第十章 复数（知识清单）数学人教B版必修第四册

第10章 复数 一、复数的概念 1.虚数单位：规定 ， 称为虚数单位； 可与实数进行四则运算，运算时原加、乘运算律不变． 2.复数的定义：形如 的数叫复数；为实部（ ）， 为虚部（）． 3.复数的分类 实数：；虚数：；纯虚数： 且 ；非纯虚数： 且 4.复数相等：⟺ 且 特别： ⟺ 且 二、复数的几何意义 1.复平面：以 轴为实轴、 轴为虚轴的直角坐标系；复数 对应点 、对应向量 ． 2.复数的模：，几何意义：点 到原点距离． 3.共轭复数： 的共轭复数是；性质：，，． 三、复数的运算 1.加减运算 设 加法： 减法： 运算律：交换律、结合律成立． 2.乘法运算 法则： 的幂周期：，周期为 4 运算律：交换、结合、分配律成立 3.除法运算 （分母实数化：乘分母共轭） 四、复数的三角形式 1.三角形式： （模）； 为辐角；为辐角主值，记作 2.三角形式运算 乘法：（模相乘，辐角相加） 除法：（模相除，辐角相减） 五、复数的几何意义与应用 1.两点距离： 对应复平面两点距离 2.轨迹： 为以 对应点为圆心、 为半径的圆 六、核心考点与易错点 1.纯虚数：实部=0且虚部≠0（ 是实数） 2.复数（非全实）不能比较大小 3.除法必分母实数化 4.三角形式要求：，同角余弦+正弦． 易错01 混淆虚部的定义 错误：认为复数（）的虚部是，而非． 注意：虚部的定义是复数中“的系数”，且必须是实数，即（不含）．如：的虚部是，不是． 1．复数的实部与虚部的和是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【详解】因为复数的实部为1，虚部为，所以实部与虚部的和是. 故选：C. 2．已知复数的实部与复数的虚部相等，则实数等于（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【详解】由复数的实部与复数的虚部相等，且为实数，所以. 故选：D. 3．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的虚部为的实部为， 所以所求复数为. 故选：A 4．若复数是实数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为复数是实数，则，解得. 故选：C. 5．已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为， 因为复数的实部与虚部之积大于0， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 易错02 误判纯虚数的条件 错误：只满足“实部”，就判定复数为纯虚数（忽略“虚部”）． 注意：纯虚数的充要条件是「且」，若且，则是实数，不是纯虚数．如： 是实数，不是纯虚数；才是纯虚数． 6．已知复数，其中，是虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A． B．1 C．3 D．或1 【答案】B 【详解】依题意，，解得． 故选：B． 7．已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，复数为纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得； 综上，p为q的充要条件. 故选：C 8．若复数与都是纯虚数，则复数______. 【答案】 【详解】复数为纯虚数，设，则， 又都是纯虚数，，解得， . 故答案为：. 易错03 认为复数可以直接比较大小 错误：直接比较两个非实数复数的大小（如判断与的大小）． 注意：复数的大小关系仅对「实数」成立，非实数（虚数、纯虚数）无法比较大小，只能比较模的大小．若要比较两个复数的“大小”，实际是比较它们的模，即计算和后再比较． 9．已知，若（为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 解得或，所以实数a的取值范围是. 10．（多选）下列四个命题，错误的是（   ） A．两个复数不能比较大小 B．若复数z满足，则 C．若实数a与对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 【答案】ABCD 【详解】对于A，当两个复数为不相等的实数时可以比较大小，故A错误； 对于B，取，则，但，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，实数集是纯虚数集相对复数集的补集的子集， 若D命题正确，则实数集为虚数集的子集，矛盾，故D错误． 故选：ABCD． 易错04 的幂运算记错周期 错误：混淆的幂次规律，如误记、． 注意：的幂运算周期为4，核心规律：，，，；后续幂次循环（如，，）．如：． 11．已知为虚数单位，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】，虚部为－1 故选：A. 12．若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】D 【详解】 ， 则的虚部是2. 故选：D 13．已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】依题意，，当时，；当时，； 当时，；当时，， 因此， 对于A，，A不是； 对于B，，B是； 对于C，，C是； 对于D，，D不是． 易错05 复数除法未进行分母实数化 错误：直接对进行分子分母约分，或分母未乘共轭复数． 注意：复数除法的核心是“分母实数化”，即分子分母同乘分母的共轭复数（），再化简．如：． 14．若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 15．若复数满足，则复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以 16．已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题得， 则的虚部为1. 17．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则. 易错06 混淆复数与复平面内点、向量的对应关系 错误：认为复数对应复平面内的点，或对应向量． 注意：复数与复平面内的点一一对应，与向量一一对应（实部对应轴，虚部对应y轴）． 18．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为， 所以复数 在复平面内对应的点为 ，因为点 的横坐标为正、纵坐标为负，因此位于第四象限. 19．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量对应的复数为，点A的坐标为， 点A关于y轴的对称点为B，点B的坐标为 向量对应的复数为． 20．在复平面内，复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为复数在复平面内对应的点在第二象限， 所以，解得，所以的取值范围为. 易错07 误解复数模的几何意义 错误：认为是复平面内点到原点的距离，或是点到点的距离． 注意：，几何意义是点到原点的距离；的几何意义是复平面内点（对应）到点（对应）的距离．如：表示点到点的距离． 21．若z为复数，则（   ） A．若，则为实数 B． C．若，则的最大值为 D．若，则在复平面内对应的点在第四象限 【答案】AC 【详解】对于A，设，则，若，则，即， 则为实数，故A正确； 对于B，若，则，，故B错误； 对于C，若，即，可得在复平面内对应点的轨迹为圆心，半径为的圆，原点到圆心的距离为，故的最大值为，故C正确； 对于D，因为，， 即，对应点在第二象限，故D错误； 22．已知复数分别满足，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】由复数，分别满足， 可得复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 设，则， 可得复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 如图所示，可得， 所以， 所以的取值范围为. 23．已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】，. 设，则，即，，. 已知，根据复数模的几何意义，表示复数所对应的点到复数所对应的点的距离，集合中的元素对应的点的轨迹是以为圆心，半径分别在范围内的圆环上的点. 记的距离为. 当分别在以为圆心，半径为的圆上时，的最小值为. 当分别在以为圆心，半径为的圆上时，的最大值为. 的取值范围是. 易错08 未满足复数三角形式的标准要求 错误：将非标准形式误认为三角形式，常见问题：① 模；② 和不是同角；③ 中间用“”连接． 注意：复数三角形式的标准形式是，需同时满足：① ；② 与是同一个角；③ 中间用“”连接．如：（），修正为；（减号连接），修正为． 24．已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知. 故选：C. 25．的三角形式为_____________（要求辐角为辐角主值）． 【答案】 【详解】由题意得 ， 此复数的辐角为，，则为辐角主值，符合题意， 故的三角形式为. 故答案为：. 26．（多选）设，则复数的辐角主值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】 ， 因为，所以， 则，，， 因为辐角主值满足，故B不符合题意，ACD符合题意. 故选：ACD 27．在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 【答案】(1). (2) 【详解】（1）由题意得，当时， ， 故； （2） ， 故. 1．已知是复数，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设．若，则，所以，所以“”是“”的充分条件； 若满足，但是，所以“”不是“”的必要条件． 综上，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 2．下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】对于①，由是实数，得，则，①正确； 对于②，由是虚数，得，则，②正确； 对于③，由是纯虚数，得，则，③正确， 所以真命题的序号是①②③. 故选：D 3．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】复数满足，即， 化简可得， 所以复数的模为. 4．已知复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】复数z满足, 故，故. 5．已知复数z满足，则z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴，∴. 6．已知复数，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【详解】， 故. 7．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．实轴 B．虚轴 C．第二象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】， 在复平面内对应的点为, 即复数对应的点位于虚轴. 8．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以 . 故选：C. 9．（多选）设，为复数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，易知当，时，，但，故A错误； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，易知当，时，， 此时，故C错误； 对于D，，，故D正确. 10．（多选）已知，为复数，有以下四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，错误； B，设，，， 由，得，则，， 因此，，正确； C，取，，满足， 而，，，错误； D，由，得，都是实数，因此，正确. 11．（多选）若复数（i是虚数单位），复数的实部、虚部分别为，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意知复数， 则， ，．则， 故ABD不正确，C正确． 故选：ABD 12．（多选）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】AC 【详解】对于选项A：因为， 所以的虚部为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误； 对于选项C：因为，则， 可得，即，故C正确； 对于选项D：因为，， 则在复平面内分别对应点， 可得，， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D错误. 13．复数是实数，则实数的值为________． 【答案】 【详解】由题意得，解得或， 且，即，故的值为， 故答案为：． 14．已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________. 【答案】2 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故答案为：. 15．若复数，则______． 【答案】 【详解】由， 则. 16．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 【答案】 【详解】复数z满足， 则+3i， 则， 则. 17．设i是虚数单位，计算：______． 【答案】 【详解】， 所以. 18．在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 【答案】 【详解】设复数u在复平面内对应的点为A， 由题意可知：，，，， 则， 即，解得，可得， 且，可得， 所以向量与的夹角为. 19．在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________； 【答案】 【详解】由题意可得, 设的坐标为， 解法一：平行四边形中，对角线互相平分，即与中点坐标相同， 所以，解得，故点对应的复数是. 解法二：由于，可得， 故，故点对应的复数是. 20．向量，设向量对应的复数为，则___________． 【答案】5 【详解】向量 对应的复数为 ，则， 则复数 的模为. 21．已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由题意知，则， 所以，故. 22．，则___________. 【答案】 【详解】. 故答案为： 23．已知复数满足：，且，则的最小值为________. 【答案】 【详解】设 则， 化简得：， ， 又 所以 所以 所以的最小值为. 24．_________． 【答案】 【详解】 ． 25．当m为何值时，复数,是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【详解】（1）， 当m满足，即或时，z为实数． （2）当m满足，即且时，z为虚数． （3）当m满足即时，z为纯虚数． 26．已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为， 所以方程的两个根，为共轭复数， 设， ， 由韦达定理得，， 将，代入， 得，即， 所以，解得，所以，， 所以，． （2）因为，所以，所以，， 所以，， 因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为. 27．已知，A为的一内角，若不论A为何值，z总是虚数，求实数k的取值范围． 【答案】 【详解】令，则，，其中， ∵当时，， ∴的值域为， ∴当时，恒成立，即当时， 不论A为何值，恒成立，z总是虚数． 28．已知复数和，若，试求的取值范围． 【答案】 【详解】，， 消去m得，， ， ， ∴当时，； 当时，． 的取值范围为． 29．如图所示，已知四边形是矩形，点和对应的复数分别为，，并且，求点和点分别对应的复数． 【答案】点对应的复数为，点对应的复数是． 【详解】由题意可知，向量可以看作向量的长度扩大为原来的倍，并绕点按顺时针方向旋转后得到． 因向量对应的复数为， 故向量对应的复数为． 因为，则点对应的复数为． 同理可得点对应的复数是． 30．根据代数基本定理，给定正整数，方程有个复数根，分别是，，这些根称为次单位根，此时有.当与互质时，称为次本原单位根.次本原单位根的另一个等价定义是，若，且不存在小于的正整数使得，则称复数为次本原单位根. 给定正整数，我们定义级分圆多项式，其中，，…，是全部次本原单位根. (1)写出，，，并化简； (2)若是质数（或称素数），求出并化成最简形式； (3)探究是否存在正整数，和使得对任意复数恒成立. 【答案】(1)，， (2) (3)不存在 【详解】（1）当时，与互质且小于等于的正整数只有1， 则， 当时，与互质且小于等于的正整数只有1和， 则 ， 当时，与6互质且小于等于6的正整数只有1和5， 则 . （2）当是质数时，与互质且小于等于的正整数有1，2，…，，只有与自己不互质. 根据分圆多项式的定义，有， 其中，，且， 由题意得， 从而. （3）不存在，采用反证法说明. 假设存在正整数，和使得对任意复数恒成立， 若为次本原单位根，则且，从而有， 若，则， 则存在使得，即成立， 从而为次本原单位根，则， 根据本原单位根的等价定义，此时必有，否则可导出矛盾， 代入，可得， 又不为零多项式，所以，但这是不可能的， 同理若，我们也可以得出矛盾， 从而不存在正整数，和使得对任意复数恒成立. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第十章复数 思维导图 复数的定义：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，实部是a,虚部是b. 虚数单位：把平方等于.1的数用符号表示，规定2=-1，我们把叫作虚数单位 复数的概念 复数集：①定义：全体复数所成的集合.②表示：通常用大写字母C表示 复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数 复数的运算法则 复数运算的几个重要结论 复数的运算 虚数单位的乘方 复数方程的解 数 复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，轴为实轴，y轴为虚轴。 复数的几何意义 (1)任一个复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)是一对应的 复数的几何意义 (2)一个复数z=a+bi(阳，beR)与复平面内的向量0Z是一对应的. 复数的模 (1)定义：向量的r叫做复数z=a+bi(a,beR)的模或绝对值 (2)记法：复数z=ā+bi的模记为z或a+bi. 复数的三角形式 复数的三角形式 辐角主值 复数乘、除法的三角表示 知识清单 一、复数的概念 1.虚数单位：规定2=一1,1称为虚数单位；1可与实数进行四则运算，运算时原加、乘运算律不变。 2.复数的定义：形如z=a十bi(a,b∈R)的数叫复数；a为实部(Re(z)=a),b为虚部 (1m(z=b). 3.复数的分类 实数：b=0;虚数：b≠0；纯虚数：a=0且b≠0；非纯虚数：a≠0且b≠0 4.复数相等：a+bi=c+di(a,b,G,deR) a=c且b=d 特别：a+bi=0 a=0且b=0 1/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、复数的几何意义 1.复平面：以x轴为实轴、y轴为虚轴的直角坐标系；复数z=a十bi对应点Z(a,b)、对应向量 =(a,b). 2.复数的模： 才=a+b=Va2+b2,几何意义：点Z(a,b)到愿点距离. 3.共轭复数：z=a十b1的共轭复数是z=a-bi:性质：2=2，z十名=2a∈R,2~名=22 三、复数的运算 1.加减运算 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,cd∈R) 加法：z1+z2=(a+c)+(b+d)i 减法：21-z2=(a-c)+(b-d)1 运算律：交换律、结合律成立. 2.乘法运算 法则：(a+b)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i i的幂周期：土=i2=-1,3=一i4=1，周期为4 运算律：交换、结合、分配律成立 3.除法运算 路-需=号+年得(c+di≠0)<分每实数化：乘分母共) 四、复数的三角形式 1.三角形式：z=r(cos6+isin6) r=z≥0（模）；日为辐角；日∈[0,2π)为辐角主值，记作argz 2.三角形式运算 乘法：1(cos61+isin61)·rz(cos02+isin02)=r1rz[cos(01+02)+isin(日1+日2)]（模相乘， 辐角相加) r1(cose+isine) 除法： r(cos92+isn日万 =号[cos(日1-02)+isi血(91-62)】（模相除，辐角相减） 五、复数的几何意义与应用 1.两点距离：21一z对应复平面两点距离 2.轨迹：z一z。=r为以0对应点为圆心、r为半径的圆 六、核心考点与易错点 2/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.纯虚数：实部=0且虚部≠0(z=0是实数) 2.复数（非全实）不能比较大小 3.除法必分母实数化 4.三角形式要求：r≥0，同角余弦+正弦。 易错总结 错误：认为复数z=a十bi(a,bER)的虚部是bi,而非b 注意：虚部的定义是复数中“的系数”，且必须是实数，即1m(2=b(不含)·如：z=3一2的虚部是 -2,不是-21· 1.复数1-的实部与虚部的和是() A.1-i B.1+i C.0 D.2 2.已知复数z1=1+3的实部与复数z2=一1+ai的虚部相等，则实数a等于() A.-3 B.3 C.-1 D.1 3.以3i-V2的虚部为实部，以一3+V2的实部为虚部的复数是() A.3-3i B.3+i c.-V2+2i D.2+2i 4.若复数z=m+1+(m-1)i是实数，则实数m=() A.-1 B.0 C.1 D.2 5.已知j是虚数单位，若复数x一(x一2)的实部与虚部之积大于0，则实数x的取值范围是 错误：只满足“实部a=0”,就判定复数为纯虚数（忽略“虚部b≠0"） 注意：纯虚数的充要条件是「a=0且b≠0」，若a=0且b=0,则z=0是实数，不是纯虚数.如： z=0+0i=0是实数，不是纯虚数；z=0+5才是纯虚数 6.己知复数z=a2-1+(a2-2a-3)i,其中a∈R,是虚数单位，若z为纯虚数，则a的值为() A.-1 B.1 C.3 D.-1或1 7.己知p:m=2,q:复数z=m2-4+(m+2)i(m∈R)为纯虚数，则p是q的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.若复数z与(z+1)2+2i都是纯虚数，则复数z= 错误：直接比较两个非实数复数的大小（如判断3+2与2+3的大小） 注意：复数的大小关系仅对「实数」成立，非实数（虚数、纯虚数）无法比较大小只能比较模的大小·若 要比较两个复数的“大小”，实际是比较它们的模，即计算z和z后再比较 9.己知a,b∈R,若a2+b+(a-b)i>2(i为虚数单位)，则实数a的取值范围是() A.(-∞，-1)U(2,+∞) B.(-∞，-2)U(1,+∞) C.(-1,2) D.(-2,1) 10.(多选)下列四个命题，错误的是() A,两个复数不能比较大小 B.若复数z满足z2ER,则zER C.若实数a与a1对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D.纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 错误：混淆的幂次规律，如误记3=1、4=一1 注意：i的幂运算周期为4，核心规律：=1,2=一1,3=-i,4=1;后续幂次循环（如Ak+1=1, 4k+2=-1,k∈Z).如：2026=4506+2=2=-1 11.已知1为虚数单位，则2026-i的虚部为() A.-1 B.1 C.i D.-i 12.若复数z满足z=-23+134,则z的虚部是（) A.-21 B.2i C.-2 D.2 13.已知集合M={mm=i”n∈N},其中1为虚数单位，则下列元素属于集合M的是() A.(1-1+)B.昂 c.鹄 D.(1-)2 错误：直接对进行分子分母约分，或分母未乘共轭复数 注意：复数除法的核心是“分母实数化”，即分子分母同乘分母的共轭复数c一di(c十di≠0)，再化简.如 浩--牌+ c24 3+ V2+i 14.若复数2=2，则z=（） A.号- 1 B.青+9 C.3V2-3i D.3V2+3i 15.若复数z满足(1-1)z=2+i,则复数z的共轭复数z=() 4/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B. c.2 D. 16.己知复数z=2+ 2+13， 则z的虚部为() A.-1 B.1 C.i D.-i 17.已知复数名=，则a=（） A. B. c. D.号 错误：认为复数z=a+bi对应复平面内的点Z(b,a),或对应向量0立=(b,a) 注意：复数z=a十bi与复平面内的点Z(a,b)一一对应，与向量0立=(a,b)一一对应（实部对应x轴， 虚部对应y轴) 18.复数(1为虚数单位)在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 19.在复平面内，0为原点，向量0A对应的复数为一1+2i,若点A关于y轴的对称点为B,则向量0B对 应的复数为() A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1-21 20.在复平面内，复数z=(m+2)+(m2-m-2)i对应的点在第二象限，则实数m的取值范围为() A.(-2,-1)U(2,+∞ B.(-0∞-2 C.(-1,2 D.（-1,+∞ 错误：认为z-一z是复平面内点Z到原点的距离，或z是点Z到点Z0的距离. 注意：=a+b=Va2+b2,几何意义是点Z(a,b)到原点0的距离；z-z的几何意义是复平面内点 Z(对应z)到点20（对应z0)的距离.如：z-2+3表示点z到点(2，-3）的距离. 21.若z为复数，则() A.若z=z,则z为实数 B.|z2=z2 C,若|z-21+3=2,则z的最大值为y13+2 D.若2z=32025+6i2026,则z在复平面内对应的点在第四象限 22.已知复数21z2分别满足|z1-1-i=1,|22-4-31=2,则川z1-z2的取值范围为 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23.已知复数WW2满足W1-W2=ww,记满足|z-w引∈[1,3](i=1,2)的复数z组成的集合为 A.若Z1∈A且z2∈A,则川21-Z2的取值范围是 错误：将非标准形式误认为三角形式，常见问题：①模r<0;②cos6和sin6不是同角；③中间用"一” 连接 注意：复数三角形式的标准形式是z=r(cosd+isin6),需同时满足：①r=Z≥0；②cos6与sin6是 同-个角日；③)中间用“+"连接.如：-2(cos号+isin号)(r=一2<0)，修正为 2(cos号+isin号)：2(cos号-1sin暗)（减号连接），修正为2(cos号+isin号） 24.已知复数Z1=cos若+i·sin若，z2=cos跨+i·sin号，其中i为虚数单位，则乙1z2=() A.1 B.-1 C.i D.-i 25.-+的三角形式为 (要求辐角为辐角主值)· 26.(多选)设π<日<孚，则复数2器的辐角主值不可能是() A.2π-36 B.38-2π C.36 D.36-元 27.在复平面内，复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为0之(0为坐标原点)，设O立=r,以射线0x为始 边，Oz为终边逆时针旋转所得的角为6，则z=cos6+isin8),此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗 发现了棣莫弗定理：z1=r1(cos01+isin0),Z2=r2(cos02+isin6),则 z122=r1rcos(01+62)+isin(61+62】由棣莫弗定理导出了复数乘方公式： 2=[r(cos0+isine)]"=r(cosne+isinne)(nEN). (1)将复数z=-1+V3表示为三角形式： ②)根据复数乘方公式，化简：（-1+V5) 易错训练 1,已知z是复数，则“z∈R”是“z2∈R”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D,既不充分也不必要条件 2.下列关于复数z=x2-y2+(x2-2xy+y2ix yER)的命题中， ①若z是实数，则y=x;②若z是虚数，则y≠X;③若z是纯虚数，则y=一x≠0. 真命题的序号是() A.①2 B.①3 C.23 D.①23 3.己知复数z满足z(1一1)=2+1(1为虚数单位)，则复数z的模为() A. B号 C.o D.9 4.已知复数z满足z1+1)=2,则z=() A.V2 B.2 c.22 D.4 5.已知复数z满足z(1-1)=3+i,则z的共轭复数z=() A.1-2i B.1+2i C.-1-21 D.-1+2i 6.己知复数z=1+2i,则z2-z=() A.5 B.2V5 C.5 D.6 7.在复平面内，复数告对应的点位于() A.实轴 B.虚轴 C.第二象限 D.第四象限 8.计算4(cos+isin是)·[(sin胃+isin)]的结果是() A.2(cos0+isin钙) B.2(sin晋+icos钙) C.2(cos+isin) D.8(cos+isin) 9.(多选)设21,22为复数，若2122=1，则() A.Z1=Z2 B.|=同 C.1z1+z2=v2 D.=-i 10.(多选)己知z1,z2为复数，有以下四个命题，其中真命题是() A.若|z1≥1，则z1≤-1或21≥1B.若|21+|z2=0,则1=z2=0 C.若1=z2,则z经= D.若21<22，则21-Z2<0 11.(多选)若复数z=cos+isin是(i是虚数单位)，复数z2的实部、虚部分别为a,b,则下列结 论不正确的是() A.ab<0 B.a2+b2≠1 c.=5 D.当=5 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12.（多选)在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述.瑞士数学家欧拉于 1748年提出了著名的欧拉公式：e=cosx+isinx,为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础.其中 e是自然对数的底数，1是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数 的关联.依据欧拉公式，则下列结论正确的是() A,e的虚部为壳 B,e1在复平面内对应的点位于第二象限 C.isinx= D.若石1=e22=e在复平面内分别对应点乙，乙2则△0Z,22面积的最大值为号 13.复数z=+(m2+5m-6)i是实数，则实数m的值为 14.己知复数z=(m2-3m+2)+(m-1)i是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为 15.若复数2=曾，则=一 16.己知复数z满足(i-1)(z-3i)=3+i,其中i为虚数单位，则z=, 17.设1是虚数单位，计算：（当）3=一 18.在复平面内，点P,Q,0分别表示复数z,w,0,已知z=3,|w=5,u=z+w,且u=7, 则向量0币与0可的夹角为， 19.在平行四边形ABCD中，A,B,C三点对应的复数分别是1十3i,一i,2+i,则点D对应的复数是 20.向量=(3,4)，设向量a对应的复数为z,则2= 21.已知复数z=(m2-m-6)+(m-1)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是 22.z=2(cos20°+isin20°)，则2= 故答案为：[cos(-20°)+isin(-20°)] 23.已知复数z满足：z=1,且z-i≤1，则川z1-1的最小值为 24.V2(cos号+isin)·(cos+isin号)= 25.当m为何值时，复数z=m21+i)-m(3+)-6i,(m∈R是： (1)实数； (2)虚数； 8/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)纯虚数 26.已知1为虚数单位，z1,z2是x2+x+n=0(m,n∈R△=m2-4n<0)的两个根， (1)设z1,z2满足方程z1+(1-)22=9+61,求m,n的值； (2)设21=1十21，复数z1,z2所对的向量分别是a与6，若向量t后-b与+2b的夹角为钝角，求实数t的 取值范围。 27.已知z=sinA+(ksinA十cosA-1)i,A为△ABC的一内角，若不论A为何值，z总是虚数，求实 数k的取值范围。 28.己知复数z1=m+(4-m2)i(meR和22=2cos6+(1+3sin6)i(0ER),若名1=z2,试求的 取值范围， 29.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，点A和B对应的复数分别为-1十2i,1十i,并且 |BA:DA=1:V5,求点C和点D分别对应的复数. 30.根据代数基本定理，给定正整数n,方程zn=1有n个复数根，分别是=cos+isin, k=1,2,···,n,这些根称为n次单位根，此时有z-1=(z-21)(z-22)···(2-2n).当k与n互 质时，2k称为n次本原单位根.n次本原单位根的另一个等价定义是，若an=1,且不存在小于n的正整数m 使得am=1,则称复数a为n次本原单位根， 给定正整数n,我们定义n级分圆多项式Cn(x)=（x-E1)(x-E2)···（x-t),其中1，e2,…, et是全部n次本原单位根 (1)写出C2(x),C3(x),C6(x),并化简； (2)若P是质数（或称素数），求出CP(x)并化成最简形式： (3)探究是否存在正整数q,r和s使得Cg(x)三Cr(x)Cs(x)对任意复数x恒成立. 9/9