6.3 平面向量基本定理及坐标表示-【无敌原创】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课时卷

女学 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 。基础过关) 1.(多选)若{©1,2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是() A.{e1-e2,e2-e1} B{2e-e0-20l C.{2e2-3e1,6e1-4e2} D.{e1+e2,e1+3e2} 2.如图所示，在矩形ABCD中，BC=5e1,D心C=3e2,则O心等于 A D A.(5e十3e,) B2(5e-3e,) 0 C2(3e-5e,) D.2(5e&-3e) 3.如果{e1,e2}是平面a内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是 A.若存在实数入1，入2使入1e1十入2e2=0,则入1=入2=0 B.对空间任意向量a都可以表示为a=入1e1十入2e2,其中入1，入2∈R C.入1e1+λ2e2(1,λ2∈R)不一定在平面a内 D.对于平面a内任意向量a,使a=入1e1十2e2的实数入1，λ2有无数对 4.在△ABC中，AD=1A序，DE∥BC,且与边AC相交于点E,△ABC的中线AM与DE相交于点 N,设A=a,AC=b,则用a,b表示DN等于 () A.i(a-b) B.4(b-a) ca-b D.(b-a) 5.如图所示，在△ABC中，A市-AC,B驴-号B心，若A市-XA+uAC,则入等于 ( A是 B号 C.3 D号 6.已知非零向量OA,O不共线，且2O产=xOA+yOB,若PA=λAB(入∈R),则x,y满足的关系式 是 () A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0 C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0 7.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD=号AB,BE=号BC,若DE-AA店+XAC(a,a为 实数)，则入1十入2的值为 8.已知e1,e2不共线，a=e1十2e2,b=2e1十Ae2,要使{a,b}能作为平面内的一个基底，则实数入的取值 范围为 9.如图所示，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC=5CB,设MA=a,MB=b, M 则M心= .(用a,b表示) 10.已知向量a在基底{e1,e2}下可以表示为a=2e1十3e2,若a在基底{e1十e2,e1一 B e2}下可表示为a=(e1十e2)十(e1一e2),则入= 无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 11.如图所示，在平行四边形ABCD中，设AC=a,BD=b,试用基底{a,b}表示AB,BC. 12.设e1,e2是不共线的非零向量，且a=e1一2e2,b=e1十3e2. (1)求证：{a,b}可以作为一个基底； (2)以{a,b}为基底表示向量c=3e1一e2. ■能力提升) 1.若OP=a,OP2=b,P1产=λPP2(≠-1)，则OP等于 A.a十λb B.Aa+(1-λ)b C.Aa+b D中十产 2.如图所示，AB是⊙O的直径，点C,D是半圆弧AB的两个三等分点，AB=a,AC= b,则AD等于 ( B 必 A.ah B.a-b C.a+zb D.2a+b 3.已知A,B,C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP= 呀 吉0i+06+209,则点P-定为 () A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）》 C.△ABC的重心 D.AB边的中点 4.已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，A户=yAD,AQ=xAB,其中x,y∈R,且均不为0. 若PQ∥B2,则= 5.如图所示，平面内有三个向量OA,O克，O心，其中OA与0的夹角为120°，OA与O心 的夹角为30°，且1OA=|O=1,1OC1=2V3.若OC=λOA+uO(,4∈R),B个 则λ十= 0 A 6.如图所示，在口ABCD中，A弦=a,Ad=b,BM=号BC,AN=4AB, (1)试用向量a,b来表示DN,AM; (2)AM交DN于O点，求AO:OM的值. D 0 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 基础过关) 1.已知M(2,3),N(3,1),则NM的坐标是 A.(2,-1) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(1,-2) 2.（多选)下面几种说法中正确的有 A.相等向量的坐标相同 B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C.一个坐标对应于唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 3.如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3),B(4,2),则AB可以表示为 A.2i+3j B.4i2j C.2i-j D.-2i+j 4.已知向量a=(2,4),a十b=(3,2),则b等于 A.(1,-2) B.(1,2) C.(5,6) D.(2,0) 地 动 5.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5,一1)，B(一1,7)，C(1,2),则顶点D的坐标为 ( 布 A.(-7,0) B.(7,6) C.(6,7) D.(7,-6) 6.设AB=(2,3),BC=(m,n),C市=(-1,4)，则DA等于 A.(1+m,7+n) B.(-1-m,-7-n) 长 室 C.(1-m,7-n) D.(-1+m,-7+n) 7.若向量BA=(2,3),CA=(4,7),则B心= 8.已知□OABC,其中O为坐标原点，若A(2,1),B(1,3),则点C的坐标为 9.已知2020个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8,15)，则其余2019个向量的和的坐 标为 三 10.已知平面上三点A(2,一4)，B(0,6),C(一8,10)，则AC+BC的坐标是 11.在平面直角坐标系xOy中，向量a,b,c的方向如图所示，且|a=2,|b|=3,|c=4,分别计算出 它们的坐标 0 45 309 12.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2).若PA+PB+PC=0,求O的坐标. 。能力提升) 1.已知两点A(4,1),B(7,一3)，则与向量A同向的单位向量是 () A(停-) B(-) c(引 n.(传-) 2.若i,j分别为与x轴、y轴正方向相同的单位向量，取{i,j}作为基底，设a=(x2十x十1)i-(x2一 x十1)j(其中x∈R),则向量a对应的坐标位于 () A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如果将O=(号，号)绕原点0逆时针方向旋转120得到0应，则0的坐标是 A.() R(停-》 C.(-1,√3) D(-) 4.已知向量A与a=(6,一8)的夹角为π，且|A|=|a|,若点A的坐标为（一1,2），则点B的坐标为 ( A.(-7,10) B.(7,10) C.(5,-6) D.(-5,6) 5.已知A号，2)，B1,0,且AB=(sne,cos(-受)，则a+B 6.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，OA=4,AB=3,∠AOx=45°，∠OAB=105°，OA=a,A官=b, 四边形OABC为平行四边形. (1)求向量a,b的坐标； (2)求点B的坐标. B 105A a 145 0 数学 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 。基础过关) 1.已知向量a=(2,一1)，b=(x一1,2)，若a∥b,则实数x的值为 A.2 B.-2 C.3 D.-3 2.已知平面向量a=(-2,0),b=(-1,-1),则2a-2b等于 A.(1,2) B.(-1,-2) C.(-1,2) D.(1,-2) 3.已知向量a=(3,5),b=(cosa,sina),且a∥b,则tana等于 A昌 B号 c.- 4.如果向量a=(k,1),b=(4,k)共线且方向相反，则k等于 A.±2 B.-2 C.2 D.0 5.与a=(12,5)平行的单位向量为 A侣) B(最) c得)或(-最-) D.(±号±) 6.(多选)已知向量a=(x,3),b=(一3，x),则下列叙述中不正确的是 A.存在实数x,使a∥b B.存在实数x,使(a十b)∥a C.存在实数x,m,使(ma+b)∥a D.存在实数x,m,使(ma+b)∥b 7.若三点A(4,3),B(5,m),C(6,n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是 A.2m-n=3 B.n-m=1 C.m=3,n=5 D.m-2n=3 8.已知a十b=(1,3),a-b=(5,7),则a= ,b= 9.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma十nb,则m十n= 10.已知A(2,4),B(-4,6),若AC-多Ai,BD=4BA,则CD的坐标为 11.已知向量a=(2,3),b=(一1,2)，若ma十4b与a一2b共线，求m的值，并判断ma十4b与a一2b是 同向还是反向？ 10无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 12.已知两点A(3,-4),B(-9,2),点P在直线AB上，且A=号1A,求点P的坐标. ■能力提升) 1.向量a=(2,-1),b1=3a,a∥b,则b可能是 ) A.(6,3) B.(3,6) C.(-6,-3) D.(-6,3) 2.(多选)在下列向量组中，不能把向量a=(一3,7)表示出来的是 A.e1=(0,1),e2=(0,-2) B.e1=(1,5),e2=(-2,-10) C.e1=(-5,3),e2=(-2,1) D.e1=(7,8),e2=(-7,-8) 3.已知向量OA=(1,一3)，O克=(2，一1)，OC=(k十1，k一2)，若A,B,C三点不能构成三角形，则实 数k应满足的条件是 ( A.k=-2 B及=司 C.k=1 D.k=-1 恶 4.设0耐=(-2,40.0i=(-a,2),0心=(6,0)，a>0,6>0,若A,B,C三点共线，则日+方的最小值 换 为 呀 5.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),则直线AC与BD交点P 的坐标为 6.设向量a=（a+2,-cosa),b=(m,受+sina),其中X,m,0为实数，若a=2b,求之的取值范围. m 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 基础过关) 1.若向量a=(x,2),b=(-1,3),a·b=3,则x等于 A.3 B.-3 c号 D.- 2.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为 A器 B.√65 C.3 D.√13 3.（多选)设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是 A.lal=b2 B.a·b=0 C.a∥b D.(a-b)⊥b 4.已知向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a十b等于 A.5 B.√/10 C.2√5 D.10 5.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 始 6.平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0),|b|=1,则|a十2b等于 A.√3 B.2√3 C.4 D.12 7.设点A(4,2),B(a,8),C(2,a),O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量OA与OC的 夹角为 ( 长 室 A晋 B. D. 8.已知a=(一1,1)，b=(1,2),则a·(a+2b)= 9.设向量a=(1,0),b=(一1，m).若a⊥(ma一b),则m= 10.设向量a=(m,1),b=(1,2),且1a十b12=|a2+|b12,则m= ,a+b= 剂 11.已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,一1) (1)若|c=3√2，且c∥a,求向量c的坐标； (2)若b是单位向量，且a⊥(a-2b),求a与b的夹角0. 12.已知向量a=(1,w3),b=(-2,0). (1)求a-b的坐标以及a一b与a之间的夹角； (2)当t∈[一1,1]时，求|a一tb|的取值范围. 。能力提升) 1.已知向量m=(入十1,1)，n=(入十2,2)，若(m十n)⊥(m一n),则入等于 () A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 2.（多选)在△ABC中，AB=(2,3),AC=(1,k),若△ABC是直角三角形，则k的值可能为() A-号 B号 C.3±13 2 n号 3.已知O为坐标原点，向量OA=(2,2),O=(4,1),在x轴上有一点P使得A卫·BP有最小值，则 点P的坐标是 () A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 4.已知A,B,C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p=(sinA,1),q=(1,一cosB),则p与q的夹 角是 () A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 5.如图所示，在矩形ABCD中，AB=√2，BC=2,点E在边CD上，且D龙=2EC,则A龙·D BE的值是 6.已知向量A=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3). (1)BC∥DA,求x与y之间的关系式； B (2)在(1)的条件下，若AC⊥BD,求x,y的值及四边形ABCD的面积. 1110.石【解析：la-b=√(a-b)=√a+-2a·b=√3，设 向量a与a-b的夹角为0，则cos0=a(a-=2-1=5, lal la-bl 2X32' 又0[0，]，所以0=吾.】 11.解：(1)c·d=(2a-b)·(a+2b)=2a2-2b+3a·b=2× 4-2X1+3×2X1×合=9. (2)|c+2d2=(4a+3b)2=16a2+9b2+24a·b=16×4+9X 1+24×2×1×2=97,lc+2d=V97. 12.解：因为a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cosa十4=9，所以 |a|=3,因为b2=(3e1-e2)2=9-2X3×1 X cos a+1=8,所以 lbl=2√2，又a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9e-9e1·e2+ 20=9-9×1×1×号+2=8，所以c0sB=日合 a·b 82√2 3×2√23 【能力提升】 1.CD[解析：分析知|a=1,1b|=2,a与b的夹角是120°，故 B结论错误：：(a+b)2=|a2+2a·b+|b12=3,∴|a+b= √5，故A结论错误；：(4a+b)·b=4a·b+b=4×1×2× c0s120°+4=0，.(4a十b)⊥b,故C结论正确；a·b=1×2X cos120°=一1，故D结论正确.故选CD.】 2.A【解析：(2a+b）·(2a-3b)=a2+2a·b-36- 1a+1ab1cos45°-3b12=16+2b1-3b12=12,解得 1a1=E或Ia1=一号E(舍去).放b在a上的投影向量为b1 cas5日-2×号×g-a故选A】 3.A[解析：因为(Oi-O心)·(Oi+O心-2Oi)=0,即C第· (Ai+AC)=0,又因为AB-AC=C克，所以(Ai-AC)·(AB+ AC)=0,即|A1=AC,所以△ABC是等腰三角形.故选A.】 429【解析：a1b.a…b=0,又(a+2b)a-2b)=a 4b,la+2b|=√a2+4a·b+4b=√a2+4b,|a-2b|= √a2-4a·b+4b=√a2+4b,∴.a2-4b=√a2+4b· V公于a120,化简得受0-26-0合-291 5.[0,1][解析：.b·(a-b)=a·b-|b|2=|a||b|cos0 1b12=0,∴.1b|=|acos0=cos0(0为a与b的夹角)，0∈ [0,x],∴.0≤1b≤1.】 6.(1)证明：因为a=|b|=|c=1,且a,b,c之间的夹角均为 120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c=|accos120°-|b|c· cos120°=0，所以(a-b)⊥c. (2)解：因为|ka十b+c|>1,所以(ka+b+c)2>1,即2a2十b2+ c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,因为a·b=a·c=b·c= c0s120°=-子，所以-26>0，解得k<0或>2.所以实数 的取值范围为（一∞，0）U(2,十∞). 习题课(1) 【基础过关】 1.D[解析：AB+CA+Bd=(AB+BD)+CA=AD+A= C才+AD=C市.故选D.】 2.C【解析：A,B,D三点共线，号十入=1，A=-子故 选C.】 3.ABC[解析：a与b的方向不一定相同，故A中说法不一定 正确；若a∥b,则a与b方向可能相反，故B中说法不一定正确； a与b的模相等，但方向不确定，故C中说法不一定正确；易知D 正确，故选ABC.] 4.B【解析：因为不市=号C,所以恋/C,又市与C有公 共点B,所以A,B,C三点共线，因为BC=3C市，且B武与C市有公 共点C,所以B,C,D三点共线，所以A,B,C,D四点共线，所以 直线AD与BC重合.故选B.] 5.C【解析：如图所示，因为点E为 D CD的中点，CD∥AB,所以器 瓷=2，所以成=号庞=号×A B 合(B成+B动=号(2b-a)=-合a+号6放选C】 1 6.D[解析：2A0=AB+AC,.Ad- Ai+Aò-AC=0,得Bò+C0=0,即 O克+O心=0，则BC为圆O的直径，如图B 所示，：|AO1=|AB,∴△OAB为等边 0 三角形，则OA=OB=AB=1,AC=√3， BC=2,.CA与CB夹角是30°，∴.向量CA在CB方向上的投影向 量模长为1C1cos30°=号.故选D.】 7.B【解析：由|a-b1=3,得(a-b)2=9,即a+b2-2a·b= 9,①由|a+b=1,得(a+b)2=1,即a2+b+2a·b=1,② ②-①得4a·b=-8,解得a·b=一2<0，∴.∠CAB为钝角 ∴△ABC为钝角三角形.故选B.】 8.e+2e:【解析：0d=Oi+AD=Oi+号A访=Oi+ 号o成-0i)=号oi+号成=0+2e.】 9.120°[解析：由a=|b=|c且a十b=c,得|a十b=|bl, 平方，得|a2+1b12+2a·b=1b2→2a·b=-|a2→2la· 1b1·cos0=-la2→cos0=-2→0=120.1 10.一号【解析：根据条件，得A市=AB+d=AB+子BC A+号(At-A)=号AB+号AC,所以A市·BC=(号AB+ 号AC)·(心-AB)=号AB.A心-子A在+子A衣=号× 33×合-号×9+号×9=-.1 11.解：设向量a与b的夹角为0. (1)当a,b同向，即0=0°时，a·b=√2；当a,b反向，即0=180° 时，a·b=一√2 6.3平面向量基本定理及坐标表示 (2)|a+b12=1a12+2a·b+|b12=3+√2，故 6.3.1平面向量基本定理 |a+b=√3+√2. 1基础过关】 a·b @由(a-b)·a=0,得g=a·b,cos0=ab号，又0°≤ 1.ABC[解析：选项A中，两个向量为相反向量，即e1一e2= 一(e-e),则e一e2,e-e1为共线向量；选项B中，2e1一e= 0≤180°，故0=45° 12.解：由题图分析知DC=AB-BCeos30°=√3.：AE=AD+ 2(e-e:),也为共线向量：选项C中，6e-4e:=-2(2e,- AA克，：A范-A市=AA克，即D市=AA克，A= DE 31),为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，知只有选 IAB .又0≤ 项D中的两向量可作为基底.故选ABC.】 1D<原，=2,0<A<号，综上，实数入的取值范围 2.A【解析：OC=AC=(BC-BA)=(BC+D心) 是[0] (5e,+3e).故选A.1 【能力提升】 3.A【解析：B错，这样的a只能与e1,e2在同一平面内，不能是 1.B【解析：由题意可得(a-2b)·a=0,即a2=2a·b,(b- 空间任意向量；C错，在平面a内任意向量都可表示为入1e1十 2a)·b=0,即b=2a·b,所以a2=b2,|a|=|bl.设a,b的夹角 A2e2的形式，故A1e1十λ2e2一定在平面a内；D错，这样的1,2是 唯一的，而不是无数对.故选A.】 1 为0，则cos080=2aP2·因为0e0,,所以a与 4.D【解析：由题意得DN=D迹=之(A花-A市)=令(A衣- b的夹角为号.故选B.】 B)=g(b-a).故选D.】 2.B【解析：设AA21的中点为A,则A也是A1A2o,…, 5.A【解析：由题意可得励=A市-A范=子AC-A市，A市 A10A1o1的中点，可得OA+OA01-2OA-a十b,同理可得， OA+OAo0=OA+OAg9=…=OA+OAi=a+b,故 A市+肺=+子动=恋+号（号A衣-A$)=专市+ OA。+OA+OA+…+OA0i=101X2Oi=101(a+b).故 号A衣据此可知=子=号，之=是故选A.】 选B.】 6.A【解析：由P才=xAi,得O-Od-A(Oi-Oi),即0市 3.B[解析：设向量a与b的夹角为0，由题意得△=|a|2一 4|al1b1cos0>0,:1a|=21b|≠0，.△=41b12-81b12· 1+0i-以0i.又20巾=x0耐+y0i,所以=2+，消 y=-2, c0s>0,cos0长号，又0<K,号<0长x,故选B】 去λ得x+y=2.】 4号【解析：a0.成=0.（心-A)= 7.【解析：如图所示，D成-Di+成= Aò·AC-Aò·A范，如图所示，过点O作 号A市+号成-合A市+号(A心-- OE⊥AC于点E,OF⊥AB于点F.根据数量 -日市+子A心，又：恋与AC不共线，B 积的定义，得A0·AC-A0.AB=3|AE1-A 21A=3×号-2=号.1 =-=号十=-+号=】 8.(一∞，4)U(4,+∞)[解析：若能作为平面内的一个基底， 5.10压【解析：(2a-3b)·(2a十b)=4a2-36-4a·b- 13 则a与b不共线.a=6+2a,b=20十0，所以号≠合，得 4×16-3×9-4a·b=61,解得a·b=一6，.|a+b|2=a2+ 入≠4.] b+2a·b=16+9-12=13,∴.|a+b|=√/13，设a与a+b的 夹角为0，a…(a+b)=a2+a·b=10,cos0=（a+h 9.合a+君b【解析：C=+花=耐+音A砧=Mi+ lalla+bl 4×厅2后，则a在a+b上的投影向量的模为alcos0 10 5 号m-m)=号mi+号M迹=ga+名6.】 5 nj 10.号一号【解析：由条件可知十=2， λ一μ=3， 6.解：B.C=(Bi+A的)·(Ci+AQ)=(Bi-号P) 11.解：方法一 设AC,BD交于点O,则有A0=OC=号AC- (Ci+号)=i.Ci+2(i-·-4· a,Bd-Od-号Bd-号.所以A迹-A0+Oi-A0-Bd- 0+BC.p0-a2=号|BC·1 cos0-a2=a2(cos0-1), 故当0=0°，即P和B武方向相同时，B驴.C夜有最大值0. 2a-2b,BC-B0+0心=2a+2b, 77 方法二设AB=x,B武=y,则A市=B武=y,又 1 AB+BC=AC 所以+y=解得 x=2a-2b, 即AB= AD-AB=BD y-x=b, 2a-b,Bt-合a+2b 12.(1)证明：假设a=b(a∈R),则e1-2e2=A(e1+3e2).由e1, e,不共线，得1，。所以入不存在.故a与b不共线，可以作 3λ=-2， 为一个基底. (2)解：设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)十 n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以 (m十n=3, -2m+3n=-1 ,解得m2, 所以c=2a十b. n=1. 【能力提升】 1.D【解析：：P市=xPP2,∴O市-OP=A(OP-Od), 1+0o=0丽+A0那，0亦=中0那+产0丽- 0+中0：放选D】 2.D【解析：连接CD,OD,图略，点C,D是半圆弧AB的两个 三等分点，.AC=BD,.CD∥AB,∠CAD=∠DAB=30°， ,OA=OD,.∠ADO=∠DAO=30°，∴.∠CAD=∠ADO 30°，∴AC∥DO,∴.四边形ACDO为平行四边形，AD=A0+ A心.：A0=A$=号a,AC=b,∴Ad=2a+b.故选D.】 3.B【解析：：O是△ABC的重心，.Oi+O范+O心=0， 0币=号(-0心+20心)=20d.点P是线段0c的中 点，即AB边中线的三等分点（非重心）.故选B.] 4.号【解析：P咬=à-A市-xA市-yA市，由P咬/B迹，可设 P0=1酡，即x·$-yA市=A(C花-C)=(-A$+ 市)=-合A市+aA市，所以 x= y=一λ， 5.6【解析：如图所示，以OA,OB所N 在射线为邻边，OC为对角线作 ☐OMCN,使得M在直线OA上，N B 在直线OB上，则存在1,4，使O应= O A M AOA,Oi=Oi,即OC=Oi+Oi=1OA+uOi.在Rt△OCM 中，1OC=2√5，∠C0M=30°，∠OCM=90°，∴.1Oi=4, ∴.O=4oA,又1o1=1m心1=2，∴.Oi=2oi,∴.O心 4Oi+2Oi,即入=4，u=2,λ+u=6.] 6.解：1)因为AN=AB,所以A衣=A市=a,所以D A衣-A市=子a-b,因为BM=号BC,所以B成=号武 子AD=子b,所以AM=AB+BM=a+子b. (2)因为A,O,M三点共线，所以A0∥AM,设A0=入A应，则 Dò=Aò-A市=aAM-Ad=X(a+号b）-b=a+ (子X-1)a.因为D,O,N三点共线，所以D心/DN,存在实数： 78无敌原创·同步课时卷数学·必修第二册 使D0=DN,则a+(号X-1)b=(a-b)由于向量a,b 3 =4 λ14' 不共线，则 解得 号-1=- 6 所以A动=是A, O应=成，所以A0:OM=是 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 【基础过关】 1.B[解析：N应=(2,3)-(3,1)=(-1,2).故选B.1 2.ABD[解析：由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无 数个相等的向量，故C错误.故选ABD.】 3.C[解析：AB=(4,2)-(2,3)=(2,-1)=2i-j.故选C.] 4.A[解析：b=a十b-a=(3,2)-(2,4)=(1,-2).故选A.] 5.D[解析：设D(x,y),因为AD=B武，所以(x-5,y十1)= (2,-5),所以x=7,y=-6.所以D(7,一6).故选D.] 6.B[解析：Di=D心+C$+BA=-Cd-BC-A=-(-1,4)- (m,n)一(2,3)=(-1-m,-7-n).故选B.】 7.(-2,-4)【解析：BC-BA+AC=B才-C才=(2,3)- (4,7)=(-2,-4).] 8.(一1,2)[解析：设点C的坐标为(x,y),则由已知得O心 A,所以(x,y)=(-1,2),所以点C的坐标为(-1,2).】 9.(一8，一15)【解析：设其余2019个向量的和的坐标为 (x,y),由(x,y)+(8,15)=(0,0),得(x,y)=(-8,-15).】 10.(-18,18)[解析：AC+BC=(-8-2,10-(-4)+ (-8-0,10-6)=(-10,14)+(-8,4)=(-18,18).] 11.解：设a=(a1,a2),b=(b,b),c=(c1,c),则a1=|a· cos45°=2×号=，a=1alsm45°=2×号=反，么= 1 o120=3×(-号）=-2,6=1b1sm120=3x9 3g5,a=l1elcs(-309=4×9=25,a= 1 elsin(-30)=4×(-号）=-2.因此a=(2,2),b= (-号.32）e=2,-2. 12.解：设点P的坐标为(x,y),因为P才+P克+P武=0，又PA+ Pi+Pt=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)= （6-3z,6-3.所以6-3x=0解得：=2 16-3y=0, y=2.所以点P的坐标 为(2,2)，故O币=(2,2). 【能力提升】 (A【解析：因为与A范同向的单位向量为，又A在 (7,-3)-(4,1)=(3,-4),1AB1=√32+(-4)=5，所以 斋-（侵-号）放选A】 2.D[解析：向量a对应的坐标为(x2十x十1，一x2十x一1). x+x+1=(+)》'+>0,-2+x-1=-(-2)广- 子<0，向量a对应的坐标位于第四象限故选D,】 3.D【解析：如图所示，设OA绕原点 6.ABC[解析：只有D正确，可令m=0,则ma十b=b,无论x 0逆时针方向旋转120°得到的OB的 为何值，都有b∥b.故选ABC.】 坐标为(x,y),则x=1OA1cos(120°+B 120°A 7.A[解析：因为三点A(4,3),B(5,m),C(6,n)在一条直线 30)=-3 ,y=1oi1sin(120°+ 230° 0 上，所以A市=入AC,所以(1，m-3)=(2,n-3),所以入=号，所 30°)= 合，故迹的坐标是 以m-3=之(m-3),即2m-n=3.故选A.】 8.(3,5)(-2,-2)[解析：由a+b=(1,3),a-b=(5,7),所 (-号)故选D1 以2a-(1,3)+(5,7)-(6,10),所以a=(3,5),2b-(1,3) 4.A【解析：由题意知，A方与a方向相反，又|A方1=|a. (5,7)=(-4,-4),所以b=(-2,-2).1 Ai+a=0.设B(x,y),则AB=(x十1，y-2), 9.7【解析：由于p=m十nb,即(9,4)=(2m,-3m)十 一中计8-降了微友B的生标水-70放达 （,2m）=(2m+n,-3m+2n),所以/2m+m-9, {-3m十2n=4,解得 A.1 (m=2所以m十n=7.】 n=5, 5.吾或-受【解析：由题意知A站=（仁号，) 10.(11,-号）【解析：设C(x),D(为)，C=号A$, (sime,e0sgm,sin。=-7,cosB=合，又：erB∈ 则(a-21-40=号(-6,2)=(-9,3)，五=-71=7，即 （-受，受）…。=-晋g受或-5…十月=或-受】 C-7,7).励=号Bi,(m十4，为-6)=号(6，-2) 6.解：(1)过点A作AM⊥x轴于点M(图略)，则OM=OA· (8,-号）∴=4=9即D(4,）则G市-=(1，-号)1 cos45=4×号-2E,AM=0A·5m45=4×号=2E, 11.解：ma+4b=(2m,3m)+(-4,8)=(2m-4,3m十8)，a- ∴A(2√2,2√2)，故a=(2√2,2√2).∠A0C=180°-105°= 2b-(2,3)-(-2,4)-(4,-1),因为ma十4b与a-2b共线，所 75°，∠A0y=45°，.∠C0y=30°.又0C=AB=3, 以4(3m+8)-(-1)×(2m-4)=0,得m=-2.当m=-2时， ma+4b=(-8,2),所以ma+4b=-2(a-2b),所以ma+4b与 C(-是，9)…市==（-是，9）即 a-2b方向相反. 12.解：设点P的坐标为(x,y),①若点P在线段AB上，则 (-是，3) A市=合Pi(x-3,y十0=（-9-x,2-w.解得x=-1, 2):oi=耐+A砧=(2,2)+(-，3) y=-2,∴P(-1,-2).②若点P在线段BA的延长线上，则 市--号殖(-3y叶)=-(-9-，2-0.解得x (2厄-号，2反+3)∴点B的坐标为(22-号，2+3) 7,y=-6,∴P(7,-6).综上可得，点P的坐标为(-1，-2)或 (7,-6). 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 了能力提升】 【基础过关】 1.D[解析：由a∥b可排除A,B,C,故选D.] 1.D[解析：因为a∥b,所以2×2一(-1)×(x-1)=0,得x= 2.ABD【解析：因为A,B,D中都是两个共线向量，而C中两向 -3.故选D.1 量不共线，故C可以把向量a=(一3,7)表示出来.故选ABD.] 3.C【解析：因为A,B,C三点不能构成三角形，则A,B,C三点 2.A【解析：2a-2b=(-1,0)-(-2,-2)=(1,2).故 共线，则AB∥AC,又AB=Oi-Oi=(1,2),AC=O心-OA= 选A.] (k,k+1),所以2k-(k+1)=0,即k=1.故选C.】 3.B【解析：由a/b,得5cosa-3sina=0,即tana= 3故 4.3+22 2 【解析：由题意，得A范=(-a十2，-2)，AC= 选B.】 (b+2,-4).又AB∥AC,所以-4(-a十2)=-2(b+2),整理得 4.B[解析：，a与b共线且方向相反，'.存在实数入（入<0），使 2a+6=2,所以日+方=名(2a+6)(日+古)- 得b=a,即(4，k)=入（k,1)=(k,A),. =4·解得 k=λ， (3++合)≥(3+2√尝·2)-3+2，当且仅当 2 (k=一2，k=2, 或 (舍去).故选B.] b=√2a时等号成立.] (λ=-2λ=2 5.C【解：设与a平行的单位向量为e=(x,y),则 5.(号，9)【解折：设P(x,),则D币=(x-1,),D成 12 12 (5,4),C才=(-3,6)，DC=(4,0).由B,P,D三点共线可得 x2+y2=1, 故选C.】 Di=xD克=(5入，4).又因为C市=D-D元=(5x-4,4),由 或 12y-5x=0, 13 C市与C才共线得(5x-4)×6十12x=0.解得X=号，所以D市= 号D=(9,9),所以P的坐标为(9,9)】 入+2=2m, 6.解：由a=2b,知 2-cos'a=m+2sin a, /=2m-2, cos2a+2sin a=-sin2a+2sin a+ λ2-m=cos2a+2sina, 1=-(sina-1)2+2,.-2≤cos2a+2sina≤2，.-2≤x2- m=(2m-2-m<2∴≤m<2,“六=20n2=2-品 m m 一6<2-品<1…六的取值范围为[-6，山。 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 【基础过关】 1.A[解析：a·b=一x十6=3，故x=3.故选A.】 2.A[解析：a=√32+4=5,1b1=52+122=13.a·b= 3X5+4X12=63.设a与b的夹角为0，所以cos0=写好3 器放选A】 3.AD[解析：a=b=2,故A正确，B,C显然错误，a一b= (1,一1)，所以(a一b)·b=1一1=0，所以(a一b)⊥b.故D正确. 故选AD.1 4.B[解析：由题意可得a·b=x·1+1×(-2)=x-2=0,解 得x=2.再由a十b=(x+1,-1)=(3,-1),可得|a+bl= √10.故选B.】 5.A【解析：由题设知AB=(8,-4),AC=(2,4),BC= (-6,8),所以AB.AC=2×8+(-4)×4=0,即AB⊥AC.所以 ∠BAC=90°，故△ABC是直角三角形.故选A.] 6.B[解析：：a=(2,0),b1=1,∴a=2,a·b=2×1× cos60°=1..|a+2b|=√a2+4a·b+4b=2√3.故选B.】 7.B【解析：：四边形OABC是平行四边形，.O才=C克，即 (4-0,2-0)=(a-2,8-a),.a=6,0A=(4,2),0元= (2,6),设向量0i与0心的夹角为0，c0s0= OA·O心 1OA1ō 4×2+2×6 十2X√2十=艺，又0∈(0，x)·OA与O心的夹角为 牙故选B】 8.4[解析：：a+2b=(1,5),.a·(a+2b)=4.】 9.一1【解析：由题意得ma一b=(m十1，一m),根据向量垂直 的充要条件可得1×(m十1)+0×(-m)=0,所以m=-1.】 10.-2√0[解析：由|a+b2=|a2+1b2,得a·b=0,即 m+2=0,解得m=一2.所以a+b=(-1,3),所以 1a+bl=/10.] 1.解：1)设c=(z,,由1cl=3V2c/a可得y叶x=0。所 x2+y2=18, 以x=一3·或。故c=（一3,3)或c=(3,一3). y=-3, (2)因为a=√2，且a⊥(a-2b),所以a·(a-2b)=0,即a2 2a6=0.所以ab=1,故ms0=合治号因为9c0, 所以0=平 12.解：(1)因为向量a=(1,W3),b=(一2,0)，所以a一b= (1,W3)-(一2,0)=(3，W3),设a-b与a之间的夹角为0，所以 m=侣停因为0c0,所以向量a一6与 a的夹角为晋 (2)la-tb12=a2-2a…b+6=4t+4+4=4(e+分）广+ 3.易知当t∈[-1,1]时，|a-tb|2∈[3,12]，所以|a一tb|的取 值范围是[√3,2√3] 【能力提升】 1.B[解析：由m十n=(2λ十3,3)，m一n=(一1，一1)， (m十n)⊥(m-n),可得(m十n)·(m-n)=(2入十3,3)· (-1,-1)=-2入-6=0，解得入=-3.故选B.】 2.ABC[解析：AB=(2,3),AC=(1,k),.BC=AC-AB= (-1,k-3).若∠A=90°，则AB.AC=2X1+3×k=0,.k= -号若∠B=90,则A市.BC=2X(-1)十3k-3)=0,k= 号若∠C=90,则衣.武=1×(-1D+(0-3)=0,= 3生y正，故所求k的值为-号或号或生y正，放选ABC】 2 2 3.C[解析：设点P的坐标为(x,0),则A市=(x一2，-2)， BP=(x-4,-1).Ap·Bp=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)= x2-6x+10=(x-3)2+1,所以当x=3时，AP·BP有最小值 1.此时点P的坐标为(3,0).故选C.】 4.A【解析：因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>受，即 受>A>登-B>0,又因为函数y=sinx在(0，乏)上单调递 增，所以sinA>sin(受-B）=cosB,所以p·9=sinA- co0sB>0,设p与g的夹角为0，所以os0=员>0，又因为 p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角.故选A,] 5.【解析：以A为原点，AB所在直 Y个 线为x轴、AD所在直线为y轴建立如 图所示平面直角坐标系.：AB=√2， BC=2,∴.A(0,0),B(2,0),C(√2,2)， D(0,2),:点E在边CD上，且D龙= B 2成(22迹=(2g22 庞-=(-号2)小A在.成=-青+4=器】 6.解：(1)AD=AB+BC+CD=(x+4,y-2),.Di=-Ad= (-x-4,2-y).又BC∥DA,且BC=(x,y),x(2-y) y(-x-4)=0,即x+2y=0. (2)AC-AB+BC-(x+6,y+1),Bd=B武+Cd=(x-2,y-3). :AC⊥Bi,.AC·Bi=0,即(x+6)(x-2)+（y+1) (y一3)=0.由(1)知x十2y=0,与上式联立，化简得y2一2y 3=0,解得y=3或y=-1.当y=3时，x=-6,此时AC (0,4),Bd=(-8,0);当y=-1时，x=2,此时AC=(8,0), Bd=(0,-4),∴.Sa边带Acm=号1C·1Bd=16. (一13)十（一5)×（一15）=一3(J).∴.力F,F2对质点所做的功 6.4平面向量的应用 分别为一99J和一3J. 6.4.1平面几何中的向量方法 (2)W=F.AB=(F1+F2)·AB=[(3,4)+(6,-5)]·(-13, 6.4.2向量在物理中的应用举例 -15)=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)× (-15)=一117+15=一102(J)..合力F对质点所做的功为 【基础过关】 -102J. 1.B[解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为y1十2. 【能力提升】 注意速度是有方向和大小的，是一个向量.故选B.】 1.B[解析：以A为坐标原点，AByA 2.D[解析：F做的功为F·s=|F1s·cos60°=10×14X 所在直线为x轴，AD所在直线为yD 合=70，故选D,】 轴，建立如图所示的直角坐标系.设 3.C[解析：AB=(19,4)-（-2,-3)=(21,7),AC= |AD1=a(a>0),则A(0,0),C(4,a), (-1,-6)-(-2,-3)=(1,-3),AB·AC=21-21=0, D(0,a),E(2,0),所以D范= ∴AB⊥AC.则∠A=90°，又1AB1≠AC,∴△ABC为直角三角 (2,-a),AC=(4,a).因为Di⊥AC,A E B x 所以DE·AC=0,所以2X4+(-a)·a=0,即a2=8.所以a= 形.故选C.】 4.BD【解析：根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最 2√2，所以Di=(2,-2√2)，所以D=√2+（-2√2)2=2√3. 少.船垂直到达对岸时航行的距离最短.故选BD.】 故选B.】 5.D【解析：作O才=f,O范=F2,O元=-G(图略)，则O心= 2.B[解析：如图所示，D为BC边的中点， OA+OB,当|F1|=|F2|=|G时，△OAC为正三角形，所以 则A市=号(AB+AC.因为3A府-AB ∠AOC=60°，从而∠AOB=120°.故选D.】 6.D[解析：∵Oi·Oi=Oi.O心，∴.(Oi-O心)·oi=0, AC=0,所以3AM=2A市，所以AM ∴Oi.CA=0,∴OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB,∴.O为三 号动，所以S6w=号San=合S6Ac, 条高所在直线的交点.故选D.】 B 故选B.] 7.D[解析：AC·Bd=0,∴AC⊥BD.∴四边形ABCD的面 3.C[解析：假设BC的中点是O,则AC-AB=(AC+AB)· 积S=之1aC·|B1=号×V而×2V而=10.故选D.1 (AC-AB)=2A0·BC=2A立.BC,即(A0-AM·BC= 8.1 【解析：：O巾=Oi+分(AB+A心)，∴O-Oi- Mò·BC=O,所以Mò⊥BC,所以动点M在线段BC的中垂线 上，所以动点M形成的图形必通过△ABC的外心，故选C.】 合（恋+AO,A市=(A边+AG,:AP为R△ABC斜边BC 4.10[解析：设重力为G,每根绳的拉力分别为F1,F2,则由题 意得F,F2与-G都成60°角，且|F|=|F2|,F1+F2十G=0. 的中线.∴.|AP=1.】 .F=|F2|=|G=10N,.每根绳子的拉力都为10N.】 9.0.5【解析：如图所示，实际=十 v*=4十2，|4|=20，|2|=12， V实标 5.-号【解析：F市-Fò+O办，F成-F动+O成，且O心=-成， ∴.实际=√M-%下=√202-12= V2 所以F市.Fi=(Fd+O市).(F0+O)=F心-O市=号 8 16(km/h.所需时间t=6=0.5h). A .该船到达B处所需的时间为0.5h.] 水流方向 1=-81 10.一号【解析：如图所示，以 y本 6.解：如图所示，设水的速度为，风的速度为2，”十=a.可 求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3km/h.设船的实际航 A为坐标原点，以AB所在直线 C 为x轴，以AD所在直线为y轴建 D F 行速度为v,方向由南向北，大小为2√3km/h.船本身的速度为 E 立平面直角坐标系，则A(0,0), 3,则a十y3=v,即y=v一a,由数形结合知，3的方向是北偏西 B(2,0),D(0,1),.C(2,1) (A)0 ⊙ 60°，大小是√3km/h. E,F分别为BC,CD的中点，∴E(2,）,F1,1),A正+ A市=(3，)，d=(-21),(+a…动=3×(-2)+ 号×1=-号1 6.4.3余弦定理、正弦定理 11.证明：设AB=a,AC=b,AD=e,Di=c,DC=d,则a=e十c, b=e+d,所以a2-b=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d- 第1课时余孩定理 d,由条件知，a2=c2-d+b,所以e·c=e·d,即e·(c-d)= 【基础过关】 0,即AD·C范=0，所以AD⊥BC. 1.B【解析：由余弦定理，得cosA=+之-a=4十25-19 2bc 2×2×5 12.解：(1)A方=(7,0)-(20,15)=(-13，-15)，w1=F· 1 AB=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)= ,又0°<A<180,所以A=60.故选B.】 -99(J),w2=F2·AB=(6,-5)·(-13,-15)=6× 2.A[解析：由余弦定理得c2=12+22-2×1×2cos60°=3，所 79