专题07 三角形（8大考点）（河南专用）2026年中考数学一模分类汇编

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07三角形 ☆8大考点概览 考点01与三角形有关的线段 考点02与三角形有关的角 考点03全等三角形的判定 考点04等腰三角形的定义及性质 考点05等腰三角形的性质和判定 考点06等边三角形 考点07直角三角形 考点08勾股定理及其逆定理 考点01 与三角形有关的线段 1.(2026河南一模)如图，已知点D,E,F分别为AC,BC,BD的中点，△BEF的面积为2，则阴影部分 的面积为 2.(2026河南一模)已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程x2一10x+24=0的解，则这个三 角形的周长是() A.12 B.16 C.16或18 D.18 3.(2026河南三门峡一模)等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为() A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 4.(2026河南周口一模)如图，△ABC的面积为7，分别倍长（延长一倍）AB、BC、CA得到△A1B1C1 ,再分别倍长A1B1,B1C1,C1A1得到△A2BC2,…,按此规律，倍长2026次后得到的 △A2026B2026C2026的面积为一· 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B 考点02 与三角形有关的角 5.(2026河南南阳一模)如图，⊙0是地球示意图，其中CD表示赤道，EF、AB分别表示北回归线和南 回归线，∠D0B=23.5°，点P表示邓州市某地的位置，纬度大约是北纬32.5°（∠P0D=32.5°).冬 至日正午时，太阳光线BM所在直线经过地心O,此时点P处的太阳高度角∠NPQ(即平行于BM的光线 PN与⊙O的切线PQ所成的锐角)的大小为() Ec回归线 0 太阳光线 C 赤道 南回归线」 地面水平线 B 太阳光线M A.34 B.34.5o C.35 D.36 6.(2026河南商丘一模)如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD⊥BC于点D. D (I)请用圆规和无刻度的直尺作∠BAC的平分线AF; (2)求∠DAF的度数. 7.(2026河南周口一模)如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30·方向上，轮船沿着正北 方向航行20 nmile到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45·方 向上，已知港口C在灯塔M的正北方向上， 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北个 60° B 309 A (I)填空：∠AMB=-,∠BCM=- (②)求灯塔M到轮船航线AB的距离； (3)求港口C与灯塔M的距离 8.(2026河南新乡·一模)如图，为测量某通信基站P到公路AB的距离，技术人员在公路上的点A处测得基 站P位于A的北偏东30°方向，随后他沿正北方向驱车10千米到达点B,在点B处测得基站P位于B的北偏东 60°方向，同时测得广播电视塔C位于B的北偏东45°方向.已知广播电视塔C正好在基站P的正北方向， 北 09 As. B09 (I)求基站P到公路AB的距离（结果保留根号）： (2)求广播电视塔C与基站P的距离（结果保留根号）. 9.(2026河南焦作一模)如图，∠MAN=120°，AP是∠MAN的平分线，点B是边AM上一点， AB=2,点C是边AN上一点，作点A关于BC的对称点A,若AC⊥AP,则AA的长为 C入 10.(2026河南许昌.一模)如图，在Rt△ABC中，∠A=36°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心， CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E.若AB=4,则DE的长为 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B 11.(2026河南周口一模)如图，若△ABC△DEF,∠A=70°，∠C=64°，则∠E的度数为() A.70° B.64° C.36 D.460 12.(2026河南平顶山一模)如图，C处在A处的南偏西35°方向，E处在A处的南偏东20·方向，E处在 C处的北偏东75·方向，则∠AEC的度数为() 北 南 A.60 B.70 C.75° D.85 考点03 全等三角形的判定 13.(2026河南信阳一模)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,BE=OF, 连接OC、BC. E (I)求证：△CF0兰△CEB; (2)若0A=2,求阴影部分的面积. 14.(2026河南周口一模)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长 线于点F. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (I)求证：△ABE兰△FCE (2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°，求四边形ABFC的面积. 15.(2026河南.一模)如图，在△ABC中∠C=90·,AC=BC,D是AB上一点，且AD=AC B (I)尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点E,连接DE.(要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母). (2)求证：AB=AC+CE 16.(2026河南平顶山一模)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC(AB>BC),连接AC (I)将四边形ABCD翻折，使点A与点C重合，折痕分别与边AB,AD交于点E,F,请用无刻度的直尺和 圆规作出折痕EF,连接CE,CF(保留作图痕迹，不写作法). (2)在(1)的条件下，求证：四边形AECF是菱形. 17.(2026河南驻马店.一模)在一次数学课上，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边 上的一个三等分点. 【操作探究】 “乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第1步，如图1，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，展开铺平，折痕为EF: 第2步，将BC边沿CE翻折得到GC; 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第3步，延长EG交AD于点H,则点H为AD边的三等分点. 证明如下： 如图1，连接CH,:正方形 ABCD沿CE折叠， “破浪”小组进行如下 ∠D=∠B=∠CGH=90° 操作： 第1步，如图2所示， CG=CB=CD, 将正方形纸片对折，使 又：CH=CH, △CGH≌△CDH(①)， 点A与点B重合，展 开铺平，折痕为EF; .GH=DH. 第2步，将正方形纸片 设DH=X, 对折，使点B与点D :E是AB的中点， 重合，展开铺平，折痕 AC与DE交于点G; AE=BE=EG=AB=3 第3步，过点G折叠 正方形纸片ABCD, 在Rt△AEH中，可列方程： 使折痕MNI‖AD. ②， 解得DH=2,即H是AD边 的三等分点. H A G ME M E NE 图1 图2 图3 备用图 (1)【过程思考乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是 ;②处所列方程是 (方程不必化 简)： (2)结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为AB边的三等分点，并证明你的结论： (3)【拓展提升】在边长为6的正方形ABCD中，点E是射线BA上一动点，连接CE,将△EBC沿CE翻折 得到△EGC,直线EG与直线AD交于点H.若DH=专AD,请直接写出BE的长. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.(2026河南周口一模)如图，两个大小相同的正方形ABCD与正方形BEFG的顶点B重合，BE恰好落 在正方形ABCD的对角线BD上，AD与EF交于点H,连接BH,则∠ABH的度数为() A.15° B.30° C.22.5 D.45o 19.(2026河南郑州一模)在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是√2：1的矩形，例如我们的课 本封面、A4打印纸，我们称这样的矩形为标准矩形. 【操作判断】 如图1，已知矩形ABCD是一个标准矩形，其中AB=V2BC=2,M,N分别是AB,CD的中点，连接 MN. N D M 图1 图2 图3 (I)矩形BCNM_标准矩形（填“是或“不是）. 【深入探究】 将矩形BCNM绕点B顺时针旋转得到矩形BCNM, (2)如图2，当MN恰好经过点C时，旋转角∠MBM的度数是-，线段CN的长是- (3)如图3，当矩形BCNM在平面内绕点B旋转时，连接CC,NN,直线CC与线段NN交于点E,猜想 NE与NE的数量关系，并证明. 【拓展应用】 (④在矩形BCNM旋转过程中，当A,M,N三点共线时，请直接写出线段CE的长。 20.(2026河南南阳一模)定义：如果三角形的两个内角与B满足+23=90°，那么我们称这样的三 角形为“类直角三角形”.如图，在Rt△ABC中.∠C=90·,BC=3,AB=5,点D在AC边上，使得 △ABD是“类直角三角形”，则CD= 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 21.(2026河南许昌.一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5,点D在射线BC上， 将线段AD绕点A顺时针旋转45·得到线段AE,过点E作EF‖BC,交AB于点F.若EF=2,则BD的长 为 D C 22.(2026河南周口·一模)如图，已知四边形ABCD是边长为a的菱形，E为AD上异于点AD的一动点， 点F在CD上，△DEF是等边三角形，G为BE的中点，连接AG并延长，与BC交于点H,连接AF. (1)证明：FG垂直平分AH. (2)随着a和点E位置的改变， 的值是否变化？若不变，求其值：若变化，请说明理由。 S数ABC0 (3)当a=3+V5时，若S四边形GHCF=2S△AB6,直接写出DE的长. 考点04 等腰三角形的定义及性质 23.(2026河南周口 模)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是BC的中点，点E是 AB上的动点，连接DE,则DE的最小值为一· D 24.(2026河南驻马店.一模)矩形ABCD的边AB长为3，∠BAD的角平分线交边BC于点E(点E不与点C 重合)，连接DE,若△ADE的形状为等腰三角形，则BC边的长为 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25.(2026河南新乡.一模)如图，在△ABC中，AB=AC=3,∠C=30°，点D在BC边上且AD⊥AB ,将AB折叠到AB,若点B在线段AD的延长线上，则DB的长为() B A.3-V5 B.1 C.2-5 D.5 26.(2026河南洛阳.一模)如图，在⊙0中，AB,AC是弦，圆心0在∠BAC的内部，若∠AB0=32·, ∠AC0=28°，则∠B0C的度数是() A.132 B.120° C.110° D.100 考点05 等腰三角形的性质和判定 27.(2026河南信阳一模)园林中设计的各种样式的门是造景的一种方法.如图是一面墙和墙中间一个圆 拱门的示意图，墙高2.5m,长6m,门为圆形的一部分，圆的半径为1m,圆与地面的交界处AB宽√2m, 则墙的面积为 m2. 6 28.(2026河南商丘，一模)如图，△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC,将△ABC沿射线BC方向平 移得对应△DEF,过点B作BO⊥AC,垂足为O,BO交DE于点P,若AC=4V3,CE=3BE,则PD的 长是() 1/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4 B.4y5 C.3 D.2V5 29.(2026河南平顶山一模)在三角形纸片ABC中，AB=AC=2,∠B=15°，点D是边BC上的动点， 将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B处，当BD⊥BC时，连接BB,BB的长为 30.(2026河南周口.一模)定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”.如图，等边 △ABC的边长为a,点D在以C为圆心，a为半径的优弧上，若△ABD为“反直角三角形”，则AD= A 31.(2026河南周口一模)若把含30°、45°的三角板按照如图1的方式摆放，得到如图2所示的四边形 ABCD,过四边形ABCD的顶点B作BE垂直于AD,垂足为点E,过点C作CF垂直于BE,垂足为点F,直 线BE与直线AC交于点G. 图1 图2 图3 (1)若BC=1,则AE+CF= (2)用等式表示CF、AE、BC的数量关系，说明理由； (3)把两个三角板按照图3的方式摆放，请在图3中依据题意补全图形（无需尺规作图），直接写出器的值. 考点06 等边三角形 32.(2026河南南阳一模)如图是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，测得 AB=BC=CD=1m,∠ABC=120°，则花窗的面积为 m2. 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 33.(2026河南商丘一模)把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三 角形，如图，△A1B1C1是等边△ABC的中点三角形，△A2B2C2是△A1B1C的中点三角形，依此类 推，当AB=2时，△A,BnCn的面积为() A B A C Ci A.() B.()” c.()”5 D.(3)15 34.(2026·河南洛阳一模)如图，在锐角三角形ABC中，以AC为边作等边三角形AEC,以AB为边作等 腰三角形AFB,其中AF=BF,∠AFB=120°，D为BC的中点，分别连接FD和ED,若FD的长为6， 则DE的长为 35.(2026河南商丘·一模)如图，边长为8的等边三角形ABC,D为AB的中点，E为BC的中点，过E作 EH⊥AC,F为EH的中点，DF长为 36.(2026河南南阳.一模)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠ABC=60°，E为射线AD上一点，连接 BE,以BE为边在BE的右侧作等边三角形BEF,连接CF,过点F作FG‖AD交DC的延长线于点G,连接 BG,若BG=3DE,则AE的长为： 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D DxE 4 B 3x 图2 同理①，可得CM=2,BM=23, .AE=CF=CG=4+x,GM=CG-CM=2+x 在Rt△BMG中，BM2+GM2=BG2, 即(25)2+(2+x)2=(3x)2,解得x=+(负值已舍去)， ·AE=4+x=17433 4 综上所述，AE的长为17一丽或17+3国 4 37.(2026河南洛阳一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AB,垂足为E, 连接0E,若0E=2,∠DAB=60°，则DE的长为() D H A.4 B.2V5 C.3 D.号 38.(2026河南焦作.一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3V2,D是平面内一点， AD=2,以AD为边作等边三角形ADE,连接BE,F是BE的中点，连接DF,CE,当DF分别取到最大 值和最小值时CE的长为· 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F B 考点07 直角三角形 39.(2026河南周口一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2,以边AB的中 点O为圆心的半圆与AC相切，切点为D,连接0C,与半圆交于点E,则图中阴影部分的面积为() B A.吾+V3 B.2V3-晋 c.青+9 D.音+吗 40.(2026河南周口一模)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=30°，过点B作BE⊥AD于点E,交AC于 点0，则∠A0E的度数为() A.75° B.70° C.65 D.60° 41,(2026河南一模)如图，莹莹将一个直角三角尺DEF与矩形纸片ABCD按如图所示放置，AD与EF交 于点G,∠E=30°，∠EDF=90°，莹莹通过测量发现DA恰好平分∠EDF,则∠BFG的度数为() B A.45o B.60° C.75° D.85o 42.(2026河南开封一模)如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、 DC延长线的垂线，垂足分别为E,F.若∠ABC=120°，AB=4,则PE-PF的值为(） 1/6 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 A.3 B.25 C.4 D.5 43.(2026河南周口一模)如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点. (I)点O为AC上一点，A,D两点均在⊙O上，请用无刻度的直尺和圆规作出⊙0（保留作图痕迹，不写作 法) (2)连接0D,若CD与⊙O相切于点D,AC=4,求⊙0的半径. 44.(2026河南周口一模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=V3,P为△ABC内部 一点，则P到△ABC三个顶点之和的最小值是 B 45.(2026河南周口一模)某款“不倒翁”（图1）的主视图如图2，PA,PB分别与所在圆相切于点A,B.若 该圆半径是6cm,∠P=60°，则图2所示图形的周长是 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 入 正面 图1 图2 考点08 勾股定理及其逆定理 46.(2026河南周口·一模)如图，将AB=5,AD=3的矩形纸片ABCD放在以BC所在直线为x轴，BC边 上一点O为坐标原点的平面直角坐标系中，连接OD,将纸片ABCD沿OD折叠，点C的对应点C恰好落在 AB边上，则点C的坐标为 B O C衣 47.(2026河南周口一模)综合探究 E 图1 图2 图3 (I)△ABC和△ADE的位置如图1所示，己知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD,CE,则 BD与CE之间的数量关系是 (②)△ABC和△ADE的位置如图2所示，△ABC和△ADE都是直角三角形，且 ∠ABC=∠ADE=90°，器=是=是，连接BD,CE,求器的值： (3)如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=5,AD=3.连接 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD,CE,将△ADE绕点A旋转，在旋转过程中，当B,D,E三点共线时，直接写出CE的长 48.(2026河南开封.一模)某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入 研究。 【拓展探究】如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. C D D 图1 图2 图3 (I)兴趣小组的同学得出AC2=AD·AB.理由如下： :∠ACB=90° ·∠A十∠B=900 :∠A=∠A :CD⊥AB ·△ABCM△ACD ∠ADC=90o “器=② :∠A+∠ACD=90o ·AC2=AD·AB :∠B=① 请完成填空：① ② (2)如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E,连接CE,当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB 的形状，并说明理由. (③)【学以致用】如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=1,BC=V6,平面内一点D,满 足AD=AC,连接CD并延长至点E,且∠CEB=∠CBD,当线段BE的长度取得最小值时.请直接写出 线段CE的长， 49.(2026河南开封一模)从2025年春晚机器人“秧B0T”惊艳世界，到今年春晚舞台的“武B0T”震撼全 球，中国新质生产力如此突飞猛进，在春晚看到了！剑舞、醉拳、双截棍、肘部大回环、连续三次单腿后 空翻..这些人类千锤百炼才可能神功大成的高难度动作，机器人不仅完成得威风凛凛，甚至颇有中华武术 的神韵，看得观众酣畅淋漓、豪情万丈.某校拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为1， 底座AB固定，高AB为50cm,连杆BC长度为70cm,手臂CD长度为60cm.点B、C是转动点，且AB、 BC与CD始终在同一平面内. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 图1 图2 (I)转动连杆BC、手臂CD使∠ABC=143°，CDI,如图2，求手臂端点D离操作台1的高度DE.(结果 精确到1cm,参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33) (②)物品在操作台1上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC、手臂CD,手臂端点D能否碰到点 M?请说明理由. 50.(2026河南开封一模)如图，在△ABC中，将△ABC折叠，使点A与点C重合，点D为折痕所在 直线上一点，若AB=AC=2W5,BC=4,∠ACD=45°，线段BD的长为： B 51.(2026河南信阳·一模)等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=x°，在BC边上取一动点D,以点A为旋转 中心，将线段AD逆时针旋转x·得到线段AB,连接DE 图1 图2 图3 (1)观察猜想 如图1，x°=60°，∠DAB=15°，则∠CDE= (2)类比探究 如图2，x°=90°，点F为DE中点，连接CF,请判断线段CF与线段DE的数量关系，并说明理由. (3)拓展应用. 如图3，x°=90°，过点D作DG⊥BC,DG交CA的延长线于G,连接BG.请直接用等式表示线段AD与 BG的数量关系. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 52.(2026河南信阳一模)一个大坝的截面图如图所示，坝顶AB与坝底DC平行，测得AB=100m, AD=200m,大坝左侧AD与坝顶延长线BE的夹角为60·，要从坝顶B处到坝底D处预埋一根管道，求 这根管道的长度.（参考数据：2≈1.41，V5≈1,73，V5≈2.24，V万≈2.65） E- B 60 53.(2026河南信阳.一模)如图，四边形ABCD为矩形，AB=2,对角线交点为O,tan∠BDC=3,点 E为矩形内部一动点，且∠AEB=90·,当点E运动到矩形的对角线上时，AE的长为 B 54.(2026河南信阳一模)如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，取边BC的中点E,连接DE,将 △DCE沿DE折得到△DFE,延长DF交边AB于点G,则AG的长为() E F B G A.2 B.3 C.4 D.5 55.(2026河南信阳.一模)点E在边长4的正方形ABCD内部运动，且EA=EB,对角线AC与BE或DE 相交于点F. B 图1 图2 (①)如图1，当∠ABE=30°时，S△4BE= _;S△ADE= 2图2，当△ABB为等边三角形时，求二的值，并写出计算过程， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③)正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,当0B=1时，请直接写出二的值。 56.(2026河南信阳一模)“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争 蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”这是我国明朝数学家程大位写的一首词，也是一道 数学题.翻译过来是：如图，有一架秋千OA,当它静止时，踏板离地AB=1尺.将它往前推进10尺(5 尺为一步，即AC⊥OA,且AC=10),秋千的踏板A就和身高为5尺人一样高（即AD=5). 37 10 A A"2 E 、、d 地面 D (1)请你根据词意计算秋千绳索0A的长度； (2)当秋千回摆到另一侧与竖直方向夹角为37·的地方0A时，请计算点A距地面的高度.（结果精确到0.1 尺.参考数据：sin37°≈0.6，cos37o≈0.8，tan37°N0.75) 57.(2026河南周口一模)如图，⊙0为△ABC的外接圆，AC为直径，E是AB上一动点，连接AB,若 AB=16,BC=12. (1)求⊙0的半径； (2)若AE=10V2,求AE的长（结果保留π）. 1/6 专题07 三角形 8大考点概览 考点01与三角形有关的线段 考点02与三角形有关的角 考点03全等三角形的判定 考点04等腰三角形的定义及性质 考点05等腰三角形的性质和判定 考点06等边三角形 考点07直角三角形 考点08勾股定理及其逆定理 与三角形有关的线段 考点01 1．（2026·河南·一模）如图，已知点分别为的中点，的面积为2，则阴影部分的面积为__________． 【答案】6 【分析】根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点E为的中点，的面积为2， ， ， 点F为的中点， ， 点D为的中点， ， 阴影部分面积为：． 2．（2026·河南·一模）已知三角形两边长分别为和，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系筛选出符合条件的第三边，最后计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得或， ∵三角形两边长为4和8， 根据三角形三边关系，得第三边满足， 即， ∴不符合三边关系，舍去； 符合要求， ∴三角形的周长为． 3．（2026·河南三门峡·一模）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【答案】C 【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形. ∴三角形的周长为． 4．（2026·河南周口·一模）如图，的面积为，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到，，按此规律，倍长次后得到的的面积为______． 【答案】 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论． 【详解】解：如图，连接，，， 根据等底等高的三角形面积相等可得：，，，，，，都相等， ∴， 同理可得， 以此类推：， ∵， ∴， ∴的面积为． 与三角形有关的角 考点02 5．（2026·河南南阳·一模）如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点表示邓州市某地的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是的切线，得出，则，然后通过角度和差求得，所以，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，于点． (1)请用圆规和无刻度的直尺作的平分线； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）以点为圆心，为半径作弧，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，在内部交于点，即可得的平分线； （2）由三角形的内角和定理，结合角平分线的定义，可得，由直角三角形的两个锐角互余，可得，即可得的度数． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：在中，，， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（2026·河南周口·一模）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东方向上，测得港口C位于B的北偏东方向上，已知港口C在灯塔M的正北方向上． (1)填空： ， ； (2)求灯塔M到轮船航线的距离； (3)求港口C与灯塔M的距离． 【答案】(1)30°，45° (2) (3) 【分析】（1）分别过点C，M，作，垂足分别为点D，E，由三角形外角的定义与性质可得，再由平行线的性质可得，即可得解： （2）由（1)可得：，从而得到，再由进行计算即可； （3）证明四边形是矩形，得到 海里，，得 证明是等腰直角三角形，得到 ，即可得到答案． 【详解】（1）分别过点C，M，作，垂足分别为点D，E ∵， ∴． ∵都是正北方向， ∴． ∵， ∴， 故答案为，． （2）由(1)知， ∴． 在， 答：灯塔M到轮船航线的距离为 （3）∵都是正北方向， ∴四边形是矩形， ∴ 海里，．在中， ∵， ∴， ∴ ． 在中， 答：港口C与灯塔M的距离为 8．（2026·河南新乡·一模）如图，为测量某通信基站到公路的距离，技术人员在公路上的点处测得基站位于的北偏东方向，随后他沿正北方向驱车10千米到达点，在点处测得基站位于的北偏东方向，同时测得广播电视塔位于的北偏东方向．已知广播电视塔正好在基站的正北方向． (1)求基站到公路的距离（结果保留根号）； (2)求广播电视塔与基站的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（1）先利用三角形外角的性质可得，再利用等角对等边可得千米，然后在中解直角三角形即可解答； （2）先说明四边形是矩形，易得，，再分别在和中解直角三角形可得、，最后运用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图，过P作交于D，作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴千米， 在中，，千米， ∴千米； ∴基站P到公路的距离为千米． （2）解：∵，，都是正北方向， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴千米， 在中，，千米， ∴千米； ∴千米． 9．（2026·河南焦作·一模）如图，，是的平分线，点B是边上一点，，点C是边上一点，作点A关于的对称点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，根据角平分线的性质求出的度数，结合垂直条件求出的度数；利用轴对称的性质得出，，进而求出和的度数；判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接， ，平分， ． 点在边上， ． ， 在中，． 点是点关于的对称点， ，． 在中，，， ． ， ． ， ．． 在中，由勾股定理得：． 10．（2026·河南许昌·一模）如图，在中，，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线可得，则，由外角定理可得，由题意可得，可得，则，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴的长为． 11．（2026·河南周口·一模）如图，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，则，最后由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．（2026·河南平顶山·一模）如图，处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查方位角，三角形内角和定理，熟练掌握方位角的定义是解题的关键．根据题意得到，，根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向， 由题意得：，，，， ， ，， ． 故选D． 全等三角形的判定 考点03 13．（2026·河南信阳·一模）如图，为⊙O的直径，弦于点E，于点F，，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直径所对圆周角等于，已知垂直的条件证明，即可判定； （2）根据可得，进而可得为等边三角形，由此得出阴影部分所在扇形的圆心角等于，再根据阴影部分的面积等于扇形减去计算即可． 【详解】（1）证明：∵是⊙O的直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴ 在与中 ∴． （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴，为等边三角形． ∴，． ∴， ∴． 14．（2026·河南周口·一模）如图，在平行四边形中， E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证： (2)若 ，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，从而得到，利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质得出，从而证明出四边形是平行四边形，过 C 作于H，得出，再由平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 过 C 作于H． 在中， ，， ∴， ∴四边形的面积：． 15．（2026·河南·一模）如图，在 中，，是上一点，且． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，连接．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）先证明，得出，，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，即可证明，利用线段的和差关系即可得结论． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）证明：∵平分， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 16．（2026·河南平顶山·一模）如图，在四边形中，，，连接． (1)将四边形翻折，使点A与点C重合，折痕分别与边，交于点E，F，请用无刻度的直尺和圆规作出折痕，连接，（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧分别交于两侧的两点；过这两点作直线，该直线与交于点，与交于点；连接、，则直线即为所求折痕； （2）由翻折性质知垂直平分，故，，，．先证，得；再证，得，进而即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）解：作图如下： （2）证明：由翻折可知，折痕是线段的垂直平分线， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴， ∴四边形是菱形． 17．（2026·河南驻马店·一模）在一次数学课上，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第1步，如图1，将边长为6的正方形纸片对折，使点A与点B重合，展开铺平，折痕为； 第2步，将边沿翻折得到； 第3步，延长交于点H，则点H为边的三等分点． 证明如下： 如图1，连接，∵正方形沿折叠， ∴，， 又∵， ∴（①）， ∴． 设， ∵E是的中点， ∴， 在中，可列方程：②， 解得，即H是边的三等分点． “破浪”小组进行如下操作： 第1步，如图2所示，将正方形纸片对折，使点A与点B重合，展开铺平，折痕为； 第2步，将正方形纸片对折，使点B与点D重合，展开铺平，折痕与交于点G； 第3步，过点G折叠正方形纸片，使折痕． (1)【过程思考】“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是______；②处所列方程是______（方程不必化简）； (2)结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为边的三等分点，并证明你的结论； (3)【拓展提升】在边长为6的正方形中，点E是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点H．若，请直接写出的长． 【答案】(1)①，② (2)点是边的三等分点，证明见解析 (3)3或12 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和勾股定理即可得到答案． （2）证明，得，再根据平行线的性质即可求解． （3）分两种情况，当点H在线段上时，当点H在的延长线上时，连接，即可求解． 【详解】（1）解：连接， 正方形沿折叠， ，， 又， （） ．设， 是的中点，则， 在中，可列方程：， 解得：，即是边的三等分点． （2）解：点是边的三等分点，证明如下： 分别是的中点， 是正方形， ，，， ，， ， ， ，， ， ，即， 点是边的三等分点． （3）解：当点在线段上时，如图所示， 则， 同（1）设，则，， ∴在中，由勾股定理得， 解得 ； 当点在的延长线上时，连接，如图所示． 正方形的边长为6， ，，． ∴，， 由折叠的性质得，， 又， ， ． 设． ，． 在，由勾股定理，可知， ，解得． 综上所述，的长为3或12． 18．（2026·河南周口·一模）如图，两个大小相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质证明，得到，进而即可求解； 【详解】四边形和四边形都是正方形，恰好落在正方形的对角线上， ，，， 在和中， ， ， ， ． 19．（2026·河南郑州·一模）在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是的矩形，例如我们的课本封面、打印纸，我们称这样的矩形为标准矩形． 【操作判断】 如图，已知矩形是一个标准矩形，其中，，分别是，的中点，连接． (1)矩形 标准矩形填“是”或“不是”． 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， (2)如图，当恰好经过点时，旋转角的度数是 ，线段的长是 ． (3)如图，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，猜想与的数量关系，并证明． 【拓展应用】 (4)在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)是 (2)， (3)，证明见解析 (4)或 【分析】（1）先算出矩形的长和宽，再验证长与宽的比； （2）在直角三角形里，用三角函数算出，从而得到旋转角，再用的长度减去的长度，得到； （3）过、向作垂线，先证两个小三角形全等得到垂线段相等，再证包含、的两个三角形全等，从而得出； （4）分在线段上和延长线上两种情况，先证和是等边三角形，再结合勾股定理和（3）的结论，分别算出两种情况下的长度． 【详解】（1）解：， ， 、分别是，的中点， ， ， ∴矩形是标准矩形． （2）解：当恰好经过点时， 中，，， ， ，， ， ， ． （3）解：如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，， 由旋转的性质，可知，，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ． （4）解：①如图，当点在线段上时，， ，，， ， ， ， 连接，，则， ， ， 是等边三角形， ， 由（3）可知，， ，， ， ， 是等边三角形， 过点作于， ， ， ，， 在中，， ； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接，，过点作于点， 同理可得是等边三角形， ， 综上所述，线段的长为或． 20．（2026·河南南阳·一模）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，在中．，，，点在边上，使得是“类直角三角形”，则______． 【答案】或 【分析】先求出，然后分当时，当时两种情况，通过相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时， ∵， ∴， 过点作于点，如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 综上所述，或． 21．（2026·河南许昌·一模）如图，在中，，，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交于点．若，则的长为________． 【答案】或 【分析】过点作交于点，由旋转的性质可证，得，由，可得，由勾股定理可得出的长度，由点的位置不确定，故可做分类讨论，当点在点左右两侧时得出结果． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理， 解得， ∴， ∴； 当点在点右侧时，同理可得， ∴； 综上，的长为或． 22．（2026·河南周口·一模）如图，已知四边形是边长为的菱形，为上异于点的一动点，点在上，是等边三角形，为的中点，连接并延长，与交于点，连接． (1)证明：垂直平分． (2)随着和点位置的改变，的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． (3)当时，若，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)的值不随和点位置的变化而变化， (3) 【分析】（1）首先证明，可得，连接，再证明，可得，利用等腰三角形三线合一即可证明； （2）首先证明，可得，则，由菱形可得，即可得，不随和点位置的变化而变化； （3）连接，，先证明，可得，再由为的中点，可得，由，则，从而，可得，再证明∽，可得，即，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，，， ∴，， 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分． （2）解：的值不随和点位置的变化而变化． 由（1）可知，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，， 由（1）可知，， ∵四边形为菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与都可以看作以为底，点在上， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴∽， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 等腰三角形的定义及性质 考点04 23．（2026·河南周口·一模）如图，在 中，，，点是的中点，点是上的动点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得到，根据勾股定理得到的长度，根据点到直线的距离（垂线段最短）得到的最小值为点到的垂线段的长度，根据等面积法得到垂线段的长度即为答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，点是的中点，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵点是上的动点， ∴的最小值为点到的垂线段的长度， 即为如图所示，过点作于点，线段的长度， ∵， ∴． 24．（2026·河南驻马店·一模）矩形的边长为3，的角平分线交边于点（点不与点重合），连接，若的形状为等腰三角形，则边的长为________． 【答案】或6 【分析】由矩形的性质可得到，，由角平分线的定义得到，解直角三角形得到，再分三种情况：，和，讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的角平分线交边于点， ∴， ∴，； 如图所示，当时，则； 如图所示，当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴，此时点E与点C重合，不符合题意， 综上所述，的长为或6． 25．（2026·河南新乡·一模）如图，在中，，，点在边上且，将折叠到，若点在线段的延长线上，则的长为（   ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，结合折叠的性质以及线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴． 26．（2026·河南洛阳·一模）如图，在中，，是弦，圆心在的内部，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用半径相等得到等腰和，根据等腰三角形两底角相等求出和的度数，进而得到的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，计算出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ， 故选：B． 等腰三角形的性质和判定 考点05 27．（2026·河南信阳·一模）园林中设计的各种样式的门是造景的一种方法．如图是一面墙和墙中间一个圆拱门的示意图，墙高2.5m，长6m，门为圆形的一部分，圆的半径为1m，圆与地面的交界处AB宽m，则墙的面积为________． 【答案】 【分析】设圆心为，连接，过点作于点，求得，得到是等腰直角三角形，得出，再通过面积法求解即可． 【详解】解：设圆心为，连接，过点作于点，如图： ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴大扇形的面积为：， ， ∴墙的面积为：． 28．（2026·河南商丘·一模）如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一，求出，；根据勾股定理求出，则，根据线段的和差求出，再根据等边三角形的判定和性质，可得，最后根据． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴； ∴，则， ∵且， ∴，， ∵沿射线方向平移得对应， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故选：C． 29．（2026·河南平顶山·一模）在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，连接的长为________ 【答案】2或 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形和等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是按动点在上的不同位置进行分类讨论．分两种情况：当点靠近点时，翻折后在上方，由和得为等腰直角三角形，作延长线交于点，则垂直平分，在中求出，从而；当点靠近点时，翻折后在下方，同理得为等腰直角三角形，从而，再由得为等边三角形，. 【详解】解：如图，当点靠近点时，沿翻折，的对称点在上方， 由折叠的性质得，， ， 是等腰直角三角形， ， 设的延长线交于点， ∵，， ∴是的垂直平分线， 在中，， ， 在中， ， ， ． 当点靠近点时， 如图，点靠近点时，沿翻折，的对称点在下方，由折叠的性质得， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等边三角形， ； 综上所述的长为2或． 故答案为：2或． 30．（2026·河南周口·一模）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，等边的边长为，点在以为圆心，为半径的优弧上，若为“反直角三角形”，则___________． 【答案】a或 【分析】分两种情况，根据“反直角三角形”定义和圆周角定理、等边三角形的性质、锐角三角函数进行解答即可． 【详解】解：如图， ∵等边的边长为， ∴， ∴， ∵为“反直角三角形”， ∴， ∴， ∴ 当点落在点上时，， ∵为“反直角三角形”， ∴， ∴， ∴ 作于点， ∴， ∵， ∴， 综上可知，或． 31．（2026·河南周口·一模）若把含、的三角板按照如图1的方式摆放，得到如图2所示的四边形，过四边形的顶点作垂直于，垂足为点，过点作垂直于，垂足为点，直线与直线交于点． (1)若，则___________； (2)用等式表示、、的数量关系，说明理由； (3)把两个三角板按照图3的方式摆放，请在图3中依据题意补全图形（无需尺规作图），直接写出的值． 【答案】(1) (2)，见详解 (3) 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得到，再根据等腰直角三角形的性质得到，结合题意可得是等腰直角三角形，四边形是矩形，由此即可求解； （2）计算方法同（1）； （3）根据题意作图即可，设，则，，证明，设，则，，，结合题意，由此得到，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下， ∵是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴，即； （3）解：根据题意，作图如下， 设，则，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴ ． 等边三角形 考点06 32．（2026·河南南阳·一模）如图是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，测得，，则花窗的面积为________． 【答案】 【分析】延长交于点O，过点O作，证明是等边三角形，用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：延长交于点O，过点O作， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴，， ∴花窗的面积为． 33．（2026·河南商丘·一模）把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的面积为，根据三角形中位线定理得到，相似比为，的面积为，的面积为，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，过C点作， ∵是等边三角形，且， ∴，， ∴， ∴， ∵点、、分别为等边的边、、的中点， ∴，，， ∴，相似比为， ∵的面积为， ∴的面积为， 同理，的面积为， 则的面积为． 34．（2026·河南洛阳·一模）如图，在锐角三角形中，以为边作等边三角形，以为边作等腰三角形，其中，，为的中点，分别连接和，若的长为6，则的长为______． 【答案】 【分析】取的中点G，的中点H，连接、 、，根据三角形中位线的性质可知，，，，然后由等腰三角形的和等边三角形的性质可求得，再利用两直线平行同位角相等，结合角度的和差可推出，从而根据两对边成比例且夹角相等证得，进而相似三角形对应边成比例，即可解答． 【详解】解：如图，取的中点G，的中点H，连接、 、， 则，， ∵D为的中点， ∴， ∴，，，， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 35．（2026·河南商丘·一模）如图，边长为8的等边三角形，D为的中点，E为的中点，过E作，F为的中点，长为________． 【答案】 【分析】连接，先证为等边三角形，得到，在中，求得，进而得到，再利用勾股定理求即可． 【详解】连接， 因为是边长为的等边三角形， 所以，， 又分别为的中点， 所以， 所以为等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以． 36．（2026·河南南阳·一模）如图，在菱形中，，，为射线上一点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，则的长为_____． 【答案】或 【分析】先利用菱形性质和等边的条件，证得，推出，再结合证得为等边三角形，得；设，分两种情况讨论：①当点在线段上时，作，用勾股定理列方程，解得后算出；②当点在的延长线上时，同理作，列方程，解得后算出，最终得到的两个可能长度． 【详解】解：四边形为菱形，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ，． ， ， ， 为等边三角形， ， 设，则， 分两种情况讨论： ①当点在线段上时，如解图，过点作于点， ， ， ，， ，． ， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）， ②当点在的延长线上时， 如解图，过点作于点 同理①，可得，， ，， 在中，， 即，解得（负值已舍去）， ， 综上所述，的长为或． 37．（2026·河南洛阳·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质得到，结合，可证明是等边三角形，然后根据等腰三角形的三线合一性质，可证明，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出，最后根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 38．（2026·河南焦作·一模）如图，在中，，，D是平面内一点，，以为边作等边三角形，连接，F是的中点，连接，，当分别取到最大值和最小值时的长为______． 【答案】和 【分析】根据题意，设为的中点，连接，求得，则，，故当三点共线，且在线段上时，取得最大值，当三点共线，且在线段上时，取得最小值，再求的长即可． 【详解】解：设为的中点，连接， ，， ， 为等边三角形，为中点，， ，， ， 分别为中点， 为的中位线， ， ①， 当三点共线，且在线段上时，取得最大值， 如图，设为中点，连接，过作交的延长线于， ， 三点共线，， ， ， ， 为中点，为等腰直角三角形， ，， 又， 四边形为矩形， ，则， ， ； ②， 当三点共线，且在线段上时，取得最小值， 如图，设为中点，连接，过作交的延长线于， 同理可得四边形为矩形， ， ， 综上，当分别取到最大值和最小值时的长为和． 直角三角形 考点07 39．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，切点为D，连接，与半圆交于点E，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据阴影部分的面积等于，进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵以边的中点O为圆心的半圆与相切， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴ ． 40．（2026·河南周口·一模）如图，在菱形中，，过点作于点，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∵于点， ∴， ∴． 41．（2026·河南·一模）如图，莹莹将一个直角三角尺与矩形纸片按如图所示放置，与交于点，，，莹莹通过测量发现恰好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质和角平分线的定义可得，，利用矩形的性质可得，再根据平角的定义解答即可求解． 【详解】解：∵，，平分， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴． 42．（2026·河南开封·一模）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为，．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设交于点，由菱形的性质与勾股定理得到，则，再结合含的直角三角形性质得，，则根据即可得解． 【详解】解：设交于点， 菱形中，，， ，， ，，， 中，， ， ， 中，， ， 中，， ， ． 43．（2026·河南周口·一模）如图，在中，是的中点． (1)点为上一点，，两点均在上，请用无刻度的直尺和圆规作出（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，若与相切于点，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）用尺规作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，以为半径作圆即可； （2）根据圆的基础知识设，则，由切线的性质得到，根据三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余得到，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形； （2）解：设，则， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴，即， ∵是的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的半径为． 44．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，为内部一点，则到三个顶点之和的最小值是___________． 【答案】 【分析】将绕着点A逆时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N，由旋转的性质可得，，，，易得是等边三角形，可得，进而得到，当点H、E、P、C共线时，有最小值，再求出和的长度，由勾股定理可求解． 【详解】解：将绕着点A逆时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点H、E、P、C共线时，有最小值． ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即点P到三个顶点之和的最小值是． 45．（2026·河南周口·一模）某款“不倒翁”（图1）的主视图如图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，则图2所示图形的周长是___________． 【答案】 【分析】如图，连接，，，由切线的性质得到，求出优弧对应的圆心角为，然后利用弧长公式求出优弧的长，证明出，得到，，利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，分别与所在圆相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴优弧对应的圆心角为， ∴优弧的长是：， ∵，， 由切线长定理得， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴图2所示图形的周长是． 勾股定理及其逆定理 考点08 46．（2026·河南周口·一模）如图，将，的矩形纸片放在以所在直线为x轴，边上一点O为坐标原点的平面直角坐标系中，连接，将纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在边上，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的翻折，矩形的性质以及勾股定理的运用． 先求出的长度，从而求得的长度，设，在中，运用勾股定理建立方程，求出的长度，从而求得的长度，即可得到点C的坐标． 【详解】解：∵矩形纸片，， ∴， 又∵将纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在边上， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设， ∵矩形纸片，， ∴， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴，即． 47．（2026·河南周口·一模）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴令， 由勾股定理得， ∴； （3）解：①如图所示，，，三点共线， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ②如图所示，，，三点共线， 此时，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上，的长为． 48．（2026·河南开封·一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． 【拓展探究】如图1，在中，，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ①________ ②________ 请完成填空：①________；②________； (2)如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． (3)【学以致用】如图3，是直角三角形，，，，平面内一点D，满足，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时．请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；② (2)直角三角形，见解析 (3) 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，1为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：， ， ， ， ∵， 如图，以点为圆心，1为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 49．（2026·河南开封·一模）从2025年春晚机器人“秧”惊艳世界，到今年春晚舞台的“武”震撼全球，中国新质生产力如此突飞猛进，在春晚看到了！剑舞、醉拳、双截棍、肘部大回环、连续三次单腿后空翻……这些人类千锤百炼才可能神功大成的高难度动作，机器人不仅完成得威风凛凛，甚至颇有中华武术的神韵，看得观众酣畅淋漓、豪情万丈．某校拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座固定，高为，连杆长度为，手臂长度为．点B、C是转动点，且、与始终在同一平面内． (1)转动连杆、手臂使，，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度．（结果精确到，参考数据：，，） (2)物品在操作台l上，距离底座A端的点M处，转动连杆、手臂，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 【答案】(1) (2)手臂端点D能碰到点M，见解析 【分析】（1）过点C作于点P，过点B作于点Q，根据三角函数求出，根据即可得解； （2）根据勾股定理求出当点B、C、D三点共线时，比较与大小关系，即可得解． 【详解】（1）解：过点C作于点P，过点B作于点Q，则，如图， 由题意得：四边形都是矩形， ， ， ∴在中，， ， ． 答：手臂端点D离操作台l的高度约为． （2）解：手臂端点D能碰到点M．理由如下： 如图， 当B、C、D三点共线时，，， 在中，， ， ∴手臂端点D能碰到点M． 50．（2026·河南开封·一模）如图，在中，将折叠，使点A与点C重合，点D为折痕所在直线上一点，若，，，线段的长为______． 【答案】或 【分析】结合已知条件分为点D在内部和外部两种情况讨论： 当点D在内部时，作，作，作于点N，连接，可知是等腰直角三角形且，再根据勾股定理求出，结合矩形的性质证明，可得，即可得出四边形DMEN为正方形，然后设，则，根据求出，接下来求出，最后根据得出答案；当点D在外部时，设，仿照上述解答即可． 【详解】解：∵点D为折痕所在直线上一点，， ∴分为点D在内部和外部两种情况讨论． ①当点D在内部时，如图①， 过点A作于点E，点D为折痕上一点，过点D作于点M，作于点N，连接， ∵A、C两点关于折痕对称且， 是等腰直角三角形且． ，， ∴点E为的中点． ， ． ， ∴在中，由勾股定理得，． ，，， ∴四边形为矩形． ，，， ， ， ∴四边形为正方形， ． 设，则， ， ， ， ， ， 在中，； ②当点D在外部时，如图②，设， 设，则， ， ， ， ， ， 同理可得， 所以的长为． 所以线段的长为或． 51．（2026·河南信阳·一模）等腰，在边上取一动点D，以点A为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)观察猜想 如图1，，则________ ． (2)类比探究 如图2，，点F为中点，连接，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用． 如图3，，过点D作交的延长线于G，连接．请直接用等式表示线段与的数量关系． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)，见解析． 【分析】（1）由旋转可得，，求出，利用三角形外角的定义求出，即可求解； （2）证明，得到，，再求出，即可得出结论； （3）先证明，得到，再证明，得到，根据是等腰直角三角形，得出答案． 【详解】（1）解： 由旋转可得：，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接CE， ，． ， 由旋转知， ， 即． ， ， ，， ， ∵点F为中点， ． （3）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ， ． 52．（2026·河南信阳·一模）一个大坝的截面图如图所示，坝顶与坝底平行，测得，，大坝左侧与坝顶延长线的夹角为，要从坝顶B处到坝底D处预埋一根管道，求这根管道的长度．（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】过点A作于F，过点B作于G，根据三角函数得到，，证明四边形是矩形，得到，，进而得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于F，过点B作于G， ． ∵大坝左侧与坝顶延长线的夹角为， ∴， ∴， 在中，， ． ∵坝顶与坝底平行， ，． ∴四边形是矩形． ，． ． ． 答：的长度约为． 53．（2026·河南信阳·一模）如图，四边形为矩形，，对角线交点为O，，点E为矩形内部一动点，且，当点E运动到矩形的对角线上时，的长为________． 【答案】或 【分析】解直角三角形求出，分两种情况：点在上和 点在上，分别求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点在上时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， 当点在上时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 54．（2026·河南信阳·一模）如图，四边形是边长为的正方形，取边的中点，连接，将沿折得到，延长交边于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形性质可得，，通过折叠性质可知，，，然后证明，所以，设，则，，由勾股定理得，即，然后求出的值即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是中点， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴的长为． 55．（2026·河南信阳·一模）点E在边长4的正方形内部运动，且，对角线与或相交于点F． (1)如图1，当时，________；________；_________； (2)如图2，当为等边三角形时，求的值，并写出计算过程； (3)正方形的对角线与相交于点O，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)，4， (2)，过程见解析 (3)或 【分析】（1）过点E作于点K，解直角三角形求得，，再利用三角形面积公式求解即可； （2）过点E作于点G，过点F作于点H．设，则，利用勾股定理列式计算求得，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可； 【详解】（1）解：过点E作于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ； ； （2）解：过点E作于点G，过点F作于点H． 在正方形中，，． ∵为等边三角形， ∴，． ∴． 在中，， ∴， 在中，， 设，则， ∵，， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴，即， ， ∴， ∴； （3）解：由（1）和（2）知，． ∵， ∴点始终在的垂直平分线上， 过点E作于点M，则经过点，垂直平分， 在正方形中，，． 如图1，当点E在点O上方时，过点F作于点N， ∴，． 设，则， 在等腰中，． ∵， ∴， ∴，． ∴； 如图2，当点E在点O下方时，过点E作于点P，． ∵， ∴． ． 过点F作于点Q， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴，． 过点F作于点R，则四边形是正方形， ∴． ∴． 综上，的值为或． 56．（2026·河南信阳·一模）“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”这是我国明朝数学家程大位写的一首词，也是一道数学题．翻译过来是：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺．将它往前推进10尺（5尺为一步，即，且），秋千的踏板就和身高为5尺人一样高（即）． (1)请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)当秋千回摆到另一侧与竖直方向夹角为的地方时，请计算点距地面的高度．（结果精确到0.1尺．参考数据：，，） 【答案】(1)秋千绳索的长度为14.5尺 (2)点A"距地面的高度约为3.9尺 【分析】（1）证明出四边形为矩形，得到，设秋千绳索的长度为x尺，然后利用勾股定理求解； （2）由题意知，尺，，解直角三角形求出尺，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 设秋千绳索的长度为x尺， 由题可知，尺，尺，尺， ∴尺 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺； （2）解：由题意知，尺，， 在中，，即， ∴尺． （尺）． 答：点距地面的高度约为3.9尺． 57．（2026·河南周口·一模）如图，为的外接圆，为直径，是上一动点，连接，若，． (1)求的半径； (2)若，求的长（结果保留）． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出，再利用勾股定理得出直径的长，即可解答；（2）先连接，再利用勾股定理的逆定理，得出是直角三角形，最后利用弧长公式进行解答即可． 【详解】（1）解：∵为的外接圆，为直径， ∴． ∵，， ∴， ∴的半径为． 答：的半径为10． （2）解：如图，连接． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴的长为． 答：的长为． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $