专题02 复数几何意义及三角形式（5大题型专项训练）数学人教B版必修第四册

专题02 复数的几何意义及三角形式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、复数的几何意义（点与向量对应） 1 题型二、复数几何意义综合应用（距离、最值） 2 题型三、复数范围内一元二次方程的求解 3 题型四、复数三角形式概念及代数与三角互化 4 题型五、复数三角形式的乘除运算 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、复数的几何意义（点与向量对应） 1．设复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在复平面内，若复数对应的点为，则复数的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 3．从复平面的四个象限中取若干点，这些点对应的复数中，实部为正数的复数比实部为负数的多，虚部为正数的复数比虚部为负数的少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 4．已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 6．已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 7．下列关于复数的说法，正确的是（    ） A．复数是最小的纯虚数 B．在复数范围内，模为1的复数共有和四个 C．与是一对共轭复数 D．虚轴上的点都表示纯虚数 8．已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 9．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（    ） A．第一象限 B．实轴上 C．第三象限 D．虚轴上 10．复数（其中是虚数单位）在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（多选）已知复数满足，则（   ） A．的实部是 B．的虚部是 C． D．在复平面内所对应的点位于第二象限 题型二、复数几何意义综合应用（距离、最值） 1．设复数z满足条件，那么的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 3．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（    ）． A． B． C．或2 D．或2 5．（多选）设复数z满足，则以下结论正确的是（    ）． A．z在复平面上对应的轨迹是圆 B．的最大值为2 C．的最小值为0 D．复数z的虚部取值范围是 6．已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 7．若复数z满足，则的取值范围是______. 8．若，则复数在复平面内的点的集合组成的图形是______． 9．已知复数满足，则的最小值为______. 10．某圆形岛屿的边界在复平面中满足方程 ，在点 处有一座灯塔.若一艘船沿岛屿边界航行，则船与灯塔的最大距离为______. 11．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为_________ 12．复平面上的复数z满足，则复数z对应的点的轨迹上的单位向量为________. 13．已知复数，集合所构成区域的面积是__________. 题型三、复数范围内一元二次方程的求解 1．若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 2．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 3．已知复数是关于的方程的一个根，则 （    ） A．25 B．5 C． D．41 4．已知，是方程的两个复根，则（    ） A．2 B．4 C． D． 5．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 6．已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．4 7．下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．对任意一个复数，定义集合，设（为虚数单位），则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．和没有关系 9．（多选）已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（    ） A．可能为纯虚数 B．，，的虚部之积为 C． D．，，的实部之和为2 10．（多选）已知复数满足方程，则（   ） A．可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．可能为 D．方程各根之积为 11．（多选）已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选）已知复数、是方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 13．若实系数方程的一个根是，则__________． 14．已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝______． 15．已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则______． 16．在复数范围内因式分解=___________ 17．若复数满足，是的共轭，则为______． 18．若复数集与相等，则______． 题型四、复数三角形式概念及代数与三角互化 1．复数的辐角主值为（   ） A． B． C． D． 2．复数化成三角形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）下列复数不是三角形式的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（     ） A．的三角形式为 B．若，则实数的值为3 C．，，……，中有44个正整数 D． 6．_____________． 7．将复数化为代数形式为_________． 【详解】． 8．将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 9．在复平面中，已知，，复数，对应的点分别为，，且满足，则的最大值为______． 10．定义：复数（）的三角形式为，其中，，是复数的模，是复数的辐角，规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作. (1)求出方程的所有复数根，并求这些根的辐角的主值； (2)已知，，求. 题型五、复数三角形式的乘除运算 1．的结果是（   ） A． B． C． D． 2．任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 3．设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 故选：A 4．（多选）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）欧拉公式是瑞士数学家欧拉在复变函数领域的突出成就，它是最完美的数学公式之一．在这个公式中，当时，它就是欧拉恒等式，它将这五个神奇的数字包含其中，在数学爱好者眼里，宛若一行诗，道尽了数学的美好． 复数可以用表示出来，称为复数的指数形式（其中称为复数的模，是以实轴非负半轴为始边，以表示的向量为终边的角，称为复数的辐角），利用复数的指数形式，可以求诸如方程的根．如，设，则，由两个复数相等的条件可知，所以，当时，，当时，，方程的的根是．依此方法可以求得方程的三个根是1，，则下列结论正确的是（   ） A． B．复平面上表示，的点关于虚轴对称 C． D．，互为共轭复数 6．若，则________. 7．___________. 8．已知复数，则________. 9．在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以轴为始边，为终边，旋转角度为，则.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：对于复数，有.由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式，已知，则______. 10．欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，若复数，则的虚部为________． 故答案为： 11．若正整数满足（为虚数单位），则的最小值为_____． 1．设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（    ） A．只有纯虚数根 B．只有实数根 C．有两个实数根，两个纯虚数根 D．既没有实数根，也没有纯虚数根 2．若，则（    ） A． B． C． D． 故选：D． 3．设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 5．（多选）已知复数 ，则（    ） A．不可能为实数 B．不可能为纯虚数 C．在复平面内表示的点不可能在第一象限 D．恒成立 6．（多选）已知复数，，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内，所对应的点位于第二象限 B．若，则， C．若，则为纯虚数 D．若，则的取值范围为 7．（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 8．在复平面内，将复数对应的向量绕坐标原点沿逆时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为______. 9．已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 10．已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 故答案为：. 11．如果复数满足，那么的最大值是___________. 12．在复平面上，复数2和所对应的点分别为，复数所对应的点在线段上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为___________． 13．若z是复数，则的最小值为______； 14．在复数范围内分解因式______． 15．设方程的两个根为，且，则实数m的值是________. 16．若实系数方程有一个虚数根的模为4，则实数的取值范围为___________． 17．设不全相等的三个复数满足方程．记复平面上以为顶点的三角形三边的长从小到大依次为，则_____． 18．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第____象限. 19．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)若函数的对称中心为，求函数的解析式． (2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系． ①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值； ②若，函数的零点分别为，求的值. 20．材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： (1)对于方程在复数集内的根为，求的值； (2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； (3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 21．已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求. 22．我们把（其中）称为一元次多项式方程.代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程（即为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积.即，其中，为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式必可分解因式.例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，. (1)在复数集内解方程：； (2)设，其中，且. （i）分解因式：； （ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证：当时，. 【点睛】关键点点睛：最后小问关键点在于借助所得因式分解，构造函数，借助二次函数的性质可得函数必有两个不同零点、，且满足. 23．一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设． (1)证明：； (2)若，求的值； (3)证明：． 24．人教A版必修2教材第81页阐述一个数学定理——代数基本定理：，任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根，且在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.比如：. (1)写出方程的复数根； (2)下面我们探究1的立方根和四次方根的几何性质.我们知道1的立方根有3个，可分别表示成，它们对应点将单位圆三等分；1的四次方根有四个，可以分别表示成，. （i）根据上述探究，请你猜想并证明1的5次方根；提示：若，则 （ii）求的值（用表示）. 25．定义“变换”如下：设是一个关于复数z的表达式，若，则称复平面内点经过“变换”得到点.例如当时，点经过“变换”得到. (1)已知复数可以写成()，若()，求点经过“变换”得到的点的坐标； (2)若()，设直线，是否存在，使得直线上的任意一点“变换”到点后，点都在函数（其中为的反函数）的图象上？若存在，试求出有序实数对及此时的值；若不存在，请说明理由； (3)设()，其中.集合，，若对于集合中任意的复数在复平面内所对应的点经过“变换”后得到的点都是集合内的元素，求的取值范围.（分别为复数的实部与虚部） 26．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中r为复数z的模，叫做复数z的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式（辐角取主值）． (2)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数． ①当时，解关于x的方程； ②当时，若存在实部不为0，且虚部大于0的复数x和实数M，使得成立，复数x在复平面上对应的点为A，点，以为边作等边，且Q在的上方，求线段的最大值． 27．欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即 .欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当时，得到等式，数学里最重要的五个常数被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. (1)证明：若，则与互为共轭复数； (2)已知，欧拉公式在复数集内可推广为 ，需要指出的是，和是复数，它们不是的实部和虚部，且.容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即.定义函数， .证明：； (3)若，令，证明：. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 复数的几何意义及三角形式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、复数的几何意义（点与向量对应） 1 题型二、复数几何意义综合应用（距离、最值） 4 题型三、复数范围内一元二次方程的求解 8 题型四、复数三角形式概念及代数与三角互化 14 题型五、复数三角形式的乘除运算 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、复数的几何意义（点与向量对应） 1．设复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】计算，即可根据复数的几何意义求解. 【详解】不妨设，，，则， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选:C. 2．在复平面内，若复数对应的点为，则复数的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义写出复数，即得其虚部. 【详解】由题意得，故复数z的虚部为. 故选：A． 3．从复平面的四个象限中取若干点，这些点对应的复数中，实部为正数的复数比实部为负数的多，虚部为正数的复数比虚部为负数的少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【答案】D 【分析】根据复平面内各象限点的特征，结合已知条件中实部、虚部正负的数量关系，通过设未知数列出不等式，进而比较各象限点的数量关系. 【详解】设第一、二、三、四象限的点分别有个. 均为正数. 在复平面中，第一、四象限的点实部为正，第二、三象限的点实部为负. 已知实部为正数的复数比实部为负数的多，则可得. 在复平面中，第一、二象限的点虚部为正，第三、四象限的点虚部为负. 已知虚部为正数的复数比虚部为负数的少，则可得. 由 ， 所以.即第二象限点比第四象限点少. 根据条件，无法判断与，与，与的大小关系. 故选：D. 4．已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数对应的点位于第二象限，得出实部小于0，虚部大于0，列出不等式组，求出解集即可. 【详解】易得在复平面内对应的点为， 由题意可得，解得． 故选：B． 5．在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 6．已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义，由复数对应点代入直线方程可求得，即可得出结果. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 代入直线，可得，即， 则，在复平面内对应的点为. 故选：C 7．下列关于复数的说法，正确的是（    ） A．复数是最小的纯虚数 B．在复数范围内，模为1的复数共有和四个 C．与是一对共轭复数 D．虚轴上的点都表示纯虚数 【答案】C 【分析】根据复数相关概念一一判定即可. 【详解】虚数不能比大小，故A错误； 对于复数，但凡满足，其模均为1，显然不仅四个，比如时，，故B错误； 由共轭复数的定义可知C正确； 原点也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误. 故选：C 8．已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 【答案】D 【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案. 【详解】由题意得，则点P不在实轴上，则C错误，D正确， 若，则A错误，若，则其在虚轴上，则B错误， 故选：D. 9．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（    ） A．第一象限 B．实轴上 C．第三象限 D．虚轴上 【答案】B 【分析】求得，以及对应点的坐标，从而确定正确答案. 【详解】由于， 所以， 所以对应点的坐标为，在实轴上. 故选：B 10．复数（其中是虚数单位）在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先对复数进行分母实数化，化简得到实部和虚部，再根据对应点的坐标符号判断其在复平面的象限. 【详解】对复数的分子分母同乘，得，继续化简得， 复数对应的点坐标为，该点位于第四象限. 故选：D 11．（多选）已知复数满足，则（   ） A．的实部是 B．的虚部是 C． D．在复平面内所对应的点位于第二象限 【答案】AD 【分析】根据复数除法运算可化简得到，由共轭复数、复数的实部和虚部定义、复数模长运算与几何意义依次判断各个选项即可. 【详解】； 对于A，由实部定义知：的实部为，A正确； 对于B，，的虚部是，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，对应的点为，位于第二象限，D正确. 故选：AD. 题型二、复数几何意义综合应用（距离、最值） 1．设复数z满足条件，那么的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设复数z在复平面对应的点为， 因为，所以， 因此点在单位圆上， 因为，设复数在复平面对应的点为， 所以表示圆上的点到点的距离， 因此的最大值为. 2．已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】求出对应的坐标，消去，即可得到点的轨迹. 【详解】设对应点的坐标为，则， 消去得，则点的轨迹为圆． 故选：B． 3．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由图即可判断. 【详解】设，由得， 可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）. 由图知圆显然不经过第三象限，故复数在复平面上不可能位于第三象限. 故选：C. 4．在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（    ）． A． B． C．或2 D．或2 【答案】D 【分析】由题意得点，，，在以原点为圆心、半径为的圆上，进一步列方程即可求解. 【详解】在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为， 得到对应的以原点为始点的向量依次为， 则， 可得，同理可得， 因为复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上， 所以这些点都在以原点为圆心、半径为的圆上， 所以，解得. 故选：D. 5．（多选）设复数z满足，则以下结论正确的是（    ）． A．z在复平面上对应的轨迹是圆 B．的最大值为2 C．的最小值为0 D．复数z的虚部取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用复数的模的几何意义，可判断A，应用不等式的性质判断B，C，把点的坐标代入，特殊值法可判断D. 【详解】设（为虚数单位），则表示点与之间的距离. 对于A，z在复平面上对应的轨迹是以为圆心以1为半径的圆，故A正确； 对于B， ，当时即可取最大值，故B正确； 对于C，，当时即可取最小值，故C正确； 对于D，因为，则符合题意，故D错误. 故选：ABC. 6．已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 【答案】4 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上， 而表示圆上的点到定点的距离， 圆心到定点距离为： 所以（是虚数单位）的最小值为：. 7．若复数z满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先根据复数几何意义得到复数z所表示的点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的圆，进而得到的几何意义即可求解. 【详解】设复数，，， 因为，所以，即复数z所表示的点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的圆， 则的几何意义是圆上点到的距离， 因为到圆心的距离为， 所以的取值范围是. 故答案为： 8．若，则复数在复平面内的点的集合组成的图形是______． 【答案】原点为圆心，半径为3的圆及其内部 【分析】设，依题意得，进而得到答案. 【详解】设，则， 所以，即， 所以复数在复平面内的点的集合组成的图形是原点为圆心，半径为3的圆及其内部， 故答案为：原点为圆心，半径为3的圆及其内部 9．已知复数满足，则的最小值为______. 【答案】4 【分析】利用复数的几何意义，转化为圆外的点与圆上点的距离问题． 【详解】，即，由复数的几何意义知， 复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 而的几何意义是：复数对应的点与点的距离． 又，点在圆外， 所以的最小值为． 故答案为：4． 10．某圆形岛屿的边界在复平面中满足方程 ，在点 处有一座灯塔.若一艘船沿岛屿边界航行，则船与灯塔的最大距离为______. 【答案】3 【分析】由题意可得的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，则点 处的灯塔与船的距离等价于点到圆上的距离，即可求解. 【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因为， 所以的最大值为. 故答案为：3. 11．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为_________ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义确定图形，再求出面积. 【详解】由复数的几何意义知，不等式表示以原点为圆心，1和为半径的两个圆构成的圆环， 所以复数对应的点所构成的图形面积为. 故答案为： 12．复平面上的复数z满足，则复数z对应的点的轨迹上的单位向量为________. 【答案】 或 【分析】设，由题可得，再设满足题意的向量为，有，据此可得答案. 【详解】设，由题可得， 设复数z对应的点的轨迹上的单位向量为，则. 则 则， 则或，又，则. 故答案为： 或 13．已知复数，集合所构成区域的面积是__________. 【答案】 【分析】运用复数的几何意义画图计算即可. 【详解】设，已知可得，即点在以原点为圆心，为半径的圆上，如图圆2. 设，，， 表示点两点之间的距离为2. 则集合所表示的图形是以点为圆心，6为半径的圆的大圆3和以点为圆心，2为半径的小圆1之间的圆环部分. 其面积为： 集合所构成区域的面积是.    故答案为： 题型三、复数范围内一元二次方程的求解 1．若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实系数方程的虚根成共轭复数求解即可. 【详解】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为. 故选：B． 2．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合选项，逐个进行验证即可得到答案. 【详解】显然0是它的一个解，不是它的解； 由于，； 所以也是它的解； 故选：C. 3．已知复数是关于的方程的一个根，则 （    ） A．25 B．5 C． D．41 【答案】C 【分析】将代入原方程，然后根据复数相等求解出的值，则可求. 【详解】因为复数是关于的方程的一个根， 所以，所以， 所以，所以， 则， 故选：C. 4．已知，是方程的两个复根，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】利用求根公式求出两个复根，然后利用复数的运算法则及模的公式直接计算即可. 【详解】已知，是方程的两个复根，所以， 则设，，所以， 故选：B. 5．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的性质和判别式求解即可. 【详解】因为关于x的实系数方程的两虚根为a，b， 所以，即. 因为，， 所以，而， 所以，两边平方得，解得. 故选：C. 6．已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】解方程求出两个复数根，从而可得、两点的坐标，再求出，进而可得三角形的面积 【详解】解：方程的根为， 即，， 所以， 所以，， ， 所以， 所以， 故选：B 7．下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据复数的性质有可知①的正误，，负数是实数的概念可知②的正误，复数相等时注意参数可判断③的正误. 【详解】①由，则是的一个平方根，正确； ②是一个虚部为的纯虚数，实数分正数、0、负数，错误； ③如果，当时，当时不一定，错误； 故正确命题为1个. 故选：B 8．对任意一个复数，定义集合，设（为虚数单位），则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．和没有关系 【答案】C 【分析】根据的性质化简集合与，再进行判定选择. 【详解】因为，所以 ， 所以， 故选：C 【点睛】本题考查的性质以及集合相等的判定，考查基本分析化简判断能力，属基础题. 9．（多选）已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（    ） A．可能为纯虚数 B．，，的虚部之积为 C． D．，，的实部之和为2 【答案】ABD 【分析】根据复数的基本概念，复数的模等知识容易求解. 【详解】因为，其三个不同的复数根为：，， 当时，此时为纯虚数，故A正确； 因为三个根的虚部分别为1，，，三个虚部乘积为，故B正确； 根据模长定义，，故C不正确； 因为三个根的实部分别为0，1，1，三个实部之和为2，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选）已知复数满足方程，则（   ） A．可能为纯虚数 B．方程各根之和为4 C．可能为 D．方程各根之积为 【答案】BCD 【分析】解方程，求出或，从而判断四个选项的正误即可. 【详解】由， 得或， 即或， 解得或，显然A错误，C正确； 各根之和为，B正确； 各根之积为，D正确， 故选：BCD． 11．（多选）已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A，由题知，方程的两根为，则，正确； 对B，若，则， 若，则，错误； 对CD，由韦达定理可知，，，C错误，D正确. 12．（多选）已知复数、是方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】AD 【详解】实系数一元二次方程的虚根共轭成对，因此，A正确 由韦达定理可知，，所以B错误； ，C错误， ，可得，由韦达定理可知，所以， D正确. 13．若实系数方程的一个根是，则__________． 【答案】1 【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可得结果. 【详解】解：因为关于的实系数方程的一个根是，所以另一个根为， 根据韦达定理可得，所以. 又，所以，所以 故答案为：. 14．已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝______． 【答案】19 【分析】由题意可得方程的另一个根为，然后利用根与系数的关系可求出的值，从而可求出 【详解】因为是关于x的方程的一个根， 所以是方程的另一个根， 所以，解得， 所以， 故答案为：19 15．已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则______． 【答案】0 【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解. 【详解】是关于的方程的一个根， 是关于的方程的另一个根， 则，即， ， . 故答案为：0 16．在复数范围内因式分解=___________ 【答案】2[x﹣（）][x﹣（）] 【分析】根据在复数范围内解实系数的一元二次方程的方法，求得的两个根，即可对 进行因式分解． 【详解】由于判别式△＝1﹣16＝﹣15＜0，∴＝0的两个根为 ∴＝2[x﹣（）][x﹣（）]， 故答案为2[x﹣（）][x﹣（）] 【点睛】本题主要考查在复数范围内解实系数的一元二次方程的方法，属于基础题． 17．若复数满足，是的共轭，则为______． 【答案】0 【分析】根据韦达定理求出方程的根，进而得出，代入化简即可. 【详解】由韦达定理可知，是实系数一元二次方程的两个根， 解得，则， 则. 18．若复数集与相等，则______． 【答案】 【分析】根据集合的相等得到，将两集合消元得．推理得到为三次单位根，利用的性质计算即可. 【详解】复数集与相等， 易得，若或，会导致集合中有重复元素或两集合不相等，均舍去； 则有，即．则即． 因为，则有．故为三次单位根，则． 此时． 故集合满足条件，则． 因为，所以原式． 题型四、复数三角形式概念及代数与三角互化 1．复数的辐角主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数诱导公式，将复数整理成标准的三角形式即可. 【详解】由题意得， 即复数为， ． 故选：D. 2．复数化成三角形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出复数的辐角，即可得其三角形式. 【详解】复数对应的点为，. 设复数的辐角为，则. 因为点在第四象限，所以的一个值为. 所以复数化成三角形式为. 故选：C. 3．设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合复数的三角形式，可设，，化简整理后比较系数即可求得的值，进而可求得复数. 【详解】由题意设，， 所以有， 即 所以，即， 则， 故选：D. 4．（多选）下列复数不是三角形式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据复数的三角形式基本格式对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，易知复数的三角形式为，显然A不符合该形式，即A不是复数的三角形式； 对于B，因为，显然，因此辐角主值应为，因此B不是复数的三角形式； 对于C，显然符合复数的三角形式； 对于D，易知，由于，辐角主值应为，因此D不是复数的三角形式； 故选：ABD 5．（多选）已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（     ） A．的三角形式为 B．若，则实数的值为3 C．，，……，中有44个正整数 D． 【答案】BC 【分析】对于A，直接代入结合复数三角形式即可求解；对于B，根据复数运算得的虚部为，再由复数的概念即可求；对于C，根据题意，先求得，再判断即可；对于D，由即可判断． 【详解】对于A，当时，， 则对应的三角形式为，故A错误； 对于B， ， 又， 所以， 则的虚部为， ，，解得，B正确； 对于C，先求，根据复数模的性质：若，则， 对于，模为， 所以 ， 要使为正整数，则必须是完全平方数， 即（），则， 因为，所以，即， 因为，，， 又因为，所以，故， 所以从到，共个正整数，选项C正确； 对于D，由， ， ， ，故D错误． 故选：BC． 6．_____________． 【答案】 【分析】求出复数在复平面内的点的坐标，根据坐标得到此复数的辐角主值. 【详解】，，点在y轴正半轴，故． 故答案为：. 7．将复数化为代数形式为_________． 【答案】 【详解】． 8．将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 【答案】 【分析】根据复数的三角表示式进行求解即可. 【详解】由题意得，，． 所以将所表示的向量逆时针旋转，所得向量对应的复数为． 根据复数乘法的几何意义，旋转角。该值满足. 故答案为：. 9．在复平面中，已知，，复数，对应的点分别为，，且满足，则的最大值为______． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，由，分析得是边长为的等边三角形，写出坐标再利用数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题. 【详解】因为复数对应的点为，且， 所以是边长为的等边三角形，为坐标原点，设， 则的坐标为或， 因为，，则， 当时， ， 令，由辅助角公式得， ，故， 因此， 故取得最大值：； 当时， ， 令，由辅助角公式得， ，故， 因此，故取得最大值：； 综上所述，的最大值为. 10．定义：复数（）的三角形式为，其中，，是复数的模，是复数的辐角，规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作. (1)求出方程的所有复数根，并求这些根的辐角的主值； (2)已知，，求. 【答案】(1)复数根分别为，，主值分别为， (2) 【分析】（1）根据题意，求得方程的根，，结合辐角主值的计算方法，即可求解； （2）根据三角恒等变换的公式，化简得到，结合辐角主值的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，方程，即，解得，即， 故方程的所有复数根为，， 对于复数，可得，所以，又由，则； 对于，可得，所以，又由，则， 故，的辐角的主值分别为和. （2）由题意，可得 ， 所以，解得，所以. 题型五、复数三角形式的乘除运算 1．的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的除法运算并结合两角和差的正余弦公式化简即可. 【详解】 . 故选：C 2．任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由棣莫弗定理可知，若，则，求出，代入公式化简即可. 【详解】由棣莫弗定理可知，若，则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 3．设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案. 【详解】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A 4．（多选）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据所给公式逐一验算各个选项即可得解. 【详解】由题可得，，，， 故选：ABD． 5．（多选）欧拉公式是瑞士数学家欧拉在复变函数领域的突出成就，它是最完美的数学公式之一．在这个公式中，当时，它就是欧拉恒等式，它将这五个神奇的数字包含其中，在数学爱好者眼里，宛若一行诗，道尽了数学的美好． 复数可以用表示出来，称为复数的指数形式（其中称为复数的模，是以实轴非负半轴为始边，以表示的向量为终边的角，称为复数的辐角），利用复数的指数形式，可以求诸如方程的根．如，设，则，由两个复数相等的条件可知，所以，当时，，当时，，方程的的根是．依此方法可以求得方程的三个根是1，，则下列结论正确的是（   ） A． B．复平面上表示，的点关于虚轴对称 C． D．，互为共轭复数 【答案】ACD 【分析】根据题干所给出的新定义判断各个选项即可． 【详解】A．设，因为，所以，所以， 所以．所以．所以，， 所以，，因此A正确． B．复平面上表示，的点关于实轴对称，因此B不正确； C．，因此C正确； D．由A的解析可知：互为共轭复数，因此D正确． 故选：ACD． 6．若，则________. 【答案】 【分析】根据复数三角形式的运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】因为， 根据复数的运算法则，可得. 故答案为：. 7．___________. 【答案】 【分析】利用三角形式的复数乘法运算求解. 【详解】. 故答案为： 8．已知复数，则________. 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用复数乘法的三角表示求出，进而求出模. 【详解】复数， 所以. 故答案为：1 9．在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以轴为始边，为终边，旋转角度为，则.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：对于复数，有.由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式，已知，则______. 【答案】16 【分析】利用棣莫弗定理可求出复数z，继而可得，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 故，， 故答案为：16 10．欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，若复数，则的虚部为________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出复数的代数形式即可得解. 【详解】由题意可得， 所以的虚部为. 故答案为： 11．若正整数满足（为虚数单位），则的最小值为_____． 【答案】18 【分析】使用三角恒等变换化简得，再使用棣莫弗公式得，因为该式为实数，则，进而可求的最小值. 【详解】 由棣莫弗公式得 上式为实数当且仅当，即，即， 故所求的最小值为18． 故答案为：18. 1．设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（    ） A．只有纯虚数根 B．只有实数根 C．有两个实数根，两个纯虚数根 D．既没有实数根，也没有纯虚数根 【答案】D 【分析】根据题意假设是方程的根，进而代入得，同号，再求得，即可判断求得答案. 【详解】解：因为关于x的方程有纯虚数根，不妨设为， 所以，即， 所以，所以，同号， 所以， 所以， 令，所以，即 因为， 所以， 所以不可能为纯虚数，也不可能为实数， 所以关于x的方程既没有实数根，也没有纯虚数根 故选：D 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，配方得，进而得，，解得，结合即可． 【详解】由题知，，即， ， ，又时，， ，即， ， 得，即， ． 故选：D． 3．设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是实系数一元二次方程的两个根，是共轭虚数,是实数,结合共轭复数的运算性质,可得是1的立方虚根,再由1的立方虚根的特性,可得答案. 【详解】是实系数一元二次方程的两个虚数根, ,是实数, , ,即或，而 . 故选:C 【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚数根的关系,以及共轭复数的运算关系.对特殊复数的性质 的灵活应用是解题的关键,属于难题. 4．（多选）下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【详解】对于A，也满足，A错误． 对于B，因为，，所以，B正确． 对于C，复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，C正确． 对于D，复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，D正确． 5．（多选）已知复数 ，则（    ） A．不可能为实数 B．不可能为纯虚数 C．在复平面内表示的点不可能在第一象限 D．恒成立 【答案】BCD 【分析】A：考虑且时的情况；B：计算出的范围并判断；C：根据的范围作出判断；D：计算出的范围，则的范围可知. 【详解】选项A：当且时，为实数，故A错误； 选项B：因为，所以，所以的实部不为，所以不可能为纯虚数，故B正确； 选项C：因为，所以在复平面内表示的点在虚轴的左侧，故C正确； 选项D：因为，所以， 又因为，所以， 所以，故D正确； 故选：BCD. 6．（多选）已知复数，，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内，所对应的点位于第二象限 B．若，则， C．若，则为纯虚数 D．若，则的取值范围为 【答案】BD 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故A错误； ，若，则，，故B正确； 当时，满足，但，是实数而非纯虚数，故C错误； ， 所以在复平面内对应的点在圆心为、半径为1的圆上， 又，所以的取值范围为，故D正确. 7．（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 【答案】AD 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】由题意可得， 所以的实部为，虚部为，， 复数对应的点为，在第一象限， 故选：AD 8．在复平面内，将复数对应的向量绕坐标原点沿逆时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为______. 【答案】 【详解】复数对应的向量为，则点A位于第二象限，， 向量与x轴正半轴的夹角为， 设该向量绕原点沿逆时针方向旋转后所得向量的坐标为， 则，， 即所得向量的坐标为，所以旋转后的向量对应的复数为. 9．已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 【答案】 6 4 【分析】根据复数的几何意义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】令，则． 因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图， 易知，圆上的点A所对应的复数的模最大，为，圆上的点B所对应的复数的模最小，为， 所以复数的模的最大值和最小值分别为6和4． 故答案为：6；4 10．已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 【答案】/90° 【分析】利用复数的三角形式的几何意义，设旋转角为，根据复数相等列出方程，求解即得. 【详解】因，则， 设将向量按逆时针方向旋转角，可得到复数对应的向量， 则由，化简得：， 故有，解得，故得， 依题意求最小正角，则. 故答案为：. 11．如果复数满足，那么的最大值是___________. 【答案】 【分析】首先将看作是点到两点距离之和为3，然后判断点的轨迹，然后将看作是点到点的距离，最后根据图象即可计算的最大值. 【详解】复数满足， 将其可以看作是点到两点距离之和为3. 因为，所以点的轨迹为线段. 而表示的是点到点的距离， 要求其距离的最大值，则根据图象可知点到点的距离最大， 即. 故答案为：. 12．在复平面上，复数2和所对应的点分别为，复数所对应的点在线段上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为___________． 【答案】 【分析】设复数所对应的点为，设复数所对应的点为，由得到点的轨迹为：以线段为中线，宽度为的矩形，加上两端为圆心，半径为的两个半圆，利用矩形和圆的面积公式求解即可. 【详解】 复数2和所对应的点分别为，， 设复数所对应的点为，设复数所对应的点为， ，，点轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 点在线段上移动，点的轨迹为：以线段上的点为圆心，半径为的圆的并集， 即点的轨迹为：以线段为中线，宽度为的矩形，加上两端为圆心，半径为的两个半圆， ，， 复数对应点所构成图形的面积为. 故答案为：. 13．若z是复数，则的最小值为______； 【答案】 【分析】根据复数减法的几何意义，即求到三点距离之和的最小值问题，利用加权费马点的知识，可求出三个距离之和的最小值. 【详解】, 在复平面中，设点， 则，且为等边三角形，如图，将逆时针旋转得到，， ，又，所以， ， 故答案为：. 14．在复数范围内分解因式______． 【答案】 【分析】利用平方差公式以及复数运算来求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 15．设方程的两个根为，且，则实数m的值是________. 【答案】0或2 【分析】当为实数根时，利用根与系数关系即可求出结果； 当为虚数根时，原方程的根是，利用复数模的定义即可求出结果. 【详解】当为实数根时， 方程的两个根为， ， ， ， ； 当为虚数根时，原方程的根是， ， ， 或， 故答案为：0或2. 16．若实系数方程有一个虚数根的模为4，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为和，则，结合，再由可求b的取值范围. 【详解】由题意可知实系数方程有两个虚数根， 设实系数一元二次方程的两个虚数根为和， 则. 所以，则， 实系数方程有虚数根， 则 , 则实数的取值范围为. 17．设不全相等的三个复数满足方程．记复平面上以为顶点的三角形三边的长从小到大依次为，则_____． 【答案】 【分析】配方可得，设，可得，计算可求得，进而可得，可求得结论. 【详解】 设， 则 ，同理可得 所以． 故答案为：. 18．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第____象限. 【答案】四 【分析】根据欧拉公式及复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由题意得， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故答案为：四. 19．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)若函数的对称中心为，求函数的解析式． (2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系． ①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值； ②若，函数的零点分别为，求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）确定为奇函数，根据得到，解得答案； （2）①根据根与系数的关系确定，代入计算得到，根据范围得到最值；②取变换得到，得到根与系数的关系，确定，计算得到答案. 【详解】（1）由为奇函数，则恒成立. 即， 整理得：恒成立，故，解得， 故. （2）①若，则，由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为； ②时，，由有， 同时除以得，令，，， 由题知是方程的三个根， 则， 展开得，， 则. 【点睛】方法点睛：整体换元法可以简化分式的大部分运算，也体现了数学中转化思想. 20．材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： (1)对于方程在复数集内的根为，求的值； (2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； (3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题中阅读材料按公式求得三个根之间的关系，再计算的值； （2）根据题意推广得到一元四次方程根与系数的关系； （3）由题有的三个实根为，设，右侧展开利用对应系数相等得，计算并结合即可求最大值． 【详解】（1）由阅读材料可知：，且， 有：； （2）由材料可知：一元四次方程可改写为展开得： ， 故可得：. （3）由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为, 21．已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据题意可得，从而可求； （2）设，依题意可得，，从而得到，，对赋值，可求出复数的值所组成的集合； （3）依题意得，即方程的根为，分析可得，再令即可求解. 【详解】（1）依题意，， 所以 ， ∴. （2）设，则 因此，，则，，解得，， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为0，，，，，. 因此对应的依次为1，，，，，， 所以所求的集合是. （3）当时，，， 则，，， 因此关于的方程的根为，则， 又，，，…， 由此，则， 令，得， 而2019为奇数，所以. 22．我们把（其中）称为一元次多项式方程.代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程（即为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积.即，其中，为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式必可分解因式.例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，. (1)在复数集内解方程：； (2)设，其中，且. （i）分解因式：； （ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证：当时，. 【答案】(1)、 (2)（i）；（i）证明见解析 【分析】（1）结合题意，观察可得是方程的一个根，借助待定系数法计算即可得； （2）（i）结合题意，观察可得是方程的一个根，借助待定系数法计算即可得；（ii）借助所得因式分解，构造函数，借助二次函数的性质及韦达定理可得函数必有两个不同零点、，且满足. 【详解】（1）观察可知，是方程的一个根， 则一定是多项式的一个因式， 即， 即有，解得， 即， 令，则， 即该方程的根为：、； （2）（i）观察可知，是方程的一个根， 则一定是多项式的一个因式， 即， 则有，即， 即； （ii）令，即， 即， 设，由， 有，故函数必有两个不同零点， 设，且，则，故， 又， 故，则方程的根有、、，且， 故的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点的横坐标为，即. 【点睛】关键点点睛：最后小问关键点在于借助所得因式分解，构造函数，借助二次函数的性质可得函数必有两个不同零点、，且满足. 23．一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设． (1)证明：； (2)若，求的值； (3)证明：． 【答案】(1)详见解析； (2)1 (3)详见解析. 【分析】（1）设，利用复数的运算和模公式求解； （2）由，求得 ，根据求解； （3）根据棣莫弗定理公式得到验证即可. 【详解】（1）设， 则， ， ，则，而， 所以； （2）已知， 则， 所以， ， 因为，所以，即，解得； （3）由棣莫弗定理公式， 得， ； ， ； ， ， 则，， 所以. 24．人教A版必修2教材第81页阐述一个数学定理——代数基本定理：，任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根，且在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.比如：. (1)写出方程的复数根； (2)下面我们探究1的立方根和四次方根的几何性质.我们知道1的立方根有3个，可分别表示成，它们对应点将单位圆三等分；1的四次方根有四个，可以分别表示成，. （i）根据上述探究，请你猜想并证明1的5次方根；提示：若，则 （ii）求的值（用表示）. 【答案】(1) (2)（i）答案见解析；（ii） 【分析】（1）由题意有，进而求解； （2）（i）根据已知先求1的5次方根，再验证即可； （ii）利用诱导公式先化简，由代数基本定理得，代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意有， 所以； （2）（i）由已知有1的5次方根为：易知是方程的根， 由提示，，则是方程的根， 又， 依次类推均为1的五次方根，命题得证； （ii） （*）， 由（2）易证：若，则均为方程的根. 由代数基本定理可知， 所以， 所以 又均为方程的根，， 所以， 则（*）等于， 因为， 所以 . 25．定义“变换”如下：设是一个关于复数z的表达式，若，则称复平面内点经过“变换”得到点.例如当时，点经过“变换”得到. (1)已知复数可以写成()，若()，求点经过“变换”得到的点的坐标； (2)若()，设直线，是否存在，使得直线上的任意一点“变换”到点后，点都在函数（其中为的反函数）的图象上？若存在，试求出有序实数对及此时的值；若不存在，请说明理由； (3)设()，其中.集合，，若对于集合中任意的复数在复平面内所对应的点经过“变换”后得到的点都是集合内的元素，求的取值范围.（分别为复数的实部与虚部） 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)或. 【分析】（1）根据给定定义及函数关系求解. （2）根据变换的定义及点与直线关系，建立恒成立的方程，进而求得方程组的解. （3）根据给定变换求出，再利用的几何意义建立不等式组，进而求出范围. 【详解】（1）依题意，点P对应的复数为， ，则点Q对应的复数为，所以. （2）设点P对应的复数为， 则点Q对应的复数， 点Q坐标为， 由点P在直线上，得， 的反函数为， 将点Q的坐标带入中得， 代入并整理得到， 由对于任意的该方程都成立，得， 解得或， 所以有序实数对为，或，. （3）设，则， ， 因此复数z经过“变换”后在复平面内得到的点的集合是一个圆心为、 内半径为、外半径为的一个圆环中辐角在内的部分， 又该部分点集是集合的子集，且， 则或， 解得或， 所以的取值范围是或. 26．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中r为复数z的模，叫做复数z的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式（辐角取主值）． (2)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数． ①当时，解关于x的方程； ②当时，若存在实部不为0，且虚部大于0的复数x和实数M，使得成立，复数x在复平面上对应的点为A，点，以为边作等边，且Q在的上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)①；②线段的最大值为3. 【分析】（1）根据复数代数形式与三角形式的对应关系求解；（2）将等边三角形转化为绕顺时针方向旋转得到，利用复数的三角形式进行运算，然后得到点坐标，再求的最大值. 【详解】（1）由，且，，解得：， 所以的三角形式为：. （2）①当时，，整理得， 解得： ； ②设， 则当时， 因为存在实数，使得成立，所以， 因为，所以， 此时，符合题意， 所以点的轨迹方程为，即的轨迹是单位圆的一部分. 设，表示的复数为，表示的复数为， 因为，所以， 因为， 所以 ， 因为， 所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值. 【点睛】新定义问题，要准确理解定义，并将所求问题转换为新定义内容去解决. 27．欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即 .欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当时，得到等式，数学里最重要的五个常数被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. (1)证明：若，则与互为共轭复数； (2)已知，欧拉公式在复数集内可推广为 ，需要指出的是，和是复数，它们不是的实部和虚部，且.容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即.定义函数， .证明：； (3)若，令，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据欧拉公式展开复数，得出与实部相同，虚部相反，满足共轭复数定义；（2）运用双曲函数和三角函数的转换关系，，应用三角函数加法公式计算；（3）把已知条件代入复数表达式，分离实部和虚部，利用构造方程，得出结论. 【详解】（1）证明：， 的实部为，虚部为 又的实部为，虚部为 与实部相同，虚部相反，互为共轭复数. （2）代入双曲函数定义，应用三角函数加法公式： （3）代入已知复数表达式并分离实部与虚部： 由， ， 得， 由，整理得 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $