6.3平面向量基本定理及坐标表示（第五课时）同步练习题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3 平面向量基本定理及坐标表示（第五课时）（培优） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.平面向量数量积的计算及应用（转化为坐标计算）；【对应例题精练1.2.8】 2.平面向量的数量积与三角函数的综合问题；【对应例题精练6.7】 3.向量数量积的最值与范围问题；【对应例题精练3.8】 4.向量模与夹角的最值与范围问题【对应例题精练4.5】 【例题精练】 1．如图在中，，为中点，，，，则（　　） A．-15 B．-13 C．13 D．14 2．在矩形中，，，若点、分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．平行四边形中，， 点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，（θ为与的夹角），则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知平面向量，满足，且关于的方程有实根，则向量与的夹角的最小值是（  ） A． B． C． D． 6．已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值. 7．已知，，． （1）若，求的值； （2）设，若，求，的值． 8．在平面直角坐标系中，已知点． (1)①证明：． ②证明存在点，使得，并求出的坐标． (2)若点在四边形的四条边上运动，且将四边形分成周长相等的两部分，求点的坐标． 【A组达标训练】 一、单选题 1．如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（   ） A． B．1 C． D． 2．在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．如图，正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（    ） A．点在线段上时，为定值 B．点在线段上时，为定值 C．的最大值为 D．使的点轨迹长度为 三、填空题 5．如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________ 6．已知与，要使最小，则实数的值为____________，的最小值为____________． 7．已知坐标平面内 当 取最小值时cos∠APB的值为___________. 四、解答题 8．已知，，． (1)若与共线，求； (2)若函数，求函数在区间上的最大值，以及相应的x的值． 9．已知向量，且． (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围； (3)若，且的最小值为．求实数的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 平面向量基本定理及坐标表示（第五课时）（培优） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.平面向量数量积的计算及应用（转化为坐标计算）；【对应例题精练1.2.8】 2.平面向量的数量积与三角函数的综合问题；【对应例题精练6.7】 3.向量数量积的最值与范围问题；【对应例题精练3.8】 4.向量模与夹角的最值与范围问题【对应例题精练4.5】 【例题精练】 1．如图在中，，为中点，，，，则（　　） A．-15 B．-13 C．13 D．14 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，得到各点坐标，利用向量坐标运算法则求出，，从而求出数量积. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 又，，， 则， 即，即， 则， ， 则，； 故选：C． 2．在矩形中，，，若点、分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】解：以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、、， ，， ， 故选：B. 3．平行四边形中，， 点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，得到，构造函数，利用二次函数的单调性求得函数的值域，即可求得的取值范围. 【详解】由题意，平行四边形中，， 以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系， 则， 设，则，所以， 所以， 设， 可得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及运算，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算求得函数的解析式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．已知向量，满足，，（θ为与的夹角），则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模长的计算公式求解即可. 【详解】因为向量，满足，，（θ为与的夹角）， 则， 则 ， 当且仅当时取等号， 即的最小值为1，即的最小值为1. 故选：C. 5．已知平面向量，满足，且关于的方程有实根，则向量与的夹角的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设向量与的夹角为，设，则原方程变形可得，结合二次方程的性质可得，即可得的范围，即可得答案． 【详解】根据题意，设向量与的夹角为，设，则， 关于的方程即， 若该方程有解，则，变形可得， 又由，则， 故的最小值是； 故选：B 6．已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值. 【答案】（1）；（2）时，取到最大值2，时，取到最小值. 【解析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得，结合的范围可求得的值； （2）将函数化简为，根据的范围可求得的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果. 【详解】解:（1）因为， 所以， 于是， 又，所以； （2） . 因为，所以， 从而 于是，当，即时，取到最大值2； 当，即时，取到最小值. 【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解. 7．已知，，． （1）若，求的值； （2）设，若，求，的值． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）根据题意可得，，见模平方，即可求得，即可得答案. （2）根据题意，可得，，根据，代入化简，即可得，的值，根据的范围，即可得答案. 【详解】（1）∵，， ∴， ∵，∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵，∴，． 8．在平面直角坐标系中，已知点． (1)①证明：． ②证明存在点，使得，并求出的坐标． (2)若点在四边形的四条边上运动，且将四边形分成周长相等的两部分，求点的坐标． 【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析， (2) 【分析】（1）①分别求出，，，，利用向量夹角公式可得； ②由条件知点为四边形外接圆的圆心，由，,可得，，所以四边形外接圆的圆心为的中点，从而求出点的坐标； （2）求出四边形各边长，由将四边形分成周长相等的两部分，可知，从而可得点的坐标. 【详解】（1）①因为， 所以，，，， 得， ， 所以． ②由知，点为四边形外接圆的圆心． 因为，， 所以， 所以，，四边形外接圆的圆心为的中点， 所以点的坐标为，得证． （2）易得，，． 因为将四边形分成周长相等的两部分，则点在上，且． 设点的坐标为，则， 所以，则 故点的坐标为． 【A组基础达标】 一、单选题 1．如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点建立如图所示直角坐标系， 则，则， 则. 2．在中，为边上靠近点的三分点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系确定、的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，，， 因为为中点，所以，，则. 所以，. 所以 . 3．已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ， 可得， 故选:D. 二、多选题 4．如图，正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（    ） A．点在线段上时，为定值 B．点在线段上时，为定值 C．的最大值为 D．使的点轨迹长度为 【答案】AC 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点， 则，，，， 当点在线段上时，，，故A正确； 当点在线段上时，不是定值，不为定值，故B错误； 由得，则，， 所以，故当时，即当点与点重合时，取得最大值，故C正确； 由得，直线交轴于点，交轴于点， 所以，使的点轨迹为线段，且，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 5．如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________ 【答案】 【分析】设半圆的圆心为，分析可知，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量模长的坐标公式可求得的取值范围. 【详解】设半圆的圆心为，因为点为的中点，为半圆的直径，所以， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点，其中， 则，，所以， 因为，所以，则， 故，即的取值范围是. 6．已知与，要使最小，则实数的值为____________，的最小值为____________． 【答案】 【分析】先求出向量的坐标，然后利用向量的模长公式得出关于的表达式，利用二次函数的基本性质求出的最小值以及对应的值，可得出结果. 【详解】， ． 当时，有最小值． 故答案为：， 7．已知坐标平面内 当 取最小值时cos∠APB的值为___________. 【答案】/ 【分析】先应用，结合 计算最小值得出，最后应用夹角余弦公式计算求解. 【详解】因为，则， 所以， 所以当时取最小值，此时， 所以. 故答案为：. 四、解答题 8．已知，，． (1)若与共线，求； (2)若函数，求函数在区间上的最大值，以及相应的x的值． 【答案】(1) (2)最大值为1，此时x的取值为 【分析】（1）求出的坐标，然后由与共线，可得，化简后可求得； （2）先根据向量数量积运算和三角函数恒等变换公式求出的解析式，然后由求出的范围，再利用正弦函数的性质可求出其最大值及相应的x的值． 【详解】（1）由题意，得． 与共线，， ， 化简，得， ． （2）由题意，得 ． ，， 当，即时，函数取得最大值， 函数在区间上的最大值为1，此时x的取值为． 9．已知向量，且． (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围； (3)若，且的最小值为．求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）理由数量积的坐标表示，化简，再结合角的范围，即可求解；（2）根据向量模的公式，以及三角函数恒等变换，即可求解；（3）首先求函数，再利用换元，设，讨论的取值，根据函数的最小值求的值. 【详解】（1）， （2） ， 因为，所以，所以. （3）由（1）（2），可得， ， 因为，所以， 设,则，， ①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知矛盾； ②当时，当且仅当时，取得最小值， 由已知得，解得（，舍）， ③当时，当且仅当时，取得最小值， 由已知得，解得，这与相矛盾． 综上所述，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $