专题01 复数的概念及运算（5大题型专项训练）数学人教B版必修第四册

专题01 复数的概念及运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、复数概念与分类 1 题型二、复数相等与共轭复数 4 题型三、复数的模的计算与性质应用 8 题型四、复数加减、乘法运算及i的幂周期性 11 题型五、复数除法运算（重点） 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、复数概念与分类 1．当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. 【答案】A 【分析】根据的乘方的周期性，分类讨论求解即可. 【详解】由的乘方的周期性， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，（为虚数单位）的所有可能值为， 故选：A 2．下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】B 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解. 【详解】对于A中，若，那么，所以A错误； 对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确； 对于C中，若且时，复数，所以C不正确； 对于D中，由虚数单位，可得D错误. 故选：B. 3．i是虚数单位，若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的定义判断即可. 【详解】选项 A： 是虚数，不是实数， 而 中的元素都是实数，因此 ，故A错误； 选项 B：，而 ，所以 成立，故B正确； 选项 C：， 是虚数，不属于 ，故C错误； 选项 D： 是虚数，也不属于 ，故D错误. 故选：B 4．已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列出等式，然后计算即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 5．若复数为纯虚数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 【答案】B 【分析】由纯虚数的概念即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得： 故选：B 6．复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】考查复数相关概念问题，根据实数和虚数概念求解即可. 【详解】若复数，（，）为实数， 则有， ， 故选：A. 7．下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【分析】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③. 【详解】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B 8．已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】由题，所以为实数，即， 则有，解得，即a的取值范围为. 故选：A 9．（多选）已知复数，，下列说法正确的是（    ） A．若纯虚数，则 B．若为实数，则， C．若，则或 D．若，则m的取值范围是 【答案】ABC 【分析】根据复数的相关概念，列出相应的等式或方程，求得参数，即可判断答案. 【详解】对于A，复数是纯虚数，则，A正确； 对于B，若为实数，则，则，，B正确； 对于C，若，则，则， 解得或，C正确； 对于D，若，则，且，则，D错误， 故选：ABC 10．设C为复数集，R为实数集，I为虚数集，M为纯虚数集，则下列式子中不正确的是______（请填代号）． ①；    ②；    ③；    ④． 【答案】② 【分析】求得判断①；求得判断②；求得判断③；求得判断④ 【详解】，则①判断正确；，则②判断错误； ，则③判断正确；，则④判断正确 故答案为：② 题型二、复数相等与共轭复数 1．已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由复数相等可列出方程组求解. 【详解】由题意， 所以，解得，所以. 故选：D. 2．已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围. 【详解】复数，且， 所以，则 因为，所以，当时，，当时， 所以的取值范围是. 故选：B. 3．下列命题中正确的是（    ）． A．； B．； C．若x，，则的充要条件是； D．若，则． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则即可判断结果． 【详解】，故A    正确； ，故B错误； 若x，，若有；若有； 故是的充分不必要条件，C错误； 若，取则，故D错 故选：A 4．若，是虚数单位，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数相等可得，，进而即得. 【详解】因为， 所以，，即，， 所以． 故选：D． 5．实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】由复数相等的条件列出式子，即可求解 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 故选：A 6．下列命题：①若，则；②；③若，且，则.其中正确命题的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】通过反例可知①②错误；由且可构造方程组求得，知③正确. 【详解】对于①，若，，则，①错误； 对于②，若，，则，②错误； 对于③，由，得：，解得：，③正确. 故选：B. 7．设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数相等的性质列等式运算即可. 【详解】由题得解得所以. 故选：. 8．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用交集的结果，结合复数相等求出值，验证即得. 【详解】由集合，，且， 得，因此，所以， 当时，，因，故，符合题意. 故选：C 9．复数的共轭复数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念求解. 【详解】因为的共轭复数为， 所以，所以， 故选：C 10．若复数，则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先可以根据题意求出复数的共轭复数，然后根据虚部的定义即可得出结果. 【详解】因为复数， 所以的共轭复数，虚部是， 故选：D． 【点睛】本题考查共轭复数以及复数的虚部，复数的共轭复数为，体现了基础性，是简单题. 11．若复数满足，则的共轭复数的虚部为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求. 【详解】 ， ，共轭复数 的共轭复数的虚部1 故选C. 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式. 12．设复数满足(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把已知等式变形,根据复数的除法运算求得复数，再得复数的共轭复数，得解. 【详解】因为， , 所以复数z的共轭复数为，所以复数的共轭复数的虚部为， 故选B. 【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数和复数虚部的概念,属于基础题. 13．已知复数，，其中为虚数单位，若，则的共轭复数的虚部是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数代数形式的运算法则求出复数，得到复数的共轭复数，进而可得其虚部． 【详解】由于复数，， 所以 则的共轭复数，所以共轭复数的虚部为-2 故选B 【点睛】本题考查复数代数形式的运算法则，涉及共轭复数以及复数虚部的求解，属于基础题． 14．若复数，则的共轭复数的虚部为_____ 【答案】7 【分析】利用复数乘法运算化简为的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数的虚部. 【详解】，，故虚部为. 【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识. 题型三、复数的模的计算与性质应用 1．已知为虚数单位，则复数 的共轭复数的模是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共轭复数定义与复数的模长公式即可求得结果. 【详解】因为复数，所以，故， 故选：D 2．复数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】依题意，. 3．若复数满足，则复数的共轭复数的模为 A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】首先求出复数，即可得到复数的共轭复数，利用复数模的计算公式，求得答案． 【详解】由于，则， 所以复数的共轭复数，则， 故答案选B 【点睛】本题考查复数四则运算，共轭复数的概念以及复数模的计算公式，属于基础题． 4．以下命题正确的有（    ）. ①若，则为实数；②若，则，共轭；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于①，设出复数的实部、虚部，由条件确定实部、虚部的特征可判断；对于②，比较两个复数的实部、虚部的关系可判断；对于③和④，设出复数的实部、虚部，利用复数模的概念求出模即可判断. 【详解】对于①，设，由，得， 所以，为实数，故①正确； 对于②，若，则，不共轭，故②错误； 对于③，设，而是实数，所以，故③正确； 对于④，设，， ，，所以，故④正确； 故选：C 【点睛】本题考查了共轭复数以及复数的模的概念，从共轭复数以及复数的模与复数的实部、虚部的关系求解，属于基础题. 5．已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的模计算公式解得答案. 【详解】因为，所以，化简得， 解得. 故选：B. 6．（多选）已知是复数，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于选项A，若，则，而，成立，故A正确. 对于选项B，设，则，那么，且，所以，故B正确. 对于选项C，举反例：，模都是1，但，故C错误. 对于选项D，设，且，则.若，则无定义，题目隐含，故D正确. 7．（多选）已知复数满足，则（    ） A．与的实部相等 B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用特殊值法判断A、C，根据共轭复数的性质及模的相关运算判断B、D. 【详解】取，满足，但它们的实部不相等，A错误； 由，，所以，B正确； 取，满足， ，C错误； 设复数，则， ，所以，D正确. 故选：BD 8．若，则______． 【答案】 【分析】通过设将两个复数的问题转化为单个复数的问题，再利用复数模的性质列方程求解可得. 【详解】设，因为，所以. 又因为，所以，即. 设，由得：记作①， 再由得：记作②， ②①相减得，即，解得. 再将代入①得，，解得. 因此. 9．已知复数满足，若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将复数模长差转化为平面上的射线轨迹，结合已知条件构造分式不等式求解. 【详解】原式 ∣等价于， 几何意义：复数对应点 到定点 、的距离差为5， 因为∣， 所以在以为端点，背离方向的射线上， 则，对应复数， 由可得，，即， 所以，由得等价于，解得或， 即实数的取值范围是. 10．已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，则_______． 【答案】或 【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，再由模的结果计算即得. 【详解】由题可设， 则. 因为，所以，所以. 所以或. 11．若对一切，复数的模不超过2，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由复数的模转化为，再得解得. 【详解】由， 可得， 因此，所以， 即，则， 所以. 故答案为： 题型四、复数加减、乘法运算及i的幂周期性 1．已知复数，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以．所以D正确． 2．已知复数，则（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】B 【详解】由复数，可得，则 3．已知复数，则（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】D 【详解】因为复数，则， 所以. 4．已知，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用复数的除法及乘法计算化简得出虚部即可. 【详解】由于．故其虚部为． 故选：B. 5．设（是虚数单位），则满足等式，且大于1的正整数中最小的是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先求出.然后化简可得，即可运用方幂的周期性求值，得出答案． 【详解】由已知， 则. ， ， . ， 必须是3的倍数，即. . ， 时，有最小值4. 故选：B. 6．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简复数，利用实部与虚部相等即可得结果. 【详解】化简复数, 因为“等部复数”的实部和虚部相等， 复数为“等部复数”， 所以，所以， 故选：A. 【点睛】遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 7．已知复数满足(为虚数单位)，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算化简求得，根据共轭复数的定义求得，再计算复数模得到答案. 【详解】，故， ,故. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的运算和复数模，共轭复数的概念，意在考查学生的计算能力，关键是除法运算中的分母实数化过程. 8．若，则（   ） A．9 B． C．11 D． 【答案】D 【详解】， ∴，∴，∴. 9．已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法运算求出，有乘积的实部和虚部为相等的正数，列出的等式，解出的值． 【详解】因为 ， 所以，即． 经检验，能使， 所以满足题意． 故选：D. 10．已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，再依次计算，即可. 【详解】由题知， 所以， 所以. 11．已知复数，则的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，所以其共轭复数. 12．若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的乘法、除法运算和复数的模的运算计算即可. 【详解】， 所以. 13．若（i为虚数单位），则使的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将复数的三角形式代入方程中，进一步解三角方程，即可得到的值. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以，当时，． 故选：C. 14．（多选）已知复数满足，则下列命题为真命题的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先根据模长公式证明，再分别计算判断各个选项. 【详解】先证：. 设，其中均为实数，则， 所以 又 . 对于A，得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当，时，，故D错误. 15．（多选）已知复数，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．若复数满足，则的最大值为 【答案】BD 【分析】利用复数的除法运算可判断A，利用复数的几何意义可判断B和D，利用复数模的运算可判断C. 【详解】由，故A错误； 在复平面内对应的点位于第四象限，故B正确； ，故C错误； 复数在复平面内表示在单位圆上的点，表示单位圆上的动点到定点的两点间距离， 所以的最大值为，故D正确. 故选：BD 16．设复数满足，则的实部为______． 【答案】5 【分析】利用复数的乘法运算法则展开化简后即得答案. 【详解】 , 故答案为：5. 17．若，则_______. 【答案】0 【分析】根据复数的运算法则计算，再利用的整数次幂的周期性求解. 【详解】已知， 所以 . 18．设是虚数单位，__________． 【答案】/ 【分析】根据复数的除法的运算以及复数的周期性即可求解. 【详解】原式． 故答案为： 题型五、复数除法运算（重点） 1．设复数是纯虚数，若是实数，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由是实数得到，即得解. 【详解】设， 所以是实数， 所以. 所以. 故选：D 2．若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】化简复数，利用实部与虚部的和即可求出的值. 【详解】由题意， ， ∵实部与虚部的和为3， ∴，． 故选：D. 3．已知a，b为实数，复数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由已知利用复数相等列出方程组，求出即可得答案. 【详解】因为，所以， 则，即， 从而，即，解得，故 故选：A. 4．已知，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的运算法则进行化简，然后将其点对应到复平面即可知道在那个象限. 【详解】解：由题意知： 在复平面内对应点为，位于第四象限. 故选：D. 5．复数的虚部为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】复数的分式展开化简,然后利用复数的分子分母都乘分母的共轭复数化简为的形式即可得出结果. 【详解】,所以虚部为. 故选:B. 【点睛】本题考查复数的乘除运算在化简复数中的应用,考查复数的虚部的概念,考查学生对概念的理解,难度容易. 6．z是虚数且“，”是假命题，则的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，计算可得，进而可求的值. 【详解】因为“，”是假命题， 则“，”是真命题， 设，所以 ， 所以， 因为为虚数，故， 所以，可得，故. 故选：A. 7．复数 .若，则（    ）的值与a、b的值无关. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算和模的公式化简条件，确定a、b关系，再依次判断各选项. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以， ，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以，即的值与a、b的值无关. 故选：A. 8．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为和，数系扩充后这两个根分别记为和．若，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数除法运算求得. 【详解】由， 得． 故选：C． 9．（多选）设i为虚数单位，已知复数，（其中），设，则（    ） A．当时， B．对任意，都有 C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】ABC 【分析】应用复数的除法及乘法运算判断A，应用复数的乘法除法运算结合特殊角的三角函数值及三角函数值域判断B，C，D. 【详解】对于A：当时， ，则，A正确； 对于B：， 则对任意，都有，B选项正确； 对于C：， 所以， 存在，， 使得，C正确； 对于D：若存在，使得， 则， 则， 又因为， 设， 在单调递增， 所以的最大值为， 所以不成立， 所以不存在使得，D错误； 故选：ABC. 10．（多选）已知是虚数，且．下列四个选项中，的可能取值有（    ） A．0 B．i C．1 D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件设出复数，再求出的取值范围即可判断. 【详解】由是虚数，，设， 则， 因此的可能取值有0和1. 故选：AC 1．已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由题意，可判断为实数，列出等量关系和不等关系求解即可 【详解】由题意， 故为实数 或 故选：A 2．已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－4 【答案】B 【分析】根据复数相等的定义列方程求解即可． 【详解】解：由得 ， ， ， 解得， ． 故选：B． 3．已知复数，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数相等可得，结合三角函数及二次函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以 则． 令， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以． 故选：. 4．若复数满足，则的共轭复数的虚部为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出． 【详解】，， 则z的共轭复数的虚部为1． 故选D． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．设为虚数单位，复数满足 ，则共轭复数的虚部为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴， ∴复数的虚部为． 故选C． 【点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了． 6．若复数满足，则复数的共轭复数的模为 A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】首先求出复数，即可得到复数的共轭复数，利用复数模的计算公式，求得答案． 【详解】由于，则， 所以复数的共轭复数，则， 故答案选B 【点睛】本题考查复数四则运算，共轭复数的概念以及复数模的计算公式，属于基础题． 7．对任意，，，下列结论不成立的是（ ） A．当m，时，有 B．当，时，若，则且 C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且 D． 的必要不充分条件是 【答案】B 【分析】选项A运用复数乘法运算律即可得，选项B举反例即可说明；选项C共轭复数的模，利用必要不充分条件判断选项D即可. 【详解】由复数乘法的运算律知，A正确； 取，；，满足，但且，B错误； 令 则，C正确； 由能推出，但推不出， 例如,，但是 因此的必要不充分条件是，D正确. 故选：B. 8．已知是虚数单位，复数，下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数对应的点在第三象限 C．的实部为1 D．的共轭复数的模为1 【答案】D 【分析】首先求出复数，从而根据实部虚部的概念即可直接判断AC选项，然后求出的共轭复数为，结合模长公式以及复数在复平面所对应点的特征即可判断BD选项. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为，故A错误； 的共轭复数为，其对应的点是，在第一象限，故B错误； 的实部为，故C错误； 的共轭复数为，则模长为，故D正确， 故选：D. 9．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据复数对应点得出复数，再应用乘法及减法运算求解. 【详解】因为复数z对应的点的坐标为，所以， 则. 10．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先求出所求复数，再判断其对应点所在象限即可. 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点为， 故选：B 11．设，则＝（   ） A．－1－i B．－1＋i C．1＋i D．1－i 【答案】C 【详解】因为， 所以 12．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】通过题意找出规律，再化简原式写出复数在复平面内对应的点的坐标判断象限即可. 【详解】因为， 所以对应点在第二象限. 故选：B． 13．设正数，分别是复数的实部、虚部，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据复数的乘法可得，再利用基本不等式可求的最小值. 【详解】依题意得， 因为，所以， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 14．数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（，为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，化简的结果为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据（，为虚数单位），分别求得即可. 【详解】解：因为， 又， 所以. 故选：B. 15．z是虚数且“，”是假命题，则的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，计算可得，进而可求的值. 【详解】因为“，”是假命题， 则“，”是真命题， 设，所以 ， 所以， 因为为虚数，故， 所以，可得，故. 故选：A. 16．虚数满足等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的乘除运算结合共轭概念即可判断； 【详解】解：因为， 所以 故选：B 17．复数 .若，则（    ）的值与a、b的值无关. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算和模的公式化简条件，确定a、b关系，再依次判断各选项. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以， ，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以，即的值与a、b的值无关. 故选：A. 18．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为和，数系扩充后这两个根分别记为和．若，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数除法运算求得. 【详解】由， 得． 故选：C． 19．设复数是纯虚数，若是实数，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由是实数得到，即得解. 【详解】设， 所以是实数， 所以. 所以. 故选：D 20．若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】化简复数，利用实部与虚部的和即可求出的值. 【详解】由题意， ， ∵实部与虚部的和为3， ∴，． 故选：D. 21．已知a，b为实数，复数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由已知利用复数相等列出方程组，求出即可得答案. 【详解】因为，所以， 则，即， 从而，即，解得，故 故选：A. 22．已知，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的运算法则进行化简，然后将其点对应到复平面即可知道在那个象限. 【详解】解：由题意知： 在复平面内对应点为，位于第四象限. 故选：D. 23．复数的虚部为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】复数的分式展开化简,然后利用复数的分子分母都乘分母的共轭复数化简为的形式即可得出结果. 【详解】,所以虚部为. 故选:B. 【点睛】本题考查复数的乘除运算在化简复数中的应用,考查复数的虚部的概念,考查学生对概念的理解,难度容易. 24．虚数满足等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的乘除运算结合共轭概念即可判断； 【详解】解：因为， 所以 故选：B 25．设i为虚数单位，已知复数，（其中），设，则（    ） A．当时， B．对任意，都有 C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】ABC 【分析】应用复数的除法及乘法运算判断A，应用复数的乘法除法运算结合特殊角的三角函数值及三角函数值域判断B，C，D. 【详解】对于A：当时， ，则，A正确； 对于B：， 则对任意，都有，B选项正确； 对于C：， 所以， 存在，， 使得，C正确； 对于D：若存在，使得， 则， 则， 又因为， 设， 在单调递增， 所以的最大值为， 所以不成立， 所以不存在使得，D错误； 故选：ABC. 26．已知是虚数，且．下列四个选项中，的可能取值有（    ） A．0 B．i C．1 D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件设出复数，再求出的取值范围即可判断. 【详解】由是虚数，，设， 则， 因此的可能取值有0和1. 故选：AC 27．关于非零复数，及其共轭复数，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】本题可根据复数的运算法则，分别对选项进行分析判断. 【详解】因为，，所以，. ， ， 则，选项A正确. ， ，所以，选项B正确. ， 显然，选项C错误. ， 则 则, 所以，选项D正确. 故选：ABD. 28．已知复数满足（为虚数单位）,则______． 【答案】2 【分析】根据,将解出,再根据复数的模的公式求出答案即可. 【详解】解:由题知, , 故. 故答案为:2 29．给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是________. 【答案】（4） 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】对于（1）和（2），在，的限制条件，结论才是正确的，故（1）和（2）都错误； 对于（3），当是纯虚数时，有所以，故（3）错误； 对于（4），由，可得即有，故（4）正确. 故答案为：（4）. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 复数的概念及运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、复数概念与分类 1 题型二、复数相等与共轭复数 2 题型三、复数的模的计算与性质应用 3 题型四、复数加减、乘法运算及i的幂周期性 4 题型五、复数除法运算（重点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、复数概念与分类 1．当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（   ） A．2，0，2； B．2，0，2； C．1+，0，1+； D．2，2，0，2，2. 2．下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 3．i是虚数单位，若集合，则（   ） A． B． C． D． 4．已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）． A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 5．若复数为纯虚数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 6．复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 7．下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 8．已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知复数，，下列说法正确的是（    ） A．若纯虚数，则 B．若为实数，则， C．若，则或 D．若，则m的取值范围是 10．设C为复数集，R为实数集，I为虚数集，M为纯虚数集，则下列式子中不正确的是______（请填代号）． ①；    ②；    ③；    ④． 题型二、复数相等与共轭复数 1．已知为虚数单位，为实数，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题中正确的是（    ）． A．； B．； C．若x，，则的充要条件是； D．若，则． 4．若，是虚数单位，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．实数满足条件：，（其中为i虚数单位），则（    ） A． B．2 C．3 D． 6．下列命题：①若，则；②；③若，且，则.其中正确命题的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．设为虚数单位，若，则（    ） A．-1 B． C． D．1 8．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 9．复数的共轭复数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 10．若复数，则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 11．若复数满足，则的共轭复数的虚部为 A． B． C． D． 12．设复数满足(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部为 A． B． C． D． 13．已知复数，，其中为虚数单位，若，则的共轭复数的虚部是 A． B． C． D． 14．若复数，则的共轭复数的虚部为_____ 题型三、复数的模的计算与性质应用 1．已知为虚数单位，则复数 的共轭复数的模是（    ） A． B． C． D． 2．复数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若复数满足，则复数的共轭复数的模为 A．1 B． C．2 D． 4．以下命题正确的有（    ）. ①若，则为实数；②若，则，共轭；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知是复数，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（多选）已知复数满足，则（    ） A．与的实部相等 B． C． D． 8．若，则______． 9．已知复数满足，若，则实数的取值范围是__________． 10．已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，则_______． 11．若对一切，复数的模不超过2，则实数的取值范围为______. 题型四、复数加减、乘法运算及i的幂周期性 1．已知复数，则（    ） A．4 B． C． D． 2．已知复数，则（   ） A． B．5 C．3 D． 3．已知复数，则（    ） A． B．2 C． D．5 4．已知，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 5．设（是虚数单位），则满足等式，且大于1的正整数中最小的是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 6．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数的值为 A． B． C． D． 7．已知复数满足(为虚数单位)，则=（    ） A． B． C． D． 8．若，则（   ） A．9 B． C．11 D． 9．已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 10．已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 11．已知复数，则的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 12．若复数，则（    ） A． B． C． D． 13．若（i为虚数单位），则使的值可能是（   ） A． B． C． D． 14．（多选）已知复数满足，则下列命题为真命题的有（    ） A． B． C． D． 15．（多选）已知复数，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．若复数满足，则的最大值为 16．设复数满足，则的实部为______． 17．若，则_______. 18．设是虚数单位，__________． 题型五、复数除法运算（重点） 1．设复数是纯虚数，若是实数，则=（    ） A． B． C． D． 2．若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知a，b为实数，复数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．已知，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．复数的虚部为 A． B． C． D． 6．z是虚数且“，”是假命题，则的值为（   ）. A． B． C． D． 7．复数 .若，则（    ）的值与a、b的值无关. A． B． C． D． 8．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为和，数系扩充后这两个根分别记为和．若，则复数（    ） A． B． C． D． 9．（多选）设i为虚数单位，已知复数，（其中），设，则（    ） A．当时， B．对任意，都有 C．存在，使得 D．存在，使得 10．（多选）已知是虚数，且．下列四个选项中，的可能取值有（    ） A．0 B．i C．1 D． 1．已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－4 3．已知复数，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．若复数满足，则的共轭复数的虚部为 A． B． C． D． 5．设为虚数单位，复数满足 ，则共轭复数的虚部为 A． B． C． D． 6．若复数满足，则复数的共轭复数的模为 A．1 B． C．2 D． 7．对任意，，，下列结论不成立的是（ ） A．当m，时，有 B．当，时，若，则且 C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且 D． 的必要不充分条件是 8．已知是虚数单位，复数，下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数对应的点在第三象限 C．的实部为1 D．的共轭复数的模为1 9．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 10．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．设，则＝（   ） A．－1－i B．－1＋i C．1＋i D．1－i 12．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．设正数，分别是复数的实部、虚部，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 14．数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（，为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，化简的结果为（    ） A．2 B． C． D． 15．z是虚数且“，”是假命题，则的值为（   ）. A． B． C． D． 16．虚数满足等式是（    ） A． B． C． D． 17．复数 .若，则（    ）的值与a、b的值无关. A． B． C． D． 18．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为和，数系扩充后这两个根分别记为和．若，则复数（    ） A． B． C． D． 19．设复数是纯虚数，若是实数，则=（    ） A． B． C． D． 20．若复数的实部与虚部的和为3，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 21．已知a，b为实数，复数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 22．已知，则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．复数的虚部为 A． B． C． D． 24．虚数满足等式是（    ） A． B． C． D． 25．设i为虚数单位，已知复数，（其中），设，则（    ） A．当时， B．对任意，都有 C．存在，使得 D．存在，使得 26．已知是虚数，且．下列四个选项中，的可能取值有（    ） A．0 B．i C．1 D． 27．关于非零复数，及其共轭复数，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 28．已知复数满足（为虚数单位）,则______． 29．给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是________. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $