第四象限，所 【能力提升】 以有m2-4>0且-4m<0,即m>2. 1.B【解析：由题意得a=(os无+isin希） 7.3* 复数的三角表示 7.3.1复数的三角表示式 如-=+9故选】 7.3.2复数乘、除运算的三角表示 2.ABC[解析：复数的三角形式是r(cos0+isin0),其中r>0, 及其几何意义 A,B,C均不是这种形式，其中A选项，2cos亭-isin号)中 【基础过关】 1.A【解析：-号i=cos号x+in号x=cos(2x-吾)+ 一isin号，不满足，B选项，2(cos号+isin若)中号≠答，不满 足：C选项，-2(cos号+isin号)中-2<0，不满足；D选项满 isin(2x-号)=cos(-牙)+isin(-号).故选A.】 足.故选ABC.] 2.D[解析：sin50°-isin140°=cos(270°+50)+isin(180°+ 140)=cos320°+isin320°，故辐角的主值为320°.故选D.】 3ABD【解折：=V+(一3=6，os0=9。 3D【解析：7=√9）+(-9=1.o0=竖n0 sin 0=- 之辐角主值0=华，放可以作为复数33-31的 -2 ,∴辐角主值0=315°.故选D.】 辐角的是+2kx,k∈Z当及=-1时，告+(-2x) 2 4.B【解析：1 3(cos270°+isin270)—=9[c0s(270°+ -吾：当k=0时，1号+0=号：当女=2时，1号+4领=3产故 3 [cos(-90)+isin(-90)] 选ABD.】 90°)+isin(270°+90°) =9(cos360°+isin360°)=9.故 4eos60+in60言-得【解析：=合+号=cs60+ 66 选B.] isin60.3cos120产isin300=(cos60°+isin609）÷ 之 5.D【解析：sin4十icos4=cos(号x-4）+isin(号x-4）.故 3(cos120'+isin120y=号[cos(60°-120)+isn(60-120]- 选D.] 6.D[解析：因为cos0+isin0=sin0+icos0,所以cos0 号[cos(-60)+isn(-60]=号（合-9）=日-】 sin0,即tan0=1.所以g=平+kx(k∈).故选D.】 5.3 4 【解折：因为}告所以（告当-m=所以： 7.A【解析：因为1+i=(cos平+isin子）cos0-isin0 一1+厄(os平+im要)，所以复数：的辐角主值为子.】 cos(2x-0)+isin(2x-0),所以(1+i)·(cos0-isin0)= [(cos(年+2m-0）+isin（年+2x-9)] 6.1+号【解析：设-，则=合ag=子6 [cos(贤-)+isin(经-0)]故选A】 (os亭+im号）=+号=是+9解得 8.1-i【解析：1+D[cos(-受)+isim(-受)] 1+9) 巨(eos冬+isn)·[cos(-受)+in(-受)] 7.解：由复数乘法的几何意义得(cos牙+isin干）= [cos(受-受)+isin(-受)]-：[os(-)H (cos+isin5）,又a=-1-3i=2(cos暂+isin经）。 sin(-]-1-i】 2(cos弩+isin誓）·(cos5+isin） 21 cos平+isin平 9.若【解析：由题知1=2(cos号+isin号），2 2[cos(3x-子）+isim(3x-子)门--E+V2i,的辐角主值 2(cos吾+isin否)，所以受的辐角的主值为号-音-否.】 为要 10.解：因为=2(cos+isin若)，设4=2(cosa十-isina, 8.解：(1)复数e在复平面内对应的点位于第二象限，理由如 下：e2i=cos2十isin2在复平面内对应的点的坐标为 ae(0,x),所以号=8[cos(2a+晋)+isim(2a+晋)]小由题 (cos2,sin2),由于受<2<x,因此cos2<0,sin2>0,点 设知2a十日=2x+%(k∈Z),所以a=r+牙(k∈Z).又a∈ (cos2,sin2)在第二象限，故复数e“在复平面内对应的点位于 85 第二象限。 (2),'e=cosx十isin x<0,∴.e为负实数（虚数无法比较大 cos x<0, 小)， sin x=0, 解得cosx=一1 cos2x+sin2x=1, 第八章立体几何初步 8.1基本立体图形 第1课时特殊多面体的定义 及结构特征 【基础过关】 1.D[解析：根据棱柱的定义进行判定可知，这4个图都满足. 故选D.] 2.B[解析：由棱锥的结构特征可得该多面体不可能是棱锥.故 选B.] 3.C[解析：A显然正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有 五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面 垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时各个侧面不全等，故C错 误；D正确.故选C.] 4.C【解析：动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可 以折叠围成正方体即可.故选C.】 5.D【解析：由棱柱的定义及几何特征，可得①③为棱柱.故 选D.】 6.A[解析：如图所示.因为有水的部分始 终有两个平面平行，而其余各面都易证是平 行四边形，所以是棱柱.故选A.] 7.C[解析：按如图①所示用一个平面去截 三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一 个平面去截三棱锥，截面是四边形.故 选C.】 ① ② 8.ABC【解析：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共 顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面 的三角形必须有公共的顶点，故A错误；棱台是由棱锥被平行 于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各 面都是梯形的多面体有可能不是棱台，原因是它的侧棱延长后 不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各个侧面的公共顶点的角 度之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六 棱锥，故C错误；若一个棱柱的每个侧面都是长方形，则说明侧 棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正 确.故选ABC.】 9.ACD[解析：结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱， ②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥.故选ACD.] 10.ABC【解析：选项A错误，反例如图①所示；一个多面体至 少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所 以选项B错误；选项C错误，反例如图②所示，上、下底面是全 等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的 86无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 定义可知，选项D正确.故选ABC.] ① ② 11.12【解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都 相等，所以每条侧棱长为12cm.】 12.3【解析：如图所示，三棱台可分成三棱锥 C C1一ABC,三棱锥C1一ABB1,三棱锥A一 A1BC1,共3个.] 13.(1)[解析：(1)正确，由棱柱的定义可知， 棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形；(2)不 正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一 定是正方体；(3)不正确，正棱锥的侧面都是 等腰三角形，不一定是等边三角形；(4)不正 确，用反例去检验，如图所示，显然(4)错误. 故答案为(1).1 14.解：这个几何体是由两个同底面的四棱锥 组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶 点；有12条棱 15.解：(1)如图①所示，三棱锥A1一AB1D1(答案不唯一). (2)如图②所示，三棱锥B1一ACD1(答案不唯一).(3)如图③所 示，三棱柱A1B1D1一ABD(答案不唯一). D D1 C :! 布 ①.1 B A B ① ② D C A B ③ (能力提升】 1.D[解析：正六棱锥的底面是一个正六边形，正六边形共由6 个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为，正六棱锥的 高为h,正六棱锥的侧棱长为1，由正六棱锥的高h、底面半径r、 侧棱长（构成直角三角形，得h十2=，故侧棱长！和底面正 六边形的边长r不可能相等.故选D.] 2.D[解析：根据截面与几何体的几个面相交就得到几条交 线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，所以截面形状 不可能是六边形.故选D.】 3.CD[解析：如图①所示截面为三角形ABC,OA=a,OB=b, OC=c,.'AC2=a2+c2,AB2 a2+62,BC2=62+c2, cos∠CAB=AB+AC-BC 2a2 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为 2AB·AC 2√a2+b.√a2+c >0, √90，√74，√80，由此可见乙中AC是最短路线，所以虫子可 ∴∠CAB为锐角，同理∠ACB与∠ABC也为锐角，即△ABC 以先在长方形ABB1A1内由A到E,再在长方形BCCB1内由 为锐角三角形，∴正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角 E到C1,也可以先在长方形AA1D1D内由A到F,再在长方形 形，不可能是钝角三角形和直角三角形，A,B错误；若是四边形， DCCD内由F到C1,其最短路程为√74. 则可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但 不可能是直角梯形，C正确；正方体有六个面，用平面去截正方 8.1基本立体图形 体时最多与六个面相交得六边形，如图②所示截面为六边形，则 可以是正六边形，D正确.故选CD.】 第2课时特殊旋转体的定义及结构特征 【基础过关】 1.D 2.D[解析：根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体.故 选D.】 3.C【解析：若上下底面各取的点的连线能平行于轴，则是母 ① ② 线，反之则不是，①错误；根据母线的定义，②显然正确；圆台可 4C【解析：选项A中≠C放A不符合题意：选项B 看作是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，根据圆锥母线 中品≠品，放B不符合题意：选项C中0-C 的定义可知③错误；圆柱的母线都平行于轴，故也相互平行， BC ④正确.只有②④两个命题是正确的.故选C.】 AC,放C符合题意：选项D中满足这个条件的可能是一个三 4.B[解析：A中图形形成的几何体是一个圆锥和一个圆柱； C中图形形成的几何体是两个圆锥；D中图形形成的几何体是 棱柱，不可能是三棱台.故选C.】 一个圆锥和一个圆柱.故选B.] 5.解：(1)如图所示，折起后的几何体是三棱锥. 5.C[解析：圆柱的轴截面一边为高，另一边为底面圆的直径， P(A.B.C) 由轴截面为正方形可知，高与底面圆直径均为√Q,所以底面圆 的半径为号，所以底面的面积为x (9)-9放选C1 6.B[解析：一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱.故选B.] E 7.A[解析：设圆锥底面圆的半径为r,依题意可知2πr=π· (2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF 受，则，=冬，故轴截面是边长为受的等边三角形，故选Λ】 为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形， 8.B[解析：若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底 (3)SAPEF= 合a,Sr=Se=合×2aXa=,Se 面直径为8，其轴截面的面积为翌；若4为底面周长，则圆柱的 SxACB-SAm-SAo-SAos -(2a)-a 高为8，此时圆柱的底面直径为合，其轴裁面的面积为号故 选B.] 6.解：把长方体的部分面展开，如图所示，有三种情况 9.ABD[解析：对于A,根据正棱锥的定义知，正棱锥的所有侧 D C 棱长相等，故A正确；对于B,根据圆柱是由矩形绕其一边旋转 而成的几何体，可知圆柱的母线与底面垂直，故B正确；对于C, B 直棱柱的侧面都是矩形，但不一定全等，故C错误；对于D,圆锥 的轴截面是两个全等的等腰三角形，故D正确.故选ABD.] 10.圆柱【解析：一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体 B 5 是圆柱.】 丙 11.①⑤[解析：由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为 等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴 截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件.综上可知截面的图形可 能是①⑤.】 B 12.39π[解析：设截面圆的半径为rcm,则2+42=52，所以 r=3.所以截面圆的面积为9πcm2.】 13.②【解析：圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两 条母线的夹角为90°时，圆锥的轴截面面积最大.]